(完整版)高三数学二项式定理(知识点和例题)

二项式定理

1．知识精讲：

（1）二项式定理：（）

()n

n n r r n r n n n n

n n

b C b a C b a

C a C b a +++++=+-- 1

1

*∈N n 其通项是 （r=0,1,2,……,n ）

，知4求1，如：=+1r T r r

n r n b a

C -555

156b a C T T n n -+==亦可写成：=+1r T r

n

r n a

b

a C (（）

()()()n

n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- *∈N n 特别地：（）

(

)n

n n r

n r

n n n

n n

x C x C x C x C x +++++=+- 1

1*∈N n 其中，——二项式系数。而系数是字母前的常数。r

n C 例1．等于 （ ）

n

n n n n n C C C C 1

3213

93-++++ A ． B 。 C 。 D.

n

4n

43⋅134-n 3

1

4-n 解：设，于是：

n

n n n n n n C C C C S 1

3213

93-++++= =n n n n n n n C C C C S 333333

3221++++= 1

33333

32210

-+++++n

n n n n n n C C C C C 故选D

例2．（1）求的展开式的第四项的系数；

7

(12)x +（2）求的展开式中的系数及二项式系数

91

(x x

-3

x 解：（1）的展开式的第四项是，7

(12)x +333

317(2)280T C x x +==∴的展开式的第四项的系数是．7

(12)x +280（2）∵的展开式的通项是，91()x x

-9921991

()(1)r r

r r r r r T C x

C x x

--+=-=-∴，，

923r -=3r =∴的系数，的二项式系数．

3

x 339(1)84C -=-3

x 3

984C =（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

,,,,2

2

1

1

k

n n k n n n

n n n n n

n n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如

果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：

n

；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最

()

1

22

max

+==n n n r n

T C C 大，即。

()

1211

212

12

1

max

++-+-====n n n n n n r

n

T T C C C ③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即；n

2n

n n n n C C C 210=+++ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即

1

31202-=++=++n n n n n C C C C 例3．已知，求：

7270127(12)x a a x a x a x -=++++ （1）； （2）； （3）.127a a a +++ 1357a a a a +++017||||||a a a +++ 解：（1）当时，，展开式右边为

1x =7

7

(12)(12)1x -=-=-0127

a a a a ++++ ∴，

0127a a a a ++++ 1=-当时，，∴，0x =01a =127112a a a +++=--=- （2）令， ① 1x =0127a a a a ++++ 1=-令， ②

1x =-7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=①② 得：，∴ .

-7

13572()13a a a a +++=--1357a a a a +++=7132

+-（3）由展开式知：均为负，均为正，1357,,,a a a a 0248,,,a a a a ∴由（2）中①+② 得：，

702462()13a a a a +++=-+∴ ，

7

0246132

a a a a -++++=∴017||||||a a a +++= 01234567

a a a a a a a a -+-+-+-

702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例4．（1）如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的n

x x ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+4

21