复变函数应用题
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(a)式对时间求导，得：
l1e l2e
i1
i2
xc
(a)
l11iei1 l22iei2 vc
两边乘e－i2
取实部：
(b)
l11ie
（ i 1－2）
l22i vc e
－i2
l11 sin(1 2 ) vc cos 2
l11 sin(1 2 ) vc cos 2
T
2
2ω t
电容是储能元件，它在电路中的作用是与电源或外电路进行能量变 换，用QC表示电容的无功功率， 并规定电感的无功功率取正值， 电容的无功功率取负值 。
QC UI I 2 X C
20
例
3.3.2
例： 一正弦电流 i 2 2 sin( 314t 60o ) A ，通过10µF的电容。 （1）求电容电压及电容的无功功率； （2）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？
u R R iR RI 2 sin t U 2 sin t
UR R IR
时域模型
uR, iR 均为正弦量，即有 U0o i I I0o U RI uR U R R R R R
R
IR
+ U R 相量模型
相量图：
U R
14
电阻元件的功率
③同直流电阻电路的分析方法
步骤: ①作相量形式的等效电路 ③ ②列方程并求解 I i(t ) I
i
23
U u(t ) U u ④必要时作相量图
例 3.6.1
100V , I 230 A, U 1 2
X L L 10 5 10
i1 i2
A
x 。
xc
（a）
l1 cos 1 l2 cos 2 xc l1 sin 1 l2 sin 2 0
滑块的位置：
xc l1 cos 1 l2 cos 2 l1 sin 1 2 arcsin( ) l2
二、曲柄滑块机构
2. 速度分析
式（b)展开后取虚部：
l11 cos 1 l22 cos 2 0
l11 cos 1 2 l2 cos 2
二、曲柄滑块机构
3. 加速度分析
l11iei1 l22iei2 vc
式（b)对时间求导得：
(b)
2 i2 l112ei1 l2 2iei2 l22 e ac
3
i 3.5 102 2 sin(3.14 104 t 30o ) A
18
QL IU 3.5 102 220 7.7 var
电容元件
iC C d uC CU 2 cost CU 2 sin(t 90) dt I 2 sin(t 90)
k
0
22
相量分析法
• 条件：线性电路在同频率正弦量激励下的稳态响应 方法: ①电路中所有正弦量用其对应的相量表示
u S (t ) U S u( t ) U iS (t ) I S i( t ) I
②电路元件用相量模型表示
R R(G ) 1 L jL - j L C -j 1 (jC) C
• 瞬时功率
p u i 2UI sin t sin t UI [1 cos 2t ]
平均功率（有功功率 ）
1 P T
1 T pdt UI[1 cos2(t i )]dt UI 0 T 0
T
U2 P UI I R R
2
Um
Im
Im
(c)
两边乘e－i2，展开后取实部，得：
2 l112 cos(1 2 ) l22 ac cos 2
2 l112 cos(1 2 ) l22 ac cos 2
二、曲柄滑块机构
2 i2 l112ei1 l2 2iei2 l22 e ac
22060o U
QL IU 3.5 220 770var
U 22060o 2 o I 3 . 5 10 30 A 3 jX L j 6.28 10
（2）f=5000Hz时
X L L 2 5000 0.2 6.28 10
于是表示正弦电压
u U m sin(t ) 的相量为
U (cos j sin ) U e j U U m m m m
或
j U U (cos j sin ) Ue U
：电压的振幅值相量 U m
：电压的有效值相量 U
I L
16
iL
uL
_
L
I L
感抗的倒数称为感纳，用BL表示
U L
U L
_
jL
相量模型
电感的功率
设：i 2 I sin t
u 2U sin(t 90o ) 2U cost
u O P.u.i p i
p u i 2UI sin t cost
1 1 T P pdt UI sin 2tdt 0 T T 0
2
ωt
电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量 变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来 衡量并称为无功功率，用QL表示
Q L UI I 2 X L
单位是乏
17
var
例：3.3.1
• 注意：
（1）只有同频率正弦量所对应的相量才能相互 运算。 （2）今后在不加特殊说明时，相量是指有效值 相量。 （3）两个同频率正弦量的瞬时值可以进行加减 运算，其对应的相量也可以进行加减运算，而 振幅值和有效值不能直接加减运算。
11
例: 已知瞬时值，求相量。
已知:
i 141 .4 sin 314 t A 6 u 311 .1sin 314 t V 3
15 120V U C
uC 15 2 sin1000t 120 V
24
例 3.6.1
方法二
电源等效变换
L
• 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF， i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。
100V , I 230 A, U 1 2
设 uC U 2 sin t
iC
uC
_
C
uC U C
或 U C
iC I C
1
j CU I C C
j 1 I jX I I C C C C j C C
1 其中： X C 称为容抗(与成反比) C U=XCI 感抗的倒数称为容纳，用BC表示
一个0.2H的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在交流电源电压的 上。u 220 2 sin(314t 60o ) （1）求线圈中的电流相量和无功功率QL （2）若 将电源的频率改变为5000Hz，其它不变，求i和Q。
解：(1) X L L 314 0.2 62.8
o U 220 60 I 3.5 30o A jX L j 62.8
(c)
式(c)展开后取虚部：
2 l112 sin 1 l2 2 cos 2 l22 sin 2 0
2 l112 sin 1 l22 sin 2 2 l2 cos 2
二、用复数进行正弦交流电的电路分析
• 1.正弦量瞬时值表达式 u=Um sin(ωt+ u)，可以用正弦量的三要素唯一地
例：曲柄滑块机构
已知：曲柄长l1、1，等角速度ω1。
求：连杆的2、ω2、2；
滑块的xc、vc、ac
y
2
B
1
A
1 1
2
3
xC
C s
x 。
二、曲柄滑块机构
1. 位置分析
封闭矢量方程式：
y
B 1
1 1
2
2
xC
3
C s
l1 l2 xc l1e l2 e
8
Um
t
矢量长度 =
Um
正弦量的相量表示法：
旋转矢量可以用复数表示，所以用旋转矢量表示的 正弦量也可以用复数表示。采用复数坐标，实轴与虚 轴构成的平面称为复平面。 +j
b
A
o a +1
图3- 4中实数 A=a+jb，a 为 实部，b 为虚部。
9
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复 数称为相量，并在大写字母上打“●”表示。
I C
I C
1 jC
U C
_
相量图：
U C
19
相量模型
电容的功率
u 2U sin t
i 2 I sin(t 90o ) 2 I cost
i O P.u.i p u
p u i UI sin 2t
1 P T
T
0
1 pdt UI sin 2tdt 0 T 0
确定正弦量在任意时刻地数值，可以完整的表示一 个正弦量。
2.正弦量波形图
Im
i
O T 2
t
7
• 3.相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。 u U m sin t
ω
矢量与横轴夹角 = 初相位 在t 0时刻，矢量以角速度按逆时针方向旋转
解：（1） X C
1 1 318 6 C 314 10 10
260o A I jX I j 318 260o 636 30o U c
QC UI 636 2 1272var
（2）频率提高一倍，XC降低一倍，在电流大小保持不变的 情况下，电压的有效值降低一倍；
21
基尔霍夫定律的相量形式 KVL、KCL的相量形式：
KVL
Hale Waihona Puke Baidu
u
k 1
n
k
0
e j t ] 设： uk Im[U k
上式变为
e Im[U
k 1 k n j t
]0
n
e Im [U k
k 1
n
j t
]0
U
k 1
n
k
0
同理： KCL
I
k 1
一、用复数矢量法进行机构的运动分析
解析法 一般是先建立机构的位置方程，然后将位置方 程对时间求导得速度方程和加速度方程。 由于所用的数学工具不同，解析的方法也不同， 下面介绍一种较简便的方法即复数矢量法。 复数矢量法 复数矢量法是将机构看成一封闭的矢量多边
形，并用复数形式表示该机构的封闭矢量方程式， 再将矢量方程分别对所建的直角坐标取投影。
解：
141 .4 o o I 30 100 30 V 2
311.1 o o 60 220 60 V U 2
例：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形 式为： o
I 1 100 60
j 30
o
A
I 2 10 e
求： 解：
3 3
方法一
结点法
• 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF， i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。 L
+ u1 C + uC i2
5
10 2 30 j 30 30 30 j 5 U 15 15 60 V C 1 1 j2 j5 j3
p
i
t
Um
u
15
电感元件
设 iL I 2 sin t di u L L L LI 2 cost LI 2 sin(t 90) dt U 2 sin(t 90) j L I jX I U uL U i I L L L L L L L 其中： X L L 称为感抗(与成正比) U=XLI 相量图：
A
i1 、 i2
2 f 2 1000 6280rad
i1 100 2 sin(6280 t 60 ) A
o
s
i2 10 2 sin(6280 t 30 ) A
o
正弦电路中的电阻、电感、电容元件
电阻元件： iR + uR R I R
uR R iR
设：iR I 2 sin t
l1e l2e
i1
i2
xc
(a)
l11iei1 l22iei2 vc
两边乘e－i2
取实部：
(b)
l11ie
（ i 1－2）
l22i vc e
－i2
l11 sin(1 2 ) vc cos 2
l11 sin(1 2 ) vc cos 2
T
2
2ω t
电容是储能元件，它在电路中的作用是与电源或外电路进行能量变 换，用QC表示电容的无功功率， 并规定电感的无功功率取正值， 电容的无功功率取负值 。
QC UI I 2 X C
20
例
3.3.2
例： 一正弦电流 i 2 2 sin( 314t 60o ) A ，通过10µF的电容。 （1）求电容电压及电容的无功功率； （2）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？
u R R iR RI 2 sin t U 2 sin t
UR R IR
时域模型
uR, iR 均为正弦量，即有 U0o i I I0o U RI uR U R R R R R
R
IR
+ U R 相量模型
相量图：
U R
14
电阻元件的功率
③同直流电阻电路的分析方法
步骤: ①作相量形式的等效电路 ③ ②列方程并求解 I i(t ) I
i
23
U u(t ) U u ④必要时作相量图
例 3.6.1
100V , I 230 A, U 1 2
X L L 10 5 10
i1 i2
A
x 。
xc
（a）
l1 cos 1 l2 cos 2 xc l1 sin 1 l2 sin 2 0
滑块的位置：
xc l1 cos 1 l2 cos 2 l1 sin 1 2 arcsin( ) l2
二、曲柄滑块机构
2. 速度分析
式（b)展开后取虚部：
l11 cos 1 l22 cos 2 0
l11 cos 1 2 l2 cos 2
二、曲柄滑块机构
3. 加速度分析
l11iei1 l22iei2 vc
式（b)对时间求导得：
(b)
2 i2 l112ei1 l2 2iei2 l22 e ac
3
i 3.5 102 2 sin(3.14 104 t 30o ) A
18
QL IU 3.5 102 220 7.7 var
电容元件
iC C d uC CU 2 cost CU 2 sin(t 90) dt I 2 sin(t 90)
k
0
22
相量分析法
• 条件：线性电路在同频率正弦量激励下的稳态响应 方法: ①电路中所有正弦量用其对应的相量表示
u S (t ) U S u( t ) U iS (t ) I S i( t ) I
②电路元件用相量模型表示
R R(G ) 1 L jL - j L C -j 1 (jC) C
• 瞬时功率
p u i 2UI sin t sin t UI [1 cos 2t ]
平均功率（有功功率 ）
1 P T
1 T pdt UI[1 cos2(t i )]dt UI 0 T 0
T
U2 P UI I R R
2
Um
Im
Im
(c)
两边乘e－i2，展开后取实部，得：
2 l112 cos(1 2 ) l22 ac cos 2
2 l112 cos(1 2 ) l22 ac cos 2
二、曲柄滑块机构
2 i2 l112ei1 l2 2iei2 l22 e ac
22060o U
QL IU 3.5 220 770var
U 22060o 2 o I 3 . 5 10 30 A 3 jX L j 6.28 10
（2）f=5000Hz时
X L L 2 5000 0.2 6.28 10
于是表示正弦电压
u U m sin(t ) 的相量为
U (cos j sin ) U e j U U m m m m
或
j U U (cos j sin ) Ue U
：电压的振幅值相量 U m
：电压的有效值相量 U
I L
16
iL
uL
_
L
I L
感抗的倒数称为感纳，用BL表示
U L
U L
_
jL
相量模型
电感的功率
设：i 2 I sin t
u 2U sin(t 90o ) 2U cost
u O P.u.i p i
p u i 2UI sin t cost
1 1 T P pdt UI sin 2tdt 0 T T 0
2
ωt
电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量 变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来 衡量并称为无功功率，用QL表示
Q L UI I 2 X L
单位是乏
17
var
例：3.3.1
• 注意：
（1）只有同频率正弦量所对应的相量才能相互 运算。 （2）今后在不加特殊说明时，相量是指有效值 相量。 （3）两个同频率正弦量的瞬时值可以进行加减 运算，其对应的相量也可以进行加减运算，而 振幅值和有效值不能直接加减运算。
11
例: 已知瞬时值，求相量。
已知:
i 141 .4 sin 314 t A 6 u 311 .1sin 314 t V 3
15 120V U C
uC 15 2 sin1000t 120 V
24
例 3.6.1
方法二
电源等效变换
L
• 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF， i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。
100V , I 230 A, U 1 2
设 uC U 2 sin t
iC
uC
_
C
uC U C
或 U C
iC I C
1
j CU I C C
j 1 I jX I I C C C C j C C
1 其中： X C 称为容抗(与成反比) C U=XCI 感抗的倒数称为容纳，用BC表示
一个0.2H的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在交流电源电压的 上。u 220 2 sin(314t 60o ) （1）求线圈中的电流相量和无功功率QL （2）若 将电源的频率改变为5000Hz，其它不变，求i和Q。
解：(1) X L L 314 0.2 62.8
o U 220 60 I 3.5 30o A jX L j 62.8
(c)
式(c)展开后取虚部：
2 l112 sin 1 l2 2 cos 2 l22 sin 2 0
2 l112 sin 1 l22 sin 2 2 l2 cos 2
二、用复数进行正弦交流电的电路分析
• 1.正弦量瞬时值表达式 u=Um sin(ωt+ u)，可以用正弦量的三要素唯一地
例：曲柄滑块机构
已知：曲柄长l1、1，等角速度ω1。
求：连杆的2、ω2、2；
滑块的xc、vc、ac
y
2
B
1
A
1 1
2
3
xC
C s
x 。
二、曲柄滑块机构
1. 位置分析
封闭矢量方程式：
y
B 1
1 1
2
2
xC
3
C s
l1 l2 xc l1e l2 e
8
Um
t
矢量长度 =
Um
正弦量的相量表示法：
旋转矢量可以用复数表示，所以用旋转矢量表示的 正弦量也可以用复数表示。采用复数坐标，实轴与虚 轴构成的平面称为复平面。 +j
b
A
o a +1
图3- 4中实数 A=a+jb，a 为 实部，b 为虚部。
9
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复 数称为相量，并在大写字母上打“●”表示。
I C
I C
1 jC
U C
_
相量图：
U C
19
相量模型
电容的功率
u 2U sin t
i 2 I sin(t 90o ) 2 I cost
i O P.u.i p u
p u i UI sin 2t
1 P T
T
0
1 pdt UI sin 2tdt 0 T 0
确定正弦量在任意时刻地数值，可以完整的表示一 个正弦量。
2.正弦量波形图
Im
i
O T 2
t
7
• 3.相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。 u U m sin t
ω
矢量与横轴夹角 = 初相位 在t 0时刻，矢量以角速度按逆时针方向旋转
解：（1） X C
1 1 318 6 C 314 10 10
260o A I jX I j 318 260o 636 30o U c
QC UI 636 2 1272var
（2）频率提高一倍，XC降低一倍，在电流大小保持不变的 情况下，电压的有效值降低一倍；
21
基尔霍夫定律的相量形式 KVL、KCL的相量形式：
KVL
Hale Waihona Puke Baidu
u
k 1
n
k
0
e j t ] 设： uk Im[U k
上式变为
e Im[U
k 1 k n j t
]0
n
e Im [U k
k 1
n
j t
]0
U
k 1
n
k
0
同理： KCL
I
k 1
一、用复数矢量法进行机构的运动分析
解析法 一般是先建立机构的位置方程，然后将位置方 程对时间求导得速度方程和加速度方程。 由于所用的数学工具不同，解析的方法也不同， 下面介绍一种较简便的方法即复数矢量法。 复数矢量法 复数矢量法是将机构看成一封闭的矢量多边
形，并用复数形式表示该机构的封闭矢量方程式， 再将矢量方程分别对所建的直角坐标取投影。
解：
141 .4 o o I 30 100 30 V 2
311.1 o o 60 220 60 V U 2
例：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形 式为： o
I 1 100 60
j 30
o
A
I 2 10 e
求： 解：
3 3
方法一
结点法
• 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF， i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。 L
+ u1 C + uC i2
5
10 2 30 j 30 30 30 j 5 U 15 15 60 V C 1 1 j2 j5 j3
p
i
t
Um
u
15
电感元件
设 iL I 2 sin t di u L L L LI 2 cost LI 2 sin(t 90) dt U 2 sin(t 90) j L I jX I U uL U i I L L L L L L L 其中： X L L 称为感抗(与成正比) U=XLI 相量图：
A
i1 、 i2
2 f 2 1000 6280rad
i1 100 2 sin(6280 t 60 ) A
o
s
i2 10 2 sin(6280 t 30 ) A
o
正弦电路中的电阻、电感、电容元件
电阻元件： iR + uR R I R
uR R iR
设：iR I 2 sin t