小波变换

1.2 背景知识及研究现状

1.2.1 小波变换

数学界和工业界在共同研究数据表示技术的过程中所发展起来的小波分析技术[1],摈弃了传统Fourier 分析所必须的前提假设——平稳性，成为分析非平稳信号的有力工具。它的出现导致了我们从新的视角去研究信号压缩、噪声滤波等信号处理问题：一方面，由于小波基的紧支性和小波分解的多尺度结构，非线性小波逼近实质上等价于一个自适应的网格逼近，网格的分辨率在信号奇异点的邻域内被适当加细了；另一方面，由于小波基的无条件基特性，使它成为一大类信号的非线性逼近的最优基，许多信号在小波基的表示下，都可以获得稀疏的表示式。小波分析是传统傅里叶分析发展史上的里程碑，在许多使用传统傅里叶分析的地方，均可用小波分析所取代。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，已经成为图像处理应用中的一个新的研究热点[2]。

小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar 提出Haar 规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的L-P 理论。1984年法国地球物理学家Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。L. Carleron 使用了非常象“小波”的函数构造了Stein 和Weiss 的空间1H 的无条件基。直到1986年，法国数学家Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，它的二进伸缩与平移()(){}

Z k j k t t j j k j ∈-=--,:222/,ψψ构成()R L 2的规范正交基。Lemarie 和Battle 继Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1988年Daubechies 构造了具有紧支集的正交小波基。Coifman, Meyer 等人在1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年A Cohen, I Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。

1987年，Mallat 将计算机视觉领域内多尺度分析的思想引入信号处理领域，并利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat 快速小波分解和重构算法，并将它用于图像分解和压缩重构。所谓Mallat 塔式快速小波变换算法，就是将一幅图像经过二维小波变换分解为一系列不同尺度(频率)、方向、空间局部变化的子带图像。一幅图像经过一次小波变换后产生4个子带图像：LL 表示原图像的最佳逼近，反映了原图的基本特性；HL 、LH 和HH 分别表示水平高频分量、垂直高频分量和对角线高频分量，反映图像信号水平方向、垂直方向与对角线方向边缘、轮廓和纹理。其中，LL 子带集中了图像的大部分能量，以后的小波变换都是针对上一级变换产生的低频子带(LL)再进行小波变换, 下标表示不同分辨率。图1-1是三级小波变换示意图,图1-2是分别对二幅图像进行两级和三级小波变换后的图像。由图1-2可以看出每一级的LL 部分集中了大部分能量，能粗略显示出原图像的概貌。

图1-1 三级小波变换示意图

Fig 1-1 The three scale wavelet transform diagram

b) 三级小波变换

图1-2 进行小波变换后的图像

Fig 1-2 The images with wavelet transform

图像经小波分解后，可以得到不同分辩率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的，高频子图像上大部分点的数值都接近于零，越是高频这种对应现象越明显。Lena图像4级分解后的小波系数的统计见表1-1所示，图1-3 是第1级小波分解后的小波系数分布图。

表1-1 Lena小波系数统计分析

从表1-1可以看出，小波系数能量的97%以上集中在最高分解级的最低频带，而且小波系数的范围比其它子图像小波系数更宽，均值和方差比其它子图像更大，这说明最高分解最低频子带的小波系数具有更重要的要位。图1-3是Lena 图像经过小波一次分解后各个子带系数的灰度直方图，从图可以看出，各个高频子带的数据统计分布非常相似，基本符合拉普拉斯分步。

图像经过小波变换后能获得很好的空间—频率多分辨率表示,有以下一些主要特性：1)不仅保持了原图像空间特性，而且能很好地提取出图像的高频信息，在低频处有很好的频率特性，在高频处有很好的空间选择性；2)小波分量具有方向选择性，分为水平、垂直和斜方向，这些特性都和人的视觉特性相吻合；3)能量主要集中在低频子图像，各层的低通直流分量相等，各带通分量均为零；4)低频子图像具有很强的相关性,水平子图像在水平方向相关系数大,而垂直方向小;垂直子图像在水平方向相关系数小,而垂直方向大;斜方向子图像在水平和垂直方向相关系数都小。

图1-3 LL1,LH1,HL1,HH1的小波系数分布图

Fig 1-3 Distributive diagram of wavelet coefficients in LL1,LH1,HL1,HH1

subbands

正是由于小波分析具有以上这些优点，基于小波变换的图像应用研究取得许多成果，在图像压缩方面，小波编码取得了很大的成功，这些算法都是使用了不同的小波系数组织方法与利用了小波系数所具有的统计特性。各种类型的小波图像编码器相继提出，下面是6种性能卓著的小波图像编码器[4-8]:EZW编码器，SPIHT编码器, 集合分裂嵌入块编码（SPECK）, 可逆嵌入小波压缩算法（CREW）,

小波数据形态表示图像编码(MRWD)和EBCOT编码器。这些成果正逐步标准化，汇集成拟订中的工业标准——JPEG2000。在活动图像MPEG4标准制定中，基于小波变换的压缩编码也是一个优选方案。

此外，在边缘检测，图像分割，图像恢复，图像去噪，图像分类与识别，图像检索方面，图像增强，图像融合等数字图像处理中[9-18]，小波技术也同样受到广泛关注，并取得相当的成果。它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的，具有许多特殊的性能和优点。总之，正是由于它在图像处理领域中所获得的大量成功的应用表明小波技术图像处理是非常有前途的研究领域。基于这个原因，我们用它作为一种强有力的数学工具来解决本课题中研究的实际问题。