小奥数论整除和余数知识点总结及例题

小奥数论整除和余数知识

点总结及例题

Prepared on 21 November 2021

1.数论——数的整除和余数

2.1基本概念和基本性质

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。

b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除；

①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯

定是a的倍数；

②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);

③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能

整除c;

④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能

整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；

简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；

奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）

从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；

两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

① 一般求空格数

如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。

395864□82365，答案为5

463925□01234，答案为1和8

② 特殊求空格数

根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为：

7×11×13=1001;

77×13=1001;

99×11=1001;

7×143=1001;

根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa

→ ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除）

除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。

除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。

例如：

2.3余数的判别法

① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0；

此时，a=b ×c;b=a ÷c

②有余数的情况：a÷b=c…..d（0﹤d﹤b）；

此时，a=b×c+d;b=(a-d)÷c;c=(a-d)÷b

记着：a≡d(modb)

2.3.2余数的判别法（与整除相同）

【注意】：当被除数是比除数小的非零自然数，则被除数为余数；当被除数比

【例】将1，2,3,4，…，30从左往右依次排列成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？

奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115

偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53

115-53=62；62÷11，余7；

【例】求被13除余数是多少？

解：注意13|111111，即每连续6个1是13的倍数，且2012除以6余2，所以答案为11．

…

无敌乱切，按1/2/3/4到2011的等差数列求和，看除以9的余数；

定义:用给定的正整数m分别除整数a、b，如果所得的余数相等，则称a、b关于模m同余或a同余于b模m，记作a≡b(modm)，如56≡0（mod8），式子称为同余式，m称为该同余式的模。

充要条件：整数a,b对模m同余的充要条件是a-b能被m整除（即m|a-b）；或a≡b(modm)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。

2.3.2.2基本定理

同余关系具有自身性、对称性与传递性，即

1）自身性：a≡a(modm);

2）对称性：若a≡b(modm),则b≡a(modm);

3）传递性：若a≡b(modm),b≡c(modm)，则a≡c(modm).

2.3.2.3重要定理：一个同余式的加减乘及幂的运算

定理1若a≡b(modm),n为自然数，则an≡bn(modm)；即a、b关于关于模m同余，则a、b的同倍数也关于模m同余；

定理2若ca≡cb(modm),(c,m)=d（最大公约数）,且a,b为整数，则

a≡b(modm/d).

推论若ca=cb(modm),(c,m)=1,且a,b为整数，则a≡b(modm).

定理3若a≡b(modm),a≡b(modn),则a≡b(mod[m,n]).

推论若a≡b(modmi),i=1,2,…,n，则a≡b(mod[m1,m2,..,mn]).

【例】将1996加上一个整数，使和能被9和11整除，加的整数尽可能小，那么加的整数是多少？

1996≡16(mod99)；99-16=83

定理4若a≡b(modm),则a n≡b n(modm),其中n是自然数。

两个同模同余式的加减乘运算

若a≡b(modm),c≡d(modm),则可以将这两个同余式左右两边分别相加、相减或相乘：

1）a+c≡b+d(modm);即和的余数等于余数的和

2）a-c≡b-d(modm);即差的余数等于余数的差；

3）ac≡bd(modm)；即积的余数等于余数的积；

【例】316×419×813除以13所得的余数

2.3.4只知被除数和余数，求除数或求商

（注意余数比除数小）

有余数的情况：a÷b=c…..d（0﹤d﹤b）；

b=(a-d)÷c;或c=(a-d)÷b

如果，只知a和d,求b或c

【例】1111÷某2位数=（） (66)

①余数不确定——余数的和

【例1】63=m×（）+a

90=m×（）+b

130=m×（）+c,余数和为25；