相似三角形的周长比与面积比
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南漳县九集中学
刘邦明
温故知新
（1）相似三角形有哪些判定方法？
定义，定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL)
（2）相似三角形有什么性质？ 对应角相等， 对应边成比例； （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 1 与ΔABC的相 似比是多少？ k
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF， DE DF 1 ∴ AB AC 2 又∠D=∠A， ∴△DEF∽△ABC，相似比为
A
D B C
E
F
1 ∴△DEF的周长为 ×24=12 2 2 1 面积为 ( ) 12 5 3 2
1 2
5
例2、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC则:
相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比。
想一想 三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线， 中线
高线
角平分线
中线
思 考 相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么 关系？ 例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D，
A / D / B / C /于D / ， 求证： AD AB k A' D ' A' B '
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
1:4 1:3 A
D
E
B
C
议一议：本节课你学到了什么？ 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
（1）相似三角形对应的
如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的 A 高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边 长为x毫米。 E N P ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC AE PN = ∴ C B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：----。 80 120
①相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /， 相似比为k，它们的面积比是多少？
A D B
A/
D/ B/ C/
C
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
知识归纳
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
练 一 练 （1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，
面积之比为 4：9 。
（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的
高线之比 3：2 。
例题讲解 例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是 ，求ΔDEF的周长和面积。 12 5
比，中线之比，
都等于相似比。
中线
中线
探一探 （1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们 的面积比是多少？ A
A/
AB BC CA AD k A`B` B`C ` C `A` A`D`
B
D
C
B/
D/ C/
S ABC S A`B `C `
1 BC AD 2 k k k2 1 B`C ` A`D` 2
探一探
如果两个三角形相似，它们的周百度文库之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
AB BC CA k A`B` B`C ` C `A`
A/ A B C
AB k A`B` BC k B`C ` CA k C `A`
B/
C/
lABC AB BA CA kA`B`kB`C `kC`A` k lA`B`C ` A`B` B`C `C `A` A`B` B`C `C `A`
A
A/
证明：∵△ABC∽△A′B′C′ B C B/ D/ C/ D ∴∠B=∠B′ 又∵AD、A′D′是高线 ∴∠ADB=∠A′D′B′=90° ①相似三角形的对应高 ∴△ABD∽△A′B′D′
∴ AD ___ A′D′
=
AB ___ A′B′
=
K
线之比等于相似比。
角平分线
角平分 线
②相似三角形的 对应角平分线之
刘邦明
温故知新
（1）相似三角形有哪些判定方法？
定义，定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL)
（2）相似三角形有什么性质？ 对应角相等， 对应边成比例； （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 1 与ΔABC的相 似比是多少？ k
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF， DE DF 1 ∴ AB AC 2 又∠D=∠A， ∴△DEF∽△ABC，相似比为
A
D B C
E
F
1 ∴△DEF的周长为 ×24=12 2 2 1 面积为 ( ) 12 5 3 2
1 2
5
例2、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC则:
相似三角形周长的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比。
想一想 三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线， 中线
高线
角平分线
中线
思 考 相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么 关系？ 例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D，
A / D / B / C /于D / ， 求证： AD AB k A' D ' A' B '
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
1:4 1:3 A
D
E
B
C
议一议：本节课你学到了什么？ 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
（1）相似三角形对应的
如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的 A 高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边 长为x毫米。 E N P ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC AE PN = ∴ C B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：----。 80 120
①相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /， 相似比为k，它们的面积比是多少？
A D B
A/
D/ B/ C/
C
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
知识归纳
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
练 一 练 （1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，
面积之比为 4：9 。
（2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的
高线之比 3：2 。
例题讲解 例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是 ，求ΔDEF的周长和面积。 12 5
比，中线之比，
都等于相似比。
中线
中线
探一探 （1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们 的面积比是多少？ A
A/
AB BC CA AD k A`B` B`C ` C `A` A`D`
B
D
C
B/
D/ C/
S ABC S A`B `C `
1 BC AD 2 k k k2 1 B`C ` A`D` 2
探一探
如果两个三角形相似，它们的周百度文库之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
AB BC CA k A`B` B`C ` C `A`
A/ A B C
AB k A`B` BC k B`C ` CA k C `A`
B/
C/
lABC AB BA CA kA`B`kB`C `kC`A` k lA`B`C ` A`B` B`C `C `A` A`B` B`C `C `A`
A
A/
证明：∵△ABC∽△A′B′C′ B C B/ D/ C/ D ∴∠B=∠B′ 又∵AD、A′D′是高线 ∴∠ADB=∠A′D′B′=90° ①相似三角形的对应高 ∴△ABD∽△A′B′D′
∴ AD ___ A′D′
=
AB ___ A′B′
=
K
线之比等于相似比。
角平分线
角平分 线
②相似三角形的 对应角平分线之