上海建平中学数学几何模型压轴题(提升篇)(Word版 含解析)
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ADG ADF 180，即 B D 180 ；
（3）先作辅助线，把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF，根据已知
条件证明△FAD≌△EAD，设 DE=x，则 DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再 Rt BDF 中根据勾股定
理即可求出 x 的值，即 DE 的长． 【详解】 （1）解：如图，
∵把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，使 AB 与 AD 重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中
AF AF EAF GAF AE AG
【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x2+4x-11，②G1( 47 305 ， - 91 305 )，
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F1( - 305-21 ， - 33 305 )，G2( 47- 305 ， - 91- 305 )，F2( 305 21 ， - 33- 305 )
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Fra Baidu bibliotek
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【解析】
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3） 5 3
【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到 EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合，根据（1），要使 EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明 F、D、G 在一条直线上，即
2k c 5 k 6
∴{
解得{
即直线 AD 的解析式为 y=6x-7
c -7
c -7
y ax2 +bx-3a-5 联立抛物线 y=ax2+bx-3a-5 与直线 AD：y=6x-7 得{
AD AD FAD EAD AF AE
∴△FAD≌△EAD， ∴DF=DE， 设 DE=x，则 DF=x， ∵BD=1， ∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，
由勾股定理得： DF 2 BF 2 BD2 ， x2 (3 x)2 1 ，
t1
- 31 305 4
， t2
- 31-
305 4
，分两类讨论，分别求出
G、F
坐标。
【详解】
解：（1）把 A（2,5）代入 y=ax2+bx-3a-5 得 4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10 ∴a 和 b 之间的数量关系是 a+2b=10 （2）①设直线 AD 的解析式为 y=kx+c ∵直线 AD 与 y 轴交于（0，-7），A（2,5）
【分析】
（1）把点 A 坐标代入抛物线 y=ax2+bx-3a-5 即可得到 a 和 b 之间的数量关系； （2）①求出直线 AD 的解析式，与抛物线 y=ax2+bx-3a-5 联立方程组，根据直线与抛物线有 两个交点，结合韦达定理求出 a，b，即可求出解析式； ②作 AI⊥y 轴于点 I，HJ⊥y 轴于点 J.设 B（0，t），根据旋转性质表示粗 H、D、C 坐标， 应含 t 式子表示直线 AD 的解析式，根据 D、H、C 三点共线，把点 C 坐标代入求出
如图，把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF． 则 AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中
上海建平中学数学几何模型压轴题（提升篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图①和②，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°，点 E、F 分别在 BC、CD
上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，使
解得：x= 5 ， 3
即 DE= 5 ． 3
【点睛】 本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股 定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
2．已知抛物线 y=ax2+bx-3a-5 经过点 A(2，5) （1）求出 a 和 b 之间的数量关系． （2）已知抛物线的顶点为 D 点，直线 AD 与 y 轴交于(0，-7) ①求出此时抛物线的解析式； ②点 B 为 y 轴上任意一点且在直线 y=5 和直线 y=-13 之间，连接 BD 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到线段 BC，连接 AB、AC，将 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到线段 BH．截取 BC 的 中点 F 和 DH 的中点 G．当点 D、点 H、点 C 三点共线时，分别求出点 F 和点 G 的坐标．
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：
如图，把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合， 则 AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G 在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中
AF AF EAF GAF AE AG
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC 中，AB=AC=2 2 ，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC= AB2 AC2 =4，
AB 与 AD 重合，则能得 EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系
时，仍有
EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC= 2 2 ，点 D、E 均在边 BC 上，且
∠DAE=45°．若 BD=1，求 DE 的长．
（3）先作辅助线，把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF，根据已知
条件证明△FAD≌△EAD，设 DE=x，则 DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再 Rt BDF 中根据勾股定
理即可求出 x 的值，即 DE 的长． 【详解】 （1）解：如图，
∵把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，使 AB 与 AD 重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中
AF AF EAF GAF AE AG
【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x2+4x-11，②G1( 47 305 ， - 91 305 )，
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F1( - 305-21 ， - 33 305 )，G2( 47- 305 ， - 91- 305 )，F2( 305 21 ， - 33- 305 )
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【解析】
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3） 5 3
【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到 EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合，根据（1），要使 EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明 F、D、G 在一条直线上，即
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∴{
解得{
即直线 AD 的解析式为 y=6x-7
c -7
c -7
y ax2 +bx-3a-5 联立抛物线 y=ax2+bx-3a-5 与直线 AD：y=6x-7 得{
AD AD FAD EAD AF AE
∴△FAD≌△EAD， ∴DF=DE， 设 DE=x，则 DF=x， ∵BD=1， ∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，
由勾股定理得： DF 2 BF 2 BD2 ， x2 (3 x)2 1 ，
t1
- 31 305 4
， t2
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，分两类讨论，分别求出
G、F
坐标。
【详解】
解：（1）把 A（2,5）代入 y=ax2+bx-3a-5 得 4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10 ∴a 和 b 之间的数量关系是 a+2b=10 （2）①设直线 AD 的解析式为 y=kx+c ∵直线 AD 与 y 轴交于（0，-7），A（2,5）
【分析】
（1）把点 A 坐标代入抛物线 y=ax2+bx-3a-5 即可得到 a 和 b 之间的数量关系； （2）①求出直线 AD 的解析式，与抛物线 y=ax2+bx-3a-5 联立方程组，根据直线与抛物线有 两个交点，结合韦达定理求出 a，b，即可求出解析式； ②作 AI⊥y 轴于点 I，HJ⊥y 轴于点 J.设 B（0，t），根据旋转性质表示粗 H、D、C 坐标， 应含 t 式子表示直线 AD 的解析式，根据 D、H、C 三点共线，把点 C 坐标代入求出
如图，把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF． 则 AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中
上海建平中学数学几何模型压轴题（提升篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图①和②，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°，点 E、F 分别在 BC、CD
上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，使
解得：x= 5 ， 3
即 DE= 5 ． 3
【点睛】 本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股 定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
2．已知抛物线 y=ax2+bx-3a-5 经过点 A(2，5) （1）求出 a 和 b 之间的数量关系． （2）已知抛物线的顶点为 D 点，直线 AD 与 y 轴交于(0，-7) ①求出此时抛物线的解析式； ②点 B 为 y 轴上任意一点且在直线 y=5 和直线 y=-13 之间，连接 BD 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到线段 BC，连接 AB、AC，将 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到线段 BH．截取 BC 的 中点 F 和 DH 的中点 G．当点 D、点 H、点 C 三点共线时，分别求出点 F 和点 G 的坐标．
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：
如图，把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合， 则 AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G 在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF 和△GAF 中
AF AF EAF GAF AE AG
∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC 中，AB=AC=2 2 ，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC= AB2 AC2 =4，
AB 与 AD 重合，则能得 EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系
时，仍有
EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC= 2 2 ，点 D、E 均在边 BC 上，且
∠DAE=45°．若 BD=1，求 DE 的长．