高考数学总复习32一元二次不等式及其解法

③当a=0或a=1时,a=a2, 原不等式变形为(x-a)2<0不成立. 综上,当a<0或a>1时, 原不等式的解集为{x|a<x<a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当a=0或a=1时,原不等式的解集为.
名师技法·练智力
技法一
利用函数思想处理不等式问题
【典例1】 对于满足0≤p≤4的所有实数p,不等式 x2+px>4x+p-3恒成立,求x的取值范围.
4.讨论形如ax2+bx+c>0的不等式恒成立问题,必须对a=0或
a≠0分类讨论,避免产生漏解.
【典例3】 已知不等式mx2-2x+m-2<0. (1)若对于所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值
范围. [分析] (1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图象求解
解得 m 1 2,
综上可知m的范围是(-∞,1- )2.
(2)设g(m)=(x2+1)m-2x-2,它是一个以m为自变量的一次函 数,由x2+1>0知g(m)在[-2,2]上为增函数,则由题意只需 g(2)<0即可,
即2x2+2-2x-2<0,解得0<x<1. 即x的取值范围是(0,1). [反思感悟] 对于含参数的不等式恒成立问题,若参数的次
数是一次且易于分离时,可以变换主元,借助于一次函数的 单调性求解.
类型四 一元二次不等式的实际应用 解题准备:不等式解法的应用主要体现在两个方面:一是不等
式作为一种重要的数学工具在函数和方程中的应用;二是 通过建立不等式模型,解决生活中的实际问题.本类问题解 决时,注意等价转化和函数方程思想的应用.
;(2)看作关于m的一次函数,利用其单调性求解.
[解] (1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-2<0恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方.
当m=0时,-2x-2<0,显然对任意x不能恒成立; 当m≠0时,由二次函数的图象可知有
m0
4 4m(m 2) 0,
3.含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考 虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易因式分解,则可对 判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.若二次项系数为参 数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系 数不为零时的情形,以便确定解集的形式.然后对方程的根 进行讨论,比较大小,以便写出解集.
第三十二讲 一元二次不等式及其解法
名师指导·练基础
回归课本 1.一元二次不等式的定义 只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做 一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集如下表
3.分式不等式与一元二次不等式的关系
设a b,
x a 0等价于x a x b 0;
xb
x a 0等价于x a x b 0;
x2 4x 3
x2 1 0,
0,
x
3或x
1.
技法二
数轴标根法
【典例2】不等式
x2 x2
3x 2x
2 3
的0 解集是(
)
A.(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,+∞)
B.(-1,1)∪(2,3)
C.(-1,1)∪(1,2)
D.(1,2)∪(2,3)
[解析]原不等式为 (x 1)(x 2) 0等价于:
解析:由Δ 1<0即a2-4(-a)<0得-4<a<0; 由Δ 2≥0即a2-4(3-a)≥0得a≤-6或a≥2. 答案:(-4,0) (-∞,-6]∪[2,+∞)
名师讲解·练思维
类型一
一元二次不等式的解法
解题准备:解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即
ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0).
a a2 16
x1,2
2
,
所以不等式的解集为
x | x a
a2 16 或x a 2
a2 2
16
.
[剖析] 本题忽略对判别式的讨论是导致错误的主因. [正解] 因为Δ =a2-16, (1)当Δ <0,即-4<a<4时,解集为R; (2)Δ =0,即a=±4. ①a=4时,解集为{x|x≠-2}, ②a=-4时,解集为{x|x≠2}.
(2)计算相应的判别式.
(3)当Δ ≥0时,求出相应的一元二次方程的根.
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.
【典例1】 解下列不等式: (1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. [分析] 首先将二次项系数转化为正数,再看二次三项式能
否因式分解,若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于 号取中间,若不能,则再看“Δ ”,利用求根公式求解方程 的根,而后写出解集.
[解]1 42 4 2 3 16 24 8 0.
方程2x2 4x 3 0没有实根.
2x2 4x 3 0的解集为.
2原不等式等价于3x2 2x 8≥0
x 23x 4≥0 x≤ 2或x≥ 4 .
3
不等式的解集为
(,
2]
4 3
,
.
3原不等式等价于16x2 8x 1≤0 4x 12 ≤0.
xb
x x
a b
≥0等价于
(x
a)(x xb
b)≥0, 0;
x x
a b
≤0等价于
(
x
a)( x xb
b)≤0, 0.
分式不等式解法的实质是转化,把分式不等式转化为整式 不等式来求解,需要注意分式有意义即分母不为零,也可将 分式不等式转化为两个不等式的交集,继而求出其解集.
4.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0) 的求解的算法过程
[剖析] 此题易想当然地认为a2>a而不分类,也易在分类时 漏掉a=a2的情况;或在讨论a=a2时,误将不等式解集写成 {x|x∈R且x≠0}.
[正解] 原不等式即为(x-a)(x-a2)<0, ∵a-a2=a(1-a),则 ①当a<0或a>1时,a<a2,此时不等式的解为a<x<a2; ②当0<a<1时,a>a2,此时不等式的解为a2<x<a;
考点陪练 1.(2010·大连模拟题)不等式x(1-x)>0的解集为( ) A.{x|x<-1或x>0} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x<0或x>1} 解析:利用数轴标根法可得0<x<1.所以选C. 答案:C
2.(2010·南昌调研题)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0,1] 恒成立,则a的取值范围为( )
[反思感悟] 不等式应用题,一般可按如下四步进行:(1) 阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系 ;(2)引进数学符号,用不等式表示不等关系;(3)解不等式 ;(4)回归实际问题.
名师纠错·补漏洞
错源一 忽略对判别式的讨论
【典例1】 解关于x的不等式x2+ax+4>0(a∈R). [错解]由x2 ax 4 0得
式问题是关键.
[解]1
按现在的定价上涨x成时,
上涨后的定价为p
1
x 10
元,
每月卖出数量为n
1
y 10
件,
每月售货总金额是npz元.
因而npz
p
1
x 10
n 1
y 10
,
所以z (10 x)(10 y) . 100
2在y kx的条件下,
z
1 100
100
25(1 k)2 k
答案:B
4.(2010 江西)不等式 x 2 x 2的解集是( )
x
x
A.0, 2
B. , 0
C.2,
D.,0 0,
解析:由题得 x 2 x 2 或 x 2 x 2 ,即0 0或
xx
x
x
2x x 2 0,解得0 x 2.
答案:A
5.若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a 的取值范围是________;若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的 解集不是空集,则实数a的取值范围是________.
综上,当a 0时,
不等式的解集为 x
|
x
1 a
或x
1;
当a 0时,不等式的解集为x | x 1;
当0
a
1时, 不等式的解集为 x
|1
x
1 a
;
当a 1时,不等式的解集为;
当a
1时,
不等式的解集为
x
|
1 a
x
1.
[反思感悟] 解含参数的一元二次不等式,要把握好分类 讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系 数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ 的符号进行 分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.
(x 1)(x 3)
(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0. 用数轴标根法,如图:
得x∈(-1,1)∪(2,3).故选B. [答案]B
[方法与技巧]分式、高次不等式可用数轴标根法解,
但要化成
(x (x
x1)(x xk 1 )( x