第三章 非线性分析

第三章非线性分析

在工程结构实际中，常常会遇到许多不符合小变形假设的问题，例如板和壳等薄壁结构在一定载荷作用F，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大，材料微单元会有较大的刚体转动位移。这时平衡条件应如实地建立在变形后的位形上，以考虑变形对平衡的影响。同时应变表达式也应包括位移的二次项。这样，结构的几何形变关系将是非线性的。这种由于大位移和大转动引起的非线性问题称为几何非线性问题。在涉及几何非线性问题的有限元方法中，可以采用两种不同的表达格式来建立有限元方程。一种格式是所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形的完全拉格朗日格式，即在整个分析过程中参考位形保持不变。而另一种格式中，所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷步增量或时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式就称为更新的拉格朗日格式。下面将分别具体讨论大变形情况下应变和应力度量，几何非线性有限元方程的建立以及系数矩阵的形成。

在涉及几何非线性问题的有限元方法中，可以采用两种不同的表达格式来建立有限元方程。一种格式是所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形的完全拉格朗日格式，即在整个分析过程中参考位形保持不变。而另一种格式中，所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷步增量或时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式就称为更新的拉格朗日格式。下面将分别具体讨论大变形情况下应变和应力度量，几何非线性有限元方程的建立以及系数矩阵的形成。

第三章非线性分析的数值计算方法

3．1概述

非线性问题一般包括三类：材料非线性、几何非线性和边界非线性；而在许多实际的结构中，常常是三种非线性问题的融合，因此其解析方法能够得到的解答是十分有限的。对于非线性问题的求解，可以采用有限元分析的方法，因此非线性方程组的解法也就成为非线性问题有限元分析涉及的基本问题，也就是通常所说的非线性分析的数值计算方法I”。常用的有Newton—Raphson法(简称N-R)和弧长法。本文将详细介绍Newton-Raphson法和弧长法，且依据不同的约束方程形式介绍各种不同形式的弧长法并比较其准确性和可靠性，这在非线性分析计算中是非常有意义的。

3．2牛顿一拉夫森法

在非线性问题的分析中，常用的一种方法就是Newton—RaphSOIl法，也称为牛顿-拉夫森(Raphson)方法，简称N—R法。非线性方程组通常可以表示为

≯0)=，0)一Q=0 (3．1)

其中a是待求的未知量，尸(n)是“的非线胜函数向量，Q是独立于a的已知向量。

如果方程(3 1)式的第n次解已经得到，一般情况下(3．1)式并不能精确的满足，因此为了得到进一步的近似解d(“’，可将≯岛(⋯))表示成在“(”’附近的仅保留线性项的Taylor 展丌式，即

≯㈣)；≯㈩+(组∥=。c。。，

且口0+I)=d扣)+△口0j (3．3)

其中d纥是切线矩阵，即

3．3弧长法

对于某些物理意义上不稳定的非线性静态分析，如果仅仅使用牛顿迭代法，正切刚度矩阵可能变为降秩矩阵，从而导致严重的收敛问题，那么就可以激活另外一种迭代方法一弧长法帮助稳定性求解。存目前的非线陛跟踪方法中，弧长控制类方法是解决极值点问题最主要的方法。它最初由Riks和Wempner提出，在(N+1)维空间(占，五)中发展延续算法(Continuationmethod)，也就是最早的位移控制弧长法，继而由Crisfield和Ramm

4．3论文涉及的ANSYS分析模块[51,52,54,55】

本论文中主要使用了ANSYS程序的结构静力分析模块，涉及到几何非线性屈曲分析功能。ANSYS程序中结构静力分析用来求解外载荷引起的位移、应力、应变和内力。静力分析分为线性和非线性，线性分析由于能节省计算时间，因此对于单元节点多，形状规则的结构，常常使用线性分析。非线性分析用于如塑性、蠕变、膨胀、大变形及接触面等方面。非线性静力分析通常通过逐渐施加载荷完成，以便能获得有较高精度的解。静力分析还包括屈曲分析，屈曲分析用于确定：

(1)结构失稳的载荷

(2)在特定的载荷下结构是否稳定

这类分析对于确定承载结构的稳定性是很重要的。在ANSYS中，稳定性分析分为两种：线性(特征值)屈曲和非线性屈曲。实际上，ANSYS的屈曲分析是大变形分析的一种应用。(】)结构的非线性结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例变化。实际上，所有结构本质上是非线性的，只是在对分析影响ted,时常被忽略。然而，如果认为非线性对结构性质影响到了不可忽略的程度，则需要进行非线陛分析。

ANSYS程序可求解静态和瞬态非线性问题。非线性静态分析将载荷分解为一系列增量的载荷步，并且在每一载荷步内进行一系列线性逼近以达到甲衡，每次线性逼近需要对方程进行一次求解(也称为平衡迭代)。因此，非线性静态分析需要用去大量的机时。

在非线性分析中，结构刚度矩阵和载荷量依赖于求解结果，因此是未知的，为解决浚问题，ANSYS程序使用基于Newton-Raphson法的迭代过程，用一系列线性近似值逐渐收敛于实际上的非线性解。对于静力非线性分析，可采用弧长法来控制收敛。

利用NewtonjRaphson法，刚度矩阵和载荷向量每次迭代都可阱更新。Newton．Raphson方程如下：

[KL{△“}，=仁4弦”l一。(4．1)

其中：[Kl。是根据第(i—1)次迭代的变形形状得到的刚度矩阵，{△“)，是位移向量增量，{Au}，=扣}，一曲乙，／u}，是当前迭代的位移向量，p 4}是外载荷向量，妒”L足基于(i-1)次迭代位移的Newton-Raphson存储载荷。每个子步载荷的划分和最大平衡迭代数均可由用户控制，平衡迭代进行到收敛或达到最大迭代数限制为止。对所有的非线性分析，可根据失衡力(p4KF”I一，)或两次迭代间的位移增量{△“L来检查收敛情况。

在许多非线性静态分析中，载荷必须以增量形式施加以获得精度高的解。载荷从初始载荷(通常为零)到最终载荷是斜坡变化的。ANSYS程序具有载荷步自动划分功能，目的在于获得高精度解和收敛解。用户仅需给定最终载荷以及将采用的最小、最大步长。

在静态和瞬态分析中，ANSYS程序可考虑多种非线性的影响，这些非线性可分为三类：材料、几何和单元非线性。

(2)几何非线性当结构位移显著地改变其刚度时，则被视为几何非线性。

ANSYS程序可解决这几类几何非线性效应：大应变、大变形、应力刚化和旋转软化。大应变几何非线性解决人的局部变形问题，它可作为结构变形而出现，材料中地应变和转角数量没有假定，程序通过调整反映几何变化地单元形状来解决大应变问题。