解三角形与三角函数专题

三角函数与解三角形

1.已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x

2. (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值.

2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.

3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝1

7，求△ABC 中线AD 的长.

4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值；

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长.

5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B

2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小；

(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值.

6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；

(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.

三角函数与解三角形答案

1.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π3－3，

所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π

3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π

3时，f (x )取得最小值.

所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2π3＝－ 3.

2.解 (1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝b

sin B ，得a ＝2b .

由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，

及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ＝

－

55ac ac ＝－5

5.

(2)由(1)及A ∈(0，π)，可得sin A ＝25

5，

代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝5

5.

由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝25

5.

于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝3

5， 故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－55－35×25

5＝－255.

3.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π6.

∴T ＝2π

2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.

(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π6，

∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2A －π6＝1，

∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝1

7且B ∈(0，π)，

∴sin B ＝43

7，

∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝53

14，

在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a

32

，

∴a ＝7，∴BD ＝7

2.

在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B

＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722

－2×5×72×17＝1294，因此△ABC 的中线AD ＝1292.

4.解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12.

(2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2C ＋π6＝12，

∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π

3.

∵S △ABC ＝12ab sin C ＝33

4，∴ab ＝3.

又(a ＋b )2－2ab cos π

3＝7＋2ab ，

∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7. 5.解 (1)∵m ∥n ，

∴2sin B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，

∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π

3. (2)∵B ＝π

3，b ＝2，

由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.

又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，