多元线性回归分析
多元线性回归分析
3
二、多元线性回归模型的建立
由于二元线性回归方程是最典型的多元线性回归方程， 通过观察求解二元线性回归方程的参数的过程，就可了 解其他类型的多元线性回归方程参数的求解方法。设有 二元线性回归方程： yc a b1x1 b2 x2
统计学
一、多元线性回归分析的意义
粮食亩产量受播种量、施肥量、降雨量等 因素的影响；又如，彩电的销售额受彩电 价格、广告费支出、消费者购买力等因素 的影响；再如，企业产品成本受原材料价 格、原材料消耗、产量、质量、工艺技术 水平等因素的影响。
对于上述情况，如果只用一个自变量来进 行回归分析，分析的结果就存在问题，如 果将影响因变量的多个因素结合在一起进 行分析，则更能揭示现象内在的规律。
2
二、多元线性回归模型的建立
多元线性回归分析研究因变量和多个自变量间的线性关 系因，变这 量种 Y与线自性变关量系可用数学模型x来1, 之x表2,间x示3,存。,在设xn线因性变关量系为，Y,可 用多元线性回归方程来表示这种关系。设多元线性回归 方程为：yc a b1 x1 b2 x2 b3 x3 bn xn
要确定该回归方程，须先求解a、b1、b2三个参数。用最
小二乘法求解得x1方y y程a组nax如1 b1下b1：x1x12b2
x2 b2
x1x2
x2 y a
x2 b1
x1x2 b2
x22
4
统计学Biblioteka
回归分析(1)多元线性回归
k 1
k 1
n
xkm ( yk y) k 1
（2.9）
§ 2.3 回归模型中参数的最小二乘估计
又由
n
n
xki ( xkj x j ) ( xki xi )( xkj x j ) (i, j 1,2,, m)
k 1
k 1
n
n
xki ( yk y) ( xki xi )( yk y) (i 1,2,, m)
…… y2 0 1 x21 2 x22 m x2m 2
超定方程组
yn 0 1 xn1 2 xn2 m xnm n
（2.2）
其中，
为 个待定参数，
0, 1, 2,, m m 1
个相互独立的且服从同一正态分布
为
1,2,,n n
的随机
N (0, 2 )
变量，式（2.2）称为多元（m元）线性回归数学模型。
14
S2 y ( xk2 x2 )( yk y) 3 036.6 k 1
多元线性回归分析的应用
于是得正规方程组为
5 3
251.7b1 499.9b1
3 2
499.9b2 550.9b2
4 3
401.1 036.6
解此方程组得
b1 0.522, b2 0.475
又由
b0 y b1 x1 b2 x2 16.011
小。yˆ i yi
yˆ i yi
§ 2.3 回归模型中参数的最小二乘估计
于是对全部观察值（试验值）有
n
min ( yi yˆ i )2 i 1
多元函数求 极值问题
min ( yi b0 b1 xi1 b2 xi2 bm xim )2
minQ(b0 , b1,, bm )
多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
多元线性回归分析
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
统计学中的多元线性回归分析
统计学中的多元线性回归分析多元线性回归分析是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及分析步骤。
1. 多元线性回归的基本原理多元线性回归分析是建立在线性回归的基础上的。
线性回归分析是研究一个自变量对一个因变量的影响关系，而多元线性回归分析则是研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
在多元线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X1、X2、...、Xn之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是通过样本数据来估计回归系数，以便预测因变量Y。
2. 多元线性回归的应用场景多元线性回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
以下是一些常见的应用场景：2.1 经济学领域在经济学领域，多元线性回归可以用于分析各种经济变量之间的关系。
例如，研究GDP与劳动力、资本投入等因素之间的关系，或者研究物价与通货膨胀、货币供应量等因素之间的关系。
2.2 社会学领域在社会学领域，多元线性回归可以用于分析社会现象与各种因素之间的关系。
例如，研究教育水平与收入、社会地位等因素之间的关系，或者研究犯罪率与社会福利、失业率等因素之间的关系。
2.3 医学领域在医学领域，多元线性回归可以用于分析疾病或健康状况与各种因素之间的关系。
例如，研究心脏病发病率与吸烟、高血压等因素之间的关系，或者研究生存率与年龄、治疗方法等因素之间的关系。
3. 多元线性回归的分析步骤进行多元线性回归分析时，通常需要按照以下步骤进行：3.1 数据收集首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实地调查、问卷调查、实验等方式获得。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
如何理解和使用多元线性回归分析
如何理解和使用多元线性回归分析多元线性回归分析是一种统计分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
它基于线性假设，假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法估计未知参数。
多元线性回归可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，相比于一元线性回归，具有更多的灵活性和应用场景。
以下是关于多元线性回归分析的理解和使用。
一、理解多元线性回归分析：1.模型表达：多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1～Xn是自变量，β0～βn是回归系数，ε是误差项。
2.线性假设：多元线性回归假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即因变量的期望值在给定自变量的条件下是一个线性函数。
3.参数估计：根据最小二乘法原理，通过使残差平方和最小化来估计回归系数。
最小二乘估计量是使得残差平方和最小的回归系数。
4.假设检验：在多元线性回归中，常用的假设检验包括回归系数的显著性检验、模型整体的显著性检验和多重共线性检验等。
二、使用多元线性回归分析：1.确定研究目标：明确研究目标，确定自变量和因变量。
了解问题背景、变量间关系，并结合实际情况选择合适的方法进行分析。
2.数据收集与整理：收集需要的数据，包括自变量和因变量的观测值。
对数据进行验证和清洗，排除缺失值、异常值等。
3.变量选择：根据研究目标和变量间的相关性，进行自变量的筛选。
可以通过相关分析、方差膨胀因子(VIF)等指标来评估自变量间的共线性。
4.模型建立与估计：根据选定的自变量和因变量，使用统计软件进行模型建立和回归系数的估计。
多元线性回归可以通过扩展一元线性回归的方法来计算。
5.模型诊断与改善：对建立的模型进行诊断，检验残差的正态性、独立性、同方差性等假设。
若存在违反假设的情况，则需要考虑进一步改善模型。
6.模型解释与预测：解释回归系数的含义，明确变量间的关系。
利用模型进行预测和决策，对未知因变量进行估计和预测。
7.模型评价与报告：评估模型的拟合程度，包括R方、调整R方、残差分析等指标。
多元线性回归模型分析
ˆ 样本矩（用样本矩估计总体矩）： 满足相应的矩条
件：
1
T
T
(Yt ˆ ) 0
t 1
▪ 同理，方差的估计量是样本的二阶中心矩。
▪ 现在，考虑一元线性回归模型中的假设条件：
E(t ) 0 E(xtt ) 0
▪ 其所对应的样本矩条件分别为：
1
T
T
ˆ t
1 T
T
(yt - b0 - b1xt ) 0
常数项的作用在于中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
关键问题是选择的估计量b，使得残差平方和最小。
过度识别
▪ 则必须想办法调和出现在过度识别系统中相互冲突 的估计。那如何解决呢？
广义矩估计的思想是使得样本矩与总体矩的加权距 离（即马氏距离）最小。主要是考虑到不同的矩所 起的作用可能不同。
设样本矩 X (X(1),...,X(R))/ ，总体矩 M (M(1),...,M(R))/ ，其中 R k 则马氏距离为：
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε
第4章多元线性回归分析
4.2.1回归系数估计
结论
4.2 多元线性回归模型参数估计
结论1： OLS估计的一致性 ˆj 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 为一致估计，即
ˆ , j 0, 1, 2, , k p limn j j
结论2： OLS估计的无偏性 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 ˆj 为无偏估计： ˆ ) , j 0, 1, , k E( j j
4.9 自变量共线性 重要概念Biblioteka 4.1 多元线性回归模型设定
模型设定：
假设1（零条件均值:zero conditonal mean）
给定解释变量，误差项条件数学期望为0，即
E(u | X1 , X 2 ,, X k ) 0
Y 0 1 X1 2 X 2 k X k u
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项 4.8.2 假设条件的放松（二）—异方差 4.8.3 假设条件的放松（三）—非随机抽 样和序列相关 4.8.4 假设条件的放松（四）—内生性
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项
• 去掉假设5不影响OLS估计的一致性、无偏性和渐 近正态性。 • 不能采用t-检验来进行参数的显著性检验，也不能 用F检验进行整体模型检验。 • 大样本情况下，t统计量往往服从标准正态分布 （在原假设下）。
…
xk ( X k1 , X k 2 ,, X kn )
假设2’（样本无共线性:no colinearity）
不存在不全为零的一组数 c0 , c1,, ck使得
c0 c1x1 xk 0
4.2 多元线性回归模型参数估计
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
计量经济学-多元线性回归分析
yi ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei 其矩阵形式为
i=1,2…n
y xβˆ e
其中 ：
y1
y
y2
yn
x11
x
x12
x 21
x 22
xk1 xk2
x1n x2n xkn
ˆ1
βˆ
ˆ 2
ˆk
在离差形式下，参数旳最小二乘估计成果为
模型中解释变量旳数目为（k）
模型：Yt 1 2t X 2t k X kt ut
也被称为总体回归函数旳随机体现形式。它 旳 非随机体现式为:
E(Yi | X 2i , X 3i , X ki ) 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki
方程表达：各变量X值固定时Y旳平均响应。
0.17033
2.652155 0.0157
R-squared
0.9954 Mean dependent var
928.4909
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟随机误差项旳方差旳无偏估计
能够证明，随机误差项旳方差旳无偏估计量为
ˆ 2 ei2 ee
nk nk
四、参数估计量旳性质
在满足基本假设旳情况下，其构造参数旳一般
最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。
ˆ1
Байду номын сангаас
Q0
ˆ2
Q
多元线性回归分析
' j
=
X
j
− X Sj
j
标准化回归方程
标准化回归系数 bj ’ 的绝对值用来比较各个自变量 Xj 对 Y 的影响程度大小； 绝对值越大影响越大。标准化回归方程的截距为 0。 标准化回归系数与一般回归方程的回归系数的关系：
b 'j = b j
l jj l YY
⎛ Sj ⎞ = b j⎜ ⎜S ⎟ ⎟ ⎝ Y⎠
R = R2
^
�
说明所有自变量与 Y 间的线性相关程度。即 Y 与 Y 间的相关程度。联系了回归和相关
-5-
�
如果只有一个自变量，此时
R=r 。
3) 剩余标准差（ Root MSE ）
SY |12... p =
∑ (Y − Yˆ )
2
/( n − p − 1)
= SS 残 （n − p − 1 ） = MS 残 = 46.04488 = 6.78564 反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好
（SS 残） p Cp = − [n − 2(p + 1)] （ MS 残） m p≤m
2
P 为方程中自变量个数。 最优方程的 Cp 期望值是 p+1。应选择 Cp 最接近 P+1 的回归方程为最优。
5、决定模型好坏的常用指标和注意事项：
• 决定模型好坏的常用指标有三个：检验总体模型的 p-值，确定系数 R2 值和检验每一 个回归系数 bj 的 p-值。 • 这三个指标都是样本数 n、模型中参数的个数 k 的函数。样本量增大或参数的个数增 多，都可以引起 p-值和 R2 值的变化。但由于受到自由度的影响，这些变化是复杂 的。 • 判断一个模型是否是一个最优模型，除了评估各种统计检验指标外，还要结合专业知 识全面权衡各个指标变量系数的实际意义，如符号，数值大小等。 • 对于比较重要的自变量，它的留舍和进入模型的顺序要倍加小心。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：样本数据是独立采样的。
3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。
4.正态分布：误差项服从正态分布。
5.同方差性：误差项的方差是常数。
参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。
残差是观测值与模型估计值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。
模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。
拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。
我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。
预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。
通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。
预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。
总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。
通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。
多元线性回归模型分析
多元线性回归模型分析多元线性回归模型是一种用于分析多个自变量对于一个目标变量的影响的统计模型。
在多元线性回归模型中，通过使用多个自变量来预测目标变量的值，可以帮助我们理解不同自变量之间的关系，以及它们与目标变量之间的影响。
在多元线性回归模型中，假设有一个目标变量Y和k个自变量X1，X2，...，Xk。
我们的目标是通过找到一个线性函数来描述目标变量Y与自变量之间的关系。
这个线性函数可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，β0,β1,β2,...，βk是回归系数，代表自变量对于目标变量的影响程度。
ε是误差项，表示模型不能完全解释的未观测因素。
1.数据收集：收集自变量和目标变量的数据。
这些数据可以是实验数据或观测数据。
2.数据预处理：对数据进行清洗和处理，包括处理缺失值、异常值和离群值等。
3.变量选择：通过相关性分析、方差膨胀因子(VIF)等方法选择最相关的自变量。
4.拟合模型：使用最小二乘法或其他方法，拟合出最佳的回归系数。
5. 模型评估：通过各种统计指标如R-squared、调整R-squared等评估模型的拟合程度。
6.模型解释与推断：通过解释回归系数，了解各自变量对于目标变量的影响程度，并进行统计推断。
在多元线性回归模型中，我们可以利用回归系数的显著性检验来判断自变量是否对目标变量产生重要影响。
如果回归系数显著不为零，则表明该自变量对目标变量具有显著的影响。
此外，还可以利用F检验来判断整体回归模型的拟合程度，以及各自变量的联合影响是否显著。
同时，多元线性回归模型还可以应用于预测和预测目的。
通过使用已知的自变量值，可以利用回归模型来预测目标变量的值，并计算其置信区间。
然而，多元线性回归模型也有一些限制。
首先，模型的准确性依赖于所选择的自变量和数据的质量。
如果自变量不足或者数据存在误差，那么模型的预测结果可能不准确。
此外，多元线性回归模型还假设自变量之间是线性相关的，并且误差项是独立且具有常量方差的。
第5章多元线性回归分析
Y
n 1
X
nk
β
k 1
u
n 1
17
总体回归函数
E(Y )= X β
或 Y=X β+u
样本回归函数
ˆ u,e 都是有 n 个元素的列向量 其中：Y,Y,
ˆ Yˆ = X β
或
ˆ +e Y = Xβ
β , βˆ
是有
k 个元素的列向量
X 是第一列为1的 n k 阶解释变量
数据矩阵 (截距项可视为解释变量 取值为1)
2
——简单相关系数 简单相关系数（simple correlation coefficient）分别反映各个自变量与因变量的 相关关系。对于二变量的情形，计算公式为
3
——偏相关系数 简单相关系数旨在反映变量之间两两线性 关系，但实际上，每一个简单相关系数不可能 绝对不包括其他因素的相关成分。为了克服简 单相关系数的间接相关信息，提出另一种检验 指标偏相关系数（partial correlation coefficient）。偏相关系数旨在排除其它因素的 影响，单纯反映某个自变量与因变量之间的密 切程度。对于二变量的情形，计算公式如下
18
三、多元线性回归中的基本假定
假定1：零均值假定 E () u 0 ( i 1 , 2 , ,) n i 或
E (u) = 0
假定2和假定3：同方差和无自相关假定
2 i= j C o v ( u ,) u E [ ( u E u ) ( u E u ) ] E ( u u ) i j i i j j ij 0 (i j)
或
其中
i 1 , 2 , ,n
回归剩余（残差）：
ˆ ei Yi - Y i
叙述多元线性回归分析的思想
叙述多元线性回归分析的思想一、多元回归分析简介。
用回归方程定量地刻画一个应变量与多个自变量间的线性依存关系，称为多元回归分析，简称多元回归。
多元回归分析是多变量分析的基础，也是理解监督类分析方法的入口！实际上大部分学习统计分析和市场研究的人的都会用回归分析，操作也是比较简单的，但能够知道多元回归分析的适用条件或是如何将回归应用于实践，可能还要真正领会回归分析的基本思想和一些实际应用手法！回归分析的基本思想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系，但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。
二、多元回归线性分析的运用。
具体地说，多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。
（1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它们之间合适的数学表达式；（2）根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度；（3）进行因素分析。
例如在对于共同影响一个变量的许多变量（因素）之间，找出哪些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系等等。
在运用多元线性回归时主要需要注意以下几点：首先，多元回归分析应该强调是多元线性回归分析！强调线性是因为大部分人用回归都是线性回归，线性的就是直线的，直线的就是简单的，简单的就是因果成比例的；理论上讲，非线性的关系我们都可以通过函数变化线性化，就比如：Y=a+bLnX，我们可以令t=LnX，方程就变成了Y=a+bt，也就线性化了。
第二，线性回归思想包含在其它多变量分析中，例如：判别分析的自变量实际上是回归，尤其是Fisher线性回归方程；Logistics回归的自变量也是回归，只不过是计算线性回归方程的得分进行了概率转换；甚至因子分析和主成分分析最终的因子得分或主成分得分也是回归算出来的；当然，还有很多分析最终也是回归思想！第三：什么是“回归”，回归就是向平均靠拢。
第四：如果你用线性回归方式去解释过去，你只能朝着一个趋势继续，但未来对过去的偏离有无数种可能性；第五：线性回归方程纳入的自变量越多，越应该能够反应现实，但解释起来就越困难；第六：统计学家往往追求的是简约的模型和更高的解释度，往往关注模型R平方，共线性和回归诊断问题；第七：市场研究人员往往注重模型的解释合理性，是否与预设的直觉一直，是否支持了我的市场假设等。
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多元线性回归模型方差分析表
Source
Sum of Square
df
Mean Square
F-value
p-value
regression y on x1,…,xk
SSreg
k
MSreg=SSreg /k F=MSreg / MSE ～F(k，n-k-1)
Error
SSE
n-k-1
MSE=SSE / (n-k-1)
内容
• • • • • • •
概述 基本原理 数学模型 方法步骤 逐步回归方法 多元相关分析 应用
1. 前进法（forward selection） 2. 后退法（backward elimination） 3. 逐步回归法（stepwise regression）
它们的共同特点是每一步只引入或剔除一个自变量。决 定引入或剔除基于对偏回归平方和的F检验。
Y对每一个自变量作直 线回归， 线回归，对回归平方 和最大的自变量作F检 有意义（ 验，有意义（P小）则 引入。 引入。
特点和要求
偏回归平方和最小的变 检验及相应的P 量，作F检验及相应的P 决定它是否剔除（ 值，决定它是否剔除（P 大） 。 建立新的回归方程。重 建立新的回归方程。 复上述过程。 复上述过程。
Fj =
SS回 − SS回(− j) SS残 (n − p −1 )
;ν1 =1ν2 = n − p −1 ;
前进法
后退法
逐步回归法
变量进出方程的过程
自变量从无到有、 自变量从无到有、从 少到多
先将全部自变量放入方 程，然后逐步剔除
双向筛选 ；引入有意 义的变量（前进法）， 义的变量（前进法）， 剔除无意义变量（ 剔除无意义变量（后 退法） 退法） 小样本检验水准a 小样本检验水准a定为 0.10或0.15， 0.10或0.15，大样本 把值定为0.05 0.05。 把值定为0.05。值越 小表示选取自变量的 标准越严。 标准越严。 注意，引入变量的检 注意， 验水准要小于或等于 剔除变量的检验水准。 剔除变量的检验水准。
1 x11 1 x 21 x= 1 M 1 xn1
L x1k L x2 k L M L xnk
β0 β β = 1 M β k
e1 e e = 2 M en
y = xβ + e
采用最小二乘法
内容
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概述 基本原理 数学模型 方法步骤 逐步回归方法 多元相关分析 应用
- 实例分析
为了了解和预测人体吸入氧气的效率，收集了30名中年 男性的健康状况调查资料。共调查了7个指标，它们是：吸氧 的效率(y)，年龄(x1)，体重(x2)，跑1.5公里所需的时间(x3)--以分钟计算，休息时的心跳次数(x4)，跑步时的心跳率(x5)， 和最高心跳率(x6)，数据列在表中。该问题中吸氧的效率(y) 是因变量，其余6个变量是自变量。试用多元回归分析建立预 测人体吸氧效率的模型。
多元线性回归分析
内容
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概述 基本原理 数学模型 方法步骤 逐步回归方法 多元相关分析 应用
内容
• 概述
- 问题 - 解决方案
• • • • • •
基本原理 数学模型 方法步骤 逐步回归方法 多元相关分析 应用
多因子方差分析 多元线性回归分析 广义线性模型分析
多元Logistic 回归分析 多元 Poisson回归模型分析 回归模型分析 对数线性模型分析
Q = ∑ e = e e = ( y − xβ ) ( y − xβ )
i =1 2 i T T
n
b=β = x x
T
)
( )
−1
x y
T
偏回归系数估计
1 T ( y − xb) ( y − xb) s =σ = n − k −1 残差的标准差估计 )
aij = x x
T
( )
−1
sbj = s a jj
概述 基本原理 数学模型 方法步骤 逐步回归方法 多元相关分析 应用
1）确定多个指标变量与一个反应变量之间的线性关系。例如，温度，湿度以 及大气污染物的浓度与发病率的关系。 2）筛选疾病的危险因素和有利于健康的健康促进因素。例如，在肿瘤、冠心 病等疾病的病因研究中，应用多元线性回归分析，可以从众多的相关因素中筛选 出疾病的主要危险因素，并估计出这些危险因素的对引起疾病发生的相对重要程 度。 3）从较易测得的自变量来推测较难测得的自变量。例如，从健康人测得的身 高，体重，年龄和身体的表面积的数据回归得到的模型可以用来估计烧伤病人的 身体表面积。 4）从已发生的x来预测将发生的y。例如，根据病人手术后所观察的一些指标 和手术后的存活时间，建立手术后存活时间与这些指标之间的多元回归方程，可 以预测其它同类型病人手术后的生存时间。 5）用于建立专家辅助诊断系统。利用著名医生诊断疾病的各项检验指标和诊 断结果，建立各种疾病的发病率或死亡率和这些指标之间的关系，其他人可以借 助这个模型分析病情，这就是专家辅助诊断系统。
偏相关系数
r12,34 =
(1 − r )(1 − r )
2 14 , 3 2 24 , 3
r12,3 − r14,3 r24,3
r12,3 =
(1 − r )(1 − r )
2 13 2 23
r12 − r13r23
几个相关系数的区别 简单相关系数
复相关系数
偏相关系数
内容
• • • • • • •
Total
SST
n-1
模型诊断 多重共线性检验 自变量间存在着相关关系，使一个或几个 自变量可以由另外的自变量线性表示时， 称为该变量与另外的自变量间存在有共线 性(multicollinearity)。
多重共线性的识别与解决办法 回归系数的符号与专业知识不符 变量的重要性与专业不符 R2高，但各自变量对应的回归系数均不显著 方差膨胀因子（Variance Inflation Factors ，VIF) >10 - 筛选自变量 - 用主成分回归 - 岭回归
在此基础上，计算其 在此基础上， 它自变量的偏回归平 方和， 方和，选取偏回归平 方和最大者作F检 验，…。 即后续变量的引入可 能会使先进入方程的 自变量变得不重要。 自变量变得不重要。
自变量高度相关时， 自变量高度相关时，可 能得不出正确的结果 。
局限性
内容
• • • • • • •
概述 基本原理 数学模型 方法步骤 逐步回归方法 多元相关分析 应用
生存分析 时间序列分析 广义估计模型
推断性统计学分析（其他）
典型相关分析 多变量方差分析
主成分分析 聚类分析 判别分析
路径分析 因子分析 结构方程模型分析
x
y
ε
一元回归分析
x1 x2 x3 y ε 多元回归分析
x1 y1 x2 y2 x3 ε2 多变量回归分析 ε1
ε1
x1 y1 x2 y3 x3 y2 x4 路径分析 ε2 ε3
∑ (y
i
− y) y ) + ∑ ( yi − yi )
SS总 = SS回 + SS剩
SS回 / k F= SS剩 / (n − k − 1)
复确定系数 调整复确定系数
SS R = 回 SS总
2
R
2
adj
SS剩 / (n − k − 1) = 1− SS总 / (n − 1)
X1 44 40 44 42 38 47 40 43 44 38 44 45 45 47 54 49
x2 89.47 75.07 85.84 68.15 89.02 77.45 75.98 81.19 81.42 81.87 73.03 87.66 66.45 79.15 83.12 81.42
x3 11.37 10.07 8.65 8.17 9.22 11.63 11.95 10.85 13.08 8.63 10.13 14.03 11.12 10.60 10.33 8.95
模型中缺乏重要变量
结果误导
y = β0 + β1 x1 + ... + βm xm + ε
自变量的数量化 （1）自变量为连续型变量 (必要时作变换) （2）自变量为有序变量(依次赋值，如疗效好中差，可分别赋值3、2、1) （3）自变量为二分类(可令男＝1，女＝0） （4）自变量为名义分类（需要采用哑变量（dummy variables）进行编码）
Y 40.836 46.672 46.774 50.388 39.407 46.080 45.441 54.625 45.118 39.203 45.790 50.545 48.673 47.920 47.467
x1 51 51 48 49 57 54 56 50 51 54 51 57 49 48 52
吸氧效率调查数据
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y 44.609 45.313 54.297 59.571 49.874 44.811 45.681 49.091 39.442 60.055 50.541 37.388 44.754 47.273 51.855 49.156
x4 62 62 45 40 55 58 70 64 63 48 45 56 51 47 50 44
x5 178 185 156 166 178 176 176 162 174 170 168 186 176 162 166 180
x6 182 185 168 172 180 176 180 170 176 186 168 192 176 164 170 185