成才之路高中数学人教B·必修配套练习：应用举例 第课时
成才之路高中数学人教B,选修22练习： 第1课时
第一章 1.4 第1课时一、选择题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] 只有①正确．故选A.2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．(2014·太原模拟)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛－22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n . ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.。
【成才之路】高中数学(人教版必修5)配套练习：1.2应用举例第1课时
测得水深 CF＝ 110m，求∠ DEF 的余弦值．
[解析 ] 由题意可得 DE 2＝502 ＋1202＝ 1302， DF 2＝ 1702＋302＝ 29800， EF2＝ 1202＋ 902 ＝1502，
第一章 1.2 第 1 课时
一、选择题
1．某次测量中， A 在 B 的北偏东 55°，则 B 在 A 的 ( )
A ．北偏西 35° C．南偏西 35° [答案 ] D
B ．北偏东 55° D ．南偏西 55°
[解析 ] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．
α＝ 55°，则 β＝ α＝ 55°.所以 B 在
A 的南偏西 55°.故应选 D．
2．两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°， 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( )
A ． a km
B ． 3a km
C． 2a km
D ．2a km
[答案 ] B
1 2)
＝
13，所以
MN＝
13km.
3．一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68n mile 的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 ( )
17 6 A ． 2 n mile/h
B ． 34 6n mile/h
17 2 C． 2 n mile/h
[解析 ] 在△ ASB 中，∠ SBA＝ 115°，∠ S＝ 45°.由正弦定理，得 SB＝ AsBinsi4n520°＝°16s.1ins4in520° ° ≈ 7.787(n mile) ．设点 S 到直线 AB 的距离为 h，则 h＝ SBsin65 °≈ 7.06(n mile) ．
成才之路高一数学人教B必修课后强化作业： 第课时函数的单调性的应用
第二章 2.1.3 第2课时一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则在下面区间内f (x )不是递减函数( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] C[解析] f (x )＝3x 在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A 、B 、D 正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．2．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5] D ．(－4,5][答案] C[解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，∴函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2，又∵x ∈[1,5]， 故当x ＝2时，f (x )取最小值－4， 当x ＝5时，f (x )取大值5，故选C.3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝2x 2＋3x D ．y ＝2x －1[答案] D[解析] 函数y ＝3x －2在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝3x 2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x 2＋3x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－34，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x－1在(0，＋∞)上为减函数，故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6(1≤x ≤2)x ＋7(－1≤x ≤1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对[答案] A[解析] 函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f (x )的最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.5．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)．若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 [答案] C[解析] f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－ax 22－2ax 2－4＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2a (x 1－x 2)∵a >0，x 1<x 2，x 1＋x 2＝0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝2a (x 1－x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．6．已知函数f (x )在其定义域R 上单调递增，则满足f (2x －2)<f (2)的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] ∵函数f (x )在其定义域R 上单调递增， ∴2x －2<2，∴x <2，故选D. 二、填空题7．函数y ＝－ax 在(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上的单调性为________．[答案] 单调递减[解析] ∵函数y ＝－ax在(0，＋∞)上是减函数，∴a <0.又函数y ＝－2x 2＋ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝a4<0，∴函数y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上单调递减．8．函数y ＝|x －3|＋2的递增区间为________，递减区间为________． [答案] [3，＋∞) (－∞，3][解析] y ＝|x －3|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥3)5－x (x <3)，其图象如图所示，由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]． 三、解答题9．用函数单调性的定义证明：f (x )＝x ＋ax ＋b (a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数．[解析] 设x 1、x 2∈(－b ，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2－x 1)(b －a )(x 2＋b )(x 1＋b )， 由x 1、x 2∈(－b ，＋∞)得x 1>－b ，x 2>－b ， ∴x 1＋b >0，x 2＋b >0， 又a >b >0，∴b －a <0， 又x 2－x 1>0，∴Δy <0.∴f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数.一、选择题1．函数y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D ．a ≤0[解析] 如图所示：∴函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]， 要使y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则有a ≤0.2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x 1，x 2分别在两个单调增区间，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有ΔyΔx >0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x[答案] C[解析] Δy Δx >0⇔f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A ，B 错误；f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D 错误；f (x )＝x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－1＝(x ＋2)2－1，所以f (x )在[－2，＋∞)上递增，故选C.4．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[解析] ∵f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝m8，由f (x )在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴m8≤－2，即m ≤－16.又f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.二、填空题5．已知函数y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是__________函数．[答案] 增[解析] ∵y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b >0，结合二次函数图象可得，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是增函数．6．设函数f (x )满足；对任意的x 1，x 2∈R ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．[答案] f (－3)>f (－π)[解析] (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可得函数为增函数． ∵－3>－π，∴f (－3)>f (－π)． 三、解答题7．已知f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，若f (t －1)<f (1－3t )，求t 的取值范围． [解析] ∵函数f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，且f (t －1)<f (1－3t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t －1≤1－2≤1－3t ≤1t －1<1－3t，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤20≤t ≤1t <12，即0≤t <12.故t 的取值范围为0≤t <12.8．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，且当x >2时， f (x )为增函数，试比较f (1)、f (4)、f (－2)的大小．[解析] ∵x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x >2时，f (x )为增函数，∴x <2时，f (x )为减函数，则在x 轴上距离对称轴x ＝2越远的数，其函数值越大，∴f (－2)>f (4)>f (1)．9．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调递减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解析] (1)证明：设x 1和x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 2－x 1)<0，又∵x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )是R 上的单调递减函数． (2)解：由(1)可知f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)． 而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23＝－2. ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套练习1.2应用举例第2课时
第一章 1.2 第2课时一、选择题1．在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西55°[答案] D[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°.2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．4003m B ．40033mC ．2003mD ．200m[答案] A[解析] 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m[答案] D[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 4．一艘客船上午在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32n mile 的速度继续沿正北方向匀速航行，上午到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82n mile ，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．南偏东15°C ．北偏东75°或南偏东15°D ．以上方位都不对 [答案] C[解析] 画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×12＝16n mile ，∴AB ＝16，又BS ＝82，∠BAS ＝30°， 由正弦定理，得82sin30°＝16sin ∠ASB ，∴sin ∠ASB ＝22，∴∠ASB ＝45°或135°， 当∠ASB ＝45°时，∠B ′BS ＝75°，当∠ASB ＝135°时，∠AB ′S ＝15°，故选C ．5．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( ) A ．35 B ．45 C ．34 D ．43[答案] B[解析] 由题意，得tan α＝34，∴sin αcos α＝34， ∴sin 2αcos 2α＝916，即1－cos 2αcos 2α＝916，∵α为锐角， ∴cos α＝45.6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°[答案] B [解析] 如图，由题意知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， ∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝50°， ∴α＝60°－50°＝10°. 二、填空题7．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．[答案] 6 km[解析] 如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中：OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 8．在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．[答案] 25(3＋1)m[解析] 由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．三、解答题9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449)．[解析] 在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA ， 在△ABC 中，AB sin ∠BCA＝AC sin ∠ABC，即AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620， 因此，BD ＝32＋620≈0.33km. 故B 、D 的距离约为0.33km.一、选择题1．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( )A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m[答案] C[解析] 设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝20 3.在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40，故选C ．2．已知两力|F 1|＝46N ，|F 2|＝43N ，且夹角为45°，则其合力|F |为( ) A ．43NB ．415NC ．415N 或43ND ．以上都不对 [答案] B [解析]如图，合力为AD →，在△ABC 中，AC ＝43，CD ＝46，∠ACD ＝135°，由余弦定理，得AD 2＝(46)2＋(43)2－2×46×43·cos135°＝240，所以AD ＝415.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762n mile/h B ．346n mile/h C ．1722n mile/h D ．342n mile/h[答案] A[解析] 如图所示，在△PMN 中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．4．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m 到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m[答案] A[解析] 示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BD BC ， ∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二、填空题5．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile 后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．[答案] 无[解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30， ∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°， 由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？[答案] 北偏东30° [解析]如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BCsin ∠CAB＝AC sin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at ＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 三、解答题7．在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O (如图所示)的东偏南θ(cos θ＝210)方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？[解析] 如图所示，设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t ＋60)km.若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60.由余弦定理，得OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2·PQ ·PO ·cos ∠OPQ ， 由于PO ＝300，PQ ＝20t ，∴cos ∠OPQ ＝cos(θ－45°)＝cos θcos45°＋sin θsin45° ＝210×22＋1－2102×22＝45，故OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×45 ＝202t 2－9600t ＋3002，因此202t 2－9600t ＋3002≤(10t ＋60)2， 即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24. 答：12h 后该城市开始受到台风的侵袭．8．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．[分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．[解析] 解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3. 在△BPC 中，根据正弦定理，得PCsin2θ＝PB sin (π－4θ)，即103sin2θ＝30sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得，300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ，化简得：cos2θ＝32 .∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法三：如下图，过顶点C 作CE ⊥PB ，交PB 于E ，∵△BPC 为等腰三角形，∴PE ＝BE ＝15.在Rt △BEC 中，cos2θ＝BE BC ＝15103＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.。
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.2应用举例第1课时
• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量 的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得， 根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求 出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速 航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直 线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC， 且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则 两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽 度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设C到AB的距离为CD， 则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点 之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
成才之路高中数学人教B选修同步练习 第课时 空间向量运算的坐标表示
第三章 3.1 第4课时一、选择题1．已知A (3，－2,4)、B (0,5，－1)，若OC →＝23AB →，则C 的坐标是( )A ．(2，－143，103)B ．(－2，143，－103)C ．(2，－143，－103)D ．(－2，－143，103)[答案] B[解析] ∵AB →＝(－3,7，－5)，∴OC →＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎫－2，143，－103. 故选B.2．已知点A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] AB →＝(3,4，－8)、AC →＝(5,1，－7)、BC →＝(2，－3，1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2. ∴△ABC 为直角三角形．3．已知空间四点A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)、D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( ) A ．4 B ．1 C ．10 D ．11[答案] D[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)， ∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面，∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，x ＝11.4．已知a ＝(1,2，－y )、b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )，4＝3λ，4－y ＝(－2y －2)λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－4.5．(2015·河南郑州市高二期末测试)已知a ＝(2,4，x )、b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1[答案] A[解析] ∵|a |＝6，∴|a |2＝36， ∴4＋16＋x 2＝36，∴x 2＝16，x ＝±4. 又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4＋4y ＋2x ＝0， ∴x ＋2y ＋2＝0.当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1， ∴x ＋y ＝1或－3.6．已知a ＝(x,2,0)、b ＝(3,2－x ，x )，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( ) A ．x <－4B ．－4<x <0C ．0<x <4D ．x >4[答案] A[解析] ∵a 、b 的夹角为钝角，∴a ·b <0， 即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0. ∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使b ＝λa ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0.此方程组无解，因此选A.二、填空题7．(2015·北京西城区高二期末测试)空间向量a ＝(－1,1，－2)、b ＝(1，－2，－1)、n ＝(x ，y ，－2)，且n ∥b ，则a ·n ＝__________________.[答案] －2[解析] ∵n ∥b ，∴x 1＝y－2＝－2－1＝2，∴x ＝2，y ＝－4. ∴n ＝(2，－4，－2)． ∴a ·n ＝－2－4＋4＝－2.8．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)、B (－32，12，2)、C (－1,0，2)，则角A 的大小为__________________．[答案] 30°[解析] AB →＝(－32，12，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.三、解答题9．已知点A (2,3，－1)、B (8，－2,4)、C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？ [解析] AB →＝(6，－5,5)，AC →＝(1，－3,6)， AB →＋xAC →＝(6＋x ，－5－3x,5＋6x )，∵AB →⊥(AB →＋xAC →)∴6(6＋x )－5(－5－3x )＋5(5＋6x )＝0， ∴x ＝－8651，∴存在实数x ＝－8651，使AB →与AB →＋xAC →垂直．10．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)、AC →＝(－1,0,2)、BC →＝(0，－1,2)，假设存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1α－β＝02β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)、B (4，－3,7)、C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] B[解析] 设BC 边上的中点为D ，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－1，－2,2)，所以|AD →|＝1＋4＋4＝3.2．下列各组向量中共面的组数为( ) ①a ＝(1,2,3)、b ＝(3,0,2)、c ＝(4,2,5)②a ＝(1,2，－1)、b ＝(0,2，－4)、c ＝(0，－1,2) ③a ＝(1,1,0)、b ＝(1,0,1)、c ＝(0,1，－1) ④a ＝(1,1,1)、b ＝(1,1,0)、c ＝(1,0,1) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] ①设a ＝x b ＋y c ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝3x ＋4y 2＝0·x ＋2y 3＝2x ＋5y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1.故存在实数x ＝－1，y ＝1使得a ＝－b ＋c ， ∴a ，b ，c 共面．②中b ＝－2c ，③中c ＝a －b . 故②③中三个向量共面．3．已知向量a ＝(1,2,3)、b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ， 故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7， 而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°.4．已知A (1,2,3)、B (2,1,2)、C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．(43，43，43)B ．(83，43，83)C ．(43，43，83)D ．(83，83，43)[答案] C[解析] 点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )、DA →＝(1－a,2－a,3－2a )、DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C.二、填空题5．已知a ＝(2，－3,1)、b ＝(2,0,3)、c ＝(0,0,2)，则a ·(b －c )＝__________________. [答案] 5[解析] b －c ＝(2,0,1)，a ·(b －c )＝(2，－3,1)·(2,0,1)＝4＋0＋1＝5.6．已知正三棱柱ABC －DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝__________________.[答案]116[解析] 设CN CF ＝m ，则CN →＝mCF →＝mAD →，∵M 为BC 中点，∴MN →＝MC →＋CN →＝12BC →＋mAD →，又AE →＝AB →＋BE →，由条件知，AE →·MN →＝(AB →＋BE →)·(12BC →＋mAD →)＝12AB →·BC →＋12BE →·BC →＋mAB →·AD →＋mBE →·AD → ＝－14＋4m ＝0，∴m ＝116.三、解答题7．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．[解析] (1)由题中条件可知AB →＝(－2，－1,3)、AC →＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为邻边的平行四边形面积 S ＝|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．8．设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)、OB →＝(2,1,2)、OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标．[解析] 设OQ →＝λOP →， ∴QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1,2,3)－λ(1,1,2) ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2,1,2)－λ(1,1,2) ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值．又OQ →＝λOP →＝43(1,1,2)＝(43，43，83)． 所以，所求点Q 的坐标为(43，43，83)．。
【成才之路】高中数学 2.3 函数的应用配套名师课件 新人教B版必修1
3．(2013～2014学年度湖南长沙一中高一月考)某商品价
格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价
格与原来价格相比，变化情况是( )
A．增加了7.84%
B．减少了7.84%
C．减少了9.5%
D．不增不减
[答案] B
[解析] 本题考查二次函数的应用．设该商品原价为a， 四年后的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a.所以a－0.9216a ＝0.0784a＝7.84%a，即四年后的价格比原来减少了7.84%.故 选B.
知能自主梳理
1.已知函数的模型(如_一__次___函数、_二__次___函数等)，求解 析式时，一般方法是设出函数的解析式，据题设条件，用 _待__定__系__数___ 法 求 系 数 ， 解 题 中 要 充 分 挖 掘 题 目 的 隐 含 条 件 ， 充分利用图形的直观性．
2．数学建模就是通过建立实际问题的__数__学__模__型____来解 决问题的方法．
当x＝4时，ymax＝360.故当售出价为每件14元时，每天所 赚得的利润最大，最大利润为360元.
分段函数模型
某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收入 满足函数：
R(x)＝400x－12x20≤x≤400 ， 80 000x>400
[解析] 设每件提价x元(x≥0)，利润为y元，每天销售额为 (10＋x)(100－10x)元，进货总额为8(100－10x)元．显然，100 － 10x>0 ， 有 0≤x<10 ， y ＝ (10 ＋ x)(100 － 10x) － 8(100 － 10x)(0≤x<10) ， 即 y ＝ (2 ＋ x)·(100 － 10x) ＝ － 10(x － 4)2 ＋ 360(0≤x<10)．
成才之路高中数学人教B选修同步练习 第章 第课时 导数的实际应用
第三章 3.3 第3课时一、选择题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A ．(l 6)3πB ．(l 3)3πC ．(l 4)3πD.14(l 4)3π [答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3(0<r <l4)．则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l 6，而r >0，∴r ＝l 6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为(l6)3π.2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr D.12πr 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则由组合体的知识得h 2＋(2x )2＝(2r )2，又圆柱的侧面积S ＝2πx ·h ，∴S 2＝16π2(r 2x 2－x 4)，(S 2)′＝16π2(2r 2x －4x 3)，由(S 2)′＝0，得x ＝22r (x ＝0舍去)，∴S max ＝2πr 2，故选A.3．已知某生产厂家的年利润为y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0， 解得x 1＝9，x 2＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0； 当x >9时，y ′<0，∴y ＝－13x 3＋81x －234在(0,9)内单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴在x ＝9处取极大值，也是最大值．4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则 V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V 3x 2，∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x， S ′表＝3x －43V x2＝0，∴x 3＝4V ，即x ＝34V .又当x ∈(0，34V )时y ′<0，x ∈(34V ，V )时，y ′>0，∴当x ＝34V 时，表面积最小． 二、填空题5．有一条长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________m 2.[答案] 16[解析] 设矩形场地的长为x m ， 则宽为16－2x 2＝(8－x )m ，其面积S ＝x (8－x )＝8x －x 2，S ′＝8－2x ， 令S ′＝0得x ＝4，∴当x ＝4时，S 取极大值，这个极大值就是最大值， 故当矩形场地的长为4m ，宽为4m 时， 面积取最大值16m 2.6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝________.[答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)， 由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8， 可知M ＝24，m ＝－8，故 M －m ＝32. 三、解答题7．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改选．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)[解析] (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， 所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)， 由此获得收益是g (x )(百万元)则g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0.所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大.一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x 0≤x ≤39090090 x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] ∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 2．把长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.332cm 2B ．4 cm 2C ．32cm 2D ．23cm 2[答案] D[解析] 设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4－x )cm ，两个三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32x 2－23x ＋4 3.令S ′＝3x －23＝0则x ＝2，所以S min ＝2 3.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．( )A ．105B ．110C ．115D ．120[答案] C[解析] 利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000， S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大．4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元[答案] D[解析] 毛利润为(P －20)Q ， 即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)， f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)，故f (P )极大值＝f (P )max ， 故当P ＝30时，毛利润最大， ∴f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)． 二、填空题5.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．[答案] 32 m,16 m[解析] 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图所示，设场地宽为x m ，则长为512x m ，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16. 当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64， ∴堆料场的长为51216＝32m.6．将边长为1 m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是____________．[答案]3233[解析] 设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝(3－x )212·(x ＋1)·32·(1－x )＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)，S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′(x )＝0,0<x <1，得x ＝13.当x ∈(0，13)时，S ′(x )<0，S (x )递减；当x ∈(13，1)时，S ′(x )>0，S (x )递增，故当x ＝13时，S 取最小值是3233.三、解答题7．如图所示，做成一个断面为等腰梯形的水槽，则斜角θ为多大时，水槽的流量最大？[解析] 设横截面面积为S ，过D 作CD ⊥AB 于C ， 则S ＝12(AB ＋ED )·CD ，AB ＝a ＋2a cos θ，CD ＝a sin θ，S ＝12(a ＋a ＋2a cos θ)·a sin θ＝a 2sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π2)． 又S ′(θ)＝a 2(2cos 2θ＋cos θ－1)，令S ′(θ)＝0，即a 2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝0，得cos θ＝12，或cos ＝－1.因为0<θ<π2，故cos θ≠－1，则cos θ＝12，此时θ＝π3.而0<θ<π3，S ′(θ)>0；π3<θ<π2时，S ′(θ)<0.故当θ＝π3时，横截面的面积最大，此时，水槽的流量最大．8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距a m ，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x m 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当a ＝640时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ [解析] (1)设需要新建b 个桥墩，则(b ＋1)x ＝a ， 即b ＝ax －1.因此，y ＝f (x )＝256b ＋(b ＋1)(2＋x )x＝256(a x －1)＋ax (2＋x )x＝256ax＋a x ＋2a －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝256a x 2＋12ax －12＝a 2x 2(x 32－512)令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时，b ＝a x －1＝64064－1＝9.即需新建9个桥墩才能使y 最小．。
成才之路高中数学人教B选修同步练习 第章 第课时 抛物线的几何性质
第二章 2.3 第2课时一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|. 2．若抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，且|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] A[解析] 由题意知AB 垂直于x 轴，且|AB |＝42，可设A 点纵坐标为22，代入抛物线方程得其横坐标为2，即直线AB 为x ＝2，且焦点坐标为(1,0)，则焦点到直线AB 的距离为1.3．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.4．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离 B ．F 到y 轴的距离 C ．F 点的横坐标 D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故p 表示焦点到y 轴的距离．5．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm，灯深为40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是()A．11.25 cm B．5.625 cmC．20 cm D．10 cm[答案] B[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，∵灯口直径|AB|＝60，灯深|OC|＝40，∴点A的坐标为(40,30)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则900＝2p×40，解得p＝908＝454，∴焦点F与抛物线顶点，即光源与反射镜顶点的距离为458＝5.625(cm)．6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x[答案] B[解析]由题意，设抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)，由题意，得p2＋5＝6，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x.二、填空题7．抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．[答案]1或9[解析]设抛物线上一点M坐标为(x0，y0)由题意，得y 0＝6，x 0＋p2＝10，又y 20＝2px 0，解得x 0＝1或9.8．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________． [答案] (2，±42)[解析] 设抛物线y 2＝16x 上的点P (x ，y ) 由题意，得(x ＋4)2＝x 2＋y 2＝x 2＋16x ， ∴x ＝2，∴y ＝±4 2. 三、解答题9．已知抛物线的方程为x 2＝ay ，求它的焦点坐标和准线方程． [解析] (1)当a >0时，∵2p ＝a ，∴p ＝a 2.∴焦点坐标为F (0，a 4)，准线方程为y ＝－a4.(2)当a <0时，x 2＝－(－a )y .∵2p ＝－a ， ∴p ＝－a2.∴焦点坐标为F (0，－(－a 4))，即F (0，a 4)，准线方程为y ＝－a4.综上所述，抛物线的焦点坐标为F (0，a 4)，准线方程为y ＝－a4.一、选择题1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系． 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p2＝4，p ＝2.2．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2.3．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．抛物线和一条射线 C ．椭圆 D ．抛物线[答案] B[解析] 如图所示，设动圆圆心坐标为(x ，y )，由题意得 y ＝0(x <0)或y 2＝20x (x ≠0)．4．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|P A |＋d 的最小值为( )A ．4 B.74 C.17－1 D.34－1[答案] D[解析] 因为A 在抛物线的外部，所以，当点P 、A 、F 共线时，|P A |＋|PF |最小，此时|P A |＋d 也最小，|P A |＋d ＝|P A |＋(|PF |－1)＝|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1.二、填空题5．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若弦AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为________．[答案] 2[解析] 由题意，设A 点坐标为(x,23)，则x ＝3， 又焦点F (1,0)，∴焦点到AB 的距离为2.6．已知F 为抛物线y 2＝2ax (a >0)的焦点，点P 是抛物线上任一点，O 为坐标原点，以下四个命题：(1)△FOP 为正三角形； (2)△FOP 为等腰直角三角形； (3)△FOP 为直角三角形； (4)△FOP 为等腰三角形．其中一定不正确．．．的命题序号是________． [答案] (1)(2)[解析] ∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴(1)错误． 若△FOP 为等腰直角三角形，则点P 的横、纵坐标相等都为p4，这显然不可能，故(2)错误．三、解答题7．过抛物线y 2＝－4x 的焦点，作倾斜角为120°的直线，交抛物线于A 、B 两点，求△OAB 的面积．[解析] 由y 2＝－4x 得p ＝2，焦点(－1,0)， 直线AB 方程为y ＝－3(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－4x y ＝－3(x ＋1)， 消去y 得x 2＋103x ＋1＝0，易求得|AB |＝163.又原点到直线AB 的距离d ＝32∴S △AOB ＝12×32×163＝433.8．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：(1)只有一个公共点； (2)有两个公共点； (3)没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．(1)当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．(2)当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．(3)当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．9．已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点．若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．[解析] (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)得p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2| ＝82|x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16|＝82k 2＋1|4k －3|令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22(5t ＋35)2＋1625≥825. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是825.。
成才之路人教B数学必修1同步测试：第三章 基本初等函数 第1课时 含答案
第三章 3.1 3.1.2 第1课时一、选择题1．若函数y ＝(2a －1)x ＋a －2为指数函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2[答案] D[解析] 要使函数y ＝(2a －1)x＋a －2为指数函数，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＞02a －1≠1a －2＝0，解得a ＝2.2．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有( ) A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )[答案] C[解析] ∵f (x )＝a x ，∴f (x ＋y )＝a x ＋y ，f (x )·f (y )＝a x ·a y ＝a x ＋y ， ∴f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．3．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝( )A ．12B ．2C ．4D ．14[答案] B[解析] 本题主要考查指数函数的单调性在求最值中的应用．因为函数y ＝a x 在R 上单调，所以最大值与最小值的和即为a 0＋a 1＝3，得a ＝2，故选B ．4．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)(x <2)2－x (x ≥2)，则f (－3)的值为( ) A ．2 B ．8 C ．12D ．18[答案] D[解析] f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1) ＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2) ＝f (3)＝2－3＝18.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，∴f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.6．若函数y ＝(1－a )x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)[答案] B[解析] ∵函数y ＝(1－a )x 在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴0<1－a <1，∴0<a <1. 二、填空题7．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y ＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点________．[答案] (－1,2)[解析] 令x ＋1＝0，得y ＝2， 即x ＝－1，y ＝2.故函数y ＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点(－1,2)． 8．比较大小：2.12 015______2.12 014.(填“>”或“<”) [答案] >[解析] ∵指数函数y ＝2.1x ，x ∈R 单调递增， ∴2.12 015>2.12 014. 三、解答题9．函数f (x )＝12(a x ＋a －x )，(a >0且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性； (2)若函数f (x )的图象过点(2，419)，求f (x )． [解析] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f (－x )＝12(a －x ＋a x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． (2)∵函数f (x )的图象过点(2，419)， ∴419＝12(a 2＋a －2)＝12(a 2＋1a 2)， 整理得9a 4－82a 2＋9＝0， ∴a 2＝19或a 2＝9.∴a ＝13或a ＝3.故f (x )＝12(3x ＋3－x )．10．设a ＞0, f (x )＝e x a ＋ae x (e ＞1)是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，＋∞)上是增函数．[解析] (1)依题意，对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， ∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0， ∴a －1a ＝0，即a 2＝1，又a ＞0，∴a ＝1.(2)设任意实数x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1＜x 2， ∴Δx ＝x 1－x 2＜0，Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(ex 2－e x 1)·(1ex 1＋x 2－1)＝e x 1 (e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 22e x 1＋x 2，∵Δx ＝x 1－x 2＜0，∴x 2－x 1＞0，又x 1＋x 2＞0，e ＞1， ∴e x 2－x 1－1＞0,1－e x 1＋x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数.一、选择题1．下图是指数函数：①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c[答案] B[解析] 直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．2．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数[答案] B[解析] f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数， g (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数，故选B ． 3．已知(12)m <(12)n <1，则有( )A ．0<n <mB ．n <m <0C ．0<m <nD ．m <n <0[答案] A[解析] 本题主要考查指数函数单调性的应用．因为指数函数y ＝(12)x 在R 上递减，所以由(12)m <(12)n <1＝(12)0，得m >n >0，故选A ．4．(2014～2015学年度山东烟台高一上学期期中测试)函数y ＝a x －a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )[答案] C[解析] 当x ＝1时，y ＝0，排除A 、B 、D ，故选C ． 二、填空题5．已知a ＞b ，ab ≠0，下列不等式① a 2＞b 2；② 2a ＞2b ； ③ 0.2－a ＞0.2－b ；④(13)a ＜(13)b 中恒成立的有__________．[答案] ②③④[解析] ①若0＞a ＞b ，则a 2＜b 2，故①不正确； ②y ＝2x 为增函数，∴2a ＞2b ，②正确； ③y ＝0.2x 为减函数，∴0.2－a ＞0.2－b ，③正确； ④y ＝(13)x 为减函数，∴(13)a ＜(13)b ，④正确．6．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(1,3)，则f [f (1)]＝________. [答案] 27[解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 由题意得3＝a 1，∴a ＝3.∴f (x )＝3x . ∴f (1)＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝33＝27. 三、解答题7．(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知f (x )＝2x ＋m2x ，且f (0)＝2.(1)求m 的值；(2)判断并证明f (x )的奇偶性． [解析] (1)∵f (0)＝2，∴2＝20＋m20，∴m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x ，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．∴f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．8．已知f (x )＝x (12x －1＋12)(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)求证：f (x )>0.[解析] (1)f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋1＋12＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2x －1－12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋12x－1－12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝f (x )， ∴f (x )是偶函数． (2)当x >0时，2x －1>0，∴f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12>0，又∵函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴当x ≠0时，总有f (x )>0.。
成才之路人教B数学必修同步测试：第一章 集合 含答案
第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)下列集合中，只有一个子集的集合是()A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x、y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0}[答案] D[解析]∵方程x2－x＋1＝0无解，∴{x|x2－x＋1＝0}＝∅，故集合{x|x2－x＋1＝0}只有一个子集．2．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是()A．16B．8C．7D．4[答案] C[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0,1,2}，∴真子集有7个．3．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝()A．1 B．0C．－2 D．－3[答案] C[解析]∵A⊆B，∴1∈B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.4．设M＝{正方形}，T＝{矩形}，P＝{平行四边形}，H＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是()A．M⊆T B．T⊆PC．P⊆H D．M⊆P[答案] C[解析]设U＝{四边形}，则集合U、M、T、P、H的关系用Venn图表示为5．集合M ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则M 与T 的关系是( ) A ．M T B ．M T C ．M ＝T D ．M ⃘T[答案] A[解析] ∵M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，T ＝{－1,0,1}，∴M T ，故选A ． 6．满足{a ，b }⊆A {a ，b ，c ，d }的集合A 有________个( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] ∵{a ，b }⊆A ，∴a ∈A ，b ∈A ， 又∵A{a ，b ，c ，d }，∴c ，d 不能同时为集合A 的元素，∴A ＝{a ，b }、{a ，b ，c }、{a ，b ，d }共3个． 二、填空题7．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1a ＋b ，1，且A ＝B ，则 a ＝________，b ＝________，c ＝________. [答案] 1 －2 2[解析] ∵A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ＋b ，1a ＋b ，1，A ＝B ，∴a ＝1，b ＋c ＝0，1a ＋b ＝－1，∴b ＝－2，c ＝2.8．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ≥m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围为________． [答案] m ≤－2[解析] 将集合A 、B 表示在数轴上，如图所示，∴m≤－2.三、解答题9．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．[分析]两个集合相等，说明这两个集合的元素完全相同，因此集合A中必有一个元素为0，所以x，xy，x－y这三个元素中必有一个为0.而每个集合中的元素又应该是互异的，由此出发可以列方程来确定x，y的值．[解析]∵0∈B，A＝B，∴0∈A．∵集合中元素具有互异性，∴x≠xy，∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，即x＝y.这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)，或x＝1(舍去)，或x＝－1.经检验，x＝y＝－1.10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求实数a的值．[解析]∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1；当a2－a＋1＝a时，a＝1(舍去)，∴a＝2或a＝－1.一、选择题1．设A＝{0,1}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系是()A．A B B．B AC．A＝B D．A∈B[答案] C[解析]B＝{x|x∈A}说明集合B中的元素是集合A中的全部元素，∴A＝B．2．设a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[答案] C[解析] 由集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }，知a ≠0，且a ≠1，∴a ＋b ＝0，则a ＝－b ， ∴b a ＝－1，∴a ＝ba ＝－1，∴b ＝1， 则b －a ＝2，故选C ．3．已知A ＝{x |x <－1，或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，且A B ，则实数p ( ) A ．p ≥4 B ．p >4 C ．p ≤4 D ．p <4 [答案] A[解析] ∵B ＝{x |4x ＋p <0}，∴B ＝{x |x <－p 4}，将集合A 及点－p4标在数轴上，如图．由图可知，要使A B ，应满足点－p 4在点－1的左侧或与点－1重合，即－p4≤－1，∴p ≥4.4．数集P ＝{x |x ＝(2n ＋1)π，n ∈Z }与数集Q ＝{x |x ＝(4m ±1)π，m ∈Z }之间的关系是( ) A ．P Q B ．P ＝Q C ．Q P D ．P ≠Q[答案] B[解析] 取n ＝…，－1,0,1,2，…，得P ＝{…，－π，π，3π，5π，…}； 取m ＝…，0,1，…，得Q ＝{…，－π，π，3π，5π，…}． ∴P ＝Q . 二、填空题5．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ⊆A ，则实数x 的值是________． [答案] 0或±3[解析] ∵B ⊆A ，∴x 2＝3，或x 2＝x ， 解得x ＝±3，或x ＝0，或x ＝1， 当x ＝1时，集合B 不满足元素的互异性， ∴x ＝1舍去，故x ＝0或x ＝±3.6．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，则m 的取值集合为__________．[答案] {0，－12，13}[解析] ∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，m ＝0. 当B ≠∅时，B ＝{x |x ＝－1m }．又A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∴－1m ＝－3或－1m ＝2，∴m ＝13或m ＝－12.综上可知，m ＝0或m ＝13或m ＝－12.三、解答题7．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x 、y 的值． [解析] ∵A ＝B ，∴x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B 中的元素0重复出现，此时集合B 不满足集合中元素的互异性，舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝1或x ＝0(舍去)， 此时A ＝{1,0}＝B ，满足条件． 综上可知，x ＝1，y ＝0.8．设集合A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m ＋3}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． [解析] ①当m ＋1>2m ＋3，即m <－2时，B ＝∅符合题意； ②当m ＋1≤2m ＋3，即m ≥－2时，B ≠∅.由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥12m ＋3≤4，解得0≤m ≤12.综合①②可知，m<－2或0≤m≤12.。
成才之路高中数学人教B选修同步练习 第章 第课时 椭圆及其标准方程
第二章 2.1 第1课时一、选择题1．已知F 1、F 2为两定点，|F 1F 2|＝4，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段[答案] D[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．椭圆的两个焦点分别为F 1(－8,0)、F 2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 2100＝1 B.x 2400＋y 2226＝1 C.x 2100＋y 236＝1 D.x 220＋y 212＝1 [答案] C[解析] 由c ＝8，a ＝10，所以b ＝6.故标准方程为x 2100＋y 236＝1.所以选C.3．两个焦点的坐标分别为(－2,0)、(2,0)，并且经过P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是( ) A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 [答案] A[解析] 设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得，|PF 1|＋|PF 2|＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋94＋⎝⎛⎭⎫52－22＋94＝210＝2a ， ∴a ＝10，又c ＝2，∴b 2＝6，椭圆的方程为x 210＋y 26＝1.4．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5[答案] B [解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y 25k ＝1， 又∵焦点是(0,2)，∴a 2＝5k ，b 2＝1，c 2＝5k －1＝4，∴k ＝1.5．已知方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8[答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9>025－m >0m ＋9>25－m，解得8<m <25.6．(2015·浙江文，7)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支[答案] C[解析] 由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选C.二、填空题7．设椭圆x 2m 2＋y 24＝1过点(－2，3)，那么焦距等于________．[答案] 4 3[解析] ∵椭圆x 2m 2＋y 24＝1过点(－2，3)，∴m 2＝16，∴c 2＝16－4＝12,2c ＝4 3.8．坐标轴为对称轴，并且经过A (0,2)、B (12，3)两点的椭圆的标准方程为__________________．[答案]x 2＋y 24＝1 [解析] 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4B ＝114A ＋3B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. 三、解答题9．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程． [解析] 由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1. 其焦点F 1(0,2)、F 2(0，－2)． 设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1.又∵点M (2，6)在椭圆上， ∴6a 2＋4b 2＝1① 又a 2－b 2＝4②解①②得a 2＝12，b 2＝8. 故所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.一、选择题1．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦距为3，则m 的值为( ) A ．4 B.14 C ．4或14D ．4或47[答案] D[解析] 由题意得1－1m ＝34，或1m －1＝34，∴m ＝4或47.2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac [答案] B[解析] ∵S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b .∴△ABF 面积的最大值为bc . 3．已知椭圆的方程为x 28＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，其焦距为( )A ．28－m 2B ．222－|m |C ．2m 2－8D ．2|m |－2 2 [答案] A[解析] 因为焦点在x 轴上，所以a 2＝8，b 2＝m 2，因此c ＝8－m 2，焦距2c ＝28－m 2.4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本小题主要考查椭圆的基本概念和充要条件的概念． 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆 ⇔1n>1m>0⇔m >n >0.故选C. 二、填空题5．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．[答案](152，1)或(152，－1)或(－152，1)或(－152，－1) [解析] 设P 点的纵坐标为y p ，则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y p |＝1，由c 2＝a 2－b 2得c 2＝5－4＝1，所以c ＝1，所以12×2×|y p |＝1，所以|y p |＝±1，代入椭圆方程求得横坐标．6．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的______________倍．[答案] 7[解析] 如图所示，PF 1的中点M 在y 轴上，O 为F 1F 2的中点， ∴OM ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝32，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， ∴|PF 1|＝43－32＝723＝7|PF 2|. 三、解答题7．求经过两点P 1(13，13)、P 2(0，－12)的椭圆的标准方程．[解析] 设椭圆的方程为： Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意得⎩⎨⎧19A ＋19B ＝114B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5B ＝4.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214＝1.8．已知F 1、F 2是两定点，且|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，求动点M 的轨迹方程．[解析]因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|，由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆．∴a＝5，c＝4，从而b2＝a2－c2＝9.其方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF1F2的面积为23，求P点坐标．[解析](1)由题意知，2c＝4，c＝2.且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，即2a＝8，所以a＝4.所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为x216＋y212＝1.(2)设P点坐标为(x0，y0)，依题意知，12|F1F2|·|y0|＝23，所以|y0|＝3，y0＝±3，代入椭圆方程x2016＋y2012＝1，得x0＝±23，所以P点坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．。
成才之路人教B高中数学选修习题 第一章 计数原理 第课时 含解析
第一章 1.3 第2课时一、选择题1．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] B[解析] 本题主要考查二项式定理中二项展开式的通项公式的应用．二项式(1＋3x )n 展开式的通项公式为T r ＋1＝3r C r n x r ，∴x 5与x 6的系数分别为35C 5n ，36C 6n .由条件知：35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ！5！(n －5)！＝3·n ！6！(n －6)！，∴n ＝7，选B. 2．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1 D.24 [答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 3．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28 [答案] C[解析] T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 8·(－a )r ·x 8－2r .当r ＝4时，T r ＋1为常数项，此时T 5＝C 48(－a )4＝70a 4＝1120.∴a ＝±2.令x ＝1，则⎝⎛⎭⎫x －a x 8＝(1±2)8＝1或38.故选C. 4．233除以9的余数是( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] D[解析] 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋…＋C 10119－1，∴余数为8.故选D.5．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1是11的倍数，则自然数n 为( ) A ．偶数B ．奇数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] B [解析] 原式＝19[(9＋1)n ＋1－1]＝19[10n ＋1－1]是11的倍数，∴10n ＋1－1是99的倍数，∴n 为奇数．故选B.6．在(1－x )11的展开式中，含x 奇次幂的各项系数的和是( )A ．－210B ．210C ．－211D ．211 [答案] A[解析] 令f (x )＝(1－x )11＝a 0＋a 1x ＋…＋a 11x 11，f (1)＝a 0＋a 1＋…＋a 11＝0，f (－1)＝a 0－a 1＋…－a 11＝211，f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝－211.∴含x 奇次幂的系数的和为a 1＋a 3＋…＋a 11＝－210.故选A.7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于( )A ．32B ．－32C ．－33D ．－31 [答案] D[解析] 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝－1，得25＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7，∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝1－25＝－31.二、填空题8．(2015·重庆理，12)⎝⎛⎭⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)． [答案] 52[解析] 由二项式定理得T r ＋1＝C r 5(x 3)r (12x )5－r ＝C r 5x 3r ⎝⎛⎭⎫125－r x r 2－52＝C r 5(12)5－r x 7r 2－52当72r －52＝8时，易得r ＝3，故x 8系数为C 35(12)2＝52. 9．设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋…＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[答案] 1[解析] (a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，在(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋…＋a 4x 4中，令x ＝1，得a 1＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此得(2＋3)4(3－2)4＝1.三、解答题10．在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项．[解析] (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，即⎩⎪⎨⎪⎧ C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ≥19－r ，18－r ≥2r ＋1.从而有5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48(x )4·⎝⎛⎭⎫－2x 24＝1 120x 6. (3)由(1)知展开式中的第6项及第7项的系数绝对值最大，而第6项系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·(x )2⎝⎛⎭⎫－2x 26＝1 792x11. (4)系数最小的项为T 6＝C 58·(x )3⎝⎛⎭⎫－2x 25＝－1792x x 9＝－1 792x －172.一、选择题1．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的第几项( )A ．13B ．18C ．11D ．20[答案] D[解析] 含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 58－1＝55. 设它为等差数列的第k 项，则－2＋3(k －1)＝55.∴k ＝20.故选D.2．若a 为实数，且(ax －1x)2015的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2015项为( ) A.1x 2015 B ．－1x 2015 C.4030x 2013 D ．－4030x 2013 [答案] C[解析]由条件知，(a －1)2015＝1，∴a －1＝1，∴a ＝2.∴展开式的第2015项为：T 2015＝C 20142015·(2x )·(－1x)2014 ＝2C 12015·x －2013＝4030x 2013，故选C. 3．若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋…＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋…＋b n a n ，且b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30，则自然数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 令a ＝1得：b 0＋b 1＋b 2＋...＋b n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2＝30. ∴2n ＋1＝32.∴n ＝4.故选B.二、填空题4．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝________.[答案] 63[解析] 逆用二项式定理，得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729.即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.5．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.[答案] 10[解析] 本题考查二项式定理的展开式．x 5＝[(x ＋1)－1]5＝(x ＋1)5－C 15(x ＋1)4＋C 25(x ＋1)3－C 35(x ＋1)2＋C 45(x ＋1)－C 55(x ＋1)0，∴a 3＝C 25＝10.适当的变形将问题简化．三、解答题6．已知(2x －3)7＝a 0(x －1)7＋a 1(x －1)6＋…＋a 6(x －1)＋a 7.(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)求a 0－a 7.[解析] (1)令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(4－3)7＝1.(2)令x ＝1，得a 7＝(2×1－3)7＝－1，x 7的系数a 0＝C 0727(－3)0＝128，∴a 0－a 7＝129.7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比(a ＋b )2n 展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的第三项．[解析] (a ＋b )2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 展开式中偶数项的二项式系数的和为2n －1.依题意，有2n －1＝22n －1－120，即(2n )2－2n －240＝0.解得2n ＝16，或2n ＝－15(舍)．∴n ＝4. 于是，第一个展开式中第三项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x.8．(2015·胶州市期中)已知(1＋m x)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．[解析](1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2，或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8所以含x2的系数为C4824－C2822＝1008.。
【成才之路】高中数学-1
2．描点法：在要求不太高的情况下可用五点法作图，函数 y ＝ sinx ， x ∈ [0,2π] 的 图 象 上 有 五 点 起 决 定 作 用 ， 它 们 是 _(_0_,0_)____、__π2_，__1_____、_(_π_, _0_)___、__32_π_，__－__1__、_(2_π_,_0_)___，
[点评] 讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性的一般步骤: (1)若ω<0，利用诱导公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系数化 为大于0的数； (2)引入变量u＝ωx＋φ(ω>0)； (3)讨论函数y＝sin u的单调性； (4)解关于x的不等式得出y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．
下列关系式中正确的是( ) A. sin11°<cos10°<sin168° B. sin168°<sin11°<cos10° C. sin11°<sin168°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11° [答案] C
(2)cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°, cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－sin10°, ∵sin10°<sin25°, ∴－sin10°>－sin25°, 即cos260°>cos115°. (3)sin194°＝－sin14°, cos160°＝－cos20°＝－sin70°, ∵sin14°<sin70°, ∴－sin14°>－sin70°, ∴sin194°>cos160°.
3．下列函数不是奇函数的是( )
A．y＝sinx
B．y＝sin2x
C．y＝sinx＋2
D．y＝12sinx
【成才之路】高中数学(人教版B版_必修5)配套练习：1.1正弦定理和余弦定理第1课时
∵ B＝ 2A，∴ C＝π－A－B＝π－3A．
又∵△ ABC 为锐角三角形，
∴
0<π－
3A<π2，∴
ππ 6<A<3.
又 B＝2A，∴ 0<2A<π2， ∴ 0<A<π4，
∴ π6<A<π4，
23 ∴ cosA∈ ( 2 ， 2 )，∴ 2cosA∈( 2， 3)，
故选 D．
3．(2013 ·辽宁理， 6)在△ ABC 中，内角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c，若
第一章 1.1 第 1 课时
一、选择题
1．在△ ABC 中， AB＝ 3，∠ A＝ 45°，∠ C＝75°，则 BC 等于 ( )
A ． 3－ 3
B． 2
C． 2 [ 答案 ] A
D． 3＋ 3
[ 解析 ]
由正弦定理，得
sBinCA＝sAinBC，即
BC sin45
＝°sin735
，°∴ BC＝
3× sin45 sin75 °
8．在△ ABC 中， A＝ 30°， C＝45°，c＝ 2，则边 a＝ ________.
[ 答案 ] 1
[ 解析 ] 由正弦定理，得 sinaA＝sincC，
1
∴ a＝ cssininCA＝
2× 2 ＝ 1.
2
2
三、解答题
9．在△ ABC 中， B＝ 45°， AC＝
2 10，cosC＝
5
5，求边
asinBcosC＋ csinBcosA＝12b，且 a>b，则∠ B＝ (
)
π A．6
B．π3
C．
2π 3
D．
5π 6
[ 答案 ] A
2022年秋成才之路高中数学导学练习(人教B版必修一)：第二章 函数 2.1.3 第1课时
其次章 2.1 2.1.3第1课时一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()导学号62240362A．y＝1x2B．y＝x3C．y＝x0D．y＝x2[答案] D[解析]∵函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有() 导学号62240363A．a>12B．a≤12C．a>－12D．a<12[答案] A[解析]由题意2a－1>0，∴a>12.3．假如函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是() 导学号62240364A．f(x1)－f(x2)x1－x2>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．x1－x2f(x1)－f(x2)>0[答案] C[解析]由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1<x2时，可能有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．4．(2022～2021学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝－x2＋2ax＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是() 导学号62240365 A．a<4 B．a≤4C．a>4 D．a≥4[答案] D[解析]函数f(x)的图象的对称轴为x＝a，由题意得a≥4.5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上() 导学号62240366A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或是减函数D．无法确定单调性[答案] D[解析]函数f(x)在两个单调增区间的并区间上并不肯定是增函数．如图所示．6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则() 导学号62240367A．f(1)>f(2) B．f(－a)<f(a)C．f(0)<f(a) D．f(1)<f(2)[答案] A[解析]∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(1)>f(2)，故选A．二、填空题7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且m＝f(34)，n＝f(a2－a＋1)，则m与n的大小关系是____________．导学号62240368[答案]m≥n[解析]a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34，∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)， ∴m ≥n .8．已知函数f (x )的图象如图．则f (x )的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．导学号62240369[答案] [－3,1] 2 －3[解析] 由图可知f (x )的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3. 三、解答题9．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )＝x2x －1，证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．导学号62240370[证明] 设任意x 1∈(1，＋∞)，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2. f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－1－x 12x 1－1＝2x 1x 2－x 2－2x 1x 2＋x 1(2x 2－1)(2x 1－1)＝x 1－x 2(2x 2－1)(2x 1－1)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1>1，x 2>1， ∴2x 1－1>0,2x 2－1>0，∴x 1－x 2(2x 2－1)(2x 1－1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．故函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．10．推断函数f (x )＝－x 3＋1在R 上的单调性．导学号62240371 [证明] 函数f (x )＝－x 3＋1在R 上是减函数． 设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋1＋x 31－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0， ∴Δy <0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数.一、选择题1．在(－∞，0)上是减函数的是( ) 导学号62240372 A ．y ＝1－x 2B ．y ＝－1x C ．y ＝x －1 D ．y ＝4x[答案] D[解析] 函数y ＝1－x 2，y ＝－1x ，y ＝x －1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y ＝4x 在(－∞，0)上为减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，那么( ) 导学号62240373A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数B ．f (x )是减函数C ．f (x )是增函数D ．f (x )在(－∞，0)上是增函数[答案] D[解析] 函数f (x )＝8＋2x －x 2的图象为开口向下，对称轴是x ＝1的抛物线，∴函数f (x )在(－∞，0)上是增函数．3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) 导学号62240374 A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减[答案] C[解析] y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≥－2)－x －2 (x <－2)，作出y ＝|x ＋2|的图象， 易知在[－3，－2]上为减函数， 在[－2,0]上为增函数．4．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( ) 导学号62240375 A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )[答案] A[解析] ∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 二、填空题5．若f (x )＝x 2＋2mx ＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m 的取值范围为________． 导学号62240376 [答案] m ≤－1[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2的对称轴为x ＝－m ，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m ≥1，∴m ≤－1.6．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间为________．导学号62240377 [答案] (－∞，－12][解析] 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－12， ∴函数的递减区间为(－∞，－12]． 三、解答题7．设函数f (x )是R 上的单调增函数，F (x )＝f (x )－f (2－x )．导学号62240378 求证：函数F (x )在R 上是单调增函数． [证明] 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，∵函数f (x )是R 上的单调增函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，f (2－x 1)>f (2－x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)<0，f (2－x 1)－f (2－x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (2－x 1)]－[f (x 2)－f (2－x 2)]＝[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (2－x 2)－f (2－x 1)]<0，即F (x 1)－F (x 2)<0，所以F (x 1)<F (x 2)．∴函数F (x )在R 上是单调增函数． 8．争辩函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠12)在(－2，＋∞)上的单调性．导学号62240379 [解析] 设x 1、x 2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝(2a －1)(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵x 1>－2，x 2>－2，x 1<x 2， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 2－x 1>0.因此，当a >12时，2a －1>0，此时f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是增函数；当a <12时，2a －1<0，此时f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是减函数．。
2022年秋成才之路高中数学导学练习(人教B版必修一)：第二章 函数 2.1.2 第1课时
其次章 2.1 2.1.2第1课时一、选择题1．已知函数f(x)由下表给出，则f(2)＝()导学号62240299x 123 4f(x)234 1A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析]由图表可知f(2)＝3，故选C．2．在下面四个图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是() 导学号62240300[答案] D[解析]依据函数的定义，任作一条与x轴垂直的直线，直线与函数图象至多有一个交点，因此只有选项D符合．3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为() 导学号62240301A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)C．y＝50x(x>0) D．y＝100x(x>0)[答案] C[解析]由题意，得100＝(x＋3x)y2，∴y＝50x(x>0)．4．已知f(x＋1)＝x2－4，那么f(6)的值是() 导学号62240302A．32 B．21C．12 D．45[答案] B[解析]∵f(x＋1)＝x2－4，令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3，∴f(6)＝36－12－3＝21.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 导学号62240303给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析]设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而削减且每小时削减一个单位，若3～4时不进水只出水，应每小时削减两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应当是全部水口都打开，进出均衡，故③也不正确．所以正确序号只有①.6．(2022～2021学年度河北刑台二中高一上学期月考)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x＋1)＝() 导学号62240304A．x2＋6x B．x2＋8x＋7C．x2＋2x－3 D．x2＋6x－10[答案] B[解析] 令x －1＝t ，∴x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ， ∴f (x )＝x 2＋6x .∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6(x ＋1)＝x 2＋8x ＋7. 二、填空题7．(2022～2021学年度江苏南通中学高一上学期期中测试)若f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ，则f (x )的解析式为____________．导学号62240305[答案] f (x )＝x 2－1[解析] 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12. ∴f (t )＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋4×t －12＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1.8．下面给出了四个图象和三个大事：导学号62240306①我离开家不久，发觉自己把作业本忘在家里了，于是马上返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以匀速行驶离开家，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我从家里动身后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开头加速． 图象与这三个大事发生的挨次相吻合的分别为__________． [答案] d ，a ，b[解析] 离家不久发觉自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故①与图象d 相吻合；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为肯定值，故②与图象a 相吻合；最终加速向学校，图象上升就得越来越快，故③与图象b 相吻合．三、解答题9．某种杯子每只0.5元，买x 只，所需钱数为y 元，分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数．导学号62240307[解析] (1)列表法：x (只)1 2 3 4 y (元)0.511.52(2)解析法：y ＝0.5x ，x ∈{1,2,3,4}． (3)图象法：10．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x ＋1)＝x 2－2. 导学号62240308 (1)求f (2)的值； (2)求函数f (x )的解析式．[解析] (1)令x ＝1，则f (2)＝12－2＝－1. (2)令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1.∴f (t )＝(t －1)2－2＝t 2－2t －1. ∴f (x )＝x 2－2x －1.一、选择题1．假如f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) 导学号62240309A ．1xB ．1x －1C ．11－xD ．1x －1[答案] B[解析] 令1x ＝t ，∴x ＝1t . ∴f (t )＝1t1－1t ＝1t ·t t －1＝1t －1， ∴f (x )＝1x －1(x ≠0，x ≠1)． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶、最终停车，若把这一过程中汽车行驶路程s 看做时间t 的函数，其图象可能是( ) 导学号62240310[答案] A[解析] 汽车加速行驶时，速度变化越来越快；汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线；汽车减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．故选A ．3．(2022～2021学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) 导学号62240311A ．－74 B ．74 C ．43 D ．－43[答案] B[解析] 令12x －1＝t ，则x ＝2(t ＋1)，∴f (t )＝4t －1，∴f (x )＝4x －1. ∴f (a )＝4a －1＝6，∴a ＝74.另解：2x －5＝6得x ＝112，∴a ＝12×112－1＝74.4．已知f (x )＝([x ]＋1)2＋2，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，则f (－2.5)＝( ) 导学号62240312 A ．2 B ．3 C ．294 D ．6[答案] D[解析] 由题意得[－2.5]＝－3，∴f (－2.5)＝([－2.5]＋1)2＋2＝(－3＋1)2＋2＝6. 二、填空题5．(2022·浙江文)函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝______，b ＝________.导学号 62240313[答案] －2 1[解析] f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2， (x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，∴x 3＋3x 2－a 3－3a 2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－(2a ＋b )＝3a 2＋2ab ＝0－a 3－3a 2＝－a 2b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.6．已知函数y ＝f (n )，满足f (1)＝1，且f (n )＝nf (n ＋1)，n ∈N ＋，则f (5)＝________. 导学号62240314 [答案] 124[解析]∵f(n)＝nf(n＋1)，n∈N＋，∴f(n＋1)＝f(n) n.又f (1)＝1，∴f(2)＝f(1)1＝1，f(3)＝f(2)2＝12，f(4)＝f(3)3＝16，f(5)＝f(4)4＝124.三、解答题7．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，假如放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有肯定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去．假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．导学号62240315(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)假如放养x天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x 的函数关系式．[解析](1)由题意，知P＝30＋x.(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x)(30＋x)元．死蟹的销售额为200x元．∴Q＝(1 000－10x)(30＋x)＋200x＝－10x2＋900x＋30 000.8．作出下列函数的图象：导学号62240316(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝1x(x>1)．[解析](1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图所示为函数图象的一部分．(2)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图．。
成才之路高一数学人教B必修课后强化作业： 第课时分段函数
第二章 2.1.2 第2课时一、选择题1．(2012·江西文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≤1)2x (x >1)，则f [f (3)]＝( ) A.15 B ．3 C ．23D ．139[答案] D[解析] 本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝23，f [f (3)]＝f (23)＝(23)2＋1＝139.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤－1)x 2(－1<x <2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值为( )A ．2B ．2或32C ．±3 D. 3[答案] D[解析] 当x ≤－1时，f (x )＝x ＋1＝3， ∴x ＝2(不合题意，舍去)；当－1<x <2时，f (x )＝x 2＝3，x ＝±3， ∵－1<x <2，∴x ＝3；当x ≥2时，f (x )＝2x ＝3，∴x ＝32(不合题意舍去)，故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x >0)－π (x ＝0)x 2＋1 (x <0)，则f {f [f (－1)]}的值等于( )A ．x 2＋1B ．π2＋1C ．－πD ．0[答案] C[解析] f (－1)＝(－1)2＋1＝2， f [f (－1)]＝f (2)＝0， f {f [f (－1)]}＝f (0)＝－π.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤1)2(1<x <2)3(x ≥2)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}[答案] D[解析] 作出y ＝f (x )的图象，如图所示．由图象知，f (x )的值域是[0,2]∪{3}．5．已知y ＝f (n )满足⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2f (n ＋2)＝3f (n )＋5，n ∈N ，则f (4)的值为( )A ．11B ．17C ．23D ．38[答案] D[解析] ∵f (4)＝3f (2)＋5， f (2)＝3f (0)＋5＝3×2＋5＝11， ∴f (4)＝3×11＋5＝38.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x (x >0)x ＋1(x ≤0)，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3或－1B ．－1C ．1D ．－3[答案] D[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x ，∴f (1)＝2. ∴f (a )＝－f (1)＝－2. 当a >0时，f (a )＝2a ≠－2，当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3，故选D. 二、填空题7．(2013～2014学年度江西吉安一中高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥3)1－3x (x <3)，则f [f (－1)]的值是________．[答案] 7[解析] ∵x <3时，f (x )＝1－3x ， ∴f (－1)＝1－3×(－1)＝4.又∵x ≥3时，f (x )＝2x －1，∴f (4)＝2×4－1＝7. ∴f [f (－1)]＝f (4)＝7.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x 为有理数)0(x 为无理数)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0(x 为有理数)1(x 为无理数).当x ∈R 时，f [g (x )]＝__________，g [f (x )]＝__________.[答案] 1 0[解析] ∵f (x )、g (x )的函数值均为有理数， ∴f [g (x )]＝1，g [f (x )]＝0. 三、解答题9．画出函数y ＝|x －1|＋|2x ＋4|的图象． [解析] y ＝|x －1|＋|2x ＋4|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3 (x >1)x ＋5 (－2≤x ≤1)－3x －3 (x <－2).画出函数y ＝|x －1|＋|2x ＋4|的图象如图所示．一、选择题1．已知函数f (x )定义在[－1,1]上，其图象如图所示，那么f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]x ，x ∈(0，1]B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ∈[－1，0]－x ，x ∈(0，1]C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]－x ，x ∈(0，1]D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0)－x ，x ∈[0，1][答案] C[解析] ∵f (x )的图象是由两条线段组成， ∴由一次函数解析式的求法可得f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1(－1≤x ≤0)－x (0<x ≤1).2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋6(x ≤0)－10x (x >0)，或f (a )＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－1C ．1D ．－4或1[答案] A[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋3a ＋6＝10， ∴a 2＋3a －4＝0，解得a ＝－4或a ＝1， ∵a ≤0，∴a ＝－4. 当a >0时， f (a )＝－10a＝10， ∴a ＝－1，又∵a >0，∴a ≠－1. 综上所述， a ＝－4.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )[答案] C[解析] y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎨⎧x ＋1(x >0)x －1(x <0)，故选C.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－x (x >0)x 2(x <0)，则f [f (x )]＝( )A ．f [f (x )]＝⎩⎨⎧ x 2(x >0)－x 2(x <0)B ．f [f (x )]＝⎩⎨⎧－x 2(x >0)x 2(x <0)C ．f (x )＝⎩⎨⎧ －x (x >0)x 2(x <0)D ．f (x )＝⎩⎨⎧－x (x <0)x 2(x >0)[答案] A[解析] 当x >0时，f [f (x )]＝f (－x )＝(－x )2＝x 2； 当x <0时，f [f (x )]＝f (x 2)＝－(x 2)＝－x 2，∴f [f (x )]＝⎩⎨⎧x 2(x >0)－x 2(x <0).二、填空题5．某工厂8年来某产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产； ④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是____________． [答案] ①③[解析] 从图象来看，前三年总产量增长速度越来越快，从第三年开始，总产量不变，说明这种产品已经停产．故①③正确．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x >0)－1 (x ＝0)2x －3 (x <0)，则f {f [f (5)]}等于________．[答案] －5[解析] ∵x >0时，f (x )＝0，∴f (5)＝0. ∵x ＝0时，f (x )＝－1，∴f (0)＝－1. 又∵x <0时，f (x )＝2x －3，∴f (－1)＝－5. ∴f {f [f (5)]}＝f [f (0)]＝f (－1)＝－5. 三、解答题7．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x (0<x ≤5)20 (5<x ≤9)56－4x (9<x <14)的定义域和值域．[解析] 当0<x ≤5时，y ＝4x ，∴0<y ≤20； 当5<x ≤9时，y ＝20；当9<x <14时，y ＝56－4x ，∴0<y <20. 又∵(0,20]∪{20}∪(0,20)＝(0,20]，∴函数f (x )的定义域为(0,5]∪(5,9]∪(9,14)＝(0,14)，函数f (x )的值域为(0,20]． 8．已知函数f (x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．[解析] 当x ∈[0,1]时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 将点⎝⎛⎭⎫1，32代入，得32＝k ，∴f (x )＝32x . 当x ∈[1,2]时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 将⎝⎛⎭⎫1，32、(2,0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧32＝a ＋b 0＝2a ＋b，解得a ＝－32，b ＝3，∴f (x )＝－32x ＋3.∴f (x )＝⎩⎨⎧32x (0≤x ≤1)－32x ＋3(1<x ≤2).9．在学校的洗衣店中每洗一次衣服(4.5kg 以内)需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次．(1)根据题意填写下表：洗衣次数n 5 9 10 11 15 洗衣费用c(2)“费用c (3)写出函数的解析式，并画出图象． [解析] (1)洗衣次数n59101115洗衣费用c20 36 40 40 56(2)费用c 是次数n 的函数．对于次数集合中的每一个元素(次数)，在费用集合中都有惟一的元素(费用)和它对应；但对于费用集合中的每一个元素(费用)，在次数集合中并不都是只有惟一的一个元素和它对应．如40元就有两个元素10次和11次和它对应．(3)由以上分析，可得函数的解析式为c ＝⎩⎨⎧4n ， n ≤10，n ∈N ＋4(n －1)， n >10，n ∈N ＋. 其图象如图所示．。
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第一章 1.2 第2课时一、选择题1．在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西55°[答案] D[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°.2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．4003m B ．40033mC ．2003mD ．200m[答案] A[解析] 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200， ∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m[答案] D[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 4．一艘客船上午930在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32n mile 的速度继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距82n mile ，则灯塔S 在B 处的( )A ．北偏东75°B ．南偏东15°C ．北偏东75°或南偏东15°D ．以上方位都不对 [答案] C[解析] 画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×12＝16n mile ，∴AB ＝16，又BS ＝82，∠BAS ＝30°， 由正弦定理，得82sin30°＝16sin ∠ASB，∴sin ∠ASB ＝22，∴∠ASB ＝45°或135°， 当∠ASB ＝45°时，∠B ′BS ＝75°，当∠ASB ＝135°时，∠AB ′S ＝15°，故选C ．5．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( ) A ．35 B ．45 C ．34D ．43[答案] B[解析] 由题意，得tan α＝34，∴sin αcos α＝34， ∴sin 2αcos 2α＝916，即1－cos 2αcos 2α＝916，∵α为锐角， ∴cos α＝45.6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°[答案] B [解析] 如图，由题意知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， ∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝50°， ∴α＝60°－50°＝10°. 二、填空题7．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．[答案] 6 km[解析] 如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中：OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 8．在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．[答案] 25(3＋1)m[解析] 由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB ×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(m)．∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝22AC＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．三、解答题9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449)．[解析] 在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA ， 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，即AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620， 因此，BD ＝32＋620≈0.33km. 故B 、D 的距离约为0.33km.一、选择题1．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( )A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m[答案] C[解析] 设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝20 3.在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40，故选C ．2．已知两力|F 1|＝46N ，|F 2|＝43N ，且夹角为45°，则其合力|F |为( ) A ．43NB ．415NC ．415N 或43ND ．以上都不对 [答案] B [解析]如图，合力为AD →，在△ABC 中，AC ＝43，CD ＝46，∠ACD ＝135°，由余弦定理，得AD 2＝(46)2＋(43)2－2×46×43·cos135°＝240，所以AD ＝415.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC．1722n mile/hD．342n mile/h[答案] A[解析]如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×3222＝346，∴v＝MN4＝1762(n mile/h)．4．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为()A．2 500(3－1)m B．5 0002mC．4 000m D．4 0002m[答案] A[解析]示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BCsin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二、填空题5．某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．[答案]无[解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30， ∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°， 由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？[答案] 北偏东30° [解析]如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°， 由BC sin ∠CAB＝ACsin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at＝12.∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题7．在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ＝210)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？[解析]如图所示，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t＋60)km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60.由余弦定理，得OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ，由于PO＝300，PQ＝20t，∴cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝210×22＋1－2102×22＝45，故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×45＝202t2－9600t＋3002，因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24. 答：12h后该城市开始受到台风的侵袭．8．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．[分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．[解析] 解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3. 在△BPC 中，根据正弦定理，得PCsin2θ＝PBsin (π－4θ)，即103sin2θ＝30sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝32. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得， 300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ， 化简得：cos2θ＝32 .∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，∵△BPC为等腰三角形，∴PE＝BE＝15.在Rt△BEC中，cos2θ＝BEBC ＝15103＝32.∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.。