第三章 非线性分析
线性和非线性方程组的解法
3.2.4 迭代的收敛性
♦ 松弛法的收敛性分析； – A = Q -R = (D -ωL)/ω –[(1-ω)D+ωU]/ω； – QX = RX + B； – Xk+1 = Q-1RXk + Q-1B； – Xk+1 = (D -ωL)-1[(1-ω)D+ωU]Xk + Q-1B； ♦ 收敛的必要条件； – 0<ω<2；
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法
♦ Gauss-Seidel迭代法；
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
= = L =
= =
[b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
Hale Waihona Puke [b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
1 k 12 2 k 21 1 k 1n n
11
]
X [k] = D−1B − (I − D−1A) X [k−1]
[
]
3.2.1 简单迭代法
♦ 简单迭代法的特征； – X[k] = D-1B - (I - D-1A)X[k-1] – 一阶；
L =
– Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk； – Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk；
非线性控制系统理论与应用
非线性控制系统理论与应用第一章线性控制系统概述线性控制系统是一类基于线性系统理论的控制系统。
线性系统是指系统的输入与输出成比例的关系，即如果输入信号增加一倍，输出信号也会增加一倍。
线性系统具有稳定性和可控性的优点，因此在控制系统设计中有广泛的应用。
线性控制系统分为时不变系统和时变系统两种。
在时不变系统中，系统参数固定不变。
在这种情况下，可以针对系统的等效传递函数或状态方程进行设计和分析。
时变系统中，系统参数随时间变化。
需要对系统进行时变分析，以便针对不同时间点设计控制器。
第二章非线性控制系统概述非线性系统是指系统的输入与输出不成比例的关系。
非线性系统不同于线性系统的特点是可能出现复杂的动态行为和稳定性问题。
因此，非线性系统的控制设计比线性系统更加复杂，需要更高级的系统理论和控制方法。
非线性控制系统包括分段线性系统、滞后系统、时变系统和混沌系统等。
非线性控制系统设计需要掌握许多高级数学工具，如微积分、变分法、拓扑学、非线性动力学和控制理论等。
第三章非线性控制系统的分析由于非线性系统比线性系统更为复杂，因此非线性控制系统的分析也更加困难。
但是，通过一些数学工具和技术，可以对非线性系统进行分析和解决。
非线性系统最重要的特征之一是稳定性。
非线性系统有时会出现不稳定的情况。
在设计非线性控制系统时，需要对系统的稳定性进行分析，以便在设计和实现控制器时考虑哪些因素会对稳定性产生影响。
另外一个重要的因素是动态行为。
非线性系统可能显示出复杂的动态行为，如周期性行为或混沌行为。
在非线性控制系统设计中，控制器必须能够应对这些复杂的动态行为。
第四章非线性控制系统的设计在非线性控制系统设计中，需要考虑许多因素。
首先，需要选择适当的控制策略，如状态反馈、输出反馈、模糊控制或神经网络控制。
其次，需要选择适当的控制器类型，如比例控制器、PID控制器或先进控制器。
最后，在设计非线性控制系统时，需要注意以下几个方面：1、控制器必须能够适应系统的非线性特性。
第三章粘弹性流体的本构方程
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
03非线性分析要点
第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。
如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。
2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。
C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。
2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。
结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。
A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。
C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。
D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。
应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。
3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。
非线性方程(组)的数值解法#
第三章 非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h =，试用搜索法确立3()25f x x x =--含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310-。
【详解】因为是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。
(0)5f =-，(1)5f =-，(2)1f =-，(3)16f =，因此，(2,3)中有一个正根。
这就确立了含根区间。
接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310-，计算结果如下表 迭代次数k ak b k x0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 92.09382.09572.094 7二．对方程2()2sin 20f x x x =--=，用二分法求其在区间[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01。
【详解】用二分法求解方程在[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数k ak b k x0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.8750 2 1.8750 2.0000 1.9375 3 1.9375 2.0000 1.9688 4 1.9375 1.9688 1.9531 51.95311.96881.9609三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10f x x x =--=在0 1.5x =附近的根，要求误差小于610-。
【详解】310x x --=，等价于x =。
这样，可以建立不动点迭代格式1k x +=当0x ≥时，总有23110(1)133x -'<=+≤<，因此，迭代格式对于任意初始值00x ≥总是收敛的。
三阶非线性
3.3.3 三阶非线性控制系统一．实验要求1． 了解和掌握非线性控制系统重要特征—自激振荡，极限环的产生及性质。
2． 了解和掌握用描述函数法分析非线性控制系统的稳定性和自振荡的原理。
3． 观察和分析二种三阶非线性控制系统的相平面图。
二．实验原理及说明1． 非线性控制系统重要特征——自激振荡非线性控制系统在符合某种条件下，即使没有外界变化信号的作用，也能产生固有振幅和频率的稳定振荡，其振幅和频率由系统本身的特性所决定；如有外界扰动时，只要扰动的振幅在一定的范围内，这种振荡状态仍能恢复。
这种自振荡只与系统的结构参数有关，与初始条件无关。
对于非线性系统的稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并且可以测量得到。
振幅可用负倒特性曲线-1/N(A)曲线的自变量A 的大小来确定，而振荡频率由线性部分的G （j ω）曲线的自变量ω来确定。
注：所得的振幅和频率是非线性环节的输入信号的振幅和频率，而不是系统的输出信号。
产生自振荡的条件为：1)()(=A N j G ω πω−=∠+∠)()(A N j G （3-3-20）产生自激振荡在三阶非线性控制系统中是常见的，因此在这里作详细说明。
注：线性控制系统虽能也能产生等幅振荡，但这是在临界稳定的情况下才能产生，一旦系统系数发生微小变化，这种临界状就将被破坏，振荡将消失。
2． 极限环的研究在非线性控制系统出现的自振荡现象，在相平面图中将会看到一条封闭曲线，即极限环。
极限环的类型有： ①．稳定的极限环当∞时，相轨迹从内部或外部卷向极限环。
②．不稳定的极限环当③．半稳定的极限环当轨迹卷离极限环。
在一些复杂的非线性控制系统中，有可能出现两个或两个以上的极限环。
3． 用描述函数法分析非线性控制系统 ⑴ 描述函数的定义非线性环节的描述函数的定义为非线性环节的输入正弦波信号与稳态输出的基波分量的复数比。
描述函数法是非线性控制系统的一种近似分析法。
主要是用来分析无外作用的情况下，非线性控制系统的稳定性和自振荡问题。
精选-第三章 钢筋混凝土弯压构件截面非线性分析
第三章 钢筋混凝土弯压构件截面非线性分析§3.1 实验研究图3-1 钢筋混凝土梁试验几何关系：截面上的应变与距中性轴的距离成正比——中性轴位置变化图3-2 截面中性轴位置的变化图3-3 钢筋混凝土受弯构件截面的六个应力状态t <ε εt u ε s εs =f y > ε y > εy εc u I I aII aIII aIIIII图3-4 钢筋混凝土梁截面极限状态下应力-应变分布图3-5a 梁跨中弯矩-挠度曲线 图3-5b 跨中截面弯矩-曲率曲线图3-5梁跨中截面弯矩-相对受压区高度关系曲线0.40.60.81.0M crM yM u 0fM/M uf cr f y f u habA shx nε cε sf0.40.60.81.0M crM yM u 0M/M u0.50.40.30.20.1x n =x n /h 00.40.60.81.0ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢM crM yM u 0fM/M u§3.2 受弯构件正截面分析线性与非线性比较（1）受弯构件截面线性分析的基本思路图3-7 材料力学理论应力分析方法几何关系：截面上的应变与距形心轴的距离成正比——中性轴位置固定0y εεf =+y ——计算应变点到截面形心轴的距离物理关系：应力-应变关系为线弹性0()E E y σεεf ==+平衡条件：22223222022d ()d d d 12hh h h h h h h M b y y E y b y ybh E b y y E b y y E σεf εf f----==+=+=⎰⎰⎰⎰（2） 钢筋混凝土受弯构件正截面非线性分析的基本思路图3-8 钢筋混凝土截面根据平截面假定，y x h y x y nsnc-+=+=+=0000εεεεf εεy ——计算应变点的坐标sx nh 0A s bεt opεbotfyε xhA byε0物理关系：应力-应变关系为非线性 钢筋：弹全塑性关系εσs s E =， 当s y y E f =≤εεy s f =σ， 当y εε>混凝土：我国规范建议的全曲线分为上升段和水平段。
第三章几何非线性
在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-19
真实应力或 Cauchy 应力
与对数应变 l 共轭的一维应力是真实应力 ,真实应力的计算是当 前的力 F 除以当前（或变形的）面积 A ：
F A
真实应力通常也称为 Cauchy 应力。
1 G U T U I 2
这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵 的形式写出，如下式所示：
。 G 可以变形梯度
R
u u T u T u G X X X X
几何非线性 – 5.7版本
u
Y
X
X
x
• 如果我们观察物体上一个点的运动，它的初始位置是 X ，最终 位置是 x ，它运动的量 u 为
u x X
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-24
变形梯度
变形梯度是物体变形多少的一个度量，它的定义是：
变形梯度 F 包含的信息有：
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-22
将非线性应变定义扩展至一般的三维情况
• 在二维或三维问题中，当物体承受大应变变形时，不只长度发生 改变，而且厚度、面积与体积都发生改变。
A0 A
P
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-23
运动与变形
• 当物体承受一些外载时，它将移动和变形。
l l0
1.1 非线性科学介绍
几乎和线性世界相对应，非线性也有三个 重要的特性。
1. 非线性各个部分的不可叠加性是它最为明 显的特色。 线性系统满足叠加原理，整体等于部分 之和，而与之对应的非线性系统，由于部分 和部分之间的相互作用使得整体不再是等于 部分之和。
2. 非线性常常表现出复杂性
和线性系统的简单性（它可以表现为确定性， 一定约束下的唯一性…等等）相对应，非线性系 统则可以表现出各种复杂性，例如对初值敏感， 内在随机…等等。
分形
• 分形是不能用通常的长度、面积、体积表示的几何 形体，其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由 点及面的自相似结构．自相似即局部与整体的相似 性．适当放大或缩小几何尺寸，分形的整个结构并 不改变，这就是标度不变性．花菜、海岸线、闪电、 松花蛋或树枝，就具有分形特征．换言之，分形是 局部以某种方式与整体相似的形态．分形可分多种 类型，如简单分形、自仿射分形、多分形、随机分 形、胖分形及复平面上的分形等．描述分形特征的 参数叫分维．分形理论开创了20世纪数学的新阶段， 是刻画混沌运动的直观的几何语言，是更接近于现 实世界的数学．
把非线性和复杂性联系起来，究其原因是复杂 性的根源正在于复杂系统内部各元素之间非线 性的相互作用。
3. 非线性演化方程会出现奇异性和突变性 谷超豪明确指出：从线性到非线性不是一个量 的变化，而是一个质的飞跃。其中最突出的是 确定性的非线性演化方程会出现非周期性，奇 异性和突变性。所有这些现象都是在原有的线 性世界中闻所未闻，见所未见的。
1)、非线性演化规律存在固有的不稳定性
• 大多数人的头脑中所具有的常常是Newton 和Laplace的决定论思想。当初始条件和边 界条件确定之后，那么一切规律将可以精 确预测。 • MIT的Lorentz 既是一个气象学家，又是一个 应用数学家。这两点必然性的交叉产生了 一个革命的火花。因此，他对数值模拟气 象特别感兴趣。 • “蝴蝶效应”（Butterfly Effect）。
电路分析知识点口诀总结
电路分析知识点口诀总结第一章电路基础知识1.1 电路的基本概念电路由电源、负载、连接元件组成，是电子设备工作必备。
1.2 电压、电流、电阻欧姆定律要牢记，U=IR永不忘，串并联电路也别忘。
1.3 电流方向约定俗成顺流不搅，电子自由逆流而行。
1.4 电路拓扑结构串并联有各自特点，复杂电路要分析清。
第二章电路分析方法2.1 调用基尔霍夫定律节点电流法、支路电压法，啥时候用取决于电路布局。
2.2 小信号模型极小信号设称大概值，满足简化电路分析任务。
2.3 非线性电路分析戴维南定理和叠加定理能相助，不要忘。
第三章直流电路分析3.1 直流电路元件特性电流与电压线性关系，电阻等效电路相熟悉。
3.2 直流电路分析方法节点电流法最佳用，支路电压法也可选。
3.3 戴维南定理应用探究电路等效电阻，简单电路有用大家记。
3.4 叠加定理分析非线性电阻方便定，多次线性重要渐渐明。
第四章交流电路分析4.1 交流电路分析概述相位、频率、幅值要记牢，交流电路特别之处。
4.2 交流电路元件特性电感、电容、交流电阻巧相结合，频率影响特性改变参。
4.3 交流电路分析方法相量分析最佳选，频域分析要多加油。
4.4 交流电路的复数表示离散时域总相量，连续频域分频率。
第五章电路中的功率及能量5.1 电路中的功率有源元件发电，负载元件吸收，功率计算必先知。
5.2 交流电路的有功功率电压、电流同相不管怎样，有功功率等于电压与电流的积。
5.3 交流电路的无功功率电压、电流反相太正，有功功率进传出设定。
5.4 电路中的能量电容电感能存能量，电压电流物理量。
第六章电路中的频率响应6.1 电路的频率特性传输函数表示频域，频率响应电路特性。
6.2 电路的频率响应分析通频带宽带频率区间，截止频率临界值。
6.3 电路的频率特性曲线低通、带通、高通曲线善图示，频率响应了然于心。
6.4 负载影响频率响应改变电路负载会影响频率响应，电路设计中要特别考虑。
总结口诀：电路基本概念要牢记，电压电流电阻永不忘。
3D3S非线性手册
非线性分析系统手册
6.4 例题四 拉线塔..................................................................................................... 114 6.5 例题五 双层网壳施工过程分析......................................................................... 123 第七章 常见问题解答...................................................................................................... 132
第六章 工程实例例题......................................................................................................... 86 6.1 例题一 网壳结构的稳定性分析........................................................................... 86 6.2 例题二 复杂框架的稳定性分析........................................................................... 96 6.3 例题三 张弦桁架................................................................................................. 104
第四章 地震时程分析....................................................................................................... 62 4.1 地震波选择............................................................................................................. 62 4.2 计算内容................................................................................................................. 64 4.3 计算结果显示查询................................................................................................. 64
第三章 非线性电路分析基础(1)
f ''(υB ) 2 iC = f (υB ) + f '(υB ) υs + υs 2!
因为
vs
很小，忽略二次方及其以上各项，得
i C ≈ f ( v B ) + f '( v B ) v s
因为
vB为周期性函数，所以在静态工作点（VBB＋v0）处，
f '(vB )均可展开为傅里叶级数：
f (vB )和
定性解释：如果将电流用傅
里叶级数展开，可以发现，它的 频谱中，除包含电压的基频分量 ω 外，还新产生了ω的各次谐波 及直流成分。也就是说，二极管 使电流的波形产生了失真，产生 正弦电压作用于半导体二极管 产生的非正弦周期电流 了新的频率分量。
2、非线性元件的频率变换作用(相乘作用) 、非线性元件的频率变换作用(相乘作用) 设非线性电阻的伏安特性曲线具有抛物线形状 , 即 加有两个正弦电压，即： 且满足：
若函数 i = f (v ) 在静态工作点 V 0 附近的各阶导数都存在， 也可在静态工作点 V0 附近得到泰勒级数：
i = b0 + b (υ V0 ) + b2 (υ V0 ) + b3 (υ V0 ) + 1
2 3
式中各项系数由下式确定：
b 0 = f (V 0 ) = I 0 b1 b2 b3 bn 1 d ni = n! dvn
例如：选取幂级数中的前3项 例如：选取幂级数中的前3
i ≈ b0 + b1(υ V0 ) + b2 (υ V0 )2 + b3 (υ V0 )3
外加两个频率不同的正弦信号
v =V0 +V m cosω1t +V2m cosω2t 1
非线性控制系统设计与性能分析
非线性控制系统设计与性能分析第一章：引言非线性系统是现实世界中的普遍现象，其特点不仅有非线性的关系，而且有时存在不可预测性、不稳定性和多解性等问题。
因此，非线性控制系统设计和分析已成为控制工程领域的热点和难点问题。
非线性控制的理论和方法已逐渐成熟起来，本文将重点讨论非线性控制系统的设计和性能分析方法。
第二章：非线性系统的建模非线性系统建模是非线性控制系统设计和分析的基础。
在本章中，我们将简要介绍非线性系统建模的基本思想和方法，并重点介绍了几种常用的非线性模型：黑箱模型、白箱模型和灰箱模型。
其中，黑箱模型是通过数据分析来建立非线性系统模型，白箱模型是通过物理方程来建立模型，而灰箱模型是将黑箱模型和白箱模型相结合，并采用常微分方程对模型进行优化。
第三章：非线性控制本章将重点介绍非线性控制的几种常见方法：反馈线性化控制、自适应控制、模糊控制和神经网络控制。
其中，反馈线性化控制采用反馈线性化技术，通过将非线性系统转化为线性系统进行控制，实现非线性系统的控制；自适应控制是一种自适应调节器，通过引入基于自适应算法的控制器来实现非线性系统的控制；模糊控制是通过建立模糊控制器，将非线性系统的控制问题转化为模糊推理问题，实现非线性控制；神经网络控制则是通过模拟大脑神经元的方式来建立神经网络模型，实现非线性控制。
第四章：非线性控制系统性能分析非线性控制系统的性能分析是非常重要和必要的。
本章将介绍三种常见的非线性控制系统性能分析方法：Lyapunov函数法、Small Gain定理和Passivity定理。
特别是Lyapunov函数法，它是一种非常重要和强大的方法，可以用于证明控制系统的稳定性和渐进稳定性，并且被广泛应用于非线性控制领域的理论和实践中。
第五章：实例分析本章将通过一个实例来说明非线性控制系统的设计和性能分析方法。
我们将采用反馈线性化控制方法，并通过Lyapunov函数法进行性能分析。
通过实例，我们将深入了解非线性控制系统设计和性能分析的具体步骤和注意事项，以及非线性控制系统的实际应用场景。
建筑结构中的非线性分析技术研究
建筑结构中的非线性分析技术研究第一章：引言建筑结构在承受荷载作用下，会在一定的变形范围内发挥良好的抗震性能。
然而，当荷载达到一定程度时，结构便会失稳并产生非线性效应。
在这种情况下，结构的反应将变得复杂且难以预测，导致结构的损伤甚至崩塌。
因此，对建筑结构进行非线性分析具有重要的意义。
本文将从非线性分析的基本原理出发，介绍建筑结构中的非线性分析技术，并探讨其在工程实践中的应用。
第二章：非线性分析基本原理非线性分析是指在荷载作用下，结构的变形不再是线性的。
在此情况下，结构的应力和变形不再遵循胡克定律，而是按照曲线（非线性）变化。
这种变化会导致结构的刚度和强度发生变化，同时也会影响结构的模态特性。
非线性分析可以分为几何非线性和材料非线性。
几何非线性主要是指结构的变形引起几何参数的变化，如结构的大位移和旋转等；而材料非线性则是指结构材料的弹性模量、抗拉强度、屈服强度等会随荷载大小而发生变化。
由于非线性分析所需的计算复杂度远高于线性分析，因此对于大型建筑结构而言，准确的输入条件和有效的数值计算方法是非常关键的。
第三章：非线性分析方法3.1 等效线性化法等效线性化法（ELA）是一种广泛使用的非线性分析方法，在此方法中，在每个荷载阶段内，将非线性结构等效为一个线性结构。
其基本思想是根据对非线性变形的估计，计算出一个等效线性刚度矩阵和等效线性阻尼矩阵，其具体计算公式如下：K’=(ΔF/ΔU)|U=U0C’=(ΔF/ΔU)|U=U0其中，K’为等效线性刚度矩阵，C’为等效线性阻尼矩阵，ΔF 和ΔU表示在荷载水平变化范围内的力和变形增量，U0和U0分别表示初始位移和相应的速度。
通过这种方法，可以将非线性分析转化为多个线性分析问题的求解。
3.2 非线性弹塑性分析法非线性弹塑性分析法（NEPA）是一种基于材料非线性的分析方法。
在此方法中，假设材料在一定的荷载范围内是弹性的，在超过一定荷载时成为塑性的，并按照一定的本构关系进行计算。
毕业论文-aggase2晶体的非线性光学数值分析[管理资料]
![毕业论文-aggase2晶体的非线性光学数值分析[管理资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/452950325022aaea988f0f82.png)
各专业完整优秀毕业论文设计图纸AgGaSe2晶体的非线性光学数值分析物理与电子信息学院物理学（师范）专业2007级指导老师：摘要：。
根据非线性光学原理，较完整的对AgGaSe2晶体的光学震荡参数进行了数值分析，我们可以知道AgGaSe2晶体属于负单轴晶体,它是一种多功能晶体，它具有非线性光学性质，其非线性光学系数较大，而且能够实现非临界相位匹配，但由于这种晶体的抗激光损伤阈值较低，从而大大的减小了它的二次谐波发生的转换效率。
然后计算得到在一定的泵浦光波长下，AgGaSe2晶体的角度调谐曲线和在温度20℃时AgGaSe2晶体折射率色散关系图、允许失配角、有效长度。
其结果会对AgGaSe2光学参量研究具有一定参考价值。
关键字：AgGaSe2晶体；非线性光学；数据分析AgGaSe2 nonlinear optical crystal of numerical analysisLipinsiPhysical and electronic information college physics Grade 2007Instructor: zengtixianAbstract: According to nonlinear optics,and more complete numerical analysison to shock parameters Crystals of AgGaSe2 ,surely in this essay,AgGaSe2crystal is Negative uniaxial crystal. It is a multi-crystal. It has nonlinear optical properties, its large nonlinear optical coefficient, and to achieve non-critical phase matching, but because the crystals with lower resistance to laser damage threshold, and thus greatly decreasing the Er Ci it harmonic wave conversion efficiency occur.Then calculated the pump modulation in certain wavelengths AgGaSe2 crystals, the Angle of the temperature curve and attune AgGaSe2 crystal refractive index when 20 ℃, allowing dispersion relation graph supporting, effective length lost.the results of optical parameters of AgGaSe2 will have some reference value.Key words:AgGaSe2 crystals Nonlinear optical Data analysis目录摘要 (1)ABSTRACT (1)第一章绪论 (3)非线性光学的发展 (4)1.2AgGaSe2晶体的发展和应用 (4) (5)第二章AgGaSe2结构及物理属性 (5)晶体结构 (5)AgGaSe2AgGaSe物理属性 (8)2常用非线性光学晶体及其主要特性参数 (8)AgGaSe的基本特性参数 (10)2第三章AgGaSe2晶体的非线性光学参数分析 (12)非线性光学基础 (12)二阶非线性光学效应 (13)3.3非线性极化系数 (14)相位匹配及实现方法 (15)相位匹配角 (18) (21) (22)最优位相匹配 (23)参考文献 (24)致谢 (24)第一章绪论非线性光学是一门介于基础与应用之间的学科，随着实验与理论的深入，它几乎在所有的科学领域中都获得广泛的应用。
数学专业的非线性分析
数学专业的非线性分析为了更好地理解和研究数学中的非线性问题，数学专业中有一门重要的学科——非线性分析。
非线性分析是对非线性系统和过程进行深入研究的数学方法和工具集合。
本文将介绍非线性分析的基本概念、方法和应用领域。
一、非线性分析的基本概念非线性分析是研究非线性系统的数学方法，非线性系统指的是输入和输出之间不满足线性关系的系统。
与线性系统不同，非线性系统的性质更加复杂，常常包含了许多非线性现象，如混沌现象、周期解、稳定性等。
非线性分析研究的对象包括非线性微分方程、非线性递推关系、非线性差分方程等。
通过建立相应的数学模型，可以揭示非线性系统的行为规律，并进行定性和定量的分析。
二、非线性分析的方法非线性分析的方法主要包括解析解法和数值解法。
解析解法是通过求解非线性方程或方程组的精确解来研究非线性系统的性质。
常见的方法有变量分离法、积分因子法、积分曲线法等。
这些方法在一些简单的非线性问题中往往可以得到清晰的结论和解析解，但对于复杂的问题往往难以求解。
数值解法是利用计算机进行数值模拟和计算，通过数值实验来研究非线性系统的行为。
常用的数值方法有Euler方法、Runge-Kutta方法、有限差分法等。
通过数值模拟可以获得非线性系统的定性和定量的信息，并绘制相图、吸引子等图像，有助于揭示非线性系统的内在规律。
三、非线性分析的应用领域非线性分析在数学和工程领域有着广泛的应用。
在数学领域，非线性分析是建立数学模型、研究数学问题的重要方法。
例如，在动力系统中，非线性分析可以揭示系统的稳定性、周期解、混沌现象等。
在工程领域，非线性分析对于设计和优化复杂系统具有重要意义。
例如，在电力系统中，非线性分析可以研究系统的稳定性和可靠性，提高系统的抗干扰能力。
在控制系统中，非线性分析可以帮助设计控制器，实现系统的自适应和鲁棒控制。
四、非线性分析所面临的挑战和发展趋势尽管非线性分析在许多领域都取得了令人瞩目的成果，但仍然存在一些挑战和问题。
(非线性光学课件)第三章 二阶非线性光学效应
E3(z) E1(0) tanh K E1(0) z
☆
现在倍频效应的应用已经比较成熟，
如常把Nd:YAG激光器发出的波长1.06mm的红外激光
变换为波长532nm的绿色倍频激光。
14
☆
假设晶体对这两种光都没有吸收， 讨论晶体出射面的倍频光强度和倍频转换效率，
即倍频光功率与入射光功率之比。
分析两种情况研究光学倍频效应： 一种是不消耗基频光的小信号近似情况； 另一种是消耗基频光的高转换效率情况。
☆
P3 ( L) P1(0)
I3 ( L) I1(0)
8 2d 2L2 0c3n2n 2
P1(0) sin c2 k L
S
2
（5）倍频效率正比于基频光的功率密度， 可以通过聚焦基频光的办法来提高倍频效率。
26
实验图
远离相位匹配条件
Input beam
SHG crystal
Output beam
30
d
E3 (z) dz
i
2d
cn
E12 (z)
E1(z) 2 E3(z) 2 E1(0) 2
☆
d
E3(z) / E1(0) dz
K
E1(0) 1
E3(z) / E1(0) 2
两边分离变量，再积分求解，得到（附录3-6）
E3(z) E1(0) tanh K E1(0) z
E1(z) E1(0) 1 tanh2 K E1(0) z E1(0) sech K E1(0) z
☆
可以得到（附录3-3）
E3 (L) 2 E3 (L)E3*(L)
4 2d 2L2
c2n2 2
E1 (0)
4
sin2 k L / 2 k L / 22
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第三章非线性分析在工程结构实际中，常常会遇到许多不符合小变形假设的问题，例如板和壳等薄壁结构在一定载荷作用F，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大，材料微单元会有较大的刚体转动位移。
这时平衡条件应如实地建立在变形后的位形上，以考虑变形对平衡的影响。
同时应变表达式也应包括位移的二次项。
这样，结构的几何形变关系将是非线性的。
这种由于大位移和大转动引起的非线性问题称为几何非线性问题。
在涉及几何非线性问题的有限元方法中，可以采用两种不同的表达格式来建立有限元方程。
一种格式是所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形的完全拉格朗日格式，即在整个分析过程中参考位形保持不变。
而另一种格式中，所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷步增量或时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式就称为更新的拉格朗日格式。
下面将分别具体讨论大变形情况下应变和应力度量，几何非线性有限元方程的建立以及系数矩阵的形成。
在涉及几何非线性问题的有限元方法中，可以采用两种不同的表达格式来建立有限元方程。
一种格式是所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形的完全拉格朗日格式，即在整个分析过程中参考位形保持不变。
而另一种格式中，所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷步增量或时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式就称为更新的拉格朗日格式。
下面将分别具体讨论大变形情况下应变和应力度量，几何非线性有限元方程的建立以及系数矩阵的形成。
第三章非线性分析的数值计算方法3．1概述非线性问题一般包括三类：材料非线性、几何非线性和边界非线性；而在许多实际的结构中，常常是三种非线性问题的融合，因此其解析方法能够得到的解答是十分有限的。
对于非线性问题的求解，可以采用有限元分析的方法，因此非线性方程组的解法也就成为非线性问题有限元分析涉及的基本问题，也就是通常所说的非线性分析的数值计算方法I”。
常用的有Newton—Raphson法(简称N-R)和弧长法。
本文将详细介绍Newton-Raphson法和弧长法，且依据不同的约束方程形式介绍各种不同形式的弧长法并比较其准确性和可靠性，这在非线性分析计算中是非常有意义的。
3．2牛顿一拉夫森法在非线性问题的分析中，常用的一种方法就是Newton—RaphSOIl法，也称为牛顿-拉夫森(Raphson)方法，简称N—R法。
非线性方程组通常可以表示为≯0)=，0)一Q=0 (3．1)其中a是待求的未知量，尸(n)是“的非线胜函数向量，Q是独立于a的已知向量。
如果方程(3 1)式的第n次解已经得到，一般情况下(3．1)式并不能精确的满足，因此为了得到进一步的近似解d(“’，可将≯岛(⋯))表示成在“(”’附近的仅保留线性项的Taylor 展丌式，即≯㈣)；≯㈩+(组∥=。
c。
，且口0+I)=d扣)+△口0j (3．3)其中d纥是切线矩阵，即3．3弧长法对于某些物理意义上不稳定的非线性静态分析，如果仅仅使用牛顿迭代法，正切刚度矩阵可能变为降秩矩阵，从而导致严重的收敛问题，那么就可以激活另外一种迭代方法一弧长法帮助稳定性求解。
存目前的非线陛跟踪方法中，弧长控制类方法是解决极值点问题最主要的方法。
它最初由Riks和Wempner提出，在(N+1)维空间(占，五)中发展延续算法(Continuationmethod)，也就是最早的位移控制弧长法，继而由Crisfield和Ramm4．3论文涉及的ANSYS分析模块[51,52,54,55】本论文中主要使用了ANSYS程序的结构静力分析模块，涉及到几何非线性屈曲分析功能。
ANSYS程序中结构静力分析用来求解外载荷引起的位移、应力、应变和内力。
静力分析分为线性和非线性，线性分析由于能节省计算时间，因此对于单元节点多，形状规则的结构，常常使用线性分析。
非线性分析用于如塑性、蠕变、膨胀、大变形及接触面等方面。
非线性静力分析通常通过逐渐施加载荷完成，以便能获得有较高精度的解。
静力分析还包括屈曲分析，屈曲分析用于确定：(1)结构失稳的载荷(2)在特定的载荷下结构是否稳定这类分析对于确定承载结构的稳定性是很重要的。
在ANSYS中，稳定性分析分为两种：线性(特征值)屈曲和非线性屈曲。
实际上，ANSYS的屈曲分析是大变形分析的一种应用。
(】)结构的非线性结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例变化。
实际上，所有结构本质上是非线性的，只是在对分析影响ted,时常被忽略。
然而，如果认为非线性对结构性质影响到了不可忽略的程度，则需要进行非线陛分析。
ANSYS程序可求解静态和瞬态非线性问题。
非线性静态分析将载荷分解为一系列增量的载荷步，并且在每一载荷步内进行一系列线性逼近以达到甲衡，每次线性逼近需要对方程进行一次求解(也称为平衡迭代)。
因此，非线性静态分析需要用去大量的机时。
在非线性分析中，结构刚度矩阵和载荷量依赖于求解结果，因此是未知的，为解决浚问题，ANSYS程序使用基于Newton-Raphson法的迭代过程，用一系列线性近似值逐渐收敛于实际上的非线性解。
对于静力非线性分析，可采用弧长法来控制收敛。
利用NewtonjRaphson法，刚度矩阵和载荷向量每次迭代都可阱更新。
Newton．Raphson方程如下：[KL{△“}，=仁4弦”l一。
(4．1)其中：[Kl。
是根据第(i—1)次迭代的变形形状得到的刚度矩阵，{△“)，是位移向量增量，{Au}，=扣}，一曲乙，／u}，是当前迭代的位移向量，p 4}是外载荷向量，妒”L足基于(i-1)次迭代位移的Newton-Raphson存储载荷。
每个子步载荷的划分和最大平衡迭代数均可由用户控制，平衡迭代进行到收敛或达到最大迭代数限制为止。
对所有的非线性分析，可根据失衡力(p4KF”I一，)或两次迭代间的位移增量{△“L来检查收敛情况。
在许多非线性静态分析中，载荷必须以增量形式施加以获得精度高的解。
载荷从初始载荷(通常为零)到最终载荷是斜坡变化的。
ANSYS程序具有载荷步自动划分功能，目的在于获得高精度解和收敛解。
用户仅需给定最终载荷以及将采用的最小、最大步长。
在静态和瞬态分析中，ANSYS程序可考虑多种非线性的影响，这些非线性可分为三类：材料、几何和单元非线性。
(2)几何非线性当结构位移显著地改变其刚度时，则被视为几何非线性。
ANSYS程序可解决这几类几何非线性效应：大应变、大变形、应力刚化和旋转软化。
大应变几何非线性解决人的局部变形问题，它可作为结构变形而出现，材料中地应变和转角数量没有假定，程序通过调整反映几何变化地单元形状来解决大应变问题。
大变形表示由于结构变形导致的单元空间方位变化而引起的总结构刚度变化。
这时假定是发生小应变和大转动。
程序利用更新单元方位作为结丰句变形来解决大变形问题。
ANSYS 的大转动和定常剀向刚度能力可用于梁单元和壳单元。
用于大变形分析的另一ANSYS功能是模拟随动载荷，即它总是垂直于结构单元，单元压力用于描述该载荷。
对于大变形和大应变，刚度受位移影响。
因此，需要用迭代法求解刚度变化，并使用Newton．Rphson方法。
弧长法用于解决屈曲或有阶跃可能的静态问题。
ANSYS程序用于结构的应力状态计算刚度矩阵并将其附加于刚度矩阵上，所得到的刚度矩阵用于求解新的位移。
相应地考虑应力刚度的静力分析的控制方程是：(医】+Is眦}={F} (4．2)该分析功能用类似于大变形分析的迭代方法求解。
在其他一些线性问题中，诸如模态、线性瞬态动力和谐波响应分析，ANSYS程序还考虑预应力的影响，这可通过在线性分析中采用预应力模型来完成。
(3)线性屈曲线性屈曲分析考虑了应力刚化效应，这种效应会导致结构在承受应力后抵抗横向载荷能力降低。
当压应力增加时，结构抵抗横向能力减小。
在某一载荷水平下，这种负的应力刚度超过线性结构刚度，造成结构屈曲。
ANSYS程序采用特征值公式进行线性屈曲分析。
这个公式确定了应力刚度矩阵偏离结构刚度矩阵的比例因子(特征值)。
线性屈曲的控制方程是：噼卜五陋*}_0 (4-3)其中：医]是结构刚度矩阵，口]是应力刚度矩阵，置表示比例因子的特征值，如)表示屈曲形状的特征向量。
屈曲发生的点称为分叉点。
由于力．变形曲线达到该点后可能沿两条不同路径前进，所以当超过分叉点时，结构将屈曲或在不稳定状态下承受载荷。
认识到线性屈曲不考虑任何非线性和结构缺陷这一点很重要，这些因素如果出现在真实结构中(在通常情况下正是这样的)，可能会导致屈曲载荷低于分析结果。
线性屈曲分析只能确定结构可承受的并保持稳定的最大载荷。
然而线性屈曲分析是非常有效的，且与非线性屈曲分析相比只需要相对很少的计算时间。
剥于在进行非线性屈曲分析之前研究结构的一般特性或用丁进行学术性的工程研究，线性屈曲分折是很有用的。
(4)非线性屈曲要更精确确定屈曲载荷，应该使用非线性屈曲分析。
非线性屈曲分析基本上是大变形分析的一种应用，ANSYS程序在大变形分析中把弧长法和Newten．Raphson法结合起来修正结构单元的方位。
Newton．Raphson增量法的平衡迭代公式表示如下：瞰Lml=㈣一护“L (4—4)其中：缸)，=缸L+{△“}，，{Au}。
是位移向量的增量，缸{，是当6“迭代的位移向量，第40伊)是外载荷向量，{F“j一，是根据第(i一1)次迭代的位移得到的弹性力向量。
ANSYS程序在迭代过程中通过控制以进行非线性屈益分析。
通常在大变形分析中，当结构收敛于稳定状态时平衡迭代闾的位移变化会减小。
如果结构载荷超过它的稳定极限，迭代过程中将增大(即解发散)，极限(屈曲)载荷是解开始发散时的载荷。
在非线性屈曲分析中得出的极限载荷通常比线性屈曲分析确定的分叉点低，这是由于非线性屈监能考虑真实结构中存在的初始缺陷以及几何和材料的各种非线性。
非线性屈曲的第二个应用是后屈曲分析。
许多结构在结构屈曲后继续加载将达到第二稳定状态。
如果允许迭代过程在达到或超过极限载荷时继续进行，直到该问题收敛，可确定第二稳定结构。
在极限载荷和后屈曲非线性屈曲分析中，都采用弧长法。
当单独使用增量Newton-Raphson法时，刚度矩阵可能会变成奇异矩阵，并控制收敛性。