重庆市高考数学二诊试卷(理科)C卷

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重庆2019年高考学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题卷含答案详析

【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”
则
，
则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.
10.已知双曲线在圆
A. 9 【答案】B 【解析】【分析】
的一条渐近线方程为
，左焦点为，当点在双曲线右支上，点
20.已知离心率为的椭圆：
的右焦点为，点到直线的距离为 1.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点
的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足
（为坐标原点），当
时，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【解析】
【分析】
（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利
由
，
得：
则设外接圆圆心为，则
由正弦定理可知，外接圆半径：
设到面距离为
由为球直径可知：
则球的半径
球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.
12.已知是函数
（其中常数
值为 0，则函数的最小值为（）
(2) 当
时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当
时，丙应选产品投资.
时，丙应选
（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率
，可求得；又
可得，由
此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产

2024重庆市九龙坡区高三下学期二诊考试数学及答案

高2024届学业质量调研抽测（第二次）数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（）1.设集合{}|ln(2)A x y x ==-，{}2|340B x x x =--≥，则下列结论正确的是（）A.A B R= B.A B =∅ C.R B A ⊆ð D.()(1,2)R A B =- ð2.已知复数z 满足22i 1z z -=+，则复数z 在复平面内的对应点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，452S a =-，则10a 的值为（）A.20 B.512 C.1024 D.20484.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径8AB =，圆柱体部分的高5BC =，圆锥体部分的高3CD =，则这个陀螺的表面积为（）A.60πB.76πC.92πD.96π5.过抛物线28y x =焦点F 的直线交该抛物线于点M ，N ，已知点M 在第一象限，过M 作该抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为120︒，则||MN 的长度为（）A.203 B.263 C.323 D.3436.有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X 形成一组新的数据，且4()16k C P X k ==({0,1,2,3,4})k ∈，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（）A.116 B.516 C.1116 D.15167.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 6B C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 3B C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2b =，sin B =.则a 的值为（）8.已知函数()y f x =的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，都有()()2211210x f x x f x x x ->-，若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-成中心对称，且(1)4f =，则不等式4()f x x>的解集为（）A.(1,0)(0,1)- B.(1,0)(1,)-+∞ C.(,1)(0,1)-∞- D.(,1)(1,)-∞-+∞ 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

重庆市数学2020届普通高中毕业班理数第二次(5月)综合质量检查试卷C卷

A . ﹣1
B . ﹣
C .
D . 1
10. （2分） (2015高三下·武邑期中) 在二项式（4x2﹣2x+1）（2x+1）5的展开式中，含x4项的系数是（）
A . 16
B . 64
C . 80
D . 256
11. （2分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
23-1、
（1）
求证：EF⊥平面ACFD；
（2）
求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
19. （10分） (2015高二上·广州期末) 甲乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工的零件较好？
甲
99
100
98
100
103
乙
99
100
102
99
100
20. （10分） (2018高二上·无锡期末) 设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．
22. （10分） (2018高二下·双鸭山月考) 设直线过点 ,且倾斜角为。
（1）写出直线的标准参数方程；
（2）设此直线与曲线 ( 为参数)交于两点,求的值。
23. （10分） (2017高二下·运城期末) 已知函数f（x）=|x﹣a|．

重庆市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)C卷

重庆市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共12题；共24分)1. （2分）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A . [﹣1，0]B . [2﹣2， 0]C . （﹣∞，﹣2]D . [2﹣2， 2+2]2. （2分）设复数z=+i（i为虚数单位），则|z|=（）A .B .C .D . 23. （2分）命题，，使；命题，．则下列命题中真命题为（）A .B .C .D .4. （2分）(2012·天津理) 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）A . ﹣1B . 1C . 3D . 95. （2分）正四面体的各条棱长为a，点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动，则点P和点Q的最短距离是（）A . aB . aC . aD .6. （2分） (2017高一下·上饶期中) 若，是夹角为60o的两个单位向量，则 =2 + ， =﹣3 +2 夹角为（）A . 30oB . 60oC . 120oD . 150o7. （2分）在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则 n= （）A . 6B . 7C . 8D . 98. （2分） (2018高一下·河南月考) 已知函数满足，函数图象上距轴最近的最高点坐标为，则下列说法正确的是（）A . 为函数图象的一条对称轴B . 的最小正周期为C . 为函数图象的一个对称中心D .9. （2分）已知点是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A .B .C .D .10. （2分）下列程序框图的输出结果为（）A .B .C .D .11. （2分）已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n（m，n∈R），则=（）A .B .C .D . 112. （2分）如果x0是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x0是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax2+1+lnx在（，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（）A . [﹣，0）B . [﹣，0）∪{ e}C . [﹣，0）D . [﹣，0]二、填空题： (共4题；共6分)13. （1分） (2016高一上·湄潭期中) 已知函数f（x）= ，若f（a）=3，则实数a=________．14. （2分）对于各项均为整数的数列{an}，如果ai+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”．不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1 ， b2 ， b3 ，…，bn是a1 ， a2 ， a3 ，…，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”．下面三个数列：①数列{an}的前n项和；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3， (11)具有“P性质”的为________ ；具有“变换P性质”的为________15. （1分）(2017·江西模拟) （2x+ ）dx=________．16. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________，最长棱长为________．三、解答题： (共8题；共65分)17. （10分） (2015高三上·平邑期末) 已知函数f（x）= sinxcosx+cos2x，x∈R．（1）把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0， ]上的最大值；（2）在△ABC中，角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，b= ，f（）=1，S△ABC=3 ，求a 和c的值．18. （10分）(2018·全国Ⅲ卷理) 如图，边长为2的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点。

重庆市大足中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

重庆市大足中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（） A ．32B ．12C ．78 D ．982．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ．D ．3．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（） A 131 B 132 C 151D 1524．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 的极大值为2； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④5．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =则12PF PF +=（） A ．4B ．8C ．2D ．477．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,48．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 9．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-10．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（） A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-11．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}12．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆南开中学2021届高三第2次教学质量检测考试数学(理科)试题附答案

①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行 3 个周期．已
1
知每只小白鼠接种后当天出现 H 症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现 H 症状与上出现 H 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 H 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试
, 0)
垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 在第一象限的交点为 P，且 PB ⊥ BF1 ，则椭圆 C 的离心率为___________．
16．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如
图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 M (2 2, −2 2) 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋
2
，则
|
ar
+
r b
|=
_______________．
π 14．已知圆锥的母线长为 2 ，且母线与底面所成角为，则圆锥的体积为_______________．
4
15．已知 F1 ，B
分别是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>
b
>
0) 的左焦点和上顶点，点 O
为坐标原点．过点 ( 3a 5
（2）由题意可得： a2 = 4 ， ak+2 = 2k + 4 ， a3k+2 = 6k + 4
( ) 因为 a2, ak+2, a3k+2 k ∈ N* 为等比数列，
f
=
sr ⋅ u m⋅d
，其中： sr 称为斯特罗哈尔数．对于直径为 d（即漩涡发

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4，则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12，即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积．解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心．又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π．故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可．解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)．故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3；故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用，考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ．由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ，又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)．设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)．设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ，所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆，所以a =√6，c ＝2，b =√2，故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2，当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02，所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0，将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5，解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）；（Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ，由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3，可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

重庆高考届高三调研抽测(第二次) 数学试题卷(理科).docx

重庆高考2015届高三调研抽测(第二次) 数学试题卷（理科）数学试题卷（理科）共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。

特别提醒：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知全集U =R ，集合{23}A x x =-≤<,1{2,0}x B y y x -==≥，则B C U I A =A．{}|03x x ≤< 2. 由观测的样本数据算得变量x 与y 满足线性回归方程$0.60.5y x =-，已知样本平均数5x =，则样本平均数y 的值为A.0.5B.1.5C.2.5D.3.53．已知向量(1,2)a =r ，(3,2)b =-r ，且向量ka b +r r 与2a b -r r 平行，则实数k 的值为 A.12- B.12 C.2- D.2 4．已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝⌝∧D ．p q ⌝∧5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，686a a +=-，则n S 取最大值时，n 的值为A.3B.4C.5D.66．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 6题图俯视图侧视图正视图22423422S S k =+ 0,1S k == 1k k =+ 7题图P DCB A ．1683+．163+．4883+．4843+7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤8．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数是A ．408B ．480C ．552D ．816 9．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，点,A B 分别在双曲线的两条渐近线上，AF x ⊥轴，BF ∥OA ，0AB OB ⋅=u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为A 2B 3C ．322 D 23 10．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知1sin sin sin 3A B C -=，32b a =，2218a ac ≤+≤，设ABC ∆的面积为S ，2p a S =-，则p 的最小值是A ．529B ．729C 2D ．928二、填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．复数4212i i+-+的虚部为 . 12．圆22(1)5x y ++=上的点到直线290x y -+=的最大距离为．13．设常数1a >，实数,x y 满足log 2log log 3a x x x a y ++=-，若y 2，则x 的值为．考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点,B C ，点D 在线段BC 上，且2DC BD =，BAD PAB ∠=∠，PA =4PB =，则线段AB 的长为__________.15．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的方程为2,2x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）,直线l 的方程为cos sin 0k k ρθρθ--=（k为实数），若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，F 为曲线C 的焦点，则11AF BF +的16．21()14f x a ≥+对x R ∈恒成立，过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设函数21()cos()cos sin ()22f x x x x ππ=----． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ) 若()110f α=-，且3(,)88ππα∈，求()8f πα-的值． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）某居民小区有,,A B C 三个相互独立的消防通道，通道,,A B C 在任意时刻畅通的概率分别为495,,5106． (Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；(Ⅱ) 在对消防通道A 的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ．19．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AC AB ⊥，AD DC ⊥，60DAC ∠=o ，2PA AC ==，1AB =，点E 在棱PC 上，且DE PB ⊥. (Ⅰ) 求CE 的长；ED CP21题图(Ⅱ) 求二面角A PB C --的正弦值.20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知0a >，函数1()ln(1)2x a f x a x =-++． (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ) 当函数)(x f 存在极值时，设所有极值之和为()g a ，求()g a 的取值范围．21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如图所示，已知椭圆C 的方程为2212x y +=，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，直线:(0)AB y kx m k =+<与椭圆C 交于不同的,A B 两点．(Ⅰ) 若1k =-，2m =，点P 在直线AB 上，求12PF PF +的最小值；(Ⅱ) 若以线段AB 为直径的圆经过点2F ，且原点O 到直线AB 的距离为255． (1)求直线AB 的方程； (2)在椭圆C 上求点Q 的坐标，使得ABQ ∆的面积最大．22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=(n N *∈)．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 设2n n n S P a =，11n n nP T P -=+135212n n n P P P P T T -⋅⋅⋅⋅⋅<<．高2015届学生学业调研抽测(第二次)数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：1-5 BCABC ； 6-10 CBADB.二、填空题：11、2- ； 12、；13、18； 14、15、1；16、[2,0]-. 三、解答题： 17、解：(Ⅰ) 21()sin cos sin 2f x x x x =--Q …………… 2分1(sin 2cos 2)12x x =+-)124x π=+-， …………… 4分 ()f x ∴的最小正周期为22T ππ==． …………… 5分由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈． ………… 7分(Ⅱ)())112410f παα=+-=-Q ，3sin(2)45πα∴+=． …… 8分由3(,)88ππα∈知2(,)42ππαπ+∈，4cos(2)45πα∴+=-． ……10分()sin[2()]18284f πππαα∴-=-+-))]1244ππα=+--)cos cos(2)sin ]124444ππππαα=+-+- …… 12分34(125252=⨯⨯+⨯-310=-． …………… 13分 18、解:(Ⅰ)由已知通道,,A B C 畅通的概率分别为495(),(),()5106P A P B P C ===，设“至少有两个消防通道畅通”为事件D ， ()()()()()P D P ABC P ABC P ABC P ABC ∴=+++ ………… 4分 4914151954955106510651065106=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯281300=． … 6分 (Ⅱ) ξQ 的所有可能为0,1,2,3， 03311(0)()5125P C ξ∴===，1234112(1)()55125P C ξ==⨯=， 2234148(2)()55125P C ξ==⨯=，333464(3)()5125P C ξ===． … 10分ξ∴的分布列为：…… 11分数学期望11248641201231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …13分 19、解：(Ⅰ) 如图，以,,AB AC AP u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),P A (1,0,0),B 1(0,2,0),(,0)2CD ． … 2分过E 作EF AC ⊥于F ，由已知，得EF ∥PA ，设EF h =，则(0,2,)E h h -． … 3分3,),(1,0,2)2DE h h PB ∴=-=-u u u r u u u r ． DE PB ⊥Q，20DE PB h ∴⋅==u u u r u u u r，h = ……… 5分CE ∴== …………………………………… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得(0,2,2),(1,0,2)PC PB =-=-u u u r u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则 0,0n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ．220,20y z x z -=⎧∴⎨-=⎩，取1z =，得(2,1,1)n =r ． …………… 9分易知(0,2,0)AC =u u u r 是平面PAB 的法向量， …………… 10分cos ,n AC n AC n AC⋅∴==⋅r u u u r r u u u r r u u u r …………… 12分F zyxED CB PA则二面角A PB C --的正弦值为sin ,n AC =r u u u r ……………13分 20、解：(Ⅰ) ()f x 的定义域为(,)a +∞，2/2211()()1x x a a f x x xx x a a-+=-=--． ……… 2分方程20x x a -+=的判别式14a ∆=-．（1）若0∆≤，即14a ≥时，在)(x f 的定义域(,)a +∞内，有/()0f x ≥， ()f x ∴在定义域(,)a +∞上为增函数； …………… 3分（2）若0∆>，即104a <<时，方程20x x a -+=有两个不同的实数根为：12x x ==12a x x <<． ()f x ∴在1(,2a -和1(,)2++∞上为增函数； ………… 5分在11(,22-+上为减函数． …………… 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当函数)(x f 存在极值时，104a <<，且)(x f 在12,x x x x ==处取得极值． …………… 8分12121,x x x x a +==Q ，()f x ∴的所有极值之和为：12()()()g a f x f x =+121211ln(1)ln(1)22x x a a a x a x =-+++-++ 121212212ln(1)x x x x x x a a a x x ++=-+++211ln(1)a a a a a=-+++1a a =+. …………………………………………………………………………………… 10分当104a <<时，1()g a a a=+为减函数，()g a ∴的取值范围是17(,)4+∞． …………………………………………………………………………………… 12分21、解：(Ⅰ) 由椭圆方程可得，焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ． ……… 1分当1k =-，m =时，直线AB的方程为y x =-+． ………2分则可得2(1,0)F 关于直线AB的对称点为/21)F ． ………3分 12PF PF ∴+的最小值为：/12F F == … 4分(Ⅱ)(1)设点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ．由原点O 到直线AB=224(1)5m k =+．① …………………………………………………………………………………… 5分将y kx m =+代入2212x y +=，得222(12)4220k x kmx m +++-=， 222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m ∴∆=-+-=-+>，2121222422,1212km m x x x x k k-∴+=-=++． ………………… 6分由已知，得220AF BF ⋅=u u u u r u u u u r ，即1212(1)(1)0x x y y --+=． ………… 7分1212(1)(1)()()0x x kx m kx m ∴--+++=，即221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，22222224(1)(1)101212m km k km m k k --∴+⋅+-⋅++=++，化简，得23410m km +-=．② ………………… 8分由①②，得222413[1()]54m m m -=+，即42111010m m --=，21m ∴=．0k <Q ， 1,12m k =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，满足228(21)0k m ∆=-+>．AB ∴的方程为112y x =-+． … 9分（2）由（1）可知，AB 是定值，当椭圆C 上的点Q 使得ABQ ∆的面积最大时，点Q 到直线AB 的距离为最大，即点Q 为在直线AB 的下方平行于AB 且与椭圆C 相切的切点．设平行于AB 且与椭圆C 相切的切线方程为1(0)2y x n n =-+<，由221,212y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22322202x nx n -+-=，28120n ∴∆=-+=，2n ∴=-，（2n =舍去）， ………………………………………………………………………………………… 11分从而，可得Q的坐标为()33Q --． ………………… 12分 22、解：(Ⅰ) 12a =Q ，1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=，1(1)12(2)n n n a n a ++∴=+，即1221n n a a n n +=⋅++， …………… 2分 1n a n ⎧⎫∴⎨⎬+⎩⎭是以首项为112a =，公比为2的等比数列． ………… 3分 121n n a n -∴=+，即1(1)2n n a n -=+⋅． ………… 4分 (Ⅱ) 1(1)2n n a n -=+⋅Q ，2123242(1)2n n S n -∴=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，23122232422(1)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+++⋅．两式相减，得23122222(1)2n n n S n --=++++⋅⋅⋅+-+⋅12(21)2(1)221n n n --=+-+⋅- 2n n =-⋅，2n n S n ∴=⋅． ………… 6分2n n n S P a =Q，n T = 122(1)21n n n n n P n n -⋅∴==⋅+⋅+，n T ==．① 先证明：13521n n P P P P T -⋅⋅⋅⋅⋅<．方法一：13521135212462n n P P P P n--⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯Q ， 222221352113521()()()()()2462n n P P P P n--∴⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 221925(21)41636(2)n n -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 1352113572121n n n -<⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=++， …………… 8分13521n P P P P -∴⋅⋅⋅⋅⋅<13521n n P P P P T -⋅⋅⋅⋅⋅<． ………… 9分方法二：用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，左边112P ==，右边1T === 12<Q ，∴左边<右边，即不等式成立． …………… 7分（2）假设当n k =时，不等式成立，即13521k P P P P -⋅⋅⋅⋅⋅<那么，当1n k =+时，左边1352121135212122k k k k P P P P P P P P P k -+-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2122k k +<==+<===1k T +==右边，∴左边<右边．∴当1n k =+时，不等式也成立． ………… 9分13521n n P P P P T -∴⋅⋅⋅⋅⋅<对n N *∈都成立．② 再证明：n n T T <<设函数()f x x x =-，则导函数/()1f x x =．令/()0f x =，得cos x =， ∴在(0,)4π上有/()0f x <，即()f x 在(0,)4π上单调递减．()(0)0f x f ∴<=，即x x <在(0,)4π上恒成立． ……… 11分& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷又04π<≤<Q ，<n n T T <． ………… 12分综上可得：13521n n n P P P P T T -⋅⋅⋅⋅⋅<<．。

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (解析版)

2020年高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{2，3，5，7}，B ＝{x |log 2（x ﹣2）＜1}，则A ∩B ＝（） A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{3，5}2．若复数z 满足（z +i ）i ＝2﹣i ，则|z |＝（） A ．√2B ．2C ．√10D ．103．下列说法正确的是（）A ．“若a ＞2，则2a ＞4”的否命题为“若a ＞2，则2a ≤4”B ．命题p ∨q 与￢（p ∨q ）至少有一个为真命题C ．“∀x ＞0，x 2﹣2x +2≥0”的否定为“∀x ＞0，x 2﹣2x +2＜0”D ．“这次数学考试的题目真难”是一个命题4．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828A ．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B ．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C ．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈Z ）．随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（） A ．144厘米 B ．233厘米C ．250厘米D ．377厘米6．在x 3(√x √x10的展开式中，常数项为（） A ．﹣252B ．﹣45C ．45D ．2527．已知a ，b ＞0，a +2b ＝2，则b a+1b的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．[2，+∞）C ．[√2+1，+∞)D ．[2√2，+∞)8．函数y =x|x|的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），且当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，若f （100）＝log 23，则实数m 的值为（） A ．2B ．1C ．0D ．﹣110．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F 到直线PQ 的距离为（） A ．2√55B ．2√33C ．4√55D ．2√311．已知△ABC 的面积为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinA −bsinB =√2csinB +csinC ，cosBcosC =3√25，则a ＝（） A ．√52B ．√102C ．√5D ．√1012．已知A ，B ，C ，D 四点均在球O 的球面上，△ABC 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为△ABC 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD ⊥CE ，则球O 的表面积为（） A ．36πB ．42πC ．54πD ．24√6π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a =（2，m ），a →+b →=（1，2），若a →∥（a →+3b →），则实数m ＝．14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为．15．已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，若a 3，a 6，a b 1，a b 2，…，a b n ，…成等比数列，则b n ＝．16．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数f(x)=cos(π2−2x)−2√3cos 2x +√3．（1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A2)=√3，a =√3，c ＝1，求△ABC 的面积．18．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[165，175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165，167），[167，169），[169，171），[171，173），[173，175]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2．（i ）求P （167.86＜X ＜174.28）；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544，√115≈10.7，0.954410≈0.63，0.97729≈0.81，0.977210≈0.79．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AP ，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝5，CD ＝6．过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点．（1）求证：PD ⊥EF ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为π3，且PA ＝PD ，EF ＝AB ，求二面角A ﹣BD ﹣F的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√33，且点(1，2√33)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足OP →=2OM →（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ →=λNP →，求λ的值． 21．已知函数f(x)=lnx +12ax 2，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若不等式f(x)＜e x −e +12a 对∀x ∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，且直线l与曲线C有两个不同的交点．（1）求实数a的取值范围；（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线l垂直，求点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣2|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若实数a，b满足a2+b2＝m，求11+a+12+b的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{3，5}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{3}．故选：B．2．若复数z满足（z+i）i＝2﹣i，则|z|＝（）A．√2B．2C．√10D．10【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵（z+i）i＝2﹣i，∴z+i=2−ii=−1﹣2i，∴z＝﹣1﹣3i，∴|z|=√(−1)2+(−3)2=√10，故选：C．3．下列说法正确的是（）A．“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a＞2，则2a≤4”B．命题p∨q与￢（p∨q）至少有一个为真命题C．“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∀x＞0，x2﹣2x+2＜0”D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题【分析】写出命题的否定判断A；由互为否命题的两个命题必有一个是真命题判断B；写出全程命题的否定判断C；由命题的概念判断D．解：“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a≤2，则2a≤4”，故A错误；命题p∨q与￢（p∨q）互为否命题，则必有一个为真命题，即至少有一个为真命题，故B正确；“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∃x＞0，x2﹣2x+2＜0”，故C错误；“这次数学考试的题目真难”不是能够判断真假的陈述句，不是命题，故D 错误．故选：B ．4．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）附：P （K 2≥k 0）0.050 0.010 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828A ．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B ．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C ．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关【分析】根据K 的观测值K 2对照题目中的表格，得出统计结论．解：根据题意K 2＝7＞6.635，P （K 2≥k 0）＝0.010，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，故选：D ．5．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈Z ）．随着n 的增大，a n a n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（） A ．144厘米B ．233厘米C ．250厘米D ．377厘米【分析】设出长，根据长和宽之间的关系代入面积计算即可．解：设该长方形的长为x 厘米，则宽为0.618x ；故有：0.618x 2＝336平方分米＝33600平方厘米； ∴x ≈233厘米；故选：B ． 6．在x 3(√x 1√x10的展开式中，常数项为（） A ．﹣252B ．﹣45C ．45D ．252【分析】本题即求(√x √x)10展开式中x ﹣3的系数，再利用通项公式求得结果．解：在x 3(√x −√x )10的展开式中，常数项，即(√x √x)10展开式中x ﹣3的系数．而(√x −x)10展开式的通项公式为 T r +1=C 10r •（﹣1）r •x 5﹣r ，令5﹣r ＝﹣3，求得r ＝8，可得(√x −1√x)10展开式中x ﹣3的系数为C 108=45，故选：C ．7．已知a ，b ＞0，a +2b ＝2，则b a+1b的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．[2，+∞）C ．[√2+1，+∞)D ．[2√2，+∞)【分析】由ba +a+2b 2b=b a+a 2b+1，直接利用基本不等式求出ba+1b的最小值即可．解：∵a ，b ＞0，a +2b ＝2， ∴ba +a+2b 2b =b a+a 2b+1≥2√b a ⋅a2b+1=√2+1，当且仅当ba=a 2b，即a =2√2−2，b =2−√2时等号成立，故选：C ． 8．函数y =xe |x|的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值的大小，比较即可判断函数的图象．解：函数y =xe |x|是奇函数，当x ＝1时，f （1）=1e ＞0，排除C ，当x ＝2时，f （2）=2e 2＜1e=f （1），排除选项A ，D ．故选：B ．9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），且当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，若f （100）＝log 23，则实数m 的值为（） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】根据题意，由f （34+x ）＝f （34−x ）可得f （﹣x ）＝f （32+x ），结合函数的奇偶性可得f （32+x ）＝﹣f （x ），进而可得f （x +3）＝﹣f （32+x ）＝f （x ），即函数f（x ）是周期为3的周期函数，据此可得f （100）＝f （1+3×33）＝f （1）＝f （12），则有f （12）＝log 23，结合函数的解析式可得f （12）＝log 232+m ＝log 23，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，函数f （x ）满足：f （34+x ）＝f （34−x ），则有f （﹣x ）＝f （32+x ），又由f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有f （32+x ）＝﹣f （x ），则有f （x +3）＝﹣f （32+x ）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为3的周期函数，若f （100）＝log 23，则f （100）＝f （1+3×33）＝f （1）＝f （12），则有f （12）＝log 23，当x ∈（0，34）时，f （x ）＝log 2（x +1）+m ，则有f （12）＝log 232+m ＝log 23，解可得m ＝1；故选：B ．10．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F 到直线PQ 的距离为（）A ．2√55B ．2√33C ．4√55D ．2√3【分析】由抛物线的性质可得由|PF |的值可得P 的坐标，求出P 的坐标，代入抛物线的方程可得p 的值，由抛物线及圆的对称性可得Q 的坐标与P 的坐标关于x 轴对称，求出直线PQ 的方程，进而求出F 到直线PQ 的距离．解：由抛物线的性质可得可得：|FP|=x p +p2=3p ，∴x p =52p ，因为线段PF为直径的圆经过点（0，﹣1），1p2⋅y 0+15p 2=−1，可得y =−5p 24−1，所以P （52p ，−5p 24−1）将P 代入抛物线的方程可得（−5p 24−1）2＝2p ⋅52p ，∴p =2√55，由抛物线和圆的对称性可得P ，Q 关于x 轴对称，所以直线PQ 的方程x =52p ，焦点坐标F （p2，0），故所求距离为5p 2−p 2=4√55，故选：C ．11．已知△ABC 的面积为1，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinA −bsinB =√2csinB +csinC ，cosBcosC =3√25，则a ＝（） A ．√52B ．√102C ．√5D ．√10【分析】由正弦定理化简已知等式可得a 2−b 2=√2cb +c 2，利用余弦定理可求cos A ，进而可求A 的值，利用两角和的余弦函数公式可求sinBsinC =√210，由正弦定理可得b =√2asinB ，c =√2asinC ，进而利用三角形的面积公式即可求解a 的值．解：由asinA −bsinB =√2csinB +csinC ，得a 2−b 2=√2cb +c 2，则cosA =b 2+c 2−a 22bc =−√22，故A =34π，由cos A ＝﹣cos （B +C ）＝sin B sin C ﹣cos B cos C ，得sinBsinC =√210，由正弦定理知bsinB=c sinC=√2a ，即b =√2asinB ，c =√2asinC ，可得：S =12bcsinA =12⋅2a 2sinBsinC ⋅√22=110a 2=1，所以a =√10．故选：D ．12．已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为（）A．36πB．42πC．54πD．24√6π【分析】根据图形特征可得DA，DB，DC两两垂直，故三棱锥D﹣ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，求得正方体外接球直径即可解：设△ABC的中心为G，延长BG交AC于F，则F为AC中点，连接DF．由题知DG⊥平面ABC，AC⊥GB，由三垂线定理得AC⊥BD，又BD⊥CE，∴BD⊥平面ACD，又D﹣ABC为正三棱锥，∴DA，DB，DC两两垂直，故三棱锥D﹣ABC可看作以DA，DB，DC为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由AB＝6得DA=3√2，故正方体外接球直径为3√2⋅√3=3√6，所以球O的表面积为4πR2＝54π，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a=（2，m），a→+b→=（1，2），若a→∥（a→+3b→），则实数m＝4．【分析】利用向量共线定理即可得出．解：向量a→=(2，m)，a→+b→=(1，2)，∴b→=（﹣1，2﹣m）．∴a→+3b→=（﹣1，6﹣2m）．若a→∥(a→+3b→)，则实数m＝2（6﹣2m）+m＝0，解得m＝4．故答案为：4．14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为45−9π2．【分析】利用三视图画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积即可．解：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴V=3×3×5−18⋅43π⋅33=45−92π．故答案为：45−9π2．15．已知公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a4，a8依次成等比数列，若a3，a6，a b1，a b2，…，a bn，…成等比数列，则b n＝3•2n+1，n∈N*．【分析】设公差为d，d≠0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得a1＝d，进而得到等比数列的首项为3d、公比为2，运用等比数列和等差数列的通项公式，化简可得所求b n．解：设公差为d，d≠0，由a2，a4，a8依次成等比数列，可得a42＝a2a8，即a42=(a4−2d)(a4+ 4d)，即a4＝4d，即a1+3d＝4d，故a 1＝d ，∴a n ＝nd ，a 3＝3d ，a 6＝6d ，故此等比数列的首项为3d 、公比为2，因此a b n =3d ⋅2n+1=b n d ，故b n =3⋅2n+1，n ∈N*．故答案为：3•2n +1，n ∈N*．16．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 [−√3，√3] ．【分析】先对函数求导数，然后使导数满足在[a ﹣2，a +2]上有两个互异零点，并且该两点处的导数值乘积为﹣1，以此列方程，构造函数或不等式求解解：由题得y '＝a ﹣2sin x ∈[a ﹣2，a +2]，则曲线在区间[a ﹣2，a +2]内存在两数之积为﹣1，故只需（a ﹣2）（a +2）≤﹣1，解得−√3≤a ≤√3．故答案为：[−√3，√3]三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数f(x)=cos(π2−2x)−2√3cos 2x +√3．（1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A2)=√3，a =√3，c ＝1，求△ABC 的面积．【分析】（1）先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式把函数f （x ）变形成正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求其单调区间即可；（2）把x =A 2代入函数f （x ），并结合A ∈（0，π），可解得A =2π3，再利用正弦定理求出角C 的值，由于三角形的内角和为π，可求得角B ，最后利用三角形的面积公式即可得解．解：（1）f(x)=sin2x −√3(1+cos2x)+√3=2sin(2x −π3)，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ；由2kπ+π2＜2x −π3≤2kπ+3π2，得kπ+5π12＜x ≤kπ+11π12，k ∈Z ．故f（x）在[kπ−π12，kπ+5π12]上单调递增，在(kπ+5π12，kπ+11π12]上单调递减，k∈Z．（2）f(A2)=2sin(A−π3)=√3，则sin(A−π3)=√32，∵A∈（0，π），∴A−π3=π3，即A=2π3，由正弦定理得，asinA =csinC即√3√32=1sinC，解得sinC=12，∴C=π6或5π6，当C=5π6时，A+C＞π，舍去，所以C=π6，故B=π6，∴S△ABC=12acsinB=√34．18．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间[165，175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[165，167），[167，169），[169，171），[171，173），[173，175]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．（i）求P（167.86＜X＜174.28）；（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，√115≈10.7，0.954410≈0.63，0.97729≈0.81，0.977210≈0.79．【分析】（1）先算出各组的频率，再利用公式即可求出平均数和方差；（2）线根据条件求出μ，σ的值．（i ）根据题目给的数据，结合正态分布的对称性，容易求出所求结果；（ii ）可先求出对立事件（10人身高都在174.28之下）的概率，然后结果可求．解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故x =0.1×166+0.2×168+0.375×170+0.25×172+0.075×174=170， s 2＝（170﹣166）2×0.1+（170﹣168）2×0.2+（170﹣172）2×0.25+（170﹣174）2×0.075＝4.6；（2）由题知μ＝170，σ=√4.6=√1155≈2.14，（i ）P(167.86＜X ＜174.28)=P(μ−σ＜X ＜μ+2σ)=0.6826+0.9544−0.68262=0.8185，（ii ）P(X ＞174.28)=1−0.95442=0.0228，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率P ＝1﹣（1﹣0.0228）10＝1﹣0.977210≈1﹣0.79＝0.21．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AP ，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝5，CD ＝6．过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点．（1）求证：PD ⊥EF ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为π3，且PA ＝PD ，EF ＝AB ，求二面角A ﹣BD ﹣F的余弦值．【分析】（1）通过AB ∥DC ，证明AB ∥平面PDC ，然后说明AB ∥EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，证明AD ⊥DC ，结合AB ⊥AP ，推出AB ⊥平面PAD ，然后证明EF ⊥PD ；（2）说明CPD 即为直线PC 与平面PAD 所成角，取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ，以O 为原点，OA →，AB →，OP →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量，平面ABD 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角A ﹣BD ﹣F 的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB ∥DC ，AB ⊄平面PDC ，∴AB ∥平面PDC ，又面ABFE ∩面PDC ＝EF ，∴AB ∥EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴BG ＝4，又GC ＝3，BC ＝5，故∠BGC ＝90°， ∴AD ⊥DC ，∴AB ⊥AD ，又AB ⊥AP ， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥PD ；（2）解：由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴∠CPD =π3，∴6PD=√3，即PD =2√3，又EF =AB =12DC ，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 可得CD ⊥PO ，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA →，AB →，OP →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），D （﹣2，0，0），B （2，3，0），C （﹣2，6，0），P(0，0，2√2)，故F(−1，3，√2)，DB →=(4，3，0)，DF →=(1，3，√2)，设平面DBF 的法向量为m →=(x ，y ，z)，令x ＝3得m →=(3，−4，9√22)，显然n →=(0，0，1)是平面ABD 的一个法向量，∴cos〈m →，n →〉=9√22√1312=9√131，由题知二面角A ﹣BD ﹣F 的余弦值为−9√131131．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√33，且点(1，2√33)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足OP →=2OM→（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ →=λNP →，求λ的值．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及点在椭圆上，结合a ，b ，c 的关系，求解a ，b 得到椭圆方程．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →=2OM →得P （2x 1，2y 1），由NQ →=λNP →得（x Q ﹣x 2，y Q ﹣y 2）＝λ（2x 1﹣x 2，2y 1﹣y 2），求出Q 坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理，然后转化求解即可．解：（1）由题知ca =√33，故b 2a =23，又1a 2+43b 2=1，∴a 2＝3，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23+y 22=1；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →=2OM →得P （2x 1，2y 1），由NQ →=λNP →得（x Q ﹣x 2，y Q ﹣y 2）＝λ（2x 1﹣x 2，2y 1﹣y 2）， ∴x Q ＝2λx 1+（1﹣λ）x 2，y Q ＝2λy 1+（1﹣λ）y 2，又点Q 在椭圆C 上，故[2λx 1+(1−λ)x 2]23+[2λy 1+(1−λ)y 2]22=1，即4λ2(x 123+y 122)+(1−λ)2(x 223+y 222)+4λ(1−λ)(x 1x 23+y 1y 22)=1，∴4λ2+(1−λ)2+4λ(1−λ)(x 1x 23+y 1y 22)=1，由题知直线MN ：y ＝x ﹣1，与椭圆C 的方程联立得5x 2﹣6x ﹣3＝0，则x 1+x 2=65，x 1x 2=−35，∴y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−35−65+1=−45，∴5λ2−2λ+4λ(1−λ)(−15−25)=0，解得λ=2237或0，又N ，Q 不重合，∴λ≠0，故λ=2237． 21．已知函数f(x)=lnx +12ax 2，a ∈一、选择题．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若不等式f(x)＜e x −e +12a 对∀x ∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数f′(x)=1x +ax =ax 2+1x(x ＞0)，可得当a ≥0时，f（x ）在（0，+∞）上单增，当a ＜0时，由导函数的符号判断原函数的单调性；（2）把不等式f(x)＜e x −e +12a 变形，构造函数g(x)=e x −12ax 2−lnx −e +12a ，可得g′(x)=e x −ax −1x，结合g （1）＝0，可得g （x ）在（1，+∞）上单调递增，即g ′（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数a 可得a ≤e x x −1x 2，再由导数求最小值可得a 的范围．解：（1）f′(x)=1x +ax =ax 2+1x(x ＞0)，当a ≥0时，f '（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单增，当a ＜0时，由f ′（x ）＞0，解得0＜x 1√−a ，由f ′（x ）＜0，解得x 1√−a， ∴f （x ）在(01√−a )上单增，在(1√−a+∞)上单减；（2）lnx +12ax 2＜e x −e +12a ⇔e x −12ax 2−lnx −e +12a ＞0，令g(x)=e x −12ax 2−lnx −e +12a ，g′(x)=e x −ax −1x ， ∵g （1）＝0，结合（1）可知，要使g （x ）＞0＝g （1），只需g （x ）在（1，+∞）上单调递增，即g ′（x ）≥0在（1，+∞）上恒成立．即e x −ax −1x ≥0（1，+∞）上恒成立．则a ≤e x x −1x2，令h （x ）=e x x −1x 2，则h ′（x ）=xe x −e x x 2+2x 3=xe x (x−1)+2x 3． ∵x ＞1，∴h ′（x ）＞0，则h （x ）在（1，+∞）上单调递增．可得h （x ）＞h （1）＝e ﹣1． ∴a ≤e ﹣1．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点．（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用直线与圆的相交建立等量关系式求出结果．（2）利用直线的平行建立关系式，求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），转换为普通方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，直线l 的极坐标方程为ρ（4sin θ+3cos θ）＝a ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为4y +3x ＝a ，由直线l 与圆C 有两个交点知|6+12−a|5＜2，解得8＜a ＜28．（2）设圆C 的圆心为O 1，由圆C 的参数方程可设点M （2+2cos θ0，3+2sin θ0），由题知O 1M ∥l ，∴cosθ0=−45，sinθ0=35，或cosθ0=45，sinθ0=−35，故点M(25，215)，或(185，95)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足a 2+b 2＝m ，求11+a 2+12+b 2的最小值．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得m ＝2；（2）由（1）得a 2+b 2＝2，再利用柯西不等式直接得解，注意取等条件．解：（1）f （x ）＝|x |+|x |+|x ﹣2|≥|x |+|x ﹣（x ﹣2）|＝|x |+2≥2，当且仅当x ＝0时等号成立，故m ＝2；（2）由（1）得a 2+b 2＝2，由柯西不等式得(11+a 2+12+b2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2，当且仅当a 2=32，b 2=12时，等号成立， ∴11+a 2+12+b 2≥4a 2+b 2+3=45，故11+a 2+12+b2的最小值为45．。

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94]C. (1,32]D. (1,+∞) 2. 设复数z 满足1−z 1+z =i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 cos x =cos y ，则 x =y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy =0，则 x =0”的否命题为“若 xy =0，则 x ≠0”C. 命题“∃x ∈R ，使得 2x 2−1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有 2x 2−1<0”D. 若 a ∈R ，则“a >2”是“|a|>2”的充分不必要条件4. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=3，{a n }的“差数列”的通项为3n ，则数列{a n }的通项a n =( )A. 3nB. 3n −32C. 3n +32D. 3n−1+2 6. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 180 7. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 48.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈[−2,0)时，f(x)=2x，则f(2015)−f(2014)的值为()A. 34B. −34C. 14D. 1210.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 811.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，则A=()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(2,1+m),b⃗ =(3,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=______ ．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=______ ．16.若曲线y=ax+2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：ℎ)根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x¯和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．①求P(0.8<Z<8.3)②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ε，试求E(ε).附：√6.16≈2.5，若Z−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.954519.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=ax−1x 2+1，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a =1，证明：当x ∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx 2．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}，所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32],故选C ． 2.答案：A解析：本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．先求出复数z ，再求复数z 的模即可．解：∵复数z 满足1−z 1+z =i ，∴1−z =i +zi ，∴z(1+i)=1−i∴z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ，∴|z|=1，故选A ．3.答案：D解析：本题考查四种命题间的关系、命题的否定与否命题、特称命题与全称命题、充要条件等知识，比较容易．按照相关知识，逐个判断即可．解：A.易知原命题是假命题，根据原命题与逆否命题等价可知，其逆否命题为假命题，故A错误；B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题应为“若xy≠0，则x≠0”，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得2x2−1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2−1≥0”，故C错误；D.由|a|>2⇒a>2或a<−2，所以若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件，故D 正确．故选D．4.答案：D解析：本题考查了独立性检验，属于基础题．根据K2的值，结合临界值表可得．解：K2=7>6.635，故有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关系或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选D．5.答案：C解析：本题考查数列的新定义，考查累加法，是中档题．利用已知条件及累加法可直接求解出答案．由已知得a n+1−a n=3n，a1=3，则a2−a1=3，当n≥2时，a3−a2=32，…，a n−a n−1=3n−1．．由累加法得a n=3+3+32+⋯+3n−1=3n+32∵a1=3符合上式．。

重庆市2020届5月份高三“二诊”考试理科数学试题(含答案)

故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第Leabharlann 10题提示：由题知 |FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案第 1页共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
cos 0
4 5
，sin
0
3 5
，或 cos0
4 5
，sin
0
3 5
，故点
M
( 2，21) 55
，或
(18 ，9 ) 55

2025届重庆市永川北山中学高考数学二模试卷含解析

2025届重庆市永川北山中学高考数学二模试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1B ．2C ．3D ．42．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（）A ．32B ．2C ．52D ．33．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<4．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．13±B ．22C ．±1D ． 3±5．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭6．为得到的图象，只需要将的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥8．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（）A ．2B 5C ．102D ．239．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞10．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（） A ．43B ．916C ．34D ．16912．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市高考数学二模试卷(理科)C卷

重庆市高考数学二模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·沈阳期中) 已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}，B={x| ≥0}，则集合A∩B=（）A . {x|x≤1}B . {x|x≥2或x≤0}C . {x|1＜x≤2}D . {x|1≤x≤2}2. （2分） (2018高二下·顺德期末) 复数的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分）若函数图像上的任意一点P的坐标满足条件，则称函数具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A .B .C .D .4. （2分）等差数列的公差为1，且a1+a2+a3+…+a99=99，则a3+a6+…+a99的值为（）A . 0C . 66D . 995. （2分）(2017·武汉模拟) 执行图所示的程序框图，则输出的结果是（）A . 5B . 7C . 9D . 116. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知两个单位向量的夹角为60°，向量，则（）A .B .C .7. （2分） (2017高二下·太和期中) 设a、b∈（0，+∞），则“ab＜ba”是“a＞b＞e”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A .B . 3C . mD . 3m9. （2分）已知f（x）=x2﹣3，g（x）=mex ，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）A . （0，）B . （-3，）C . （-2e，）D . （0，2e）10. （2分）直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（）A . 3C .D .11. （2分）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为（）m3 ．A .B .C .D .12. （2分）设，则数列{an}的最大项为（）A . 5B . 11C . 10或11D . 36二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·宝安模拟) 二项式（x﹣）6展开式中的常数项是________．14. （1分）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体外接球的表面积是________．15. （1分）(2016·枣庄模拟) 已知实数x，y满足，则的最大值________．16. （1分） (2016高三上·枣阳期中) 同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是________．三、解答题： (共7题；共55分)17. （5分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0（Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的取值范围．18. （10分） (2017·太原模拟) 如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF= ，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．19. （5分）某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L面试，求ξ的分布列和数学期望．20. （5分）已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，，分别是椭圆的上、下顶点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过（0,2）作直线与交于两点，求三角形面积的最大值（是坐标原点）．21. （10分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（a∈R）（1）若函数f（x）≤0在定义域内恒成立，求a的取值范围．（2）在（1）的条件下，若0＜m＜n，试证明：f（n）﹣f（m）≤（1﹣m）（lnn﹣lnm）．22. （5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（I）求实数m和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求 + 的值．23. （15分）已知函数f（x）= 的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（1）=2．（1）求f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明结论；（3）求函数在区间[1，2]上的最大值和最小值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、3-1、4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、7-1、8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、答案：略12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、答案：略15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共55分)17-1、18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略23-1、答案：略23-2、答案：略23-3、答案：略第11 页共11 页。

重庆市高考数学二模试卷(理科)C卷(模拟)

重庆市高考数学二模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·怀仁期中) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·普宁月考) 若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·丰台期末) 已知等比数列的前项和为，公比为，若，，则等于（）A . 7B . 13C . 15D . 314. （2分）已知,若向区域上随机投1个点P,则点P落入区域A的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高二上·金台期末) 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程是（）A .B .C .D .6. （2分）已知向量a,b夹角为,且||=1,||=,则||等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·高密期末) 若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（）A . 22B . 27C . 31D . 568. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A . 3B . 6C . 9D . 369. （2分）(2020·榆林模拟) 对于函数，给出下列四个命题：①该函数的值域为；②当且仅当时，该函数取得最大值；③该函数是以为最小正周期的周期函数；④当且仅当时， .上述命题中正确命题的个数为（）A .B .C .D .10. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高一上·深圳期末) 在正四面体S﹣ABC中，若P为棱SC的中点，那么异面直线PB与SA 所成的角的余弦值等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二下·宁德期中) 设函数f（x）=g（x）+x2 ，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A . 4B . ﹣C . 2D . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·梅河口模拟) 若的展开式中的系数为80，则 ________.14. （1分）(2020·淮南模拟) 若实数x，y满足则的最大值为________．15. （1分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为，表面积为________16. （1分） (2016高三上·崇明期中) 已知a1=1，an﹣2an﹣1=2n ，则{an}的通项公式为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分）(2020·晋城模拟) 在中，角的对边分别为，且 .（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.18. （10分）如图，已知平面ABC⊥平面BCDE，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，CD=1，点G为△ABC的重心，N为AB中点，．（1）当时，求证：GM∥平面DFN；（2）若时，试求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．19. （5分） 2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：上春晚次数x（单位：次）12468粉丝数量y（单位：万人）510204080（1）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程=x+（精确到整数）；（2）试根据此方程预测该演员上春晚10次时的粉丝数；==，=﹣x．20. （5分） (2016高二上·定兴期中) 点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x=2的距离的比为，（Ⅰ）求点M的轨迹．（Ⅱ）是否存在点M到直线 +y=1的距离最大？最大距离是多少？21. （5分） (2017高三上·韶关期末) 已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex（Ⅰ）若函数f（x）在区间（0，9]为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1 ， l2 ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜．22. （10分）(2020·梧州模拟) 已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）直线l与曲线C是否有公共点？并说明理由；（2）若直线l与两坐标轴的交点为A，B，点P是曲线C上的一点，求△PAB的面积的最大值．23. （10分） (2018高二下·永春期末) 已知函数，，．（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、答案：略5-1、6-1、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、22-1、22-2、23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。

重庆市数学高三理数第二次模拟考试试卷C卷(模拟)

重庆市数学高三理数第二次模拟考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分） (2019高二下·富阳月考) 设全集，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 若i为虚数单位，a、b∈R，且 =b+i，则ab=（）A . ﹣1B . 1C . ﹣2D . 23. （2分） (2018高一上·龙岩月考) 等差数列中，若，则该数列的前项的和为（）A . 2015B . 4030C . 6045D . 120904. （2分）若sin（π+θ）= ，sin（）= ，则θ角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，其一条渐近线方程为y=x ，点P（ ,y0）在该双曲线上，则 =（）A . -12B . -2C . 0D . 46. （5分）(2016·浙江理) 已知实数a，b，c．（）A . 若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B . 若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C . 若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D . 若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜1007. （2分）将函数y=sinx，x∈R的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（）A . y=sin，x∈RB . y=sin2x，x∈RC . y=sinx，x∈RD . y=2sinx，x∈R8. （2分）(2017·蚌埠模拟) 已知函数f（x）=x（a﹣），曲线y=f（x）上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A . （﹣e2 ，+∞）B . （﹣e2 ， 0）C . （﹣，+∞）D . （﹣，0）9. （2分）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A . 1B .C .D .10. （2分）在区间上任取2个数，若向量，则的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）若双曲线的渐近线与抛物线的准线所围成的三角形面积为2,则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 已知a= ，b=log2 ，c= ，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . c＞a＞bD . c＞b＞a二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·山西期中) 边长为2的等边中，点为边上的一个动点，则________．14. （1分） (2018高二下·柳州月考) 已知实数满足约束条件则的最大值为________．15. （1分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________16. （1分）(2016·金华模拟) 已知数列{an}满足a1=1，并且a2n=2an ， a2n+1=an+1（n∈N*），则a5=________，a2016=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·汕头期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足csinA﹣acosC=0．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC的面积S的最大值．18. （10分）如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC= ，F为BE 的中点．（1）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC；②平面BDE⊥平面BCE；（2）若二面角E﹣AB﹣C为45°，求直线AE与平面BCE所成角．19. （10分） (2016高二下·吉林期中) 某学校对高三学生一次模拟考试的数学成绩进行分析，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计这次考试全校学生数学成绩的众数、中位数和平均值；（2）若成绩不低于80分为优秀成绩，视频率为概率，从全校学生中有放回的任选3名学生，用变量ξ表示3名学生中获得优秀成绩的人数，求变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．20. （10分） (2016高二上·南昌期中) 如图，椭圆E：的左焦点为F1 ，右焦点为F2 ，离心率e= ．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21. （10分）已知函数，．（1）若a=1，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2017·厦门模拟) 已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知倾斜角为135°且过点P（1，2）的直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．23. （10分） (2017高二下·故城期末) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

重庆市数学高三理数第二次模拟考试试卷C卷

重庆市数学高三理数第二次模拟考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·咸阳期末) 已知集合A={x|log2x＞0}，B={x|x＜2}，则（）A . A∩B=∅B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B2. （2分）若复数 z=1+i ，则 (1+z)z= （）．A . 1+3iB . 3+3iC . 3-iD . 33. （2分）(2020·定远模拟) 在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·威海期末) 将棱长为2的正方体（图1）切割后得一几何体，其三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）A .B .C . 2D . 45. （2分）已知向量,若，则实数n的值是（）A . 1B . —1C . —3D . 36. （2分）(2017·成都模拟) 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A . 1+B . 1+2C . 2+D . 27. （2分）若函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间（0，）上单调递增，则ω的取值范围是（）A . （0，]B . [1，]C . [1，2]D . （0，2]8. （2分） (2020高三上·泸县期末) 某家庭去年收入的各种用途占比统计如下面的折线图，今年收入的各种用途占比统计如下面的条形图.已知今年的“旅行”费用比去年增加了3500元，则该家庭今年“衣食住”费用比去年增加了（）A . 2000元B . 2500元C . 3000元D . 3500元9. （2分）已知实数x∈[0，8]，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一上·厦门期末) 已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f （﹣1）+f（3 ）+f（ 5）+f（7 ）+f（ 9）=（）A . 0B . 4C . 8D . 1611. （2分）(2017·莱芜模拟) 抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·正定期中) 已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12（a＜0），且f（a2﹣4）=f （2a﹣8），则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·上高模拟) 若（x+ ）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为________．14. （1分）(2017·盐城模拟) 设x，y满足，则z=x+y的最大值为________．15. （1分）直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的线段的中点的坐标为________．16. （1分）(2018·衡水模拟) 已知数列的前项和为，且满足，，（），记，数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·兰州模拟) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin2B=sin2C ﹣sinAsinB．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，△ABC的中线CD=2，求△A BC面积S的值．18. （10分） (2016高二下·高密期末) 某大型企业招聘会的现场，所有应聘者的初次面试都由张、王、李三位专家投票决定是否进入下一轮测试，张、王、李三位专家都有“通过”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个应聘者面试时，张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类的概率均为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该应聘者初次面试获得“通过”，否则该应聘者不能获得“通过”．（1）求应聘者甲的投票结果获得“通过”的概率；（2）记应聘者乙的投票结果所含“通过”和“待定”票的票数之和为X，求X的分布列和数学期望．19. （10分） (2017高二下·寿光期中) 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．20. （10分）(2018·北京) 已知椭圆的离心率为，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A ， B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C ，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.21. （10分）(2016·静宁模拟) 已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）对一切的x，2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．23. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数（1）求不等式（2）若的图像与直线围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。