二项式定理与多项式定理

《高中数学研究性学习案例》

分组问题 二项式定理 多项式定理

1．固定分组问题

例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种： （1）4位学生每人3本；

（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本； （3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本．

解 （1）先从12本书中选取3本分给甲，有3

12C 种方法；当甲分

得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有39C 种方法；类似可得,丙、丁的分法分别有36C 、33C 种,由乘法原理得所求分法共有

3

12

C 39C 36C 33C =4

)!3(!

12=369600种； （2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为

48412C C 2224C C =

!

2!2!4!4!

12⋅⋅⋅=207900； （3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为

47512C C 1123C C =

!

1!2!4!5!

12⋅⋅⋅=83160． 在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的

本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题总结成如下一般定理：

定理1 将n 个不同的元素分成带有编号从1，2，…，r 的r 个

组：1A ，，，

2A r A ，使得1A 有n 1个元素，2A 有2n 个元素，…，r A 有r n 个元素，n n n n r =+++ 21，则不同的分组方法共有

!

!!!

21r n n n n ⋅⋅⋅ 种．

证明 先从n 个不同的元素中选取n 1个分给1A ，这一步有1

n n C 种方

法；再从剩下的1n n -个元素中选取2n 个分给2A ，这一步有21

n n n C -种方法；

如此继续下去，最后剩下的r n 个元素分给r A ，有r r

n n C 种方法，由乘法

原理得这样的固定分组方法共有1

n n C 21n n n C -…r

r

n n C =

!

!!!

21r n n n n 种．证毕．

我们将定理1的分配问题简称为（r n n n n ，，

，； 21）固定分组问题．

2．不尽相异元素的全排列 多项式定理

固定分组数!

!!!

21r n n n n ⋅⋅⋅ 有多种组合学意义，除了表示固定分组的

方法数外，它还有以下两种表示意义：

（1）不尽相异元素的全排列种数!

!!!

21r n n n n ⋅⋅⋅

有r 类元素，其中第k 类元素有k n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，n n n n r =+++ 21。则这r 类n 个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数

!

!!!

21r n n n n 。．

例2 （06年高考江苏卷（理））今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）．

解 9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有29C 种方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有37C 种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有44C 种方法，由乘法原理得所

求的排列方法共有29

C 37

C 44

C =!

4!3!2!9⋅⋅=1260种．

评注：对于固定分组数!

!!!

21r n n n n ⋅⋅⋅ ，除了表示固定分组的方法数

外，它还表示r 类共n 个（不尽相异）元素的全排列数，其中第k 类元素有

k

n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，

n n n n r =+++ 21．

（2）多项式定理的系数!

!!!

21r n n n n ⋅⋅⋅ 在n r x x x ）（+++ 21的展开式中，项r n

r n n x x x 2121的系数等于固定

分组数!

!!!21r n n n n 。例如在

n

b a ）（+的展开式中，项m n m b a -的系数

为

)!

(!!

m n m n -=m n C ，这正是我们所熟悉的二项式系数。有如下的多项式

定理：

多项式定理 设n 是正整数，则对一切实数 x 1 ，x 2，……，x r 有

!

!!!

212121r n n n n n

r n n n n x x x r ∑=+++=

+++）（r

n r n n x x x 2

121 （*）

其中求和是对满足方程 n 1+n 2+……n r = n 的一切非负整数n 1，

n 2，……，n t 来求。因为r 元方程n 1+n 2+……n r = n 的非负整数共有

n r n C 1-+组，所以在n

r

x x x ）（+++ 21的展开式中共有n r n C 1-+个不同的项。

多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理 。

例3 写出10

)

(w z y x +++的展开式中项

w z y x 2

34与项

2233w z y x 的系数．

解 先求项w z y x 2

34的系数．10)(w z y x +++是10个括号的连

乘积，将这10个括号看成10个元素，从中先取出4个括号作为第一组，在每个括号中都取x ；再从剩下的6个括号中取出3个作为第二组，在每个括号中都取y ；再从剩下的3个括号中取出2个作为第三组，在每个括号中都取z ；最后的剩下的1个括号作为第四组，从中