材料力学——第8章(平面弯曲杆件的应力与强度计算)

MS z( y) y d A A Iz
x y M(x) Fs(x)
aa
dx 图a Fs(x)+dFs(x) 图b dx M(x)+d M(x) z
( M dM )S z ( y ) F2 Iz
F2 F1 dMS z ( y ) 1 bdx dxbI z FS S z ( y ) bI z
y
0 FRB 2.75F
最大正弯矩发生在D截面，
M D 0.75Fl
最大负弯矩发生在B截面，
M B Fl
20
⑵画出B、D截面的正应力分布示意图 由于截面不对称于中性轴，且
c max
MB MD
故梁内最大压应力发生 在B截面的下边缘处：
t max
aa
梁内最大拉应力可能发生在D截面的下边缘处或B截面 的上边缘处：
z
h
τ
max
2 B b h * 2 2 2 SZ ( H h ) y 8 2 4

S
bh
min
27 max
工字形截面：
切应力流
η b
翼缘上垂直切应力分量佷小，通常略去不计 翼缘上存在与中心线平行的切应力分量， 假定沿翼缘厚度均匀分布
δ
h
H
z
τ
aa
τ
min
max
FS 横截面腹板上切应力分布与矩形截 ( 轧制工字型钢） I Z b S z 面相同 *
工字形截面：
翼缘 b y
FS S Z IZb
H
2 FS B b h 2 2 2 腹板 ( y ) y ( H h ) I b 8 2 4 aa τ min Z y 2 2 F bH h B 翼缘 S max y 0 (Bb) IZb 8 8 h / 2 ~ 2 2 FS bdy FS ( 96 ~ 97 )% F BH Bh S h / 2 min y h 2 IZb 8 8 工字形截面的剪力主要由腹 板承担 F b B
o a
z
y
横截面上任一点处线应变e的大小与该点到中心 e y / 层的距离y成正比。
7
二、物理关系
基于： 纵向材料受单向拉压； 当应力小于比例极限时， 根据胡克定律，则 y y
d
e y /

横截面上各点的正应力σ 的大小与该点到中性轴 的距离y成正比。
aa
8
中性轴上， 0 截面上、下缘， max
180 30
1
2
M1
+ qL2 8 Mmax
18
120 y
z
M1 1 max Wz 60 10 3 10 4 92.6MPa 6.48 M max max Wz
67.5 10 10 4 104.2MPa aa 6.48
3
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
120 y
z
c max
1 A
q=60kN/m B
FRA FRB 90kN
从M图可知：
qLx qx 2 M1 ( ) x 1 60kNm 2 2 aa
FRA
1m
2m
FRB
M图
1
M max qL / 8 60 3 / 8 67.5kNm
2 2
M1
+ qL2 8 Mmax
17
1 ⑵求应力
FS图 M图
FS=0
M=M0
一般情况
横力弯曲: 若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。
简单特例
纯弯曲:梁横截面上的内力只有弯矩。
3
§8-1
纯弯曲时梁横截面上的正应力
方法： 与求扭转杆横截面上的应力方法相同。
变形的几何协调 (几何分析) 力与变形之关系 (物理关系) 力的平衡 (静力关系)
一、弯曲变形几何分析（矩形截面纯弯曲梁） ⒈ 弯曲变形实验现象
y1 R dy1 y
max
FS R 2 FS R 2 4 FS 4 FS 4 2 3I Z 3 R / 4 3 R 3 A
29
例：一闭口圆环形截面薄壁梁，横截面如图所示，剪力位于y 轴且方向向下。已知截面的平均半径为R0 ，壁厚为δ ，试画截 y 面上弯曲切应力的分布图，并求其最大值。 解：对于薄壁截面，假设横截面上切应力 FS 沿壁厚均匀分布，且与周边切线平行。 z
t max
⑶求曲率半径
EI z 1 M1
200 5.832 10 194.4m 60
180 30
19
[例8-2]外伸梁如图所示，已知Iz，试求梁内最大拉应力 和最大压应力的大小和位置。 解：⑴求支座约束 力并作弯矩图。
FRA
aa
FRB
M F
B
0 FRA 0.75F
bh3 120 1803 A Iz 1012 5.832 10 5 m 4 12 12 FRA
q=60kN/m B
h Wz I z / 6.48 10 4 m 3 2
M1 y 1 2 aa I z
1m
2m
FRB
M图
1
60 60 105 61.7MPa 5.832
A
M z ydA
A
Ey
E
A


y dA
2

Iz M
E

Iz M
dA y
M EI z
式中：
1
中性轴 x
z
1
yd d
M d
梁轴线变形后的曲率 梁的弯曲刚度
y
y
aa
EI z
纯弯曲梁 的正应力 公式
E
y

M My E Ey EI z Iz
考虑梁AA-BB间的微段，oo在 中性层上，ρ 为中性层的曲率半 径。截面坐标如图。 M
y
d
A o a A B o a B

M
距中性层为y的纵向材料aa: 变形前： aa oo 变形后： aa y d
l
应变： e aa aa ( y )d d y l aa d
max压
。
y d d
中性轴
z
Ee E
问题： aa
y

M d

y
x
?
max拉 y

9
三、静力平衡关系
在截面上取微面积dA，微内力 为σ dA。这些平行微内力可能组成 三个内力分量：
FN dA
A
dA y
中性轴 x
z
M y zdA
A
由于纯弯曲时横截面上只有弯矩， 于是有 aa
max
Iz Wz 令 ymax
弯曲截面系 数（m3, mm3)
max
Wz
14
bh 2 Wz 6
aa
y2
Wz
D 3
32
Wz
D 3
32
(1 4 )
当中性轴不是截面对称轴时，最大拉应 力和最大压应力数值不相同 正弯矩作用下：
z
y1
y
t max
My1 IZ
c max
My2 IZ
15
[例8-1]受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： ⑴ 1—1截面上1、2两点的正应力； ⑵ 此截面上的最大正应力； ⑶ 全梁的最大正应力； ⑷ 已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。 1 q=60kN/m A 1m 1 2m 180 30 B
1 2
120 y
z
16
解：⑴求支座约束力，作M图。
梁的纵向材料其变形是伸长或缩短； 为简单拉伸和压缩变形。
M
A
B
M
a
a
b B
b A
凹部材料aa 缩短，凸部bb材料伸长， M 总有一层材料既不伸长又不缩短，此层 称为中性层。
d
A a b A B a b B
M
⒊推论： 有中性层存在
中性层与横截面的交线称为中性轴。
变形后
中性轴
中性层(面)
6
⒋变形几何关系
FN dA
A
y y d d M z ydA A M d y
Ey
A

A
dA
E

A ydA 0
E
Sz 0
I yz 0
E
中性轴为 形心轴 y轴为对称 轴
10
M y zdA
A
Ey

zdA ydA

A
yzdA 0

t max

B

MB a Iz
Fla Iz

t max

D
M D 2a 0.75Fl 2a 1.5Fla Iz Iz IZ
21
故梁内最大拉应力发生在D截面的下边缘处。
二、横力弯曲时梁横截面上的切应力 ⒈矩形截面梁横截面上的切应力
x y M(x) Fs(x)
aa
dx
⑴两点假设： 切应力与剪力平行；
* FS S Z ( ) F S z ( ) s z IZ bI z h 1 * h max S Z
B
F1 dx
* FS S Z FS h z ( ) I Z 2I Z
2
2
2
dx

翼缘上切应力与中性轴平行，沿翼缘线 性分布
4
AA、BB仍保持直线，但相对地 转过一角度d。 aa 缩短，bb伸长，变为弧形， 但仍与AA、BB线正交。
M a
A b A
B
M
a
b B
M
d
A a b A
⒉弯曲的基本假设 平面假设 梁的横截面在弯曲变形后仍保持为 平面，且仍与梁的轴线垂直。
B a b B
M
变形后
5
纵向材料之间无挤压假设
11
y
My Iz
注意： 应用上式时，可先取M、y的绝对值代入。
aa
σ 的正负判断如下：以中性层为界，梁凸出 的一侧是受拉，凹入的一侧受压。
12
§8-2
横力弯曲时梁横截面上的应力
一、横力弯曲时梁横截面上的正应力 纯弯曲 横力弯曲
aa
梁横截面上内力只有弯矩
My Iz
梁横截面上内力有弯矩和剪力
F2

T 形截面上切应力的分布与工字形截面 28
类似
根据切应力互等定理，横截面周边上的 切应力必定与周边相切。
圆形截面：
Fs
横截面中与中性轴平行的弦上各点切应力 指向 y 轴上同一点，且 y 方向分量相等。 * FS S Z b 2 R2 y 2 y 则有： IZb z 3
y
S *
§8-1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
§8-2 横力弯曲时梁横截面的应力
§8-3 梁的强度计算 §8-4 梁的合理强度设计
1
概念回顾: 1.平面弯曲
q 纵向对称面
F
梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内， 变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。
2
2.纯弯曲
F
a
F FS图 M图 Fa
F
a
M0
根据弹性力学的分析结果表明：
l 5的细长梁，用公式 My h Iz
计算横力弯曲时
的正应力，可以满足工程所需的精度
13
My Iz
弯矩 截面上的最大正应力 截面的形状 对于等直杆，当中性轴是横截面的对称轴时，最 aa 大正应力发生在弯矩最大的截面上下边缘处。
max
则
M max ymax Iz M
最大切应力为平均切应力的1.5倍。
aa
25
⒉其它截面梁横截面上的切应力
⑴研究方法与矩形截面相同;切应力的计算公式亦为：
Fs S z bI z
其中FS为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩； Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 ⑵几种常见截面的最大弯曲切应力
aa
26
图a Fs(x)+d Fs(x) 距中性轴等距离处，切应力相等。 图b ⑵研究方法：分离体平衡。 在微段上取一块如图c，有 平衡方程 x
F2
dx
在梁上取微段如图b； M(x)+d M(x) z
1
F1

y
F
图c
x
F2 F1 1b( dx ) 0
22
M F1 dA A Iz
* Z A
y
aa b
2R y
2 2 y1dA y1 2 R y dy1 ( R y 2 ) 2 y 3
R 2 2 1
同一弦上两端点总切应力最大
2 2 F R R y S ~ max y 3I Z R2 y 2 最大切应力发生在中性轴处(均匀分布)
R
z
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
3FS 4 y 2 1 2 2bh h
1
F1

y
x
F2
图c
24
FS
( y )
3FS 4 y 2 1 2 2bh h
max
3 FS 1.5 2 A
方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
1
F1

y
x
F2
图c
23
由切应力互等原则
FS S z ( y ) ( y ) 1 bI z
x y M(x)
h 2
dx 图a Fs(x)+dFs(x)
aa
图b dx M(x)+d M(x) z
y
Fs(x)
S z ( y ) y c A h y h 2 b( y ) 2 2 b h2 ( y2 ) 2 4