2011年全国高考理科数学试题及答案-北京

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数212i i-=+A ．iB ．-iC ．4355i --D ．4355i -+3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2π B ．(1,)2π-C ． (1,0)D ．(1，π)4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12C ．13D ．25．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ， 延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE③△AFB ～△ADG其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=A x Ac A x xcx f ,,,)(（A ，C 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25B ．75，16C ．60，25 D ．60，16 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B ．C ．10D ．8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．在ABC ∆中。

若b=5，4B π∠=，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

10．已知向量a =1），b =（0，-1），c =（k 。

若a -2b 与c 共线，则k=___________________。

11．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。

12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。

（用数字作答）13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______14．曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。

其中，所有正确结论的序号是 。

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-。

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

16．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面AB C D ，底面A B C D 是菱形，2,60AB BAD =∠=.(Ⅰ)求证：B D ⊥平面;P A C （Ⅱ）若,PA AB =求P B 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求P A 的长.17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。

（注：方差()()()2222121n s x xxxx xn ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… nx 的平均数）18．（本小题共13分）已知函数2()()xk f x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围。

19．（本小题共14分） 已知椭圆22:14xG y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将A B 表示为m 的函数，并求A B 的最大值.20．（本小题共13分）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）102552 （10）1（11）—2 2121--n （12）14（13）（0，1） （14）②③ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π （Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1.（16）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD.所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC ∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设PB 与AC 所成角为θ，则4632226cos =⨯=θ.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－3，t ）（t>0）， 则),3,1(t BP --=设平面PBC 的法向量),,(z y x m =, 则0,0=⋅=⋅m BP m BC所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x令,3=y 则.6,3tz x ==所以)6,3,3(tm =同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(tn -=因为平面PCB ⊥平面PDC, 所以n m ⋅=0，即03662=+-t解得6=t所以PA=6（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为;435410988=+++=x方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.81162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P所以随机变量Y 的分布列为：Y 1718192021P81 41 41 41 81EY=17×P （Y=17）+18×P （Y=18）+19×P （Y=19）+20×P （Y=20）+21×P （Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81=19 （18）（共13分）解：（Ⅰ）.)(1)(122xe k x kx f -='令()00='f ，得k x ±=.当k>0时，)()(x f x f '与的情况如下x(k -∞-,)k - (k -,k) k ),(+∞k)(x f '+ 0—0 + )(x f ↗124-ek ↘↗所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -当k<0时，)()(x f x f '与的情况如下 x(k -∞-,)k - (k -,k) k ),(+∞k)(x f ' — 0 + 0—)(x f↘↗124-ek↘所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单高层区间是),(k k -（Ⅱ）当k>0时，因为eek f k1)1(11>=++，所以不会有.1)(),,0(ex f x ≤+∞∈∀当k<0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是.4)(2ek k f =-所以ex f x 1)(),,0(≤+∞∈∀等价于.14)(2eek k f ≤=--解得021<≤-k .故当.1)(),,0(ex f x ≤+∞∈∀时，k 的取值范围是).0,21[-（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=ba c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-离心率为.23==ac e（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB当m =－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418kmk x x km k x x +-=+=+又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+kkm kkm y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242km k k mk k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=m m m AB .因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m mm AB且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.（20）（共13分）解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。