数值分析Euler方法
高等数值分析作用欧拉法与阿达姆斯法
求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法，单步法主要有欧拉法和Runge- Kutta 法，多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以最常用的Runge- Kutta 法和Adams 法分别作为单步法和多步法的例子，对两种方法进行分析比较。
Euler 法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法，但其局部截断误差仅为，是一阶方法，为了达到更高的精度，我们构造了RK 法．通过构造高阶单步法来提高精度，而较高的精度意味着计算结果更加精确，误差随着的减小迅速减小，考虑常微分方程：常用的多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以Adams 法为例介绍多步法，其中Adams 法又包括显式Adams 法和隐式Adams 法。
显式Adams 法:Adams- Bashforth 公式：公式（2.7）又称为Adams 外插公式[2]。
为方便计算，改用函数值表示后差：因（2.7）或（2.8）是显式公式，所以又称它们为显式Adams 公式, 易见显式Adams 公式（2.7）或（2.8）是线性步公式。
常用的四阶显式Adams 公式为[2]隐式Adams 法称（2.10）为Adams-Moulton 公式．所用的牛顿向后插值多项式基点为，而积分区间为，故上式又称为Adams 内插公式，该式为隐式公式，故又称为隐式Adams 公式。
这是一个关于的隐式方程，在计算中，需要将式（2.12）写成显式格式，但一些方程难以求出其显式格式，这就需要将四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法结合起来，用显式公式（2.9）作为预测，然后用隐式公式（2.12）作校正，构造Adams预测- 校正公式[2]式（2.13）为四阶公式，式中的初始值除y0 已给定，y1，y2，y3 常用四阶RK法计算．四级RK 法每前进一步需要计算四个函数值，对N级RK法，每计算一步，函数f 需要计算N次。
因此，对给定的N，我们总是希望构造阶数最高的方法，记是N级RK法所能达到的最高的阶数，已经得到下面的结果[4]：由此可见，当时，，从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法。
显示euler法
显示Euler法引言对于很多数学问题，我们往往需要求解微分方程。
微分方程描述了物理、化学、生物等领域中许多现象的变化规律。
然而，解析求解微分方程通常非常困难，甚至无法找到解析解。
因此，我们需要借助数值方法来近似求解微分方程。
Euler法是最简单且最早的一种数值方法之一，它可以用于求解一阶常微分方程。
本文将详细介绍Euler法的原理、步骤和应用。
一阶常微分方程在介绍Euler法之前，我们先来回顾一下一阶常微分方程的一般形式：dydt=f(t,y)其中，y为未知函数，t为自变量，函数f(t,y)描述了y关于t的变化规律。
Euler法原理Euler法的基本思想是将微分方程中的导数用差分的形式来近似表示。
我们将自变量t划分为若干个离散的点，步长为ℎ，即t0,t1,t2,…,t n，其中n为划分的个数。
在每个t i点，我们需要求解y(t i)的近似值y i。
根据微分的定义，可以得到：dy dt =limℎ→0y(t+ℎ)−y(t)ℎ为了用差分形式近似表示导数，我们可以将上式改写为：y(t+ℎ)−y(t)ℎ≈f(t,y)对上式进行变形可得：y(t+ℎ)≈y(t)+ℎf(t,y)这就是Euler法的基本迭代公式。
Euler 法步骤按照Euler 法的基本迭代公式，我们可以得到求解微分方程的步骤： 1.选择划分间隔步长ℎ，确定划分点个数n 。
2.给定初始条件y 0，即t =t 0时的y 值。
3.根据Euler 法迭代公式，计算y 1=y 0+ℎf (t 0,y 0)。
4. 重复步骤3，直到计算出所有的y i 。
Euler 法应用举例现在我们通过一个具体的例子来演示Euler 法的应用。
考虑一阶常微分方程：dy dt=−ty 初始条件为y (0)=1。
我们将该微分方程数值解与解析解进行比较。
划分步长和确定划分点个数为了开始计算，我们需要选择一个适当的步长ℎ和划分点个数n 。
在这个例子中，我们选择ℎ=0.1，n =10。
1Euler法
x0 x1 x2 ... xn ...
x0 ih; h : 步长
（解的存在唯一性） Th9.1
对于初值问题 ( )，如果 f ( x, y ) 在下列区域内连续：
G {a x b;| y | }
且关于 y 满足Lipschitz条件，即存在常数 L 0，使
第九章 常微分方程初值问题的数值解法
/*Numerical Method of Initial Value Problem for Ordinary Differential Equations*/
本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
§1 基本概念与Euler方法
一、初值问题及其数值解的概念
上述迭代法的收敛性：
( k 1) n 1
缺陷：计算量太大
h (k ) | yn1 y | | f ( xn1 , yn1 ) f ( xn1 , yn 1 ) | 2 h hL k 1 (k ) ( 0) L | yn1 yn1 | ... ( ) | yn1 yn1 | 2 2 2 ( k 1) 只要 h | yn1 yn1 | 0 ( k ) L
y( x ) 积分曲线
o
x0
x1
x2
xn
x
初值问题 ( ) 的解表示过点 ( x0 , y0 )的一条曲线 初值问题 ( ) 的数值解表示一组离散点列 ( xi , yi ) 可用拟合方法求该组数据 ( xi , yi ) 的近似曲线
二、Euler 法
y ( x , y ) 现在从 0 0 出发
解： yn1 Euler公式：
0.2 xn yn hf ( xn , yn ) 1.1 yn yn
Euler法与修正的Euler法局部截断误差Range-Kutta公式
h xn x0 0 n
16
定义 若一种数值方法对于固定的 xn ,x当0 nh h 时0 有 yn ，其y(中xn ) 是原问y题(x的) 确解，则称该方法 是收敛的.
定理 假设单步法具有p阶精度，且增量函数 (x, y关, h于) y 满足利普希茨条件
(x, y, h) (x, y, h) L y y ,
k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3)
12
例4
dy
y xy2 ,
0
x2
dx y(0) 1
1 y( x) x 1 2e x
数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较
11
Range-Kutta公式
三阶Range-Kutta公式一般形式
yn+1= yn+ h[k1+4k2+k3]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+h, yn – hk1+2hk2)
四阶Range-Kutta公式一般形式
yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6
常微分方程数值解
Euler法与修正的Euler法 局部截断误差 Range-Kutta公式
1
Euler法与修正的Euler法
一阶常微分方程初值问题:
dy dx
f (x, y), x
x0
其中, y = y(x) 是未知函数, y( x0 ) y0
Euler法与改进Euler法知识讲解
yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
计算方法 常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法
yi1
1 2
(y p
yc)
i 0,1, 2 … , n 1
(9.12)
例9.2 用改进欧拉法解初值问题
y
y
2x y
y(0) 1
区间为0,1，取步长 h=0.1
解:
改进欧拉法公式
y p
yi
0.1(yi
2xi ) yi
课堂练习： x0 = 0, y0 = 1 计算出
欧拉公式的截断误差推导：
在欧拉公式中，假定 yi y(x i ) (近似地相等)，则有
yi1 y(x i ) h[f(x i , y(x i ))] y(x i ) hy(xi ) (a)
而将真解y(x)在xi处按二阶泰勒展开，得
y(x i1 )
y(x i ) hy(xi )
h2 2!
y(x0 ) f(x 0 , y0 )
Pn
y
P1(x1 , y1)
P2(x2 , y2)
y=y(x)
Pi(xi , yi) Pi+1(xi+1 , yi+1) y(xn)
P0 y(x0) y(x1)
y(x2) y(xi)
y(xi+1)
x0 x1
x2 xi
xi+1
xn
直线 P0P1 的方程为： y y0 f(x 0 , y0 )(x x0 )
(9.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函 数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法 是显式方法。
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两步Euler公式
9.2.3 两步欧拉公式
2个区间
对方程 y f( x,y) 两端在区间 [xi1, xi1] 上积分得
微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容四川师范大学本科毕业论文四川师范大学教务处二○一○年五月微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法学生姓名：xxx 指导教师：xx【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。
当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。
本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。
讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。
通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。
关键词：显式单步法欧拉（Euler）方法龙格—库塔（Runge—Kutta）方法截断误差收敛性Two commonly used numerical solution of differential equations：Euler method and Runge - Kutta methodStudent Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are themost typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stabilityhas made the proof. At the same time, the article discuss the lengthof stride to the numerical method changing influence and thedifference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the different request ordinary differential equation in the practical application .Keywords: Explicit single-step process Euler method Runge—Kutta method truncation error convergence目录微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法前言常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关的。
9-1Euler方法
差分方程初值问题
若用向后差商近似导数，即
y ( x n 1 ) y ( x n ) h y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 )) y ( x n 1 )
一阶常微分方程初值问题的数值解法
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 yi y( xi ) ( i 1, ... , n)
节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ... , n 1) 为步长，通常采用等距节点， 即取 hi = h (常数)。
y( x1 ) y( x 2 ) y( x0 ) 2h
y( x2 ) y( x0 ) 2h f ( x1 , y( x1 ))
yi 1 yi 1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
x0 x1 x2
假设 yi 1 y( xi 1 ), yi y( xi ) ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。
第九章 常微分方程数值解法
§1 Euler方法 §2 改进的Euler 方法
§3 Runge-Kutta方法
§4 线性多步法 §5 相容性、收敛性与稳定性
一阶常微分方程初值问题
考虑一阶常微分方程的初值问题
dy f ( x, y) dx y ( a ) y0 x [a , b ]
Rn 1 y ( xn ) y n h f ( xn , y ( xn )) f ( xn , yn )
Rn 1 en hL y ( xn ) yn Rn 1 (1 hL) en
Euler法
h
3
3
y ( ), x n x n 1
二阶方法
本节小结
小 结
建立数值解法的常用方法 Euler方法 几何意义 Euler方法的误差估计 向后Euler方法 两步Euler法
宽
高
实际上是左矩形法
常用方法 (3) 用Taylor多项式近似并可估计误差
y( xn+ 1 ) = y( xn + h) = y( xn ) + hy '( xn ) + h
2
y ''( ξ )
2!
进一步 : 令 yn y( xn )
yn+ 1 ? yn hf ( xn , yn )
y( x n1 ) yn1
h
2
max y' ' ( x )
a xb
2
三、Euler方法
已知初值问题的一般形 式为: dy f ( x, y) dx y( x ) y 0 0 a xb
(1)
用差商近似导数 问题转化为
y n1 y n h
dy dx
y n1 y n hf ( x n , y n ) y 0 y( x 0 )
由 L ip sch itz 条 件
en1 Rn1 1 hL en 对一切n成立。
反复递推得 e n 1 h2 M (1 h L ) M (1 h L ) e n 1 2 2 h
2
截断误差
h2 2 M (1 h L ) M (1 h L ) M (1 h L ) e n 2 2 2 2 h
数学物理方程的数值解法
数学物理方程的数值解法数学物理方程是自然界和科学中描述物体运动、能量转化和相互作用的基本规律。
我们通常使用数值解法来求解这些方程，以得到近似的解析解。
数值解法既可以用于数学问题，也可以用于物理问题。
本文将介绍几种常见的数学物理方程的数值解法。
一、微分方程的数值解法微分方程是描述物体运动和变化的重要工具。
常见的微分方程有常微分方程和偏微分方程。
常见的数值解法包括：1. 欧拉法（Euler's method）欧拉法是最简单的数值解法之一，通过将微分方程离散化为差分方程，在每个小时间步长上近似计算微分方程的导数。
欧拉法易于实现，但精度相对较低。
2. 龙格-库塔法（Runge-Kutta method）龙格-库塔法是一类常用的数值解法，包括二阶、四阶等不同的步长控制方法。
龙格-库塔法通过计算多个离散点上的导数来近似微分方程，精度较高。
3. 有限差分法（Finite difference method）有限差分法是一种常用的数值解法，将微分方程转化为差分方程并在网格上逼近微分方程的导数。
有限差分法适用于边值问题和初值问题，且精度较高。
二、积分方程的数值解法积分方程描述了给定函数的积分和积分变换之间的关系。
常见的数值解法有：1. 数值积分法数值积分法是通过数值逼近求解积分方程，常用的数值积分法包括梯形法则、辛普森法则等。
数值积分法适用于求解一维和多维积分方程。
2. 蒙特卡洛法（Monte Carlo method）蒙特卡洛法通过随机采样和统计分析的方法，将积分方程转化为概率问题，并通过大量的随机样本来估计积分值。
蒙特卡洛法适用于高维空间和复杂积分方程。
三、优化问题的数值解法优化问题是寻找在给定约束条件下使目标函数取得极值的数学问题。
常见的数值解法有：1. 梯度下降法（Gradient descent method）梯度下降法是一种常用的优化算法，通过迭代和梯度方向来寻找目标函数的局部最优解。
梯度下降法适用于连续可导的优化问题。
euler法
欧拉法（Euler method）是一种数值方法，用于求解常微分方程的初值问题。
它的基本思想是用一个近似函数来逼近真实的解，然后通过迭代计算来逐步改进这个近似函数，直到达到所需的精度为止。
欧拉法的具体步骤如下：
1. 首先确定一个初始点x0和一个步长h，以及一个函数f(x)表示要求解的微分方程。
2. 计算初始点的函数值f(x0)。
3. 用近似函数y = f(x0) + h * f'(x0)来逼近真实的解。
其中，f'(x0)表示在x0处的导数。
4. 计算新的点x1 = x0 + h，并计算该点的函数值f(x1)。
5. 用近似函数y = y + h * (f(x1) - f(x0))来更新近似函数。
6. 如果达到了所需的精度或者已经到达了要求的终止点，则停止迭代；否则，回到第3步继续迭代。
数值分析Euler方法
y(k 1) n1
yn
h 2
f
(xn , yn )
f
( xn 1 ,
y(k) n1
)
y (k 1) n 1
yn 1
h 2
f
( xn1,
y(k ) n 1
)
f ( xn1, yn1 )
hL 2
y(k ) n 1
yn1
hL 2
k
y( xk )
y( xk1 ) y( xk ) hf ( xk1 , y( xk1 ))
yk1 yk hf ( xk1 , yk1 ) k 0,1,2.....n 1
由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐 式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。隐式公
h2 2
y xn
h3 6
y xn
§1 Euler’s Method
从而
Rn1
y(xn1)
yn1
hf
y
xn 1 ,
y
xn1
yn1
h2 2
y
xnBiblioteka h3 3y xn
即
1
hf
y
xn1
( x2, y2 ) ( x1, y1 )
过( x0 , y( x0 )) ( x0 , y0 )作切线
y y0 k( x x0 )
斜 率k y( x0 ) f ( x0 , y( x0 )) f ( x0 , y0 ) x0
Euler方法与改进的Euler方法的应用
CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告Euler 方法与改进的Euler 方法的应用一、问题背景在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。
大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。
这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。
二、数学模型在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。
定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。
另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
在本文中主要讨论的是给定初值条件的简单Euler 方法和改进的Euler 方法来求解常微分方程。
三、算法及流程Euler 方法是最简单的一种显式单步法。
对于方程()y x f dxdy ,= 考虑用差商代替导数进行计算，取离散化点列nh x x n +=0，L n ,2,1,0=则得到方程的近似式()()()()n n n n x y x f hx y x y ,1≈-+ 即()n n n n y x hf y y ,1+=+ 得到简单Euler 方法。
具体计算时由0x 出发，根据初值，逐步递推二得到系列离散数值。
简单Euler 方法计算量小，然而精度却不高，因而我们可以构造梯形公式()()[]η=++=+++0111,,2y y t f y t f h y y n n n n n n 其中()N a b h -=。
这是一个二阶方法，比Euler 方法精度高。
但是上述公式右边有1+n y ，因而是隐式差分方程，可以用迭代方法计算1+n y 。
二,Euler方法
二，Euler 方法及改进的Euler 方法问题：<数值分析简明教程>P151-实验1用Euler 方法求初值问题的数值解。
取步长h=0.1,并在一个坐标系中画出数值解与准确解的图形。
问题求解：一， 工具：Mathematica二，分析：用Euler 公式y n+1= y n +h f(x n ,y n )求数值解的方法成为Euler 方法。
三，算法及求解过程算法：1． 输入函数f(x,y)、初值y 0、自变量区间端点a,b 步长h2． 计算节点数n 和节点x k3． 用Euler 公式y n+1= y n +h f(x n ,y n ) 求数值解Euler 方法程序Clear[x,y,f]f[x_,y_]= Input["函数f(x,y)="]y0=Input["初值y 0 ="]a=Input["左端点a="]b=Input["右端点b="]h=Input["步长h="]n=(b-a)/h;For[i=0,i<n,i++,xk=a+i*h;y1=y0+h*f[xk,y0];Print["y(",xk+h//N,")=",y1//N];y0=y1]说明：本程序用Euler 公式求常微方程初值问题数值解。
程序执行后，按要求通过键盘依次输入输入函数f(x,y)、初值y 0、自变量区间端点a,b 步长h 后，计算机则给出常微方程初值问题数值解。
程序中变量说明f[x,y]: 存放函数f(x,y)y0: 存放初值y 0及数值解⎪⎩⎪⎨⎧=<<-='1)0(102y x y x y ya：存放自变量区间左端点b: 存放自变量区间右端点n: 存放节点个数h: 存放节点步长xk：存放节点xiy1: 存放数值解注：（1）语句Print["y(",xk+h//N,")=",y1//N]是将数值解用6位有效数字显示出来，如果要显示n位数有效数字，可以将语句改为Print["y(",xk+h//N,")=",N[y1,n]]（2）Mathematica中有求微分方程初值问题数值解的命令，形式为:NDSolve[ {y’[x]==f[x,y[x]],y[a]==y0}, y, {x, a, b}]由N DSolve命令得到的解是以{{未知函数名->InterpolatingFunction[range, <>]}}的形式给出的,其中的InterpolatingFunction[range, <>]是所求的插值函数表示的数值解, range就是所求数值解的自变量范围。
euler法解初值问题
Euler法解初值问题1.简介在数学上，初值问题是求解常微分方程的一种常见方法。
E ule r法是一种基本的数值解法，用于逼近常微分方程的解。
本文将介绍E ul er法的基本原理和应用，以及如何使用Eu ler法解决初值问题。
2. Eu ler法的原理E u ler法的基本思想是将微分方程的解近似为一系列有限步长的步进。
对于给定的初始条件，E ul er法通过计算每一步的斜率来逼近微分方程的解。
具体步骤如下：1.确定初始条件：给定微分方程的初始值，例如初始时刻的位置和速度。
2.确定步长：选择一个合适的步长$h$，表示近似解在每个步骤中的前进距离。
3.迭代计算：使用微分方程的导数公式，根据当前位置和速度计算下一个位置和速度。
3. Eu ler法的算法E u le r法的算法如下：输入：微分方程，初始条件，步长输出：近似解1.初始化初始条件2.根据微分方程的导数公式计算斜率3.根据初始条件和步长更新位置和速度4.重复步骤2和3，直到达到指定的迭代次数或满足终止条件5.输出近似解4. Eu ler法的应用举例4.1.经典物理力学问题假设一个物体在空气中自由下落，可以使用以下微分方程来描述其运动：v'=gx'=v其中，$v$为速度，$x$为位置，$g$为重力加速度。
如果给定初始速度和位置，使用E ul er法可以逼近物体在一段时间内的运动轨迹。
通过迭代计算每个步骤的位置和速度，可以得到物体的近似位置。
4.2.生物学应用在生物学中，很多生物体的种群增长可以用以下微分方程来描述：d p/d t=rp(1-p/K)其中，$p$表示种群数量，$t$表示时间，$r$表示增长率，$K$表示环境容量。
使用Eu le r法可以逼近种群数量随时间变化的情况。
通过迭代计算每个步骤的种群数量，可以得到种群数量随时间的近似曲线。
5.总结本文介绍了E ul er法解初值问题的基本原理和应用。
通过将微分方程的解近似为一系列有限步长的步进，E ule r法可以逼近微分方程的解。
数值分析作业 Euler RK
数值分析作业题目：用Euler 方法及二阶—四阶RK 方法，求解相应的微分方程的数值解，并与解析解进行类比，给以说明。
求解的方程为：(0)1y x y y '=+⎧⎨=⎩ 其精确解为()21x y x e x =--。
采用的Euler 算法为：111(,)n n n n y y hK K f x y +=+⎧⎨=⎩ 采用的二阶RK 算法为：12121(,)(/2,/2)n n n n n n y y hK K f x y K f x h y hK +=+⎧⎪=⎨⎪=++⎩ 采用的四阶RK 算法为：()11234121324322/6(,)(/2,/2)(/2,/2)(/2,)n n n n n n n n n n y y h K K K K K f x y K f x h y hK K f x h y hK K f x h y hK +=++++⎧⎪=⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎪=++⎩ 用MATLAB 实现四种算法的计算，并分析其计算结果和计算误差。
计算结果如图1所示，计算误差如图2所示，用于实现这些算法的MATLAB 程序如程序1所示。
图1 三种算法的计算结果 从图1可以看出二阶RK 和四阶RK 算法的计算结果已经很接近理论值，而传统Euler 算法的计算结果明显较差。
其具体数值为：x 的取值点为：[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1]。
解析解：[1.110341836151295,1.24280551632034,1.399717615152006,1.5836493952825 41,1.797442541400256,2.044237600781018,2.327505414940953,2.6510818569 84936,3.019206222313899,3.436563656918091] 。
Euler算法的计算结果：[1.1,1.22,1.362,1.5282,1.72102,1.943122,2.1974342,2.48717762,2.815895 382,3.1874849202]。
euler法与梯形法求解微分方程
euler法与梯形法求解微分方程Euler方法和梯形法是常用的数值方法，用于求解微分方程的数值解。
这两种方法在数值计算中具有重要的应用价值，可以有效地近似微分方程的解。
我们来介绍一下Euler方法。
Euler方法是一种简单而直观的数值方法，用于求解一阶常微分方程。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近真实解来得到数值解。
具体步骤如下：1. 将自变量的取值范围划分为一系列小的区间，并选择一个合适的步长h。
2. 根据微分方程的初值条件，确定初始值。
3. 使用差分逼近的方法，不断迭代计算每个区间的数值解。
4. 重复步骤3，直到达到所需的精度或计算到指定的自变量值。
Euler方法的优点是计算简单、易于实现，但它的精度相对较低。
由于它是通过线性逼近来近似解，所以在复杂的微分方程中可能会产生较大的误差。
因此，在某些情况下，我们需要使用更为精确的数值方法，如梯形法。
梯形法是一种改进的数值方法，用于求解一阶常微分方程。
它的基本思想是利用梯形的面积来逼近函数的曲线面积，从而得到更为精确的数值解。
具体步骤如下：1. 将自变量的取值范围划分为一系列小的区间，并选择一个合适的步长h。
2. 根据微分方程的初值条件，确定初始值。
3. 使用梯形规则，通过迭代计算每个区间的数值解。
4. 重复步骤3，直到达到所需的精度或计算到指定的自变量值。
梯形法相比于Euler方法，具有更高的精度。
它通过考虑两个相邻点之间的曲线，得到更准确的数值解。
然而，梯形法的计算量较大，需要进行更多的计算。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的数值方法。
总结起来，Euler方法和梯形法是常用的数值方法，用于求解微分方程的数值解。
它们各自具有优缺点，适用于不同的求解问题。
在实际应用中，我们需要根据问题的要求和计算资源的限制，选择合适的数值方法来求解微分方程。
通过合理选择数值方法，可以有效地得到微分方程的数值解，从而解决实际问题。
euler方法求解常微分方程
euler方法求解常微分方程
欧拉方法是一种简单而又广泛使用的数值方法，用于解决常微分方程（ODEs）。
它基于将微分方程的导数近似为有限差分，从而得到方程的近似解。
以下是欧拉方法的步骤：
1. 设定初始条件，例如 y(0) = y0。
2. 将时间轴离散化，选择固定的时间间隔 h，即每隔 h 时间计
算一次解。
3. 根据微分方程和初始条件，使用欧拉公式迭代计算 y(i+1)，
其中 i 表示当前时间步数。
欧拉公式如下所示：
y(i+1) = y(i) + h*f(t(i), y(i))
其中，f(t(i), y(i)) 表示在当前时间（t(i)，y(i)）处的导数值。
4. 重复步骤 3 直到达到所需的时间点。
需要注意的是，由于欧拉方法做了近似，所以其精度可能不够高。
为了提高精度，可以使用其他更高级别的数值方法，例如龙格-库塔方法（Runge-Kutta methods）。
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第五章 常微分方程数值解法
5.2.3 梯形公式
若将这两种方法进行算术平均， 即可消除误差 的主要部分而获得更高的精度, 称为梯形法
h yk 1 yk [ f ( xk , yk ) f ( xk 1 , yk 1 )] 2
k 0,1,2.....n 1
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第五章 常微分方程数值解法
0 yn 1 y n h f ( xn , y n ) ( k 1) (k ) y y h f ( x , y n n 1 n 1 ) n 1
h2 y ( x i ) O ( h 3 ) 2 欧拉法具有 1 阶精度。
2
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第五章 常微分方程数值解法
5.2.2 后退的 欧拉公式（隐式欧拉公式） 向后差商近似导数
y ( x k 1 ) y( x k 1 ) y( x k ) h
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§1 Euler’s Method 第五章 常微分方程数值解法
从而 R n 1 y ( x n 1 ) y n 1 hf y x n 1 , y x n 1 y n 1 h2 h3 y x n y x n 2 3 即 1 hf x , R y n 1 n 1 h2 h3 y x n y x n 2 3
第二节 Euler方法
1
第五章 常微分方程数值解法
5.2.1.Euler方法 设节点为xk=x0+kh 方法一 (h=(b-a)/n k=0,1,…n)
泰勒展开法 （将y(xk+1)在xk泰勒展开得） y( ) y( xk 1 ) y( xk ) y( xk )( xk 1 xk ) ( x k 1 x k ) 2 2
也称Euler为单步法， 又称为显格式的单步法。
y1 , y2 ,, yn 依上述公式逐次计算可得：
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第五章 常微分方程数值解法
2
欧拉法的几何意义：
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
过 ( x0 , y( x0 )) ( x0 , y0 )作切线 y y0 k ( x x 0 )
在迭代公式中取极限，有 y n 1 y n h f ( x n 1 , y n 1 )
(k ) 因 此 yn 1的 极 限 就 是 隐 式 方 程 的 解
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第五章 常微分方程数值解法
h2 2
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
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第五章 常微分方程数值解法
比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差 显 n 0, 1,... 式 yn 1 yn h f ( xn , yn ) 公 3 h2 式 Rn1 y( xn1 ) yn1 2 y( xn ) O(h ) 隐 yn 1 yn h f ( xn 1 , yn 1 ) 式 3 h2 公 Rn1 y( xn1 ) yn1 2 y( xn ) O(h ) 式
h2 h3 y xn 3 f y xn1, y xn 2 y xn 2 6 h2 Rn1 y xn o(h2 ) 2
隐式欧拉法的局部截断误差：
Rn 1 y ( xn 1 ) yn 1 y( xn ) O(h3 )
xk
f ( x , y( x ))dx
( xk 1 xk ) f ( xk , y( xk )) hf ( xk , y( xk ))
即： y( x k 1 ) y( x k ) hf ( x k , y( x k ))
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2
1 1 hf y xn 1 ,
1 hf y xn 1 , h
f x
y
n 1
,
2
1 ( 1 x x 2 ) 1 x
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也称欧拉折线法.
6 6
第五章 常微分方程数值解法
3.欧拉法的局部截断误差： 定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提 下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断 误差 定义若某算法的局部截断误差为 O(hp+1) ，则称该 算法有p 阶精度。
4 4
第五章 常微分方程数值解法
y( x k 1 ) y( x k ) hf ( x k , y( x k ))
用 y ( x k )的近似值 y k 代入上式右端，记所得 近似结果为 y k 1，则可得：
yk 1 yk hf ( xk , yk )
k 0,1,2.....n 1
几何意义：
向后差商近似导数
y( x1 )
y ( x1 ) y0 h f ( x1 , y ( x1 ))
y( x1 ) y( x0 ) h
x0
x1
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y
第五章 常微分方程数值解法
Pn+1 Pn y(x)
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§1 Euler’s Method 第五章 常微分方程数值解法 2 3 2 h h 2 Rn1 1 hf y xn1, h f y xn1, y xn y xn 3 2
在yn 1，y xn 1 之间；
h2 又 f xn 1 , y xn 1 y xn 1 y xn hy xn y xn 2 yn 1 hf y xn 1 , yn 1 y xn 1 y xn 3 h hy xn h 2 y xn y xn 2 而 h2 h3 y xn 1 y xn hy xn y xn y xn 2 6
则可得：
h y( ) y( xk ) hf ( xk , y( xk )) 2
2
y( xk 1 ) y( xk ) hf ( xk , y( xk ))
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k 0,1, 2.....n
2 2
第五章 常微分方程数值解法
方法二
数值微分法（用向前差商近似导数）
在点x k 处有y( x k ) f ( x k , y( x k ))
利用数值微分公式
y( xk 1 ) y( xk ) y( xk ) h
得：y( x k 1 ) y( x k ) hf ( x k , y( x k ))
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第五章 常微分方程数值解法
方法三
数值积分法
由y( x ) f ( x , y( x )),两端同时[ x k , x k 1 ]在积分可得：
y( xk 1 ) y( xk )
xk 1
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第五章 常微分方程数值解法
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1
h [ y( xi ) hy( xi ) y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )] 2
斜率k y( x0 ) f ( x0 , y( x0 )) f ( x0 , y0 )
y 从上述几何意义上得知，由Euler法所得的折线 y0 f ( x0 , y0 )( x x0 )与x x1求交点， 纵坐标记为 y1， 明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。 则y1 y0 hf ( x0 , y0 ) 过 ( x1 , y1 )以f ( x1 , y1 )为斜率作直线，
x0
x1
x2
y y1 f ( x1 , y1 )( x x1 ) 与 x x 2求交点，纵坐标记为 y 2，
则y2 y1 hf ( x1 , y1 )
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............................
( k 1) (k ) yn y h f ( x , y 1 n 1 n 1 n 1 ) f ( x n 1 , y n 1 )
hL y
(k ) n 1