课数学建模-博弈模型.ppt
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博弈论与数学模型(课堂PPT)
• 研究对象不是客观规律，而是带有主动 性的人的活动。
• 最优不是绝对的，而是现有主客观条件 下的理想结果。
.
3
博弈论的发展简史
• 古代文献中的朴素博弈论思想 • 田忌赛马（中国，春秋时代） • Talmud中的债务分摊原则（以色列，公元6世 纪前） • 自二十世纪二十年代起，von Neumann，Zermelo，
.
24
John Forbes Nash
.
25
Nash 均衡
完全信息静态博弈的某个局势称为Nash 均衡（Nash equilibrium），若每一个 理性的参与者都不会单独偏离它。即在 其他参与者的策略不变情况下，单独采 取其他策略，收益不会增加。
矩阵博弈的解即为Nash 均衡，因此 Nash 均衡可视作矩阵博弈解的概念向非 零和、无限策略集、多人博弈的推广。
博弈论与数学模型
.
1
主要内容
• 上篇：数学理论 • 博弈论概说 • 矩阵博弈 • Nash均衡和
Nash定理
• 下篇：数学模型 • Hotelling模型 • Cournot和Bertrand
模型
• 稳定婚姻问题
.
2
博弈与博弈论
• 博弈论（game theory）：研究利益存 在冲突的决策主体在相互依赖的条件下， 如何选择适当的策略实施以获得最大利 益。
冷战时期，美苏在世界各地争夺霸权，曾多次出现紧
张局势，但最后都以一方的妥协而告终，上述模型较
好地解释了这一现象。 .
11
非合作博弈的分类
根据参与者是否同时行动：静态博弈， 动态博弈
根据参与者掌握信息的多少：完全信息 博弈，不完全信息博弈
.
12
对策论v.s. 博弈论
• 最优不是绝对的，而是现有主客观条件 下的理想结果。
.
3
博弈论的发展简史
• 古代文献中的朴素博弈论思想 • 田忌赛马（中国，春秋时代） • Talmud中的债务分摊原则（以色列，公元6世 纪前） • 自二十世纪二十年代起，von Neumann，Zermelo，
.
24
John Forbes Nash
.
25
Nash 均衡
完全信息静态博弈的某个局势称为Nash 均衡（Nash equilibrium），若每一个 理性的参与者都不会单独偏离它。即在 其他参与者的策略不变情况下，单独采 取其他策略，收益不会增加。
矩阵博弈的解即为Nash 均衡，因此 Nash 均衡可视作矩阵博弈解的概念向非 零和、无限策略集、多人博弈的推广。
博弈论与数学模型
.
1
主要内容
• 上篇：数学理论 • 博弈论概说 • 矩阵博弈 • Nash均衡和
Nash定理
• 下篇：数学模型 • Hotelling模型 • Cournot和Bertrand
模型
• 稳定婚姻问题
.
2
博弈与博弈论
• 博弈论（game theory）：研究利益存 在冲突的决策主体在相互依赖的条件下， 如何选择适当的策略实施以获得最大利 益。
冷战时期，美苏在世界各地争夺霸权，曾多次出现紧
张局势，但最后都以一方的妥协而告终，上述模型较
好地解释了这一现象。 .
11
非合作博弈的分类
根据参与者是否同时行动：静态博弈， 动态博弈
根据参与者掌握信息的多少：完全信息 博弈，不完全信息博弈
.
12
对策论v.s. 博弈论
第11章博弈模型
总投资
DC (1 )C (2,3)595 3
4）1, 3合作 C ( 1 ,3 ) 7( 5 3 5 )0 .71 0 2 .65 0 6 .51 5 4 8 C(1)C(3)460合作不会实现
5）三城合
DC (1 ,2 ,3 )7(3 535 )0 .71 20 .65 6 0 .512 5
即 B 1 已 ， b 1 ( 4 , 5 , 7 ) 知 求 , x ( x 1 , x 2 , x 3 )
（1）协商解 以n-1方合作的获利为下限
模型 x i B
x i
x 1
b 1
x i x n b n
AxT bT,
A0110
A (Sh)a .x p ( 6 .6 l,1 .e 6 7 ,1 . y 6 7 )7
B .b i v ( I \ i ) b , ( 0 , 1 , 1 ) 0 B 0 ,v ( I ) 10
xTA1bT(1,0,0) x(1,00,0)
x i B b i,x (1,0 ,0 0 )
1 Q1=5
2 Q2=3 河流
38km
3 Q3=5
• 污水处理，排入河流. •三城镇可单独建处理厂， 或联合建厂(用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇).
Q~污水量，L~管道长度 建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L
污水处理的5 种方案
1）单独建厂 C ( 1 ) 7 5 0 3 .71 2 2 ,C 3 ( 2 ) 0 1,C 6 ( 3 ) 0 23
非合作博弈
静态、动态 信息完全、不完全
军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛
博弈论的几个经典模型ppt课件
博弈论的几个经典模型
22
模型二、囚徒困境/非合作博弈
该博弈刻划了两大难题： • 冲突情形下，参与人的目标是什么？是采用(作 为个人 ) 他自己的最好策略，还是采用 ( 作为集 体的一员)他们共同的最好策略？前者导致均衡 策略 ( 坦白，坦白 ) ，支付为 (-8 ， -8) ；后者的最 好策略是 ( 抵赖，抵赖 ) ，支付为 (-1 ， -1) 。这里 反映了个体理性行为与集体理性行为之间的矛 盾、冲突。 • 此博弈只进行一次还是重复进行？如果博弈只 进行一次，参与人似乎只有坦白才是最好的策 略，因为没有理由相信对手会对你有信心，他 总认为你自己会坦白；因此，双方都采取坦白 策略。然而，若博弈进行多次，则结论将会发 生变化。
第四章 博弈论的几个经典模型
1
引言
博弈论又被称为对策论（Game Theory)， 按照2005年因对博弈论的贡献而获得诺贝尔经 济学奖的Robert Aumann教授的说法，博弈论 就是研究互动决策的理论。所谓互动决策， 即各行动方（即局中人[player]）的决策是相互 影响的，每个人在决策的时候必须将他人的 决策纳入自己的决策考虑之中，当然也需要 把别人对于自己的考虑也要纳入考虑之 中……在如此迭代考虑情形进行决策，选择 最有利于自己的战略(strategy)。
此外此外还与会计学还与会计学统计学统计学数学基础数学基础社会心理学社会心理学以及诸如认识论与伦理学等哲学分支有重要联以及诸如认识论与伦理学等哲学分支有重要联博弈论的几个经典模型按照按照aumannaumann所撰写的所撰写的新帕尔格雷夫经新帕尔格雷夫经济学大辞典济学大辞典博弈论博弈论辞条的看法辞条的看法标准的标准的博弈论分析出发点是理性的博弈论分析出发点是理性的而不是心理的而不是心理的或社会的角度或社会的角度
数学建模博弈模型
博弈模型在实际问题中的应用前景
政策制定
01
利用博弈模型分析政策制定中的利益关系和策略选择，为政策
制定提供科学依据。
企业竞争策略
02
利用博弈模型分析企业竞争中的策略选择和预期行为，为企业
制定合理的竞争策略。
国际关系
03
利用博弈模型分析国际关系中的利益关系和冲突解决机制，为
国际关系管理提供理论支持。
THANKS
猎鹿博弈
总结词
描述两个猎人合作与竞争的关系，揭示了合作与背叛的平衡。
详细描述
在猎鹿博弈中，两个猎人一起打猎，猎物可以平分。如果一个猎人选择合作而另一个选择背叛，则背叛者可以独 吞猎物。但如果两个猎人都不合作，则都没有猎物可吃。最佳策略是合作，但个体理性可能导致两个猎人都不合 作，造成双输的结果。
03
智猪博弈
总结词
描述大猪与小猪在食槽竞争中的策略，揭示了合作与竞 争的平衡。
详细描述
在智猪博弈中，一个大猪和一个小猪共同生活在一个猪 圈里。每天都有一桶食物放在食槽中，大猪和小猪需要 竞争才能吃到食物。如果大猪和小猪同时到达食槽，大 猪会因为体型优势占据更多食物。但如果小猪先到食槽 等待，大猪到来时已经没有食物可吃。最佳策略是小猪 等待，大猪先吃，然后小猪再吃剩下的食物。
博弈模型的基本要素
参与者
在博弈中作出决策和行动的个体或组织。
策略
参与者为达到目标而采取的行动或决策。
支付
参与者从博弈中获得的收益或损失。
均衡
在博弈中，当所有参与者都选择最优策略时，达到的一种稳定状态。
博弈模型的建立过程
策略空间
确定每个参与者的所有可能采 取的策略。
均衡分析
通过分析收益函数和策略空间 ，找出博弈的均衡点。
博弈模型-数模
* * * * s ( s , , s , , s 的解，则战略组合 1 i n ) 称为博弈 G 的一个解或纳什均
衡。
注释：研究博弈问题就是建立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用
信息
信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观察到的知识。这些知识包括 “自然”的选择，其他参与者的特征和行动等。信息对参与者是至关重要 的，因为一个参与者在每一次进行决策之前，必须根据观察到的其他参与 者的行动和了解的有关情况作出自己的最佳选择。 由于信息内涵的不同，派生出各种有关信息的概念将博弈论划分成不同的 类型，因此寻求博弈间的方法也不同。这里只就信息有关的两个基本的、 重要的概念进行讨论。 首先，关于“共同知识”的概念。一个博弈问题所涉及的“自然”的不同 选择、参与者的行动以及相应产生的效用（效果、收益）都是一种知识（ 信息）。博弈论所谓的共同知识指的是“所有参与者知道，所有参与者知 道所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道所有参与者知道 ……”的知识。
应用2：军备竞赛问题
事实上，每个妻子都已对自己的丈夫不忠。于是，每个丈夫 都知道除自己的妻子外都是不贞的女人，而对自己的妻子每晚都 要赞扬。 这种状况持续了很多年，直到一个传教徒走访到这个村庄。他坐 在髯火旁参加了一次会议并听到每个男人都赞扬自己的妻子之后，他 站到丈夫们围坐的圆中心，大声地说：“这个村里有一个妻子已经不 贞了。”在此后的99个晚上丈夫们继续开会并赞扬他们的妻子，但在 第100个晚上，他们全都悲鸣偷哭并祈求严厉地惩罚他们的妻子。
现在，让我们试问一下，这个传教徒告诉了这些丈夫们他们所不知 道的什么？每个丈夫都已经知道了99个不贞的妻子，故这对任何人来 说都不是新闻。但“这个传教徒对所有男人做了一个声明”是共同知 识，从而这个传教徒所声明的内容，即有一个不贞的妻子，也就成了 所有男人中间的共同知识。在传教徒宣告之前，每个形如“（每个丈 夫知道）有一个不贞的妻子”的判断对于99都是正确的，但对100就 不正确了。
第11章博弈模型讲义资料
城1计算：城3分担 d15/13=174<C(3), 不同意! 城2分担 d13/13+d3 3/8 =132<C(2),
城1分担 d15/13+d3 5/8+ d2 =250>C(1)
Shapley合作对策 集I合 {1,2,3}
特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资
v () 0 ,v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) 0
38km
3 Q3=5
• 污水处理，排入河流. •三城镇可单独建处理厂， 或联合建厂(用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇).
Q~污水量，L~管道长度 建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L
污水处理的5 种方案
1）单独建厂 C ( 1 ) 7 5 0 . 3 71 2 2 ,C 3 ( 2 ) 0 1,C 6 ( 3 ) 0 23
总投资 D 1 C (1 ) C (2 ) C (3 ) 620
2）1, 2合作 C ( 1 ,2 ) 7 ( 5 3 3 ) 0 .7 10 2 .6 5 0 6 .51 2 3 05
总投资
DC (1 ,2 ) C (3 )580 2
3）2, 3合作 C ( 2 ,3 ) 7 ( 3 3 5 ) 0 .7 10 2 .6 3 0 6 .53 1 3 86
v(s \1)
0
1
1
4
v(s)v(s\1)
1
6
4
7
s
1
2
2
3
w( s )
1/3
1/6
1/6
1/3
w (s)v [(s)v(s\1 )] 1/3
1
2/3
城1分担 d15/13+d3 5/8+ d2 =250>C(1)
Shapley合作对策 集I合 {1,2,3}
特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资
v () 0 ,v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) 0
38km
3 Q3=5
• 污水处理，排入河流. •三城镇可单独建处理厂， 或联合建厂(用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇).
Q~污水量，L~管道长度 建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L
污水处理的5 种方案
1）单独建厂 C ( 1 ) 7 5 0 . 3 71 2 2 ,C 3 ( 2 ) 0 1,C 6 ( 3 ) 0 23
总投资 D 1 C (1 ) C (2 ) C (3 ) 620
2）1, 2合作 C ( 1 ,2 ) 7 ( 5 3 3 ) 0 .7 10 2 .6 5 0 6 .51 2 3 05
总投资
DC (1 ,2 ) C (3 )580 2
3）2, 3合作 C ( 2 ,3 ) 7 ( 3 3 5 ) 0 .7 10 2 .6 3 0 6 .53 1 3 86
v(s \1)
0
1
1
4
v(s)v(s\1)
1
6
4
7
s
1
2
2
3
w( s )
1/3
1/6
1/6
1/3
w (s)v [(s)v(s\1 )] 1/3
1
2/3
数学建模优秀讲座课件之博弈论
，
Page 20
囚徒困境可以用来说明许多现象。
• 广告战
两个公司互相竞争，二公司的广告互相影响，即一 公司的广告较被顾客接受则会夺取对方的部分收入。但 若二者同时期发出质量类似的广告，收入增加很少但成 本增加。但若不提高广告质量，生意又会被对方夺走。
此二公司可以有二选择：
互相达成协议，减少广告的开支。（合作）
Page 14
纳什均衡的定义
• 纳什均衡简单说就是，一策略组合中，所有的参与 者面临这样的一种情况：当其他人不改变策略时， 他此时的策略是最好的。也就是说，此时如果他改 变策略，他的支付将会降低。 在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单 独改变策略的冲动。
Page 15
•寻找纳什均衡的方法———条件策略下画线法
Page 17
假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅 被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个 房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方 给出的政策是：如果两个犯罪嫌疑人都坦白了 罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被 判有罪，各被判刑8年；如果只有一个犯罪嫌 疑人坦白，另一个人没有坦白而是抵赖，则以 妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑 2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。如 果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人 的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判 入狱1年。
-3y+2(1-y)=2y+(-1)*(1-y)
解的：
y=3/8，
而美女每次的期望收益则是2(1-y)-3y=1/8元。
Page 28
由以上结果可知，在双方都采取最优策略的情 况下，平均每次美女赢1/8元。其实只要美女采取 了(3/8,5/8)这个方案，不论你再采用什么方案，都 是不能改变局面的。
博弈模型-数模
这两个犯罪嫌疑 人是坦白还是拒 不坦白呢？
2、假设：两囚徒都是理性的和智能的。
3、问题分析
囚徒困境问题可以用图1－1所示的双变量矩阵的形式来描述。
囚徒 2 坦白 沉默 囚徒 1 坦白 沉默 -6，-6 -9, 0 图 1-1
注释：在此博弈中，每个囚徒有两种战略可供选择：坦白（或招认）、不坦白（或沉默）。图 1-1的矩阵中每一个 单元的两个数字表示一组特定的战略组合下两个囚犯的收益（或支付、效用，这里已经开始引用经济学的术 语了），其中第1个数字是囚徒1（习惯上是位于矩阵横行上的参与者）的收益，第 2个数字是囚徒2（位于竖 行上的参与者）的收益。如果囚徒1选择沉默，而囚徒2选择坦白，那么囚徒1的收益是－9（表示判刑9个月） ，囚徒2的收益为0（表示马上释放）。
（2）战略
战略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规定 参与者在什么时候该选择什么行动。或者说。战略是参与者“相机行 动方案”。
博弈论中， 常用小写 s i 表示参与者 i 的一个战略， 用大写 Si { si } 表 示参与者 i 的所有可选择的战略集合（又称为参与者 i 的战略空间） 。 如果 n 个参与者每个选择一个战略，那么 n 维向量 S ( s1 , s2 ,, sn ) 称 为一个战略组合，其中 s i 是参与者 i 选择的战略。
G { S1 , S2 ,, Sn ; u1 , u2 ,, un }
表示此博弈。
（4）博弈的解—纳什均衡
在 n 个参与者标准式博弈 G＝{S1,…,Sn；u1,…,un}中，如果对于每一 个参与者 i(i ＝ 1,2,…,n) ， si* 是针对其他 n － 1 个参与者所选战略 (s1*,…,s*i－1, s*i+1,…,sn*）的最优反应战略，即
数学建模第十讲博弈模型演示教学共31页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、Hale Waihona Puke 有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
数学建模第十讲博弈模型演示教学
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
博弈论的几个经典模型PPT课件
博弈论的几个经典模型
模型三、独立私人价值下的一级密 封拍卖/不完全信息静态博弈
N
高成本
低成本
A
默许
阻挠
A
默许
阻挠
B
B
B
B
进入 不进入 进入 不进入 进入 不进入 进入 不进入
(50,40)(300,0)(0,-10)(300,0)(100,30)(400,0)(140,-10)(400,0)
*贝叶斯纳什均衡
模型二、囚徒困境/非合作博弈
有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被 警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个 房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警 方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白 了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人 都被判有罪。如果另一个犯罪嫌疑人也作了 坦白，则两人各被判刑8年；如果另一个犯罪 嫌人没有坦白而是抵赖,则以妨碍公务罪（因 已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者 有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖, 则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但 可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。
为个人)他自己的最好策略，还是采用(作为集 体的一员)他们共同的最好策略？前者导致均衡 策略(坦白，坦白)，支付为(-8，-8)；后者的最 好策略是(抵赖，抵赖)，支付为(-1，-1)。这里 反映了个体理性行为与集体理性行为之间的矛 盾、冲突。 • 此博弈只进行一次还是重复进行？如果博弈只 进行一次，参与人似乎只有坦白才是最好的策 略，因为没有理由相信对手会对你有信心，他 总认为你自己会坦白；因此，双方都采取坦白 策略。然而，若博弈进行多次，则结论将会发 生变化。
四，杀鸡给猴看。其实猴子是没有思维的,它们 有一定的群体意识，但没有社会意识，人们关 于它们的故事其实是说人自己的。我们这里也 讲一个猴子的故事……。
模型三、独立私人价值下的一级密 封拍卖/不完全信息静态博弈
N
高成本
低成本
A
默许
阻挠
A
默许
阻挠
B
B
B
B
进入 不进入 进入 不进入 进入 不进入 进入 不进入
(50,40)(300,0)(0,-10)(300,0)(100,30)(400,0)(140,-10)(400,0)
*贝叶斯纳什均衡
模型二、囚徒困境/非合作博弈
有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被 警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个 房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警 方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白 了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人 都被判有罪。如果另一个犯罪嫌疑人也作了 坦白，则两人各被判刑8年；如果另一个犯罪 嫌人没有坦白而是抵赖,则以妨碍公务罪（因 已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者 有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖, 则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但 可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。
为个人)他自己的最好策略，还是采用(作为集 体的一员)他们共同的最好策略？前者导致均衡 策略(坦白，坦白)，支付为(-8，-8)；后者的最 好策略是(抵赖，抵赖)，支付为(-1，-1)。这里 反映了个体理性行为与集体理性行为之间的矛 盾、冲突。 • 此博弈只进行一次还是重复进行？如果博弈只 进行一次，参与人似乎只有坦白才是最好的策 略，因为没有理由相信对手会对你有信心，他 总认为你自己会坦白；因此，双方都采取坦白 策略。然而，若博弈进行多次，则结论将会发 生变化。
四，杀鸡给猴看。其实猴子是没有思维的,它们 有一定的群体意识，但没有社会意识，人们关 于它们的故事其实是说人自己的。我们这里也 讲一个猴子的故事……。
《博弈模型——不患寡而患不均》示范公开课教学课件【高中数学人教B版必修第一册】
• 若s≥1/2,则x2≥ x1
• 若s≤1/2,则x2≤ x1
但 s ≥ s(2)
U1(s) 1 s 1(2s 1) s=1/2时达到最大值 1/2
U1(s) 1 s 1(1 2s) 1 1 (21 1)s
1 1/ 2
甲的决策 s* s(2) 2 /(1 22)
均衡: (s*,接受) s*严格小于50%; 是乙的“愤怒”系数α2的增函数.
• 现实中的情况果真如此吗？ •多数s＝总额的40~50% •s越小，越容易被乙拒绝
自私： 理性／ 非理性？
公平： 利他／ 互惠？
模型假设与建立
财富总额为1 接受提议：甲乙所得x1=1-s, x2= s；否则：x1=x2=0 1. 每个参与者都喜欢对所有参与者公平的结果； 2. 每个参与者自己受到不公平对待时的“愤怒”，胜过 其他参与者受到不公平对待时的“愧疚”, 但知道α2知道分布F(α2)
max{ F ( ) 0} min{ F ( ) 1}
• 若s≥1/2,则x2≥ x1 U1(s)=1-s-α1(2s-1) 同前
• 若s≤1/2,则x2≤ x1
乙接受概率
0,
s s( )
p F (s /(1 2s)), s( ) s s( )
很好地解释了实际中的最后通牒博弈
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
模型求解 Ui (x1, x2) xi i max{xj xi ,0} i max{xi xj ,0}
乙的最优反应（给定s）
如果不接受，则x1=x2=0; U1(s)=U2(s)=0 . 如果接受，则x1=1-s, x2=s.
2 1/ 2
• 若s≥1/2,则x2≥ x1 U2(s) s 2(2s 1) ≥1/2≥0