九年级数学下册-利用二次函数解决抛物线形拱桥问题练习

利用二次函数解决抛物线形拱桥问题练习
知|识|目|标
1．通过对抛物线形的拱桥有关问题的分析,会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形拱桥的有关实际问题．
2．通过对抛物线形的隧道有关问题的分析,会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形隧道的有关实际问题．
目标一会利用二次函数解决拱桥问题
例1 教材问题3针对训练如图5－5－7,一座抛物线形拱桥架在一条河流上,这座拱桥下的水面离桥孔顶部3 m时,水面宽AB为6 m.
(1)以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系,求该抛物线相应的函数表达式；
(2)连续几天的暴雨,使水位暴涨,测量知桥孔顶部到水面的距离为4
3
m,此时水面宽CD
为多少？
图5－5－7
【归纳总结】解决抛物线形拱桥问题的步骤
(1)建立合适的平面直角坐标系；
(2)依据题意,求出函数表达式；
(3)根据要求解决问题．
目标二会利用二次函数解决隧道问题
例2 教材补充例题如图5－5－8所示,一条内设双向道隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8 m,宽AB为 2 m,以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6 m.
(1)求抛物线相应的函数表达式；
(2)一辆货运卡车高4 m,宽2.4 m,它能通过该隧道吗？
图5－5－8
【归纳总结】解决能否通过隧道问题的关键点
车辆通过隧道问题一般情况是以抛物线的对称轴为车辆的对称轴进行解答．
(1)当已知宽度时,将宽度转化为相应的自变量代入到二次函数表达式中,求出高度(函数值)．若求得的高度小于车辆的高度,则车辆不能通过；若求得的高度大于车辆的高度,则车辆能通过．
(2)当已知高度时,可以将车辆的高度(函数值)代入到二次函数表达式中,求解一元二次方程,得到两个根,若两个根之间的差的绝对值大于车辆的宽度,则车辆能通过；若两个根之间的差的绝对值小于车辆的宽度,则车辆不能通过．
知识点一建立适当坐标系,用二次函数知识解决
抛物线形拱桥的实际问题
此类问题往往以桥拱最高点为坐标原点,以水平线为x轴,铅垂线为y轴,建立平面直角坐标系,然后根据题意确定坐标系内特殊点的坐标,从而确定二次函数表达式,再根据实际问题求出相应的二次函数中的问题,注意要检验结果．
知识点二建立适当坐标系,用二次函数知识解决
抛物线形建筑物中的实际问题
日常生活中常见的抛物线形建筑物,如抛物线形大门、抛物线形隧道、抛物线形大棚等．建立的坐标系不同,得出的二次函数表达式也不同,但实际求得的结果是一致的．应注意选择便于解决问题的坐标系．
你知道吗？平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图5－5－9所示,甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手之间的距离为4 m,距地面均为1 m,学生丁、丙分别站在与甲拿绳的手水平距离为2.5 m,1 m处,绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶,已知学生丁的身高是1.625 m,求学生丙的身高．
图5－5－9
解：由抛物线的对称性可知,丙的身高与丁的身高相同,为1.625 m.
上述解答正确吗？若不正确,请说明理由,并写出正确的解答过程．
详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)如图所示．∵这座拱桥下的水面离桥孔顶部3 m 时,水面宽AB 为6 m ,
∴B(3,－3)．
设抛物线相应的函数表达式为y ＝ax 2
, 则－3＝9a, 解得a ＝－1
3
,
故该抛物线相应的函数表达式为y ＝－13x 2
.
(2)由题意可得出y ＝－4
3,
则－43＝－13
x 2
,解得x 1＝2,x 2＝－2.
故此时水面宽CD 为4 m .
[备选例题] 如图,河上有一座抛物线形桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3 m 时,水面宽AB 为6 m ,当水位上升0.5 m 时：
(1)求水面的宽度CD 为多少米．
(2)有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行．
①若游船宽(指船的最大宽度)为2 m ,从水面到棚顶的高度为1.8 m ,则这艘游船能否从桥洞下通过？
②若从水面到棚顶的高度为7
4 m 的游船能从桥洞下通过,则这艘游船的宽度最大是多少
米？
解：(1)设抛物线形桥洞相应的函数表达式为y ＝ax 2
＋c. ∵点A(3,0)和E(0,3)在函数图像上,
∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝－13，c ＝3，
∴y ＝－13
x 2
＋3.
由题意可知,点C 和点D 的纵坐标为0.5, ∴－13x 2
＋3＝0.5,
解得x 1＝302,x 2＝－302
, ∴CD ＝
302＋302
＝30(m )． 即水面的宽度CD 为30 m .
(2)①当x ＝1时,y ＝83,∵8
3－0.5>1.8,
∴这艘游船能从桥洞下通过．
②当y ＝74＋0.5＝94时,－13x 2＋3＝94,解得x 1＝32,x 2＝－3
2
.
∴这艘游船的宽度最大是3 m .
例2 [解析] 根据题意确定点的坐标,即可求出函数表达式,然后根据车宽求出最大高度,或根据车高求允许通过的车辆宽度．
解：(1)由题意知E(0,6),A(－4,2)．
设抛物线所对应的函数表达式为y ＝ax 2
＋6.
将x ＝－4,y ＝2代入上式,得2＝(－4)2
a ＋6,
解得a ＝－1
4
.
∴抛物线所对应的函数表达式为y ＝－14x 2
＋6.
(2)当x ＝2.4时,y ＝－14×2.42
＋6＝4.56＞4.
∴高4 m ,宽2.4 m 的货运卡车能通过该隧道． 【总结反思】
[反思] 不正确．错误地认为丙、丁是“对称的”．实际上,抛物线是轴对称图形,其对称轴是甲、乙两名学生的手所连线段的垂直平分线,如图所示．但丙、丁并不关于抛物线的对称轴对称．
正解：建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋k.
将(2,1),(0.5,1.625)代入y ＝ax 2
＋k,
得⎩
⎪⎨⎪⎧1＝4a ＋k ，1.625＝0.25a ＋k ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
6，k ＝53，
∴y ＝－16x 2＋53
.
当x ＝－1时,y ＝1.5.
故学生丙的身高为1.5 m .。