2021高考数学专题复习：周期函数
专题06 函数的奇偶性与周期性 复习资料(解析版)
小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
a＋b (1)函数 y＝f(x)关于 x＝ 对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
2
特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)； 函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展]
数
f(x)就叫做奇函数
称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
【解法小结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性
专题6 函数的周期性函数的周期性★★★○○○○1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f x，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．[典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.答案：(－1,4)2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案：21．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，故选D.2．(·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 3．(·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值． 解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝336＋3＝339.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
高中函数周期知识点总结
高中函数周期知识点总结一、函数的周期性1. 周期函数的概念在数学中，周期函数是指以某个值T为周期的函数。
如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们就称函数f(x)是周期函数，并且周期T称为f(x)的周期。
通常情况下，周期函数的图像在一定区间内重复出现相同的形状。
2. 周期函数的性质（1）周期函数的性质周期函数的基本性质包括：a. 周期函数在每一个周期内有相同的函数值。
b. 周期函数的图像可以在一个周期内被重复出现。
c. 若T为周期，则kT也是周期，其中k为非零的常数。
d. 若T1和T2都是周期，则它们的最小公倍数也是周期。
e. 三角函数sin(x)和cos(x)都是周期为2π的周期函数。
（2）求周期函数的周期当给定一个函数f(x)时，我们需要计算出它的周期。
求周期的方法主要有两种：a. 观察法：观察函数的图像，找出重复的模式，从而确定周期。
b. 利用公式法：若函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，我们可以通过解方程来求出T。
3. 常见周期函数常见的周期函数主要有三种：a. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)：它们的周期都是2π。
b. 正切函数tan(x)和余切函数cot(x)：它们的周期都是π。
c. 任意形式的三角函数：假设f(x)是一个周期函数，那么af(bx+c)+d也是一个周期函数，其中a、b、c、d为常数。
4. 函数的不同周期有些函数可能有多个周期，称为多周期函数。
常见的多周期函数有正弦函数和余弦函数。
此外，有些函数可能存在最小正周期和最小整数周期不相等的现象，称为非自由振荡。
（见以下部分）5. 周期函数的应用周期函数在很多领域都有广泛应用，例如在物理学、工程学、生物学和经济学中。
在物理学中，振动系统的运动可以用周期函数来描述。
在经济学中，周期函数可以描述商品价格和经济增长等现象。
二、函数周期性的相关概念1. 最小正周期对于周期函数f(x)，如果存在一个最小正数T，使得对于任意x∈R，有f(x+T)=f(x)，那么我们称T为函数f(x)的最小正周期。
高中高考函数的周期性复习资料
函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。
2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1. 若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x）≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2. 若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
定理3. 设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。
定理4. 设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。
4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)= -f(x) =>f(x+2a)=f(x)（2）f(x+a)=1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)= -1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+2a)=f(x)二．典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(2019)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)= -2sinπ2x①若当x∈[ -4,-2]时，f(x)≥t➖9t恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x) ➖12log16X 零点的个数为________例题答案：例题一：0 例题二：t≤9或0＜t≤1 ； 5三．基础例题1.若函数f（x）=x2+bx+c对一切实数都有f（x+2）=f（2 -x）则有（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= - f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019）=（）A．- 3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex – 1，则f（2016）+f（-2015）=（）A．1 – e B. e – 1 C. – 1 – e D.e+14.定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）= -f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3） B. f（3）＜0＜f（1）C．f（1）＜0＜f（3） D. f（3）＜f（1）＜05.已知函数f（x）的图像关于点（- 3 ，2 ）对称，则函数h（x）=f（x+1）- 3的图像的对称中心是_______6.设f（x）是定义在R上的奇函数，且在( -∞，0 )上是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数 B.y=g[f(x)]为奇函数C.函数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f( - x)=f(x),且当x≥0时，f(x)={−x2+1，0≤x≤12−2x，x≥1若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．- 1 B.12C. - 13D.13答案：1. A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小2.B∵f（- x）= - f（x）,∴f（3 - x）= - f（x - 3），且f（0）=0.又∵f（3 - x）=f（x），∴f（x）= - f（x - 3），∵f（x - 3）= - f（x - 6）,∴f（x）=f（x - 6），∴f（x）是周期为6的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（- 2015）=f（0）- f（1）=1 – e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）= - f（x），得f（x+4）= - f （x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（- 1）又∵f（x）在[0,2）上单调递减，∴函数f（x）在（- 2，2 ）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（- 4，- 1）函数h（x）=f（x+1）- 3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（- 3，2）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式 xf（x）≤0 的解集为(-∞，-2]∪[0，2]7. B已知得f （- x ）= - f （x ），g （1 - x ）=g （1+x ）， ∵g[f(-x)+1]=g[ - f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数∵f[g(x)]=f[g(2 - x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g( - x+1)]=f[g(x+1)]∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f( - x)]=g[ - f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数8. C由题知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，函数f(x)为减函数，则当x ＜0时，函数f （x ）为增函数。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
高考数学二级结论快速解题：专题05 函数周期性问题(原卷版)
专题05函数周期性问题一、结论已知定义在R 上的函数()f x ,若对任意x R ,总存在非零常数T ,使得()()f x T f x ,则称()f x 是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果()()f x a f x (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a (2)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(3)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(4)如果()()f x a f x c (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(5)如果()()f x a f x b (0,0a b ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b .(6)如果()()()f x f x a f x a (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a .二、典型例题1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， 2f x 为偶函数， 21f x 为奇函数，则（）A ．102fB ． 10f C ． 20f D ． 40f 【答案】B 【解析】因为函数 2f x 为偶函数，则 22f x f x ，可得 31f x f x ，因为函数 21f x 为奇函数，则 1221f x f x ，所以， 11f x f x ，所以， 311f x f x f x ，即 4f x f x ，故函数 f x 是以4为周期的周期函数，因为函数 21F x f x 为奇函数，则 010F f ，故 110f f ，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数(2)f x 为偶函数，所以其图象关于0x 对称，则函数()f x 的图象关于直线2x 对称；所以()(4)(1)f x f x ；又函数(21)f x 为奇函数，所以其关于(0,0)对称；121(21)(2+1)=(2)()2f x f x f x f x 横坐标向右平移个单位横坐标伸长为原来2倍（）通过图象平移伸缩变换，可以得到(2)f x 关于1(,0)2对称，进而()f x 关于(1,0)对称；可得：()(2)(2)f x f x ；综合（1）（2）可得(4)(2)(2)()f x f x f x f x ；利用结论()()f x a f x 的周期为2T a ,故本题中()f x 的周期为4T 利用()(2)(2)f x f x 可得13(34)(1)2(1)0(1)0f f f f f f 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：①轴对称问题：()f x 关于x a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；②点对称问题：()f x 关于(,0)a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 f x 的定义域为R ， 1f x 为奇函数， 2f x 为偶函数，当 1,2x 时，2()f x ax b ．若 036f f ，则92f（）A ．94B ．32C ．74D ．52【答案】D 【解析】令1x ，由①得： 024f f a b ，由②得： 31f f a b ，因为 036f f ，所以 462a b a b a ，令0x ，由①得： 11102f f f b ，所以 222f x x ．因为 1f x 是奇函数，所以 1f x 图象关于(0,0)对称，1(1)()f x f x 横坐标向右平移个单位所以()f x 关于(1,0)对称，得：()(2)(1)f x f x因为 2f x 是偶函数，所以 2f x 图象关于0x 对称；22()f x f x 横坐标向右平移个单位，所以()f x 关于2x 对称，得：()(4)(2)f x f x ；综合（1）（2）得到：(4)(2)(2)()f x f x f x f x 得到4T 所以9122f f，再利用()(2)(1)f x f x 令12x 代入：135(()222f f 故选：D．【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练举一反三1．（2008·湖北·高考真题（文））已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x ，当(0,2)x 时，2()2f x x ，则(7)f A ．-2B ．2C ．-98D ．982．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数 f x ，对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，当03x 时，()26f x x ，则 2021f （）A ．0B ．2C ．4D ．23．（2021·江西·三模（理））已知函数 f x 的图象关于原点对称，且满足 0(3)1f x f x ，且当)4(2x ，时，12()log (1)f x x m ，若(2021)1(1)2f f ，则m （）A ．43B ．34C ．43D ．344．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(4)()(2)f x f x f ，当(0,2)x 时，2()231 f x x x ，则函数()y f x 在[4,4] 上零点的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．135．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x ，且当(0,3)x ，()e x f x x ，则下面结论正确的是（）A ．19(ln 3)(e)2f f fB ．19(e)(ln 3)2f f fC ．19(e)(ln 3)2f f fD ．19(ln 3)(e)2f f f6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知 y f x 为奇函数且对任意x R ， 2f x f x ，若当 0,1x 时， 2log a f x x ，则 2021f （）A ．1B ．0C ．1D ．27．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，满足 2f x f x ，且当 0,1x 时， 2log 1f x x ，则函数 3y f x x 的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·陕西·模拟预测（文））已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 2f x f x ．当12x 时， 2log 7f x x ，则 2021f （）A ．3B ．3C ．5D ．59．（2021·全国·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ，40f x f x ．若 136f f ，则 21f ______．10．（2021·陕西·二模（理））已知定义在R 上的奇函数()y f x 满足(8)()0f x f x ，且(5)5f ，则(2019)(2024)f f ___________.。
【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)
函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。
周期函数知识点总结
周期函数知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数。
在数学上，如果存在一个正数T，对于所有实数x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就被称为周期函数，而T被称为函数的周期。
简单来说，如果以某个固定的间隔T，函数值会重复出现，则该函数是周期函数。
周期函数的周期并不是唯一的，存在多个周期的正整数倍也是周期。
周期函数的周期通常记作T。
二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数在每个周期内具有相同的性质，即满足f(x+T) = f(x)。
2. 周期的加法性：如果函数f(x)的周期为T1，函数g(x)的周期为T2，则函数f(x)g(x)的周期为T1和T2的最小公倍数。
3. 周期函数的奇偶性：若f(x)为周期函数，则它可以是奇函数、偶函数或者既非奇又非偶。
4. 周期函数的连续性：周期函数可以在周期内连续，也可以在周期的边界处不连续。
5. 周期函数的有界性：周期函数可以是有界函数，也可以是无界函数。
三、周期函数的图像周期函数的图像通常以周期为一个完整周期的图像展现。
其图像特点可以通过周期函数的性质进行推断。
1. 若函数f(x)为偶函数，则其图像关于y轴对称。
2. 若函数f(x)为奇函数，则其图像关于原点对称。
3. 若函数f(x)为有界函数，则其图像在一定范围内波动，不会趋于无穷。
四、常见周期函数1. 正弦函数：y = sin(x)，其周期为2π。
正弦函数在周期内呈现周期性波动，其图像为一条类似正弦曲线的波动函数。
2. 余弦函数：y = cos(x)，其周期为2π。
余弦函数也呈现周期性波动，其图像为一条类似余弦曲线的波动函数。
3. 正切函数：y = tan(x)，其周期为π。
正切函数在周期内也呈现周期性波动，其图像为一条类似正切曲线的波动函数。
4. 正弦函数的变形函数：y = Asin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，称为正弦函数的变形函数。
这类函数在正弦函数的基础上进行了挤压、平移和拉伸等变换。
2022年新高考数学总复习：函数的周期性
2022年新高考数学总复习：函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫做f (x )的最小正周期．例6(1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2022)＝__2－3__.(2)已知定义在R 上周期为3的奇函数f (x )，则f (1.5)＝__0__.(3)设f (x )是周期为2的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，当－4≤x ≤－3时，f (x )＝__－2(x ＋4)(x ＋3)__，当2021<x <2022时，f (x )＝__2×(2022－x )(x －2021)__.[解析](1)f (x )＝－1f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴y ＝f (x )的周期T ＝4，f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝2－3.(2)f (1.5)＝－f (－1.5)＝－f (－1.5＋3)＝－f (1.5)，∴f (1.5)＝0.(3)设－4≤x ≤－3，则0≤x ＋4≤1，∴f (x )＝f (x ＋4)＝2(x ＋4)[1－(x ＋4)]＝－2(x ＋4)(x ＋3)，设2021<x <2022，则0<2022－x <1，f (x )＝f (x －2022)＝f (2022－x )＝2×(2022－x )(x －2021)．名师点拨利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．函数三大性质的综合应用例7已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题：①直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；②函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；③函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为__①③__.[解析]①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0.所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，故①正确．②当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数，故②错误，③f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，故③正确．名师点拨函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．〔变式训练2〕定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝0，且函数y ＝f 给出下列命题：①函数f (x )的最小正周期是32；②函数y ＝f (x )－34，③函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是(C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析]由f (x )＝0知f (x )为周期函数，且周期为3，故①不正确；由函数y ＝f f (x )－34，由f (x )－34，f (x )＋－32－0，又f (x )＝0，∴－32－∴f (－x )＝f (x )，或∵∴x 又f (x )＝0，即f f (x )∴x ＋32＝x f －f (x )＝f (－x )．∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故③正确．。
周期函数高一知识点
周期函数高一知识点周期函数是数学中的一个重要概念，它在高一数学课程中占据着重要的位置。
周期函数是指具有重复性质的函数，其图像在一定的区间内重复出现。
本文将介绍周期函数的定义、性质以及与三角函数的关系。
一、周期函数的定义周期函数是指存在一个正数T，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)成立。
其中，T被称为函数的周期。
具体而言，如果对于任意的x∈R，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数f(x)为周期为T的周期函数。
二、周期函数的性质1. 周期的唯一性：对于周期函数而言，它的周期不止一个，但所有的周期都具有一个重要的性质，即两个周期的差值也是一个周期。
2. 周期函数的奇偶性：对于周期函数f(x)，如果对于任意的x∈R，都有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数；如果对于任意的x∈R，都有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)为奇函数。
3. 周期函数的基本区间：周期函数的基本区间指的是函数图像重复性质最明显的区间，即一个周期内的取值范围。
相邻两个基本区间具有相同的取值。
4. 周期函数的图像：周期函数的图像可以通过绘制一个基本区间内的图像并进行平移得到。
具体而言，绘制一个周期内的图像，然后在横轴上平移T个单位，即得到整个周期函数的图像。
三、周期函数与三角函数的关系周期函数与三角函数之间有着密切的关系，特别是三角函数中的正弦函数和余弦函数。
1. 正弦函数：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)。
因此，正弦函数是一个周期函数。
与周期函数的定义相比，可知正弦函数的周期T=2π。
2. 余弦函数：余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π)=cos(x)。
余弦函数也是一个周期函数，其周期与正弦函数相同，均为2π。
通过正弦函数和余弦函数的周期性质，可以得出其他三角函数的周期性质。
例如，正切函数和余切函数的周期均为π。
周期函数的研究有助于我们理解函数的重复性质以及函数图像的变化规律。
在解决实际问题时，周期函数也常常起到重要的作用。
高三数学周期函数知识点
高三数学周期函数知识点数学是一门需要不断学习和理解的学科，而高三数学是中学阶段最后一年的内容，对于学生们来说尤为重要。
其中，周期函数是数学中的重要知识点之一。
本文将详细介绍高三数学中周期函数的相关知识。
一、什么是周期函数周期函数是指具有周期性的函数。
所谓周期性，即函数在一定的区间内具有重复的特征。
具体说，对于函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么我们称f(x)为周期函数，T为它的周期。
二、常见的周期函数1. 正弦函数正弦函数是最常见的周期函数之一。
它的函数图像是一条在坐标系上波浪形状的曲线。
常见的正弦函数表示为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
2. 余弦函数余弦函数与正弦函数非常类似，也是一种周期函数。
它的函数图像同样是在坐标系上呈波浪形状的曲线。
常见的余弦函数表示为y = A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
3. 正切函数正切函数是另一种常见的周期函数。
它的函数图像呈现出波浪形状的周期性变化。
常见的正切函数表示为y = A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。
三、周期函数的性质周期函数具有许多重要的性质，下面介绍其中几个常见的性质。
1. 周期的性质周期函数的最显著特点就是它具有周期性。
函数图像在一个周期内呈现出相同的特点和变化规律。
周期可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。
2. 奇偶性周期函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数的特点是在函数图像上关于坐标原点对称，即满足f(-x)=-f(x)。
偶函数的特点是在函数图像上关于y轴对称，即满足f(-x) = f(x)。
3. 对称轴周期函数的对称轴是指函数图像中的一条直线，使得将图像分为两部分后，对称轴上的对应点在函数图像上关于对称轴对称。
对称轴可以通过函数的表达式或函数图像的观察得到。
四、应用举例周期函数广泛应用于实际生活和工程领域中，下面以几个具体的例子来说明。
专题三函数的奇偶性及周期性(2021年高考数学一轮复习专题)
专题三 函数的奇偶性及周期性一、题型全归纳题型一 函数奇偶性的判断【题型要点】判断函数奇偶性的方法(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断． (2)利用函数图象特征判断．(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.的奇偶性。
【解析】法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数． 法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数【例2】已知函数f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数 【答案】A.【解析】：易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．因为f (－x )＋g (－x )＝－x 2－x －1＋－x2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x （1－2x ）－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x2＝f (x )＋g (x )，所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A. 题型二 函数奇偶性的应用【题型要点】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性． 【例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1【解析】解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D.【例2】已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为 ． 【解析】：解法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.题型三 函数的周期性【题型要点】函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z ，且k ≠0)也是函数的周期．【例1】(2020·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0|2－x |，0≤x <1，其中a∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( ) A ．0.5 B ．1.5 C ．2.5D ．3.5【解析】由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5.故选C.【例2】已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3.又f (4)＝f (2)＝f (0)＝0，综上可知，共有5个交点．题型四 函数性质的综合应用【题型要点】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例1】已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50【答案】C【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.【例2】(2020池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①∀x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 025)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a 【答案】B【解析】由条件①知，当x ∈[4,8]时，f (x )为增函数；由条件②知，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，f (x )是周期为8的周期函数；由条件③知，y ＝f (x )关于直线x ＝4对称，所以f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2025)＝f (1)＝f (7)，故f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜a ＜c .故选B.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【答案】C.【解析】：函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3 【答案】A【解析】：.由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4 D ．－4 【答案】D【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x －2x ，则f (x )x>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】因为当x >0时，函数f (x )单调递增，又f (1)＝0，所以f (x )＝2x －2x >0的解集为(1，＋∞)，所以f (x )x ＞0在(0，＋∞)上的解集为(1，＋∞)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )x 是偶函数，则f (x )x >0在R 上的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5.已知定义域为R 的奇函数f (x )满足⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝( ) A ．－278B ．－18C.18D.278【解析】：因为⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+123f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛1-21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，又因为函数为奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝321-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.6.已知函数f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．8【解析】：f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1＝1＋x 32|x |＋1.设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (x )定义域为R ，关于原点对称，且g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.因为M ＝f (x )max ＝1＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以M ＋m ＝1＋g (x )max ＋1＋g (x )min ＝2.7.(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数 【答案】B【解析】因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为当x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数．故选B.8．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1B.45 C ．－1D ．－45【解析】 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数．因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.故f (log 220)＝f (log 220－4)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log 2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛54log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-5154log 22＝⎪⎭⎫⎝⎛+-5154＝－1.故选C.9．(2020·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛131，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪(1，＋∞)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛3131，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 【解析】 由题意知f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，易得函数f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数，所以不等式f (x )＞f (2x －1)等价于|2x －1|＜|x |，解得13＜x ＜1，则x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛131， 10.(2020·福建龙岩期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋1)＝－f (x －1)，若f (－1)>1，f (5)＝a 2－2a －4，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】：由f (x ＋1)＝－f (x －1)，可得f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )的周期为4，则f (5)＝f (1)＝a 2－2a －4，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－1)>1，所以f (1)<－1，所以a 2－2a －4<－1，解得－1<a <3，故答案为A.二、填空题1.已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1.则f (17)＝ ，f (20)＝ ． 【答案】：1 －13【解析】： 因为f (x ＋2)＝－1f （x ）， 所以f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的周期T ＝4. f (17)＝f (4×4＋1)＝f (1)＝1.f (20)＝f (4×4＋4)＝f (4)＝f (2＋2)＝－1f （2）＝－12×2－1＝－13.2.(2020·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 023)＝__________. 【答案】 2【解析】因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3，f (3)＝f (－3)＋f (3)＝－f (3)＋f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )＋0＝f (x )，所以T ＝6，f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2.3.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ． 【答案】：3【解析】：f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2①， f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4②， 由①②得，2g (1)＝6，即g (1)＝3.4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝ ．【答案】：－1【解析】：因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.5.设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝ ．【答案】：32【解析】：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝12＋1＝32.6.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛21，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是 ． 【答案】：f (1)>g (0)>g (－1)【解析】：在f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．7.(2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足f (2x )＝⎪⎭⎫⎝⎛++41x x f 的所有x 之和为______。
高一数学必修一函数专题：周期性
高一数学必修一函数专题：周期性【知识点一】：周期函数与周期（Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。
（Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。
（Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。
例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。
第一题第二题解答：第一题：周期：k T ⋅=2π，Z k ∈；最小正周期：2π=T 。
第二题：周期：k T ⋅=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。
【知识点二】：周期定义式（Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。
（Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ⋅+=，Z k ∈。
例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x。
计算：)12(f 的值。
解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =⨯+=⇒，0)12(01110)0(0=⇒=-=-+=f e f 。
例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。
计算：)211(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为2)21()2321()211(-=⨯+-=⇒f f f 。
函数)(x f 在R x ∈上是奇函数)21()21(f f -=-⇒，1111121221log )21(2-=-+-=-⨯+=f 1)21()211(1)1()21()21(=-=⇒=--=-=-⇒f f f f 。
例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：22)(x x f x-=。
计算：)13(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =⨯+=⇒。
函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=⇒f f ，21)1(21121)1(2)1(21-=⇒-=-=--=--f f ， 21)1()13(-==⇒f f 。
高中数学高考复习中抽象函数周期问题复习 试题
抽象函数的周期问题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日——由一道高考题引出的几点考虑2021年高考数学〔文科〕第22题：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。
对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅。
〔I 〕设f ()12=，求f f ()()1214，； 〔II 〕证明f x ()是周期函数。
解析：〔I 〕解略。
〔II 〕证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，∴-=-∈f x f x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，这说明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期f x ()是偶函数的本质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数且2是它的一个周期由此进展一般化推广，我们得到考虑一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a =对称∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，∴f x ()是R 上的周期函数且2a 是它的一个周期考虑二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。
证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称∴=-∈=-∈∴-=-∈f x f a x x Rf x f b x x R f a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222，∴f x ()是R 上的周期函数且2()b a -是它的一个周期假设把这道高考题中的“偶函数〞换成“奇函数〞，f x ()还是不是周期函数？经过探究，我们得到考虑三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。
高考数学复习第2章 函数的奇偶性与周期性
反”)．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________,两个奇函数的积函数是⑩
奇函数
________.
偶函数
偶函数
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.
奇函数
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义,则f(0)＝⑬________.
称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(－x)
＝－f(x)或f(－x)＝f(x),而不能说存在x0 使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝
f(x0)．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
2
∴a＝－3.
考点一 函数的奇偶性[分层深化型]
考向一：判断函数的奇偶性
1．[2021·成都市高三阶段考试]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数,
则下列函数中为奇函数的是(
)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),由f(|
－x|)＝f(|x|),知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x),知②是奇函
数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数,且y＝x是定义在R上的奇函数,奇
×奇＝偶,知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x],知④是奇函
C．y＝|ln x|
高考数学专题《函数的奇偶性与周期性》练习
专题3.3 函数的奇偶性与周期性1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()1x f x x =-B ．()1xf x x=-C ．()21xf x x =-D ．()21xf x x =-3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ）A．y =B ．1y x x =+C ．x x y e e =-﹣D ．2log y x=4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（ ）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x为偶函数练基础D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)(3f x f -<的x 的取值是（ ）A ．0B ．12C ．712D ．17．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a>>练提升C ．b a c >>D ．c a b>>3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x x a f x =+，则f (101)+f (105)的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（ ）A ． ()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ． (0,0)B ． (,())m f m --C ． (,())m f m --D ． (,())m f m -7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x=-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.1. （2020·天津高考真题）函数241x y x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--练真题C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃4.（2018年理全国卷II ）已知f (x )是定义域为(―∞, + ∞)的奇函数，满足f (1―x )=f (1+x )．若f(1)=2，则f (1)+f (2)+f (3) +⋯+f (50)=( )A. ―50B. 0C. 2D. 505.（2019·全国高考真题（文））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.（2019·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.()f x R ()0,∞+233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 0x <()e ax f x =-(ln 2)8f =a =。
2021高考一轮复习笔记 考点06 周期性(讲解)(原卷版)
考点6：周期性【思维导图】写出函数)(x f 所满足的对称性或周期性：（1）0)4()2(=+--x f x f（2）0)4()2(=++-x f x f（3）0)4()2(=+--x f x f（4）0)4()2(=++-x f x f自变量： 函数值（对称性、周期性）和定两边走——对称性 值一样高照镜子（轴对称）、一高一低有中心（中心对称）差定一边走——周期性 值一样高全周期【)()(x f T x f =+】、 一高一低半周期【)()2(x f T x f -=+】【常见考法】考点一：利用周期求值1.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.2.已知定义在R 上的奇函数f (x )有f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)的值为 。
3.已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝ 。
4.已知函数f （x ）()()0.5log 30104x x x f x ⎧-≤⎪=⎨-⎪-⎩，，＞，则f （2019）＝ 。
5.已知函数()f x 满足()114f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++-，(),x y R ∈，则(2015)f = 。
6．已知函数()f x 满足()()()()121f x f x x R f x ++=∈-，()122f =，则()2004f 等于 。
7．函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f = 。
周期函数高考知识点
周期函数高考知识点周期函数是高中数学中的一个重要知识点。
周期函数指的是在某个区间内具有相同函数值的函数。
它在数学、物理等领域有着重要的应用。
周期函数的概念非常简单，即在一个特定的区间内，函数的函数值以某种规律重复出现。
这个规律是由函数的周期决定的。
周期是指在该区间内，函数的函数值呈现出周期性的变化。
我们可以观察函数的图像来确定它的周期。
那么，如何确定一个函数的周期呢？方法非常简单，我们只需要找到函数在该区间内的最小正周期即可。
最小正周期指的是函数的最小周期且为正值。
例如，对于正弦函数sin(x)来说，其最小正周期为2π，而对于余弦函数cos(x)来说，其最小正周期也是2π。
这是因为正弦函数和余弦函数都是以2π为周期进行周期性变化的。
而像y=1/x这样的函数，它没有周期性。
周期函数有着广泛的应用。
在物理学中，周期函数可以用来描述物理系统的振动现象。
例如，弹簧振子的运动可以用正弦函数来表示。
而在音乐中，周期函数被用来表示音符的音高和节奏。
在计算机图形学中，周期函数被广泛用于生成动画和特效。
周期函数的性质也是我们需要了解的重要知识点之一。
首先，周期函数具有奇偶性。
如果一个函数f在某个区间内以T为周期，那么有f(x+T)=f(x)。
根据这个性质，我们可以判断一个函数是奇函数还是偶函数。
如果有f(-x)=-f(x)，那么函数f是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，那么函数f是偶函数。
例如，正弦函数sin(x)是奇函数，而余弦函数cos(x)是偶函数。
其次，周期函数可以进行函数的运算。
对于两个周期为T1和T2的函数f(x)和g(x)，我们可以定义它们的和函数f(x)+g(x)和差函数f(x)-g(x)。
同样，我们也可以定义它们的乘积函数f(x)g(x)和商函数f(x)/g(x)。
这些运算仍然满足周期性。
最后，周期函数还具有平移性。
如果函数y=f(x)以T为周期，那么函数y=f(x-a)以T为周期，其中a为任意实数。
考点06 周期性——2021年高考数学专题复习真题附解析
考点六周期【题组一利用周期求值】2．已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，()()20f x f x-+=.当[)0,1x∈时，3．已知()f x是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x-=+.若(1)2f=，则(50)f++6.定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，当31x -≤<-时2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++= 。
7.函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且满足()(1)1f x f x ++=，当[]1,2x ∈ 时()3f x x =-，则(2015)f -= 。
【题组二 利用周期求解析式】1．已知周期为2的偶函数()f x 的定义域为R ，且当[0,1]x ∈时，3()log (32)f x x =-，则当[2019,2020]x ∈时，()f x 的解析式为________2．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时．()(1)f x x x =-，则当10x -≤≤时，()f x =________________.3．设()f x 是定义在上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是【题组三 利用周期比大小】1．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在[－1，0]上单调递减，设()2.8a f =-，()1.6b f =-，()0.5c f =，则a 、b ，c 大小关系是 。
2．定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②函数的图象关于轴对称；③对于任意的，都有则、、从小到大的关系是 。
3.已知函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是 。
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2021高考专题复习(1)周期函数定义一、定义:1.对于函数(),x f 如果存在一个大于零的实数,T 使当x 取定义域内的每一个值时,都有()(),x f T x f =+ 则函数()x f y =的最小正周期为()()2f x f x T +=⇒=()()4f x f x T -=⇒=()()6f x f x T =+⇒=2.若()(),b x f a x f +=+则函数()x f y =的最小正周期为()()27f x f x T +=+⇒=()()720f f x =⇒= ()()f f x =⇒=1 ⇒=2x ⇒=3x()()36f x f x T -=+⇒=()()f f x =⇒=0 ⇒=1x ⇒=2x ⇒=3x3.对于非零常数,A 若函数()x f y =满足()(),x f A x f -=+则函数()x f y =的最小正周期为 ()()()()⇒=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+⇒-=+x f A x f x f A x f =⇒T()()2f x f x T +=-⇒=()()1f x f x T -=-⇒=4.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()(),1x f A x f =-则函数()x f y =的最小正周期为 ()()()()⇒=⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-⇒=-x f A x f x f A x f 11=⇒T()()11f x T f x +=⇒=()()12f x T f x -=⇒=5.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()(),1x f A x f -=+则函数()x f y =的最小正周期为 ()()()()⇒=-⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+-=+x f A x f x f A x f 11=⇒T()()14f x T f x +=-⇒= ()=⇒2020f , ()=2021f()()15f x T f x --=⇒= ()=⇒2020f , ()=2019f6.对于非零常数,A 函数()x f y =满足()()(),11x f x f A x f +-=+则函数()x f y =的最小正周期为7.已知函数()x f 满足()(),x a f x a f -=+则()x f y =对称轴为()()⇒-=+x f x f 22 ()()⇒-=+22x f x f已知函数()x f 满足()(),x b f x a f -=+则()x f y =对称轴为()()⇒-=+x f x f 26 ()()⇒-=+26x f x f()()⇒-=x f x f 2 ()()⇒=+x f x f 28.已知函数()x f 满足()(),x a f x a f --=+则()x f y =对称中心为()()⇒--=+x f x f 22 ()()⇒--=+22x f x f已知函数()x f 满足()(),x b f x a f --=+则()x f y =对称中心为()()⇒--=+x f x f 24 ()()⇒--=+24x f x f()()⇒--=x f x f 8 ()()⇒+-=x f x f 82021高考专题复习(2):周期函数求值1.()x f 在R 上是奇函数()(),2,x f x f -=+当(]0,1x ∈时()2,x f x =计算:(1)()4.5f =(2)()3.5f =(3)()2.5f =(4)()1.5f =(5)()2020f =(6)()2019f =(7)()2022f =(8)()2021f =(9)20172f⎛⎫= ⎪⎝⎭(10)20212f⎛⎫= ⎪⎝⎭(11)20192f⎛⎫= ⎪⎝⎭(12)()f e=(13)f=(14)f=(15)f=2.奇函数()()24,f x f x -=-当01x ≤≤时()()21f x x x =⋅-周期=T52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⎪⎭⎫ ⎝⎛313f=⎪⎭⎫ ⎝⎛310f3.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R x ∈都有()(),4+=x f x f 当()0,2-∈x 时(),2x x f =则()()=-20192020f f4.()x f 是R 上偶函数()(),24,-=+x f x f 若当[]0,3-∈x 时(),6xx f -=()=919f5.定义在R 上的函数()x f 满足()(),42+=-x f x f 当13-≤≤-x 时()()2,2f x x =-+ 当31<<-x 时(),,x x f =则()()()()=++++2020321f f f f （ ）A.335B.338C.1678D.20126.R 上奇函数()x f 满足()()x f x f -=+2(),13,=f 周期=T()=2019f()81f =()2022f =7.奇函数()x f 满足有()()x f x f -=+2成立，且(),81=f 则()()()=++202320222021f f f8.已知定义在R 上的奇函数()x f 满足()(),2x f x f -=+(]1,0∈x 时(),2x x f =求值:(1)()2022f = (2)⎪⎭⎫⎝⎛217f = (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛3100f =(4)()=2015f (5)()=18log 2f (6)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36log 21f9.()x f 在R 上是奇函数()(),2,x f x f -=+当(]0,1时()2x f x =(1)()2log 21f =(2)()2log 15f =(3)()2log 7f =(4)()2log 3f =(5)()2log 2020f =(6)22019log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.定义在R 上的奇函数()x f 满足()()12f x f x +=-，且在()1,0上()x x f 3=.求值: (1)()=2020f(2)()=100log 3f(3)()=30log 3f(4)()=10log 3f(5)=⎪⎭⎫ ⎝⎛151log 3f(6)()=2020log 3f11.函数()x f 对于任意实数x 满足条件()(),12x f x f =+若()15,f =-则()()5f f =12.偶函数()x f 对任意,R x ∈都有()(),13x f x f -=+当[]2,3--∈x 时(),4,x x f =()=53f13.设定义在R 上的函数()x f 满足()()213f x f x ⋅+=，若()32f =，则()2021f = ( ) A ．13 B.2 C.132 D.21314.设定义在R 上的偶函数()x f 满足()()()32020,11,f x f x f ⋅+=-=则()2020f = ( ) A ．0 B.1 C.1010 D.202015.已知函数()x f 是R 上的偶函数，且满足()(),31=++x f x f 当[]1,0∈x 时(),2,x x f -=则()=2021f[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11 4.50.52 3.50.50.53 2.50.54 1.50.50.55202000.6201911 2.72022200.820211 2.91008.50.5101010.5 2.50.5111009.5 1.50.50.512f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ===-=-==-==--=====-=-=-==-=======-===--==()()())(())(())[][]()()()42224132********.451112,22221314,33910224.333934202020190ee ef e fff f ff f f f f f f f f f f T f f f f -=--=-=-=-=-==-=--==-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⇒-=--()[]()()()[]()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()()[]()()()()()()()()()()[]()11.24691911 6.511,22,31,40,51,60161202033664122020336121033864201931,81131,2022207420212022202312312120.81T f f f f f f f f f f f f f f B T f f f f f f f T f f f f f f f f f f =-=⇒==-====-==-=⇒++==⨯+⇒+++=++-+=⇒=⇒====-=-===⇒++=++=++-==()()()()2022200.171222f f f f f ==-=⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]()()()()()()()()()()()()()()[]()()2223log 18l 422261222log 3622210042283233334201531 2.295log 18log 1842.4log 1851682166log 36log 36log 3666log 36.295log 36691log 21f f f f f f f f f f f f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-=-=-===<<⎛⎫=-=-=--=-=- ⎪⎝⎭<<=()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222222221log 21416162log 15log 1544log 151573log 7log 72.444log 3log 322log 3.320205log 2020log 202010.102420192019201920486log log 1010log 22220f f f f f f f f f f f f f -==-=--=-=--=-=--=-==--=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()33log 1004334log 30333333333319*********.1002log 100log 10043.8181273log 30log 3044log 303.3010194log 10.log 102101135log log 15.15log 152516log 2020log 20204lo f f f f f f f f f f f f f f f --===-===-=--=-=-=-=-=--⎛⎫=-== ⎪-⎝⎭=-=-()[]()()[]()()()()[]()()()()()()()[]()()()()()()()()[]()()()()()()3729.g 202062020111555.511125311.28131313131322420211.432202020202020202014336202042020.61113152213f f f f f f f x f x T f f f x f x f f x f x T f f f x f x f f f x f x f x f x f x f x =--=-⇒-=-=-==-=-+=⇒+=⇒=⇒===++=⇒+=⇒=⇒====+-++=⎧⎪⇒+=⇒⎨⇒+++=⎪⎩()()2202111T f f =⇒==2021高考数学专题复习(3):图像交点1.定义在R 上奇函数()x f 满足()(),4x f x f -=-且在区间[]2,0上是增函数,则 ( ) A.()()()801125f f f <<- B.()()()251180-<<f f f C.()()()258011-<<f f f D.()()()118025f f f <<-2.R 上的偶函数()x f 满足()(),2x f x f =+且在[]2,3--上是减函数,作图比较大小1:,2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.函数()x f 满足()(),2x f x f =-且当[]1,1-∈x 时(),2x x f =则函数()x f y =与函数lg y x =的图像的交点个数为 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个4.定义在R 上的函数()x f 满足()(),2+=x f x f 当[]5,3∈x 时(),42--=x x f 则 （ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛6cos 6sinππf f B.()()1cos 1sin f f < C.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛32sin 32cosππf f D.()()2sin 2cos f f <（2）方程()()1log 3-=x x f 的解的个数为5（2011山东理）.()x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，当02x ≤<时(),3x x x f -=则函数()x f y =的图像在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为6.已知定义在R 上奇函数()x f 满足①对任意,x 都有()()14+=+x f x f 成立；②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0x 时(),22323x x f --=则()xx f 1=在[]4,4-上根的个数是 （ ） A.4 B.5 C.6 D.77.定义在R 的函数()x f 满足()()()(),13,-=+-=-x f x f x f x f 当[)2,0∈x 时()()(),21.210.2⎩⎨⎧<≤-<≤=x x x x x f 则函数()x x f y 5log -=的零点个数为8.()x f y =满足,2321⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f []2,0∈x 时()(),12-=x x f ()()1log 3--=x x f x g 的所有零点之和为（ ） A.2 B.4 C.6 D.89.()x f 满足()()[]1,1,11-∈-=+x x f x f 时(),2x x f =函数()()x x f x F 4log -=的零点个数( )A.个B.2个C.3个D.4[]()()[]()()[]()[][]()1.2.3.41.25.57.6.74 5.8.92.D C B B T B T D >=⇒=⇒2021高考数学专题复习(4):三角函数模型结论一：()()()()=⇒⎩⎨⎧+=--=-T x a f x a f x f x f ()()()()=⇒⎩⎨⎧+=-=-T x a g x a g x g x g1.设定义在R 上的奇函数()x f 满足对任意t R ∈都有()(),1t f t f -=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 时(),2x x f -=则()=⎪⎭⎫⎝⎛-+233f f2.()x f 是R 上偶函数()(),4,x f x f =-当[]2,0∈x 时(),22x x x f +=()=2011f ( )A.8B.3C.2011D.20123.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且()()x f x f -=2成立，则()=2010f （ ） A.0 B.1 C.1- D.24.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且()()T x f x f +=成立，则=⎪⎭⎫⎝⎛2T f5.定义在R 上奇函数()x f 对任意x 都有()(),41x f x f -=-且()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,0,x x x f ，则()()=-20102012f f6.R 上奇函数()x f 图像关于直线1=x 对称,[]0,1-∈x 时(),x x f -=()()=+20142013f f7.已知函数()x f 在实数集R 上具有下列性质: (1)直线1=x 是函数()x f 的一条对称轴 (2)()()x f x f -=+2 (3)当1213x x ≤<≤时()()()()21210f x f x xx -⋅-<.比较大小()()()2013,2012,2011:f f f8.（2009山东理）在R 上的奇函数(),x f 满足()(),4x f x f -=-且在区间[]2,0上是增函数,若方程()()0>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,,x x x x 则1234x x x x +++=结论：定义在R 上的偶函数满足()()()=⎪⎭⎫⎝⎛⇒>⎪⎭⎫⎝⎛+=+20,2:a f a a f x f a x f =⇒T 定义在R 上的奇函数满足()()()=⎪⎭⎫⎝⎛⇒>⎪⎭⎫⎝⎛+=+20,2:a f a a f x f a x f =⇒T()()00222222a a a a a a x f f f f f f x a f x T a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒=-+⇒-=⇒=⇒+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令 定义在R 上的偶函数满足()()()=⇒+=+T f x f x f 36: 定义在R 上的偶函数满足()()()=⇒+=+T f x f x f 48: 定义在R 上的偶函数满足()()()=⇒-+=+T f x f x f 12:9.定义在R 上的偶函数满足()()(),24:f x f x f +=+且当[]2,0∈x 时()x f y =单调递减，给出以 下四个命题,正确命题的序号为 ①()02=f②4-=x 为函数()x f 图像的一条对称轴 ③函数()x f 在[]10,8单调递增④若方程()m x f =在[]2,6--上的两根为12,,x x 则821-=+x x10.函数()x f 在R 上为偶函数()(),1,f x f x +=-在[]0,1-上是增函数,下面判断正确的是 ①()x f 是周期函数 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称 ③()x f 在[]1,0上是增函数 ④()x f 在[]2,1上是减函数 ⑤()()02f f = ⑥⎪⎭⎫⎝⎛0,21是一个对称中心11.偶函数()x f 满足()(),11+=-x f x f 且在[]1,0∈x 时(),3x x f =则关于x 的方程()xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101 在[]3,2-上的根的个数是 （ ） A.3 B.4 C.5 D.612.若R 上奇函数()x f 满足()()11,f x f x +=-且当10≤<x 时()x x f 2log =(1)=⎪⎭⎫⎝⎛22019f (2)=⎪⎭⎫⎝⎛439f(3)若方程()()0>=m m x f 在区间()4,2-上有四个不同的根1234,,,,x x x x 则1234x x x x +++=(4)若方程()m x f =在区间()2020,2018上有2个不同的根12,,x x 则12x x +=作函数x y x y cos ,sin ==的图像(1)如何由()⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 2sin π的图像平移得到()⎪⎭⎫⎝⎛=x x g 2cos π的图像()x f ()x g 结论二：()()(),4,f x T a a f x g x g x T a =⎧⎪⎛⎫⇒+=⎨⎪=⎝⎭⎪⎩为奇函数为偶函数()()()()(),,,0,f x f x m g x m T g x ⎧⎪+=>⇒=⎨⎪⎩为奇函数周期函数为偶函数周期函数 ()()(),4,f x T a a f x g x g x T a =⎧⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪=⎝⎭⎪⎩为奇函数为偶函数()()()()(),,,0,f x f x g x n n T g x ⎧⎪=->⇒=⎨⎪⎩为奇函数周期函数为偶函数周期函数()()()(),4,f x T a a f x g x g x g x T a =⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩为奇函数为偶函数 ()()(),4,g x T a a f x g x f x T a =⎧⎪⎪⎛⎫=-⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩为偶函数13.()x f 是在R 上偶函数()x g ,是R 上的奇函数,且()(),1-=x f x g 则()()=+20132011g g14.定义在R 上函数()x f 满足()023=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f ,函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43x f y 为奇函数，给出下列命题:①函数()x f 的最小正周期是32②函数()x f y =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,43对称 ③函数()x f y =的图像关于y 轴对称．其中真命题是15.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则 ()()()()1232021f f f f ++++= （ ）A.2B.1C.0D.2-16.函数()x f 的图像关于直线0x =及直线1x =对称,[]1,0∈x 时(),,2x x f =则=⎪⎭⎫⎝⎛-23f ()=2021f =⎪⎭⎫⎝⎛22021f()()()()[]()()()()()[][]()()()[][][]()[]()()()()12123411.42.3.40.356,201000,2012211126 1.7201320122011.88.91,2,4.101,2,5,6.11.1242019311 1.22239712 2.444236B A x T f f f f f f f f C T f f f f f f x x x x x x -=⇒======⇒->>-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=-⎧⇒+⎨+=⎩()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()34444038.130.1442,3153,11,211,3021230123202167312312242416111233911202120211 1.2x x T f x T f f f f f f f f f f f f f f f f f f x f x f x f x f x T f f f x f x f f f ++==⇒⇒===-===-⇒++=++++=++++=-=⎧⎪⎛⎫⎛⎫⇒+=-=-⇒=⇒-==⎨⎪ ⎪+=-⎝⎭⎝⎭⎪⎩⎛⎫=== ⎪⎝⎭偶函数正确.11.24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2021高考数学专题复习(5):拓展训练1.函数()x f y =的图像如图所示,下列说法正确的是 （ ） ①()()x f x f -=- ②()()x f x f -=+2 ③()()x f x f =- ④()()x f x f =+2A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④2.定义在R 上的奇函数()x f 恒满足()()2,f x f x +=-当[]2,0∈x 时()22x x x f -=(1)求证:()x f 是周期函数 (2)当[]4,2∈x 时,求()x f 的解析式 (3)计算()()():122021f f f +++=3.函数()f x 的定义域为,R 且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则正确的选项有 A.()f x 为奇函数 B.()f x 为周期函数 C.()3f x +为奇函数 D.()4f x +为偶函数4.设()x f 是定义在上的偶函数，对任意的R x ∈,都有()(),22+=-x f x f 且当[]0,2-∈x 时，()11,2xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭若关于x 的方程()()()1,02log >=+-a x x f a 在区间(]6,2-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 ．5.()f x 是定义在R 上的偶函数,x R ∀∈都有()()22,f x f x -=+且当[]0,2x ∈时,()22x f x =-.若()()()log 1a g x f x x =-+在区间(]1,9-内恰有三个不同零点,则实数a 的取值范围是6.已知定义在R 上的函数()x f 对任意的x 都满足()()1,11f x f x x +=--≤<当时,()3f x x =,若函数()x x f y a log -=至少6个零点，则a 取值范围是 （ ） A.()7,551,71 ⎥⎦⎤ ⎝⎛ B.[)+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,551,0 C.()+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,551,0 D.[)7,551,71 ⎪⎭⎫⎝⎛7.定义域为R 的偶函数()x f 对x R ∀∈()()()12,f x f x f -=+当[]3,2∈x 时(),18122,2-+-=x x x f 若函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点，则a 的取值范围是()[]()()()()()()()()[]()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1.212222 4.22,420,22241120312340122021314050512342021 1.32211112.C f x f x f x f x x f x T x x f x f x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f x f x f x f x f x T B f x f +=-⇒=-⇒+=-⇒=∈⇒-∈⇒=--=--=⎧⎪=⎪⇒+++=⇒+++⎨=-⎪⎪=⎩=⋅++++=⎡⎤⎣⎦-+=---=---+=-++=⇒=⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=()()()()()()()()()()()()())()()()()3311112.13.1263log 83824 4.632log 2log 434232,2log 3216,2log 72544,1log 01a a a a a x f x f x f x A f x f x C a f f a a T g a g x x a a g a a a T a ---=--+-=--=-⇒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=+⇒⎧>⎧==⎧>⇒<⇒<⎪⎪⎪=⇒>⇒⇒∈⎨⎨⎨=+<⇒>⇒>⎪⎪⎪⎩⎩<⎩⎧⇒=⇒=⎪>⇒⇒⎨⇒=⇒=⎪⎩=⇒-⇒<<⇒()()()()()()()()()()()()()2111,3,7.5195115,1958,1log 91915156210151571102 2.3,232,2log 32.a aa a a a a f a t Ca f a x f f x f x T f x x x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎛⎫⇒∈⎧⎨ ⎪=-⇒=⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⇒=-⇒=⎪⎪⎩⎩>⇒=⇒=⎧⎪=⇒⇒⎨<<⇒=-⇒=⎪⎩=-⇒=⇒+=⇒==--≤≤⇒-⇒⎛=-⇒=⇒∈ ⎝⎭2021高考数学复习:周期函数练习1.()x f 在R 上是奇函数满足()()13,f x f x -=+当()2,0∈x 时()()22,2019f x x f == ( ) A.2- B.2 C.98- D.98()2019f =()82f =20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2.定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1且在[]0,1-上单调递增，设()(),2,3fb f a ==(),2f c =则c b a ,,大小关系是 （ ）A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >>3.()x f 是R 上的周期为3的函数[)1,2,-∈x 时()()()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧<<≤≤--=421,10.02.242f f x x x x x f（ ） A.14-B.14C.34D.0 ()201f =()2020f =20172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4.定义在R 上的奇函数()x f 满足()()12f x f x +=-，且在()1,0上()xx f 3=.则()=54log 3f ( ) A. 32B.23C. 32-D. 23-()2020f =172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3log 18f =()3log 8f =()=54log 3f5.定义在R 上的奇函数(),x f 满足()(),4x f x f -=+且在区间[]2,0上是增函数，则 ( ) A.()()()40310f f f <<- B.()()()10340-<<f f f C.()()()10403-<<f f f D.()()()34010f f f <<-6.R 上的奇函数()x f 图像关于1x =对称,且当(]1,0∈x 时()21f x x =+()462f =()2019f =20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f=f=7.定义在R 上的奇函数()x f 满足()(),22x f x f -=+且(),11=f 则()2019f = （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2-8.定义在R 上的奇函数()x f 满足对任意R t ∈都有()(),1t f t f -=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 时(),,2x x f =()332f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭ （ ）A.21-B.31-C.41- D.51-9.已知函数()x f 在实数集R 上具有下列性质: ①直线1x =是函数()x f 的一条对称轴 ②()()x f x f -=+2 ③当1213x x ≤<≤时()()()()()21210,2021,2020,2019f x f x f f f x x -<-大小关系为10.若函数()x f 满足()()()()()()()3,532,01+=+=-+x f x f x f x f 当10<≤x 时,()12-=xx f ,则()()=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛25223121f f f f f11.定义在R 上奇函数()x f 满足()(),4x f x f -=-且在区间[]2,0上是减函数,比较大小：()()()81,9,2020f f f -12.()x f y =为偶函数,且满足,2123⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f 当[]3,2∈x 时(),f x x =则当[]2,0x ∈-时()=x f , （ ） A.4x +B.2x -C.21x ++D.31x -+13.函数()()()()2 1.0,1.0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()a x x f +=有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的 取值范围是14.奇函数()x f 的定义域为,R 若()1f x +为偶函数，且(),21=f 则()()=+54f f （ ） A.2 B.1C. 1-D. 2-15.已知()x f 是定义在R 上的偶函数，满足()(),2x f x f -=当[]1,0∈x 时(),1-⋅=x ex x f 则方程()0lg =-x x f 的根的个数为16.已知函数()()()()⎩⎨⎧>-≤-=0.10.12x x f x x f x ,则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为17.()x f 是定义在R 上奇函数,满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x f x f 2323,当⎪⎭⎫⎝⎛∈23,0x 时()(),1ln 2+-=x x x f 则函数()x f 在区间[]0,6上的零点个数是 （ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．918.定义在R 上的函数()x f ,对任意R x ∈,都有()()()36f x f x f +=+成立,若函数()1+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称,则()=2013f （ ） A.0 B.2013 C.3 D.2013-19.()()()()⎩⎨⎧≤<+-≤<-=31.1211.2x x f x x f x ,函数()()2-=x f x g 在区间(]3,1-上的零点个数是 （ ）A.1B.2C.3D.420.设()x f 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()4f x f x +=,且当[]2,0x ∈-时,()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()1,02log >=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A.()1,2B.()2,+∞C.()34,1D.()2,4321.函数()x f 满足()(),53+=+x f x f (]1,1-∈x 时(),12x x f -=函数()()()⎩⎨⎧=≠=0.10.lg x x x x g则函数()()()x g x f x h -=在区间[]10,5-内零点的个数为 （ ） A ．12 B ．14C ．13D ．822.定义在R 上的函数()x f 对任意x 满足()(),1x f x f -=+当11<≤-x 时(),3x x f =函数()()()log .0,1.0a x x g x x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩若函数()()x g x f y -=在[)+∞-,6上有7个零点,实数a 取值范围 （ ）A.()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,771,0 B.(]9,771,91 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C.(]1,11,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.[)11,7,997⎛⎤ ⎥⎝⎦23.定义域为R 的函数()x f 满足()()22f x f x +=,当[)0,2x ∈时,()[)[)232,0,1,1,1,2,2x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩则当[)4,2x ∈--时,函数()x f 的最小值为 （ ） A.116- B.14- C.12- D.18-24.定义在R 上的偶函数()x f ,且对任意实数x 都有()(),2x f x f =+当[)0,1x ∈时(),2x x f =若在 区间[]1,3-内,函数()()k kx x f x g --=有4个零点,实数k 的取值范围是 .25.()x f 是定义在R 上的偶函数,()(),2x f x f =+当01x ≤≤时(),2x x f =若直线a x y +=与函数()x f y =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 （ ） A.()Z n n ∈, B.2n ()Z n ∈, C.2n 或124n -()Z n ∈, D.n 或14n -()Z n ∈,26.设()x g 是定义在R 上,以1为周期的函数，若()()x g x x f +=在[]1,0上的值域为[]5,2-,则()x f 在区间[]3,0上的值域为27.()x f 是定义在R 上周期为2的函数,对任意的实数,x 恒有()(),0=--x f x f 当[]1,0∈x 时，(),12x x f --=则函数()()1+-=x e x f x g 在区间[]2017,2017-上零点的个数为 （ ）A ．2016B ．2017 C.4032 D ．403428.函数()()()()()26.75,2.5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩若函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点,则实数k 的取值范围为 ( )11A.,86⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11B.,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 1111C.,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1111 D.,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭29.函数()x f 满足()()22,f x f x +=当[)0,2x ∈时()21,f x x =-计算:(1)()2.5f =(2)()3.5f =(3)()10f =(4)()21f =29.函数()x f 满足()()22,f x f x +=当[)0,2x ∈时()21,f x x =-计算: (5)()2020f = (6)20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(7)()f e =(8)()2log 5f =(9)()2log 9f =(10)()2log 18f =(11)()2log 35f =(12)()2log 2020f =(1)()2.5f =(2)()3.5f =(3)()4.5f =(4)()5.5f =(5)()2020f =(6)()2019f =(7)()f e =(8)()2log 5f =(9)()2log 9f =(10)()2log 18f =(11)()2log 35f =(12)()2log 2020f =(13)()2log 1000f =(1)()2.5f =(2)()3.5f =(3)()10f =(4)()21f =(5)()2020f = (6)20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭。