微积分公式与运算法则

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微积分公式与运算法则

1.基本公式

（1）导数公式(2)微分公式

(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx

(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx

(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx

(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx

(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx

(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx

(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx

(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx

(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx

(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx

(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx

(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx

(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx

(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx

(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx

2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）

（1）函数的线性组合积、商的求导法则

（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ

（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2

（2）函数和差积商的微分法则

d（αμ+βυ）=αdμ+βdυ

d（μυ）=υdμ+μdυ

d（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ2

3.复合函数的微分法则

设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为

dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)

所以复合函数的微分为

dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx

由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ

由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。