巧用特殊值法
巧用特殊值法,培育核心素养
中学教育2019年04月新教育时代66巧用特殊值法，培育核心素养唐 珺 曹建英（无锡市西漳中学 江苏无锡 214171）摘 要：使用特殊值或特殊位置法解决一些问题，避开了繁琐的计算，推理，能快速、正确地得出答案。
从认识论看，复杂问题特殊化后，认识起点降低，便于学生的认识由浅入深，从方法论看，特殊化使问题由抽象到具体，由复杂到简单，从而有利于问题的解决。
关键词：特殊值法 特殊位置法 从特殊到一般一、现状分析，培养学生从特殊到一般的思想方法 （一）问题背景某次测验后大家照常评讲试卷，课后一位年轻教师与我交流说某道题不知该怎么讲。
题目是这样的：题目：a、b、c 是实数，点A（a-1，b）、B（a-2，c）在二次函数y=x 2-2ax+3的图像上，则b、c 的大小关系是 。
（二）分析现状是什么原因导致学生想不起来用特殊值法来解决这个问题呢？主要是我们教师在教学时更多地是注重教学生如何正面思考，严密地、符合逻辑的去分析解决一个问题，学生已养成习惯性思维。
之前与我交流的那位年轻教师本身是第一年带初三，没什么教学经验，教的班级学生数学水平一般。
而这一题二次函数解析式以及点的坐标中都含有字母，这些不确定因素使得部分学生感觉很难，无从下手。
这时如果采用特殊到一般的思想方法，赋予字母一个值，那么问题就迎刃而解了。
所以如果平时教师多关注这种特殊方法的教学，学生就不会失分，也会让部分学生重拾对数学的兴趣，觉得数学没那么难。
让优秀的学生知道有些题可用较少的时间做出正确答案，省出时间思考后面大题。
二、实例探究，培养学生应用知识的能力题目1：如图，抛物线y=x 2-2x+k（k ﹤0）与x 轴相交于A（x1，0）、B （x2，0）两点，其中x1﹤x2，当x=x1+2时，y 0（填”＞”、” ﹤”或”=”号）。
【正解】∵抛物线y=x 2-2x+k （k ﹤0）的对称轴方程是x=1，又∵x1﹤0，∴x1与对称轴x=1距离大于1， ∴x1+2﹤x2，∴当x=x1+2时，抛物线图像在x 轴下方，即y ﹤0.故答案是：﹤.【分析】这是某次测验填空题中较难的一题。
MBA数学十大解题技巧
3
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例 4.(2006 年 10 月) 已知不等式 ax2 2x 2 0 的解集是（ 1 , 1 ），则 a = ( ) 32
A. -12 B. 6
C. 0
D. 12
E. 以上结论均不正确
技巧三: 利用估算技巧、极限思想技巧解题
★ 解题技巧与思路分析：规律:估算原则（舍小保大），四两拨千斤，轻松解题。若题目中
是（ ）.
A. (2, ) 或 (,1)
B． (3, ) 或 (,1)
C． (3, ) 或 (, 2)
D． (2, ) 或 (, 0)
E．以上结论均不正确
技巧六：统一比例法
★ 解题技巧与思路分析：以固定两位为基准，将比例系数统一后可迅速计算得解。
例 13.(2006 年 10 月) 甲、乙两仓库储存的粮食重量之比为 4:3，现从甲库中调出 10 万吨
E. 8:15
技巧四: 数形结合
★ 数形结合: 就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转化来解决数学问 题的一种重要思想方法，它通过由“以形助数”和“以数解形”两方面的思考，寻求对试 题的理解，从而找出解决问题的简捷方法. 一、数形结合在函数、方程、不等式中的应用：
例 7.（充分性判断,2003 年 1 月）不等式 x 2 4 x S 无解.（ ）
数分别为 130，110，90. 又知只有一种证的人数为 140，三证齐全的人数为 30，则恰有双
证的人数为（ ）.
A. 45
B. 50
C. 52
D. 65
E. 100
例 16.(2008 年 10 月)某班同学参加智力竞赛，共有 A ， B ，C 三题，每题或得 0 分或得满 分。竞赛结果无人得 0 分，三题全部答对的有1人， 答对 2 题的有15 人。答对 A 题的人数
高考物理答题技巧及方法总结
高考物理答题技巧及方法总结高考物理答题技巧及套路有哪些1、正交分解法在两个互相垂直的方向上，研究物体所受外力的大小及其对运动的影响，既好操作，又便于计算。
2、画图辅助分析问题的方法分析物体的运动时，养成画物理v-t图和空间几何关系图的习惯，有助于对问题进行全面而深刻的分析。
3、平均速度法处理高考物理物体运动的问题时，借助平均速度公式，可以降二次方程为一次方程，以简化运算，极大提高运算速度和准确率。
4、巧用牛顿第二定律牛顿第二定律是高中阶段物理最重要、最基本的规律，是高考中永恒不变的热点，至少应做到在以下三种情况中的熟练应用：重力场中竖直平面内光滑轨道内侧最高点临界条件，地球卫星匀速圆周运动的条件，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的条件。
高考物理选择题答题技巧选择题1、注意看清高考物理题目，比如选择的是错误的、可能的、不正确的、或者一定的，这些关键字眼一定要仔细看清楚，以免丢了冤枉分。
越是简单的题目，越要仔细看，选择你认为是100%的答案，不敢肯定的答案宁可不选也不要选错。
2、排除法：当你不知道高考物理题型正确的方法时，你可以排除掉一些100%错误的问题，再进行选择，这样至少成功率在50%以上。
3、特殊值法：将某个数值代进去，如果成立的话，则答案正确，这种方法不但节省了繁杂的计算过程，而且争取到了更多的考试时间。
高考物理计算题答题技巧1、高考物理计算题如果连基本公式都忘记了，那就悲剧了，所以不管是基本公式还是变换而来的公式，都应该牢记在心，节省换算时间。
2、描述性的文字要写好，公式的字母要工整，代入数据等要清晰，演算过程要明朗，结果要精确，作图的时候勿潦草。
3、审高考物理题中，要全面细致，特别重视题中的`关键词和数据，如静止、匀速、恰好达到最大速度、匀加速、初速为零，一定、可能、刚好等，全面分析好情况，可以先在草稿上演算。
4、高考物理计算题少不了数学工具的应用，不管是解方程还是极限法，都应该一步步认真计算，以免数值错了，导致第二步的结果也错了(一般题目第二步都会用到前面的计算结果)。
特殊值法巧解数列题示例
特殊值法巧解数列题示例特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用.【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( )(A)5 (B)10 (C)15 (D)20【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得254252=⇒=a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)300【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=⇒=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C.【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( )(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=⇒=a a ,所以103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B.如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。
留心观察细事物，沙子也会变金银！【例4】等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）(A)130 (B)170 (C)210 (D)260【分析】取1=m 得100,30211=+=a a a ，从而求得702=a ，所以公差403070=-=d ，故11040703=+=a ，于是它的前m 3项和为2101107030321=++=++a a a ，选C.【例5】已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且931,,a a a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值是___________________.【分析】注意到931,,a a a 成等比数列,它们的下标1,3,9也成等比数列,所以设n a n =,则161310429311042931=++++=++++a a a a a a 为所求. 【例6】已知c b a ,,成等比数列,b x a ,,成等差数列,c y b ,,也成等差数列,则=+yc x a ___. 【分析】取c b a ==,则b x a ==,c y ==故=+yc x a 1+1=2. 从上可见,只要在解题过程中细心观察,抓住题目的主要特征,选取恰当的特殊数列或特殊数值,不但可简化解题过程,而且对磨练解题者的思维,提高观察分析问题的解题能力都有很大的作用.。
巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学
㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学Һ李文彬㊀（宿迁市钟吾初级中学，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是一门重要课程，通过学习有助于培养逻辑思维能力，激发出创新意识．初三数学内容多，而且学生面临着中考压力，为了能取得更高分数，在学习中要加强练习，特别是解题能力要增强．本文先介绍特殊与一般思想，再对初三数学客观题解法教学展开探讨，以不断提高学生解题能力，形成良好思维模式．ʌ关键词ɔ初三数学；特殊与一般思想；客观题；解法教学在现有教学环境下，学生已经形成了固有思维模式，知识灵活运用能力较低．在解答数学题时，对运用所学的公式㊁定理㊁法则等，缺乏深入了解．教师应发挥出特殊与一般思想的作用，对学生进行正确引导，提高对知识的认知水平，有效转变思维方式．教师应对特殊与一般思想进行研究，融入教学中去，提高学生的学习能力．一㊁特殊与一般思想人们在认识一种新事物的时候，往往都是从个例开始的，随着时间推移，在认识过程中总结出了经验和规律，层次也由浅到深㊁由现象到本质，这个过程被称之为由特殊到一般的过程．形成了正确认识后，用所得理论去解决实际中遇到的问题，这个过程被称之为由一般到特殊的认知过程．从特殊到一般再从一般到特殊的反复认知，是人们认识世界的基本过程之一，对于数学课程而言，一般到特殊的认知过程就是解决数学问题时所应用到的特殊与一般思想．数学具有严密性㊁精确性的特点，其中计算在数学学习中占据着重要位置，用于解决遇到的问题．从本质上来看，数学学习的过程是从特殊到一般再从一般到特殊的反复认知，从中总结出经验，促进知识内化吸收，增强自身数学素养［１］．二㊁初三数学客观题解法教学基本现状初三数学客观题类型较多，涉及所学的知识内容．教师为了让学生可以对题目正确解答，一般会传授技巧，学生只需要根据要求去解题就可以，不仅速度快，而且效率特别高，大部分学生都可以接受并运用．但是这种教学方法也存在弊端，学生对教师依赖性较强，形成了思维定式，很难进行转变．为了让学生掌握某一类题的解答方法，会花费大量时间去反复练习，当出现这类题时，学生可以很好地解答．但是思维方式会受到限制，缺乏灵活性，当题目形式发生变化时就不知如何去应对．现有的初三数学客观题解法教学方式可以取得一定成效，但还不是很完善，在很多方面都存在不足，所以要进一步完善，不断提升教学水平．特殊与一般这一数学思想在数学教学中的应用，能够有效改善传统客观题教学困境，培养学生的数学思维，提高其知识应用能力，为学生后续数学学习奠定基础．三㊁特殊与一般思想运用于初三数学客观题解法教学的意义特殊与一般思想是初中数学的六大重要数学思想之一，一般包含着特殊，特殊属于一般，在这一理论依据前提下，可以帮助学生更好地解题，大大提升了正确率．运用特殊与一般思想可以让学生思维更加灵活，从多个角度来认识知识，打破思维定式的限制．初三学生思维活跃㊁想象力丰富，特殊与一般思想符合他们的认知特点，发现知识间存在的联系和规律，有效用于学习中去，解题会变得更加轻松．数学思想是教学的核心，教师在课堂上不仅要传授知识，更要让学生学习数学思想，有助于增强数学素养，形成正确的认识．随着教学改革的深入，特殊与一般思想成为人们关注的焦点，和数学数学客观题解法教学有效融合［２］．意识到特殊与一般思想在数学教学中应用的价值，根据实际情况创新教学方法．四㊁巧用特殊与一般思想在初三数学客观题的解题教学中的对策结合当前初三数学客观题类型来看，教师在教学活动中渗透该数学思想时，可以结合实况，根据不同题型采取不同教学方法，开展针对性教学．笔者结合自身多年工作经验，通过以下内容详细论述特殊与一般思想在初三数学客观题的解题教学中的对策．（一）字母类选择题，可对字母赋特殊值求解例１㊀若在某数轴上，Ｐ，Ｑ分别表示实数ａ，ｂ，能得出下列哪项结论（㊀㊀）．图１Ａ．ａ＋ｂ＞０Ｂ．ａｂ＞０Ｃ．ａ－ｂ＞０Ｄ．｜ａ｜－｜ｂ｜＞０一般解法：对数轴进行观察，可以得知ａ＜－１，０＜ｂ＜１．之All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６数学学习与研究㊀２０２２ １３所以得出这一结论，主要依据是不等式性质和绝对值定义．特殊解法：通过图中信息可了解ａ＜－１，０＜ｂ＜１，我们可以对ａ和ｂ进行取值，分别为－１．５和０．５，得到ａ＋ｂ＝－１＜０，ａ－ｂ＝－２＜０，｜ａ｜－｜ｂ｜＝１＞０，ａｂ＝－０．７５＜０．所以选Ｄ．结论１㊀对于需要依靠数轴㊁图形来判断结果的客观题，可以根据题意取特殊点，前提是要在参数合理范围内，常见的特殊点有对称轴㊁交点㊁中间点等，而后开展验证工作．例２㊀（２ｘ）２化简后是（㊀㊀）．Ａ．ｘ４Ｂ．２ｘ２Ｃ．４ｘ２Ｄ．４ｘ一般解法：（２ｘ）２＝４ｘ２，所以选Ｃ．特殊解法：可以采用取特殊值的方式，将其代入算式进行验证，此时取ｘ＝１，可以先排除Ａ和Ｂ，取ｘ＝－１，排除Ｄ，正确答案是Ｃ．结论２㊀针对化简问题，因为属于恒等变形，可以采用代入特殊值的方法来进行验证取舍从而得出正确答案．例３㊀若直线ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１经过点（ｍ，ｎ＋３）和（ｍ＋１，２ｎ－１），而且０＜ｋ＜２，则ｎ的值可以是（㊀㊀）．Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．６一般解法：根据已知可得ｎ＋３＝ｋｍ＋ｋ＋１①，２ｎ－１＝ｋ（ｍ＋１）＋ｋ＋１②，②－①得ｋ＝ｎ－４，又因为０＜ｋ＜２，所以０＜ｎ－４＜２，所以４＜ｎ＜６，正确答案是Ｃ．特殊解法：由题意可知，ｋ位于区间（０，２），基于此，我们取ｋ值为１，那么直线化成ｙ＝ｘ＋２，将其代入各选项中一一验证，得到只有选项Ｃ符合要求，因此本题选Ｃ．结论３㊀由上题我们可得出，当一道题目中存在多个参数，我们在思考的时候要从受限参数出发，取特殊值后将其代入题目验证，查看其是否满足题目要求［３］．（二）判断型或探索条件型的问题用特殊值断定例４㊀已知点Ａ（－１，ｍ），Ｂ（１，ｍ），Ｃ（２，ｍ＋１）在同一个函数图像上，这个函数图像可以是（㊀㊀）．一般解法：由题意可知Ａ（－１，ｍ），Ｂ（１，ｍ）属于关于ｙ轴的对称点，由右侧的Ｂ（１，ｍ），Ｃ（２，ｍ＋１）两点可知，ｙ随着ｘ的增大而增大，所以选Ｃ．特殊解法：取ｍ＝１，画出Ａ，Ｂ，Ｃ三点，对选项中的图像进行对比，最接近的是Ｃ项．结论４㊀对于含有参数的图像判断（定性）问题，可以通过对参数取特殊值，找到对应函数模型．例５㊀已知关于ｘ的一元二次方程（ａ＋１）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０有两个相等的实数根，下列判断正确的是（㊀㊀）．Ａ．１一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｂ．０一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｃ．１和－１都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｄ．１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根一般解法：根据方程有两个相等的实数根可得出Δ＝０，进而得出ｂ＝ａ＋１或ｂ＝－（ａ＋１）．当ｂ＝ａ＋１时，－１是方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根；当ｂ＝－（ａ＋１）时，１是方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根．再结合ａ＋１ʂ－（ａ＋１），可以得出１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根，所以选Ｄ．特殊解法：通过观察，可以想到常见方程ｘ２＋２ｘ＋１＝０，满足Δ＝０，可以知道，对于方程（ａ＋１）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０，当ａ＝０，ｂ＝１（或者－１）时，都和题意相符，这时可以将方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０转化为ｘ２＋ｘ＝０，一根为０，另一根为１（或者－１），选项Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ是错误的，所以选Ｄ．结论５㊀在解决一元二次方程的根的问题时，明确参数满足条件后进行观察，提取出题设成立的特定条件，代入选项就可以解出答案［４］．（三） 任意点 问题做特殊化处理例６㊀如图２所示，点Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝６ｘ上的点，分别过Ａ，Ｂ作ｘ轴和ｙ轴的垂线段，如果图中阴影部分的面积为２，则矩形ＡＣＤＦ和矩形ＢＤＧＥ的面积的和为（㊀㊀）．图２一般解法：因为点Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝６ｘ上的点，所以ｘｙ＝６，Ｓ矩形ＡＣＯＧ＝Ｓ矩形ＢＥＯＦ＝６．因为Ｓ阴影ＤＧＯＦ＝２，所以Ｓ矩形ＡＣＤＦ＋Ｓ矩形ＢＤＧＥ＝６＋６－２－２＝８．特殊解法：根据阴影部分的面积是２，可设点Ａ横坐标为１，点Ｂ纵坐标为２，分别代入双曲线方程ｙ＝６ｘ求解．结论６㊀对于特定曲线上的动点有关的面积问题，可以根据其限制条件，进行赋值．All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀数学学习与研究㊀２０２２１３㊀图３例７㊀如图３所示，直线ｙ＝ｘ＋ｍ与双曲线ｙ＝３ｘ相交于Ａ，Ｂ两点，ＢＣʊｘ轴，ＡＣʊｙ轴，则әＡＢＣ面积的最小值为（㊀㊀）．一般解法：可设Ａａ，３ａ()，Ｂｂ，３ｂ()，将ｙ＝ｘ＋ｍ代入ｙ＝３ｘ，整理得ｘ２＋ｍｘ－３＝０，依据根和系数的关系得出ａ＋ｂ＝－ｍ，ａｂ＝－３，那么（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ＝ｍ２＋１２．再根据三角形的面积公式得出ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ㊃ＢＣ＝１２ｍ２＋６，利用二次函数的性质就可以求出当ｍ＝０时，әＡＢＣ的面积有最小值６．特殊解法：由ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ㊃ＢＣ，借助几何直观，看出当直线ｙ＝ｘ＋ｍ经过原点（即ｍ＝０）时ＡＢ最小．依据直线解析式的特征，әＡＢＣ是等腰直角三角形，得出ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ２，再由勾股定理可知ＳәＡＢＣ＝１４ＡＢ２．әＡＢＣ面积的最小值为６．结论７㊀求双曲线与特殊直线（斜率固定）的交点与平行于坐标轴的直线围成的直角三角形面积最值时，要和其他知识结合起来，对问题进行转变，仔细观察图形，利用直线通过特殊点时的特殊方程来求解［５］．五㊁教学反思（一）引导学生构建知识体系作为数学课程的基本思想，特殊与一般在不少定理㊁概念中都有所体现．从数的角度理解该思想，我们都知道一次函数的一般形式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋʂ０），在该等式当中包含有无数组特殊的值．从形的角度对该思想理解，在一条直线当中，由无数个特殊的点构成．基于此，教师在教学过程中，引导学生运用该思想解题时，可以通过设直线过点的方式，构建方程组，而后对某一值特殊化，从而解决数学问题．也可以在选择题当中，通过赋特殊值的方式进行排除选择．教师在教学过程中，一定要将课程之间的知识点连接起来，关注知识点间的联系，对学生的知识体系进行分析与研究，帮助学生理清特殊与一般思想，帮助其构建良好的认知结构．在对学生讲授法则㊁概念等相关知识时，需要针对性地引导，使其能够读懂隐含的关键词，为后续分析数学问题，解决数学问题奠定基础．（二）提炼策略以此提升学生的解题能力针对初三数学客观题而言，特殊与一般思想通常能够对学生的解题有所启示，帮助学生打开未知世界的大门．教师在特殊与一般思想的解题教学中，要引导学生体会特殊化让问题变得容易这一过程，寻找解决问题的切入点，从特殊到一般，从一般到特殊，培养学生的理性思维．华罗庚曾经说过，退到最原始但是不失去重要性的地方，将简单的㊁特殊的问题搞清楚之后，从简单问题的解决过程中或者解题思路与方向，从而 进 到一般性问题上来．例如针对勾股定理逆定理的证明而言，若学生按照正常解题思路，同一法是很难想到与理解的，但是在解题过程中先通过特殊数据画一般三角形与直角三角形，然后历经拼㊁叠，最终引导学生进行一般性的证明．在整个教学活动中渗透特殊与一般思想，学生在解题过程中也能够感受到数学思维之美，进而提高学生的数学解题能力．教师在教学活动中要始终明辨，数学思想方法始终存在于知识的发生过程中，在解答初中客观数学题时，要结合学情为学生创设良好的探究环境，提供相关典型材料，在教学过程中逐渐渗透特殊与一般思想，促使学生能够将该思想贯穿整个学习过程，最终变为一种自觉行为．六㊁结㊀语综上所述，本文主要探讨了巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学．可以看出，特殊与一般思想在解决数学客观题中有着较高应用价值，是一种很好的方法，可以引导学生养成良好思维习惯，快速理解题意，对题目条件进行转化，找到正确解答方法［６］．教师在传授特殊与一般思想时，要和教学内容联系起来，让学生主动去思考，慢慢解题水平就会有所提升，对学科有更深的认知，在数学考试中有更好的表现［７］．ʌ参考文献ɔ［１］林振德．巧用 特殊与一般思想 进行初三数学客观题解法教学［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（２）：１６－１７．［２］黄淑红．转化与化归思想在数学解题中的应用 一般与特殊的转化［Ｊ］．数学教学通讯，２０１５（２７）：５７－５８．［３］李伟．运用 特殊与一般 数学思想解决问题的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０１７（９）：２－４．［４］闫湛．在大学数学教学中渗透 由特殊到一般 的思想方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（３）：１３－１４．［５］张刚．特殊与一般思想在高考数学中的应用［Ｊ］．广东教育（高中版），２０１８（６）：１９－２０．［６］叶红．特殊与一般思想［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（１）：１１８－１２１．［７］连佑平．特殊化思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．福建教育学院学报，２０１７（５）：５０－５３．All Rights Reserved.。
数学思维训练九
一，巧用观察。
1,同样大小的长方形小纸片摆成了这样的图形,已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。
【分析与解答】从第一排与第二排观察到，2个小纸片的长等于3个小纸片的宽，3个小纸片的宽是36 厘米，因此一个小纸片的长等于18厘米，阴影小正方形边长为18-12=6（厘米），则得到总面积为：6×6×3=108（平方厘米）二，巧用推理。
2,,如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.【分析与解答】解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 6×6÷2＝18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三，巧用图形变换。
3，求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。
[分析与解答]：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。
我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如图所示），这样计算就很容易。
S阴影=S梯形=（2+4）×3÷2=9（厘米2）本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯形。
四，巧用等量代换。
(完整版)特殊角的三角函数值的巧记
特殊角的三角函数值的巧记特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。
1、“三角板”记法根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是3掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：0013sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶12，那么，就不难记住：002sin 45cos 452==，00tan 45cot 451==。
这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．二、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ →30˚→45˚ →60˚ →90˚变化；值从0→21→22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°==tan45°=13=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
物理化学解题技巧指导
物理化学解题技巧指导一.高分拿选择五大法宝1.运用整体法解答选择题1)确定物体系或者全过程为研究对象。
这要根据所求来确定，如果所研究的问题是几个物体的同一过程，那么就选取物体系为研究对象;如果是一个物体的多个运动过程，则要考虑选取全过程为研究过程。
2)分析研究对象的现象及规律。
这就要求对所研究的问题有全面的认识、对所选的研究对象有仔细的受力分析、运动过程分析，找出所适用的物理定律和公式，为整体法的运用做铺垫。
3)运用分析出的物理规律定向或定量分析解题。
这是最后一步，也是最简单的一步只要选择了正确的研究对象并分析出规律，解题会变的非常简单。
2.善用特殊值代入法解选择题1)特殊值法。
有些问题如果直接计算可能非常繁琐，但是能把握物理过程变化的有规律性的话，此时若取出一个特殊值代入，得到的结论应该也是满足的，这种方法尤其适用于选择题的快速求解。
2)极端法。
对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，即符合问题的范围区间，此时将最大值或最小值代人相应的表达式，从而得到正确答案。
3.概念选择题应从基本概念出发1)对概念的准确记忆和正确理解。
2)将所学习过的概念进行分类。
把所学的内容进行分类：化繁为简，重点突出，这样有利于答题时进行分析、比较、综合和概括。
把概念分类也能使物理学习更加系统、规范。
3)将所学过的概念系统化。
物理是一门综合系统的学科。
学习物理要逐步在头脑中建立一个清晰概念系统，不但能够加深对基础知识的理解，而且使同学们在学习的过程中少走弯路。
4)分析题干，掌握概念选择题的特征。
分析提干法适用于基本不转弯的比较简单的选择题，这种概念选择题主要考察考生对物理知识的记忆和理解程度，概念选择题属于常识性的题目，一般难度不大。
4.多项选择题不强行多选1)首先确保每道题都能拿到一分。
2)在没有把握时，宁可少选绝不多选。
3)对部分的多项(即含有5-6个答案)选择题，很大可能是有2或3个符合题意的选项。
解答选择题填空题的12种巧妙方法
传说中的十二招你知道选择题和大题最大的区别是什么吗？那就是选择题只需要有一个模糊的方向，而不需要确切的答案；或者，选择题可以用一些歪招解出来，而不是像大题一样算到吐血——如果每道选择题都像大题一样算，一张卷下来，估计你所有的血小板都不够你用的……而传说中应对选择、填空题的十二招其实来自它们可抓的五个特征……一、答案符合题意我们目前所学的数学，基本上是按照充分必要的套路。
所以，题目可以推出答案，答案同样必然符合题意所指。
以此本质的基础可以衍生出两大招。
1.特殊值法（适用于选择、填空）1）对于问区间的题，只需分别找出可选区间中的元素，代入原题检验其真假，其实也就知道了选哪个区间；正如去到陌生的星球，一看满眼纳美人，那么此地当然就是潘多拉星。
2）特殊值一般选取容易算的，代入选项就可以判断真假，假的统统排除。
例题：y = cos(7π2– 3x ) 是 函数（填奇偶性）解析：代入x=0 得 y=0 答案：奇2.代入法（适用于选择）这个小学生都会。
电池有电没电，放进多啦A 梦看看work 不work 不就知道了吗？题目算不出来，把答案代进去看成不成立不就知道了？然而这种方式不仅对一些题目无效，而且浪费太多时间；如果配合其它招式一起用效果会更强。
例题：函数f(x) = 2x ²ln(x-2) – 3 在下列哪个区间有零点（）A 、（1，2）B 、（2，3）C 、（3，4）D 、（4，5）解析：我们知道若f(x 1)<0 ,f(x 2)>0,则f(x)在x 1 ~ x 2 之间一定有零点，所以把1、2、3、4、5 代入 x ，发现f(3)<0，f(4)>0. 答案：C二、放诸四海皆准既然叫做―成立‖，那么就是不管什么条件均能成立。
我们不妨把题目当做实验品，放到苛刻的条件下，通过观察它的反应剖析其内涵。
3.假设法（选择）假设是最理想的方法之一，不仅因为这不用钱，而且通过简单的计算就可以知道题目的意思。
巧用特殊值法解题
（） １求直线Ａ 的解析式． Ｂ （ ） 等边 三 角形Ｐ ２求 ＭＮ的边长
（ 的代数式表示 ） 用ｔ ，并求 出当等边
三 角 形 Ｐ 的 顶 点 运 动 到 与 原 点 ＭＮ
因为ｓ 一 ２ ／３ｔ１ 、 了 ，△ 梯 Ｘ－ ＋ ２ ／ ｓ －
当ｌ ｔ２ ．重合 部分 是 一 个五 边 形 ＜＜ 时
Ｏ ＫＧ 如 图 ８ 此 时． 梯 Ｉ Ｎ， ， ｓ 一△ Ｓ晰
单位 的速 度运 动 ，点｜， 在 】 Ⅳ 轴上 ｌ ｆ
（ 点 在点Ⅳ 的左侧 ）以ＰＭ， 为顶 ， 。 Ｎ 点的三角形是 等边三 角形 ，设运动
时 间为 ｔ’ ｓ
般情 形转化 为特殊 问题 ．从而找 到 动静 的关系．
如图２ ，公路删 和公路 在点Ｐｆ 汇 ， ￣交 ＿ 且 Ｑ Ｎ ３ 。点Ａ Ｐ ＝０ ， 处有一所 中学 ， Ｐ Ｉ０ 假设拖拉 Ａ ＝６ ｍ， 机行驶时 ． 围１０ 周 ０ ｍ以内会受噪声
２， 埘 所以ｓ （Ｇ Ｄ ）０ ｌ 、 了￡ ＿ Ｅ ＋ Ⅳ× Ｅ ２／ ＋ － ６ ／ ． ｔｌ ｔ ＝ 、 了 ，如 图７ 、了 ＝ 时Ｓ 女 ８ ／ ．
■
量表达式 ， 再取特殊值代入验证． 因 此易得④ １３ ５ ７ ４：⑤ １３ ５ ７ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋＋ ＋＋
９ ５； 想 １ ３ ５ …＋ ２ 一 ）ｎ ＝ 猜 ＋ ＋ ＋ （ｎ １：
数学填空题只注重结果 ，不需 要解题过程 ，有些题 目按部就班地
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图１
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般的计算 题侧重 于考查 同学
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由数选题 案 于学择 答 的
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们的计算能力和掌握基本运算公式 的能力 ．初 中数学的学 习更注重培
初中数学素材 巧用特殊值法解题
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b 数轴：巧用特殊值法解题
在解数学题时，我们应该根据题目的特点，选取灵活的方法求解，而选择题和填空题是一类只注重结果而不需写出解题过程的特殊问题.根据这一特点，可以将问题的一般情形转化为特殊情形，用特殊值法探求题目的答案，从而避免繁琐的计算和推证，简便而快捷.下面以例说明.
例1 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）.
（A ）b a b a b a ->>>+
（B ）b a b b a a ->>+>
（C ）b a b a b a +>>>-
（D ）b b a a b a >+>>-
析解：由有理数a ，b 在数轴上的位置，可知0<b ，0>a ，且b a >，不妨取2=a ，1-=b ，则1=+b a ，3=-b a ，因为1123->>>，即得b b a a b a >+>>-，故应选（D ）.
例2 若10<<a ，则a ，a -，
a
1，2a 从小到大的顺序为_________. 析解：本题若按常规解法，非常困难.根据已知条件，不妨取21=a ，则2
1-=-a ，21=a ，412=a ，由2214121<<<-，即得a a a a 12<<<-. 说明：例1、例2通过运用特殊值法，把抽象的字母转化为具体的数值，大大降低了解题难度.由此看出，运用特殊值法，确实能为我们解题带来极大的便捷.
用特殊值法解题，应该注意：（1）在取值是一定要取条件允许X 围内的；（2）应以原题的答案不发生变化为前提条件.因此，凡答案不惟一的问题，不宜采用特殊值解答.。
巧用从“特殊”到“一般”轻松解数学题
巧用从“特殊”到“一般”轻松解数学题作者：潘丽萍薛阿仁来源：《成才之路》2009年第05期在我们深入研究和应用从“特殊”到“一般”解数学题以及查阅一些资料后，获得了许多的启发。
正如辩证法告诉我们：矛盾的一般性包含于特殊性之中。
说通俗一点，就是事物的共性通过个性来体现的这个哲学原理告诉我们“特殊化”是一种重要的解题策略，它不仅能帮助我们突破许多数学题解答过程中的难点，从而迅速构建解题思路，而且还会使题解变得更加简洁，流畅。
这给我的启示是：让特殊化为题解鸣锣开道。
一、用特殊化方法解选择题、填空题对于“选择”“填空”一类的题目来说，概念性强，小巧灵活，覆盖面广。
在各种试卷中，必不可少。
由于解选择题、填空题只求结果，不要求写出解答过程，并且选择题中的选项提供了某种“暗示”。
因此我们可在解题时灵活选用特殊方法，以避免烦琐的推理论证和计算。
其中特殊值法不失为解选择题和填空题的一种有效方法，且有时会提高我们的解题能力和速度，总之是起到事半功倍的效果。
1. 代数、方程、函数特殊值法又称赋值法，给代数式或方程式函数表达式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到解决问题的目的。
（1）利用赋值，使抽象的数学问题具体化、直观化，从而达到迅速解决问题的目的。
例如：若a＞0，b＜0，且a＜|b|，则下列关系中正确的是（）。
A、-b＞a＞-a＞b；B、b＞a-b＞-a；C、-b＞a＞b＞-a；D、a＞b＞-a＞-b。
解析：这道题其实难度不大，直接采用字母的比较，也能做出。
但是一般同学有时思维转不过弯，对此难以解理，反而导致思维混乱，解题错误。
但若根据题意，我不妨使a=1，b= -2代入，问题就变得十分直观，可得答案为：A。
（2）利用赋值避其锋芒，游刃其中。
例如：已知x-y=1，则x3-y3-3x2y+x2y2-xy3+2xy2=_____。
解析：按照一般解答思路，常规做法就是把原式化成用x-y的形式表示，再把x-y整体代入，或者把已知化为x=y+1代入原式中计算求值，但无疑来说以上两种方法均较烦琐，运算量很大。
特殊角三角函数值的“巧记”与巧用”方法解析
特殊角三角函数值的“巧记”和“巧用”（一）特殊角三角函数值的“巧记”特殊角的三角函数值是解直角三角形中常用到的重要数据，是我们必备的基本知识之一，为帮助同学们记忆，特别给出以下几种记忆方法.1.表格与口诀记忆法将三个特殊角的三角函数值制成如下的表格并进行适当的加工得:不难看出，30°，45°，60°这三个角的正弦值和余弦值的共同点是：分母都是2，若把分子都加上根号，则被开方数就相应地变成了1，2，3.正切的特点是将分子全部都带上根号,令分母值为3,则相应的被开方数就是3，9，27.另外，正弦值和正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.根据此特点不妨编成如下口诀:特殊角三角函数值记忆口诀三十，四五，六十度，三角函数记牢固；分母弦二切是三，分子要把根号添；一二三来三二一，弦是二，切是三戴上根号对半劈两边根号三，中间竖旗杆分清是增减，试把分母安正首余末三，好记又简单递增正切和正弦，余弦函数要递减.2.识图记忆法三角函数值，若不知其所以然，角多值乱，十分容易混淆，利用手中的一套三角板，恰当标出数据，则通俗易记.显然我们研究的30°，45°，60°这三个角正好是一副三角板的三个锐角，如图所示，对左边的第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30度的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理，可以知道30度的三角板各边：1： :2； 右边三角板中，有一锐角是45度，两条直角边相等，可得等腰直角三角各边：1： ： 我们不妨令三角板的斜边长都为2，则其余各边的长度由勾股定理不难求出，此时，数形结合，形象直观，记忆起来自会事半功倍.(二）特殊角三角函数值的“巧用”特殊角三角函数值的应用非常广泛，现从以下几个方面来感受一下吧！1.正向运用，顺理成章例1 求下列各式的值.（1） 23tan 303cos 302sin 30︒︒-︒; （2）(cos 30°sin 45°)(sin 60°cos 45°).思路分析：将特殊角的三角函数值代入式中，再化简.解:（1）原式= =453（2）原式= 点评：题中出现的角均是特殊角，可以直接代入计算，但有时运算较繁，要善于运用其他知识先化简，再计算.2.反向运用，柳暗花明例2 在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且2sin A =1,3tan B = ,则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形解析：本题先根据三角函数值求出△ABC 各个内角的度数，然后再判断△ABC 的形状. 3223212)23(33332⨯-⨯⨯83由题意，得sin A =0.5,tan B =33.因为∠A ，∠B 为锐角，所以∠A =30°,∠B =30°,所以△ABC 是等腰三角形.故选D.答案：D点评：已知三角函数值求角度时，应熟记特殊角的三角函数值，并逆向思考，求得对应的特殊角.3.正反联用，珠联璧合例3 已知，在R t △ABC 中，∠C =90°,sin A =30° ,则tan B 的值等于（ ）A. 21B.1C. 3D.33解析：本题先由∠A 的正弦值求出∠A 的度数，进而求出∠B 的度数，最后求得∠B的正切值.因为sin A =,∠A 为锐角，所以∠A ＝30°，所以∠B =90°-30°=60°,所以tan B =tan 60°=.故选C.答案：C点评：对于特殊角的三角函数值，正确进行正用和反用，能够提高解题速度，起到事半功倍的效果.。
巧用特殊值,妙解选择题
巧用特殊值，妙解选择题作者：唐学宁来源：《广东教育·高中》2016年第02期数学中通过设题中某个未知量为特殊值，经过简单的运算，得出最终答案的一种方法称之为特殊值法。
若问题的选择对象是针对一般情况给出的，则可选择特殊数字、特殊函数、特殊三角形、特殊位置等对结论加以检验，从而做出正确判断.一、特殊数字在一些数列、不等式、二项展开式的系数等问题中，如果我们能够有意识的取一些特殊值往往可以达到事半功倍的效果.例1. 将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使满足条件：（1）每一个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；（2）0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，-1）点，5在（0，-1）点，6在（-1，-1）点，…即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则“放置”数字（2n+1）2（n∈N？鄢）的整点坐标为（）A.（n+1，n）B.（-n，-n+1）C.（-n，n+1）D.（n，n+1）分析：本题常规解法是画一个数轴，然后按题目条件一个一个放置自然数，之后找出数字（2n+1）2（n∈N？鄢）放置的整点，然后根据这些整点坐标归纳出通项，不仅麻烦，而且容易出错. 如果考虑使用特殊数字即放置数字9的整点呢？解析：取n=1，由题意可知，放置数字9的整点为（-1，2），四个答案分别为A. （2，1），B. （-1，0），C. （-1，2），D. （1，2），只有C答案符合，故答案为C.点评：经常也取平行位置进行计算，但本题如果取平行x轴进行计算，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意，如果是椭圆问题则可以计算.综上所述，特殊值法可以将一般性问题特殊化，抽象问题具体化. 选用特殊值法解题，首先要满足题目的条件，其次就是掌握选值的技巧，如果一次取值不能达到目标，可以多次选取，混和选取. 在实际解题中，必须有意识的培养特殊值思想，多加练习，自然熟能生巧，事半功倍.责任编辑徐国坚。
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巧用特殊值法
资料分析是公考路上非常重要的一个模块，辽宁省公务员考试中资料分析共有四篇材料，每篇材料5道题，共20题。
资料分析题目本身并不难，主要难于考生如何在短时间内快速计算从而选出一个正确选项。
要想学好资料分析，一方面需要了解常用的统计术语，如现期量、基期量、增长量、增长率、比重、年均增长量、混合增长率等。
另一方面，要掌握一些速算技巧。
以两道例题来讲解一下特殊值法在公务员考试资料分析中的应用。
常用特殊值表
分数1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 小数0.5 0.333 0.25 0.2 0.167 0.143 0.125 0.111 0.1 0.091 百分数50% 33.3% 25% 20% 16.7% 14.3% 12.5% 11.1% 10% 9.1% 2011年，我国规模以上电子信息制造业主营业务成本占主营业务收入的比重达到88.7%，比2010年提高0.6个百分点。
行业中亏损企业2497个，同比增长36.7%，企业亏损面达16.6%；亏损企业亏损额同比增长52.9%。
【例1】（山东2014-108）2011年，我国规模以上电子信息制造企业数量约为多少万家？（）
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
本题是特殊值法在比重题型中的应用，材料中指出“行业中亏损企业2497个，企业亏损面达16.6%”，所以我国规模以上电子信息制造企业数量=0.2497÷16.6%≈0.2497×6≈6÷4=1.5。
所以，正确答案为B项。
2010年一季度，我国水产品贸易进出口总量158.7万吨，进出口总额40.9亿美元，同比分别增长14.2%和29.0%。
其中，出口量67.1万吨，出口额26.5亿美元，同比分别增
长11.7%和24.9%。
【例2】（国家2011-131）2010年一季度，我国水产品出口额比上年同期约增长了多少亿美元？（）
A.5.3
B.7.0
C.9.2
D.21.2
本题是特殊值法在增长量中的应用，当r=1/n时，增长量=现期量÷（1+n）。
材料中指出“出口额26.5亿美元，增长24.9%”，所以我国水产品出口额的增长量≈26.5÷（1+4）=5.3亿美元。
所以，正确答案为A项。
特殊值法应用在资料分析中能够使考生更加快速地选出答案，这也需要考生对常用特殊值表中的百分数及其对应的分数、小数非常熟悉。