构造正三角形巧解几何问题

构造正三角形巧解几何问题．
构造正三角形巧解几何问题
余凤冈
例1. 如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P为△ABC内一点，∠
PBC＝10°，∠ACP＝20°，求∠APB的度数。

图1
解：如图1，在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCD，连结AD
在△DBA和△CBP中
∠DBA＝∠DBC－∠ABC
＝60°－50°
＝10°
因为∠CBP＝10°
所以∠DBA＝∠CBP，
因为∠BCP＝∠ACB－∠ACP
＝50°－20°
＝30°
BDC
平分∠ DA显然．
所以，BDA＝∠BCP所以∠BC
＝因为 BD
）（ASA △DBA≌△CBP所以，＝BPBA ABP是等腰三角形。

即△
所以
评注：考虑到作等边三角形后形成∠DBA＝60°－50°＝10°为证全等创造条件是本题的关键。

例2. 如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，延长AB到D，设AD＝BC，连接DC，求∠ACD的度数。

图2
AE
，连结BCE的外侧作等边三角形BC的ABC，在△2解：如图
在△ACE和△CAD中，
因为∠ABC＝∠ACB
∠ACE＝∠ACB＋∠BCE
＝40°＋60°
＝100°
所以∠ACE＝∠CAD
因为 AC＝CA，CE＝BC＝AD 所以△ACE≌△CAD（SAS）故∠CEA＝∠D
因为 AE平分∠BEC，
有
所以∠D＝30°
∠ACD＝180°－∠DAC－∠D
＝180°－100°－30°
＝50°
例3. 如图3，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，在AB上取AD＝BC，求的度数。

ACD∠．
图3
解：在△ABC的BC的同侧作等边三角形BCE，连结AE。

在△ACD和△CAE中，
ABC∠
∠ACE＝∠ACB－∠ECB
＝80°－60°
＝20°
所以∠CAD＝∠ACE＝20°
AC＝CA，AD＝BC＝CE，
所以△ACD≌△CAE（SAS）
因为 AE平分∠BAC，
，所以
10°。

∠ ACD＝∠CAE＝所以例4. 如图4，已知在四边形ABCD中，∠ABD＝12°，∠DBC＝36°，∠ACB＝48°，的度数。

ADB°，求∠24＝ACD∠．
图4
解：因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝12°＋36°＝48°
又∠ACB＝48°
所以△ABC是等腰三角形，
在△ABC中，BC的同侧作等边三角形BCE，连结AE，在△DBC中，
BCD －∠180°－∠DBC∠BDC＝°）48°＋24＝180°－36°－（°＝72 °＝72 ∠BDC＝∠BCD所以BC
BD＝ ABD中，在△ABE和△°60＝°－48∠EBA＝∠EBC－∠ABCDBA °＝∠＝12BD ＝＝BCAB＝AB，BE ）（≌△ABDSAS△所以 ABEBDA ＝∠∠BEABEC
EA平分∠因为
所以
°。

30＝BDA∠所以．
例5. 如图5，已知在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°。

求证△ABC是等边三角形。

图5
解：因为∠ABD＝∠ADB＝15°，所以△ABD是等腰三角形。

在△ABD和BD的同侧作等边三角形BDE，连结AE。

在△BAE和△BCD中，
∠EBA＝∠EBD－∠ABD
＝60°－15°
＝45°＝∠DBC
因为 EA平分∠BED，
所以
因为 BE＝BD，
所以△BAE≌△BCD（ASA）
所以 BA＝BC
因为∠ABC＝∠ABD＋∠CBD
＝15°＋45°
°60＝
所以△ABC是等边三角形
例6. 如图6，在正方形ABCD中有一点P，且有∠PAB＝∠PBA＝15°，求证△PCD 是等边三角形。

图6
分析：如图6，在△PCD的同侧作等边△P”CD，
因为 CD＝CP”＝CB，
所以△CP”B为等腰三角形
且∠BCP”＝90°－60°＝30°。

所以∠P”BA＝15°
同理∠BAP”＝15°
由条件知AP与AP”为同一条直线，BP与BP”也为同一条直线，
故 P与P”重合。

所以△PCD是等边三角形。

从以上几例可以看出用叠加的方法作等边三角形可使一些与等腰三角形有关的几何问题变得简单，给人以柳暗花明之感。