第八章 平面解析几何8-2圆的方程
（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2
江西三校生单招对口升学数学总复习资料第八章平面解析几何
直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
2.直线与圆的位置关系的判断方法
（1）（代数法）可将直线与圆的方程组成方程组消元转化成一元二次方
程组，利用判别式Δ与实数0的大小来判断：
①当Δ＞0时，直线与圆相交；
②当Δ＝0时，直线与圆相切；
③当Δ＜0时，直线与圆相离.
知识清单
知识点二 直线与圆的位置关系
巩固练习
基础实战
巩固练习
提升进阶
§第二节 圆
知识清单
知识点一 圆的方程
1.圆的方程
圆的方程如表8-3所示.
知识清单
知识点一 圆的方程
2.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系的常见方法有以下两种：
（1）几何法：比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系.
> ⟺点在圆内；
= ⟺点在圆上；
第八章
平面解析几何
考纲要求
1.
掌握两点间的距离公式及中点公式.
2. 理解直线斜率的概念，会求直线的斜率和方程，能运用直线方
程解决有关问题.
3. 理解两条直线平行与垂直的条件，会根据直线方程求点到直线
的距离.
4. 掌握圆的标准方程和一般方程，理解直线与圆的位置关系.
5. 了解双曲线、抛物线的概念及其标准方程和性质，理解椭圆的
§第三节 椭圆
知识清单
知识点一 曲线与方程
1.曲线和方程的关系
在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）
上的点与一个二元方程 , = 0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
202新数学复习第八章平面解析几何8.2直线的交点与距离公式学案含解析
第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1。
高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离．2．常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目．3．题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式．（2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．思考辨析判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”)(1）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交．(×)（2）点P（x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为错误!。
（×）(3）直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√）(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(√）（5）若点A，B关于直线l：y＝kx＋b（k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．(√)解析：（1）当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合．（2）应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为错误!.(3）因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．（4）两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离．（5）根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．2．小题热身(1）已知直线（k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2（k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(C)A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2（2）直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直,则a的值为（D)A．－3 B．－错误!C．2 D．3(3）直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a 的值为错误!。
高等数学第八章解析几何(数学第八章平面解析几何)
高等数学第八章解析几何（数学第八章平面解析几何）
双曲线的定义：
2.双曲线的标准方程
双曲线与椭圆的比较
以F1,F2所在直线为某轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系某Oy，此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）设
P（某,y）是双曲线上一点，则，(，PF1，-，PF2，)，=2a,因为，PF1，
=√(〖(某c)〗^2y^2),，PF_2，=√(〖(某-c)〗^2y^2),所以√(〖(某c)〗^2y^2)-√((某-c)^2y^2)=±2a①
且②与①右边同时取正号或负号，①②整理得
将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 某^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因
为c>a>0，所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为某
^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0，b>0) 求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准
方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法
求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在某轴和y轴上两种情况讨论
求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为m某
² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
(2)等轴双曲线：是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是
y=±某,离心率为√2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为
虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线
私信我领取全套免费学习资料,。
2016届高三数学一轮总复习课件：第八章 平面解析几何8-2
答案 0,1,2
第十五页，编辑于星期五：二十点 十三分。
知识点三
三种距离公式
5.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
第三页，编辑于星期五：二十点 十三分。
备考知考情 本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一 是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间 的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心 对称、轴对称等常见的题目，但大都以客观题出现.
第四页，编辑于星期五：二十点 十三分。
第三十四页，编辑于星期五：二十点 十三分。
变式思考 2 设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实 数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
第三十五页，编辑于星期五：二十点 十三分。
证明 (1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝ k2，代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0，
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
第五页，编辑于星期五：二十点 十三分。
知识梳理
知识点一
两条直线平行与垂直的判定
1.两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别 为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存 在时，l1与l2平行 ．
与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝ 0(m≠C)．
(2)当直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3
2019人教A版 高中数学知识点梳理 ---- 第八章 解析几何(直线、圆、圆锥曲线)
第八章 解析几何【知识网络】【知识点梳理】 一、直线和圆1．倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为_________. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是 .斜率：（1）倾斜角α=90°时，斜率__________；α≠90°时，斜率k =tanα .（2）在右侧作出简图：正切函数k =tanα,α∈[0,π2)∪(π2,π) 此函数的增区间为___________________（3）直线的方向向量坐标：若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线P 1P 2的方向向量P 1P 2→的坐标为________________. 若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝ ，特别地，(1， )是l 的一个方向向量. 故斜率k =y 2−y 1x 2−x 1(x 1≠x 2).2. 斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围) α＝0°斜率(范围)k ＝0例1． 直线（a +1）x −y +1=0的倾斜角的范围为_______________ 3．直线五种方程：名称 方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式 (x 0，y 0)是直线上一定点，k 为斜率斜截式k 为_____，b 是直线的_______“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．（2）求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解；例2．过点()4,3−，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_______________ 4．两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x ＋b 1 ,l 2：y=k 2x ＋b 2,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2，且b 1≠b 2； l 1⊥l 2⇔______________ ②若l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0,则l 1⊥l 2⇔_______________； 两直线平行，⇔____________________③与l ：Ax ＋By ＋C=0平行的直线可设为________________,垂直的直线可设为___________________例3．已知两条直线(3)453,2(5)8m x y m x m y ++=−++=，当两条直线平行时______________________;当两条直线相交时______________________ 当两条直线垂直时______________________5．距离问题：已知1122(,),(,)A x y B x y ，AB =__________________，,A B 中点的坐标________ l:Ax +By +C =0，则A 到l 的距离为_________________ 两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝_______________. 6．对称性问题：点（a ,b ）关于直线Ax ＋By ＋C ＝0对称点问题：如：点（1，2）关于直线x ＋3y ＋1＝0对称点为_____________ 【对称常用结论】(1)点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为_____________，关于直线y ＝－x 的对称点为_____________. (2)点(x 0，y 0)关于直线x ＝a 的对称点为_____________，关于直线y ＝b 的对称点为_____________. (3)点(x 0，y 0)关于点(a ，b)的对称点为_____________. (4)点(x 0，y 0)关于直线y =x +m 的对称点是______________ (5)点(x 0，y 0)关于直线y =−x +m 的对称点是______________ 7．常见直线系方程：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系方程：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________. (3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________.(4)过两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：_________________________.8.圆的方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)圆的标准方程：我们把方程____________________称为圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程.当a ＝b ＝0时，方程为___________________，表示以原点O 为圆心，r 为半径的圆.(3)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方得到：______________________________.①当____________________时，该方程表示以______________为圆心，_______________为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程.②当________________ 时，该方程表示_______________________； ③当_________________时，该方程不表示任何图形.注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；（4）已知A （11,y x ）B （22,y x ）以AB 为直径的圆的方程是_________________________________ （5）圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为（三角换元）：{x =___________________y =___________________；例4．（1）052422=+−++m y mx y x 表示圆的充要条件是（2）对于任意实数k ，方程222(2)20x y kx k y k +++−−=所表示的曲线恒过两定点，则这两定点的坐标9. 点与圆的位置关系已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2.位置关系 d 与r 的大小关系图示 点P 的坐标特点 点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2点在圆上点在圆内10. 直线与圆的位置关系:设圆的半径为r (r >0)，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离相切1 d ＝r两组相同 实数解相交例5．(1)若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系___________(2)求过原点且与圆22(1)(2)1x y −+−=相切的直线方程________________________ 例6．(1)已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r的取值范围是______________________11. 圆与圆的位置关系位置 关系 图示(R >r )公共点 个数 几何特征(O 1O 2＝d )两个圆的方程组成的方程组的解外离外切1 d ＝R ＋r两组相同 实数解 相交两组不同 实数解 内切两组相同 实数解 内含例7．集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是___________ .12.相交弦直线方程：把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋C 1=0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程_____________________________________；过两曲线交点的曲线系方程为f 1（x,y)＋λf 2(x,y)=0例8．两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y −+−=相交于,A B 两点，直线AB 方程__________________.13.圆上动点到某条直线（或某点）的距离的最大、最小值的求法（过圆心）例9．已知圆：，过圆外一点作圆的切线（为切点），当点在直线上运动时，则四边形P AOB 的面积的最小值为 ．O 922=+y x P PB PA ,B A ,P 0102=+−y x14. 【常用结论】与切线、切点弦有关结论:二、圆锥曲线 （一）椭圆：1、椭圆的定义：平面内到定点21,F F 的_________________为定值（定值______||21F F ）的点的轨迹。
高职单招数学复习第八章-平面解析几何
更为广泛,它可以使定性的问题直观化.在解题时要注意这一点.
【同步训练】
一、选择题
1.下列各点中,不在直线2x-y+3=0上的点是(
A.(-1,1)
B.(-2,-1)
C.(-5,-7)
【答案】D
)
D.(-3,3)
2.直线3x-2y+6=0不经过
(-2,0),则 k=
(
)
A.-3
B.3
C.-
D.
【答案】A
6.若直线 l 过点( ,-3),且倾斜角为 30° ,则直线 l 的方程为 (
A.y= x-4
B.y= x+2
C.y= x-6
D.y= x+4
【答案】A
)
3
7.过点(2,3)且斜率为 的直线方程是
(
4
.
x2 x1
2.直线的方程
(1)直线方程一览表
名称
已知条件
直线l上一点P(x0,y0)
点斜式
斜率k
斜截式
直线的斜率k
直线在y轴上的截距b
直线在x轴上的截距a
截距式
直线在y轴上的截距b
一般式
直线方程
说明
y-y0=k(x-x0)
不能表示平行于
y轴的直线(即斜
率不存在)
y=kx+b
不能表示平行于
y轴的直线(即斜
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
(
)
3.若直线经过点A(3,2)和点B(0,-1)，则直线的斜率为(
第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何直线的方程一、知识要点1、倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0.斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
2、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=tan 1212x x y y --=α 若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900.理解直线的倾斜角和直线的斜率的概念;掌握过两点的直线的斜率公式;掌握已知一点和斜率导出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式;能灵活运用条件求出直线的方程. 三、基本训练1、已知三点A （3，1）B （－2，K ）C （8，11）共线，则K 的取值是（ ） A 、－6 B 、－7 C 、－8 D 、－92、设,2παπ<<则直线y ＝xcos α＋m 的倾斜角的取值范围是（ ）A 、(,2ππ) B 、)43,2(ππ C 、)43,4(ππ ),43(ππ3、已知A （－2，3）B （3，0），直线L 过O （0，0）且与线段AB 相交，则直线L 的斜率的取值范围是（ ）A 、－23≤K ≤0 B 、K ≤－23或K ≥0 C 、K ≤0或K ≥23 D 、0≤K ≤234、a 为非零实数，直线（a ＋2）x ＋(1－a)y －3＝0恒过 点。
5、过点M （1，2）的直线L 将圆（x －2）2+y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，L 的方程为____。
6、与两坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线方程为____。
四、例题分析：例1.一条直线经过P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程。
（1）倾斜角是直线x －4y+3=0的倾斜角的2倍 （2）夹在两坐标间的线段被P 分成1：2例2.在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y+1=0，∠A 的平分线所在直线方程为y=0，若点B 的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标。
2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】 由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】 由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－ －aa22＋ ＋05－ －bb22＝ ＝rr22， ， 2a－7b＋8＝0，
高考数学一轮复习第八章解析几何2圆的方程课件新人教A版2
考点2
解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 u=- 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)
的斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离
|-|
2 +2
= √2,
即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b 时取等号.
≥2√2,所以|AB|的最小值为 2√2,
√2
a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0.
2
2
又|AB|=√2 + 2 =
此时 a=b,即
-21考点1
(x-1)2+(y-1)2=13
.
解析 以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得
(x-1)2+(y-1)2=13.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标
x2+y2-2x-4y+4=0
为 (1,2)
;圆C的一般方程是
.
解析 已知圆 x2+y2+2x=0 的圆心坐标是(-1,0),半径是 1.
设圆 C 的圆心为(a,b),则有
= 1,
+1
-1
+
圆的方程
考源教学资源网
第22页
返回导航
第八章
第三节
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
(2)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心为抛物线 y2＝4x 的焦点， 且与直线 3x＋4y＋2＝0 相切，则该圆的方程为( 64 A．(x－1) ＋y ＝ 25
2 2
2 a＜ . 3
答案 D
考源教学资源网
第12页
返回导航
第八章
第三节
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取 值范围是( ) B．0＜a＜1 D．a＝± 1
A．－1＜a＜1 C．a＞1 或 a＜－1
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
第八章 平面解析几何
考源教学资源网
第1页
返回导航
第八章
平面解析几何
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
第三节 ►►圆的方程
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
考源教学资源网
答案 (1)A (2)C
考源教学资源网
第24页
返回导航
第八章
第三节
名师一号高考总复习模块新课标
新课标A版数学
题型二 【例 2】
与圆有关的最值问题
(1)(2013· 重庆卷)已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A．5 2－4 C．6－2 2 B. 17－1 D. 17 )
2022版高考一轮总复习数学(文)模拟演练 第8章 平面解析几何 8-2 Word版含答案
(时间：40分钟)1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直，故选C.2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．1 D ．－1或3 答案 B解析 由l 1∥l 2，得－1a ＝－a －23，解得a ＝3或a ＝－1，验证当a ＝3时，l 1，l 2的方程分别为x ＋3y ＋6＝0，x ＋3y ＋6＝0，l 1与l 2重合．∴a ＝－1，故选B.3．直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0相互垂直，则k ＝( ) A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1 D ．－1或3 答案 C解析 若1－k ＝0，即k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25，明显两直线垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝kk －1，k 2＝1－k 2k ＋3.由k 1k 2＝－1，得k ＝－3.综上k ＝1或k ＝－3，故选C. 4．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0)C ．(2,3)D ．(9，－4) 答案 D解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)·m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D.5．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 B解析 依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1.化简得8m 2＋44m －24＝0，所以2m 2＋11m －6＝0.所以m ＝12或m ＝－6，故选B.6．两条平行直线l 1：3x ＋4y －4＝0与l 2：ax ＋8y ＋2＝0之间的距离是________．答案 1解析 由直线l 1：3x ＋4y －4＝0与l 2：ax ＋8y ＋2＝0平行，可得a ＝6，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0，两直线间的距离d ＝|c 1－c 2|A 2＋B 2＝|－4－1|32＋42＝1. 7．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________． 答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝2－02＋1＋32＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.8．已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________． 答案 4 2解析 由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y的最小值为4 2.9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(冲突)，∴此种状况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )．∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. (时间：20分钟)11．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 答案 B解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， ∴k AB ＝2－－13－a＝1，解得a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.12．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 由于36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ | 的最小值为2910. 13．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.14．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-2
A
版
第8章
第二节
高考数学总复习
解析：设圆心坐标为(a,0)，则有：(a－5)2＋12＝(a－ 1)2＋32 解得：a＝2 半径 r＝ 2－5 ＋1 ＝ 10
2 2
人 教
故圆的方程为(x－2) ＋y ＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
2
2
A
版
第8章
第二节
高考数学总复习
点与圆的位置关系
人 教
A
版
第8章
第二节
高考数学总复习
④圆与直线 l 相切，则(一)d＝r；(二)Δ＝0.应特别注 意圆与直线 l 相切于点 P 的含义． ⑤圆 C 截直线 l 得弦 AB， 则半弦 ＋弦心距 ＝半径
2 2 2
人 教
A
.版Βιβλιοθήκη 第8章第二节高考数学总复习
(2011· 辽宁文，13)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两 点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为________．
第8章 第二节
高考数学总复习
误区警示 1．解决有关轨迹问题时，要注意所求得轨迹方程表 示的曲线上的点是否都是满足题设要求的轨迹上的点． 2．与圆有关的最值问题，要特别注意是整个圆周上 的点，还是一段圆弧上的点． 3．确定圆的方程必须有三个独立条件，解题时要注 意通过分析找足条件，列出相应的方程．
人 教
高考数学总复习
解析： 设圆上任一点为 Q(x0， 0)， 的中点为 M(x， y PQ x＝4＋x0 2 y)，则 －2＋y0 y＝ 2
x ＝2x－4 0 ，解得 y0＝2y＋2
，因为点 Q 在
人 教
A
版
圆 x2＋y2＝4 上，所以 x2＋y2＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2 0 0 ＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重点难点 重点：圆的方程、点与圆的位置关系 难点：垂径定理的应用、圆的方程求法． 知识归纳 1．圆的方程 (1)圆的标准方程：圆心(a，b)，半径为r的 圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋
D E 1 2 E －4F>0，圆心(－ ，－ )，半径r＝ D ＋E2－4F)． 2 2 2
解析：∵圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的标准 方程为：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，即此圆是 一个以点O(－1,2)为圆心，以R＝13为半径 的圆． ∵|OA|＝12，而R＝13，经过A点且垂直于 OA的弦是经过A点的最短的弦，∴其长度为 2 ＝10；而经过A点的最长的弦为圆 的直径2R＝26；
(理)(09·上海)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上 任一点连线的中点轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，则x02＋y02＝4， 又设P、Q连线中点为M(x，y)，
[例4] (09·全国Ⅱ)已知AC、BD为圆O：x2 ＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为 M(1， )，则四边形ABCD的面积的最大值 为________． 分析：由于AC⊥BD，所以四边形的面积为 |AC|·|BD|，又AC与BD交于点M，故只要将 |AC|、|BD|利用垂径定理转化为弦心距，可 建立其联系．
解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分 别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12＋d22＝|OM|2 ＝3. ∴|AC|＝2 4－d12，|BD|＝2 4－d22， 1 ∴S四边形ABCD＝2|AC|· |BD| ＝2 4－d12 · 4－d22 ≤(4－d12)＋(4－d22)＝8－(d12＋ 6 d2 )＝5，等号在d1＝d2＝ 时成立，即四边形ABCD的面 2
2
积的最大值为5.
答案：5
(2010· 全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的 → PB → 两条切线，A、B为两切点，那么PA· 的最小值为( A．－4＋ 2 C．－4＋2 2 B．－3＋ 2 D．－3＋2 2 )
解析：如图所示：设PA＝PB＝x(x>0)，∠APO＝α， 1 则∠APB＝2α，PO＝ 1＋x ，sinα＝ 2， 1＋x
3．已知点P(x，y)为圆上动点 (1)形如 的最值转化为动直线的斜率 求解，一般在相切位置取最值． (2)形如ax＋by的最值，一般设u＝ax＋by， 转化为动直线的截距问题．用判别式法求解， 或在相切位置取最值． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值转化为动点 到定点的距离问题或设(x－a)2＋(y－b)2＝k2， 转化为两圆有公共点时，k的取值范围问 题．
(文)(09·辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－ y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则 圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：由圆心在直线x＋y＝0上．不妨设为C(a，－ a)． |a－－a| |a－－a－4| ∴r＝ ＝ . 2 2 解得a＝1，r＝ 2. ∴⊙C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上 C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
c 1 解析：∵e＝ ＝ ，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2. a 2 b 2 2c 2 2 ∴x1 ＋x2 ＝(x1＋x2) －2x1x2＝－ ＋
2
a
a
3c2 7 ＝ 2＋1＝ <2. 4c 4 ∴点P(x1，x2)在圆内．故选A.
分析：直线过点A，可设出点斜式方程与圆 方程联立，由韦达定理可得出B、C坐标关 系，设P(x，y)，可由A、B、C、P共线得 kAP＝kBC，消去斜率k可得轨迹方程，注意k 不存在情形．
解析：设割线的方程为y＝k(x－4)，再设BC中点的 y 1 坐标为(x，y)，则 ＝－ ， x k 代入y＝k(x－4)消去k得，(x－2)2＋y2＝4. 画出图形易知轨迹应是在已知圆内的部分，且x的取 值范围是0≤x<1.故选D.
[例1] (2010·新课标全国)过点A(4,1)的圆C 与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为________． 分析：⊙C与直线相切于B，∴CB为圆的半 径，且CB与直线垂直，又⊙C过点A，∴AC 也等于圆的半径，而圆心C(a，b)中含两个 未知数，故建立a、b的两个方程即可获解．
答案：D
(文)由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、 PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则 动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝3 C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝1 解析：由题设知，在Rt△OPA中，OP为圆 半径OA的2倍，即OP＝2，∴点P的轨迹方 程为x2＋y2＝4.选A. 答案：A
误区警示 1．解决有关轨迹问题时，要注意所求得轨 迹方程表示的曲线上的点是否都是满足题设 要求的轨迹上的点． 2．与圆有关的最值问题，要特别注意是整 个圆周上的点，还是一段圆弧上的点．
在解决与圆有关的最值问题时，主要借助圆 的几何性质，用数形结合的方法求解． 1．圆上点到定点P的距离的最大(小)值：连 结圆心C与P交圆于两点为最大(小)值点． (1)点P在⊙C内，过点P的⊙C的弦中，最长 的为EF(过圆心)，最短的为AB(AB⊥EF)， 在⊙C上所有点中，点E到点P距离最小，点 F到点P距离最大．
2．求圆的方程时，常常要将所给条件恰当 翻译，用数学语言加以表达．如 ①圆过点A，则点A的坐标代入圆的方程一 定成立． ②圆过两点A、B，则线段AB的中垂线过圆 心． ③圆心在直线l上，(一)可设出圆心坐标； (二)可考虑圆心是否在另一条直线l′上，由l 与l′方程联立求圆心． ④圆与直线l相切，则(一)d＝r；(二)Δ＝0.应 特别注意圆与直线l相切于点P的含义． ⑤圆C截直线l得弦AB，则半弦2＋弦心距2＝
答案：D
2－1.
x4－x2 点评：对y＝ 2 求最小值，还可用基本不等式， x ＋1 t－1t－2 2 令x ＋1＝t，则t>1，x ＝t－1，∴y＝ ＝t＋ t － t
2 2
2 3≥2 2－3.等号在t＝ ，即t＝ 2 时成立，∴x＝ t 时ymin＝2 2－3.
2－1
[例5] 过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－ 164＝0的弦，其中弦长为整数的弦共有 ( ) A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 分析：验证可知，点A在圆内，过圆内一点 的直线与圆相交最长弦为圆的直径，最短弦 为与经过该点的直径垂直的弦，由弦长为整 数，故可找此二值之间的整数，看有多少个， 即可知弦的条数，特别注意，介于最大值与
答案：B
(理)(09·重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过 点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：点(1,2)到y轴距离为1，又圆心在y轴 上，且过点(1,2)，∴圆心为(0,2)． 答案：A
2x＝x ＋4 0 则 2y＝y0－2 x ＝2x－4 0 ，∴ y0＝2y＋2
，
代入x02＋y02＝4中得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
答案：A 点评：求动点M的轨迹方程时，设M(x，y)， 然后结合已知条件找x、y满足的关系式．如 果点M的运动依赖于点A的运动，而点A在已 知曲线C上，这时将A的坐标用x、y表示， 代入C的方程，即得M点的轨迹方程.
解析：设圆心C(a，b)，由题意可得 a－42＋b－12＝ a－22＋b－12 b－1 a－2＝－1
a＝3， 解之得 b＝0，
，
∴r＝ 2 ，∴圆方程为：(x－3)2＋y2
＝2.
答案：(x－3)2＋y2＝2
点评：1.(1)本题中|CA|，|CB|，C到直线的距离都等 于圆的半径，故还可列等式 |a－b－1| ， 2 (2)A，B都在圆上，故AB的中垂线过圆心，据此可将 圆心用一个未知数表示，再结合圆心与切点连线与切线 垂直即可获解． a－42＋b－12 ＝
答案：C
[例3]
已知圆x2＋y2＝4，过点A(4,0)作圆的割线 )
ABC，则弦BC中点的轨迹方程为( A．(x－1) ＋y ＝4
2 2
1 －1≤x< 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．(x－1)2＋y2＝4 (0≤x<1) C．(x－2) ＋y ＝4
2 2
1 －1≤x< 2
D．(x－2)2＋y2＝4 (0≤x<1)
答案：D
x2 y2 (理)双曲线 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾 a b 斜角为60° ，直线ax＋by－a＋1＝0平分圆C：(x－2)2＋(y － 3)2＝1，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( A．P在⊙C内 B．P在⊙C上 C．P在⊙C外 D．无法确定 )
b ＝tan60° 解析：由条件得，a 2a＋ 3b－a＋1＝0， 1 a＝－4 解之得 b＝－ 3， 4 1 3 2 ∵(－4－2) ＋(－ 4 － 3)2>1，∴点P在⊙C外．
2
x2x2－1 → PB → |PB → ∴PA · ＝|PA |·→ |cos2α＝x2(1－2sin2α)＝ 2 ＝ x ＋1 x4－x2 x4－x2 → PB → ，令 PA · ＝y，则y＝ 2 ，即x4－(1＋y)x2－y＝ x2＋1 x ＋1 0，