第16章 二次根式复习
第16章二次根式复习与小结(课件)八年级数学下册(人教版)
知识梳理
人教版数学八年级下册
6.二次根式的除法法则:
两个二次根式相除， 根指数 不变，被开方数 相除.
需要满足什 么条件呢？
a
a
（a≥0，b＞0）
bb
二次根式的除法与乘法中b 的取值范围不同，为什么？
知识梳理
人教版数学八年级下册
7.二次根式除法法则的变形：
a a (a 0,b 0). bb 8.最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.二次根式的运算，可以类比整式的运算进行，在进行运算时， 能用公式的尽量用公式.
课堂检测
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1.二次根式
中，字母a的取值范围是 （ D ）
A. a>
B. a＜
C. a≥
D. a≤
2.使
有意义的x的取值范围是 （ B ）
A.x≥3 B.x≥3且x≠4 C.x≤3 D.x<3
课堂检测
步骤： “一化、二找、三合并”.
知识梳理
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11.二次根式的混合运算:
1.二次根式混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方， 再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的（或者先去括号）.
2.对于二次根式混合运算，实数中的运算律（分配律、结合律、 交换律）运算法则及所有的乘法公式和分式的运算法则仍然适用.
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第16章二次根式复习与小结
知识梳理
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1.二次根式的概念：
一般地，我们把形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
2.如何确定二次根式中字母的取值范围？ ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
人教版八年级数学下册第16章二次根式复习
6 a b a b 73 5m2 8 x2 1 √
考点一 二次根式的相关概念
(1) 3a 2;
解:((21))由由题题意意得得132aa20，0a， a1； 23；
2
(2) 1 ; 1 2a
5;
a2 ;
3
3;
8;
x 1(x 1);
x2 2x 1
4 3 3.
考点五 二次根式的化简求值
x2
y2
xy xy
x 1 2 3, y 1 2 3
解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代
入数值计算即可.
解：x2 y2 x2 y2 (x y)(x y) x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
| a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴原式=-a-(-a)+b=b.
考点二 二次根式的性质
x 1 (3x y 1)2 0,
考点六 本章解题思想方法 整体思想
x 2 1, y 2 1
x y yx
解：∵ x y 2 1 2 1 2 2,
xy 2 1 2 1 1.
∴ x y x2 y2 x y 2 2xy
y x xy
xy
2
2 2 2
6.
1
a2 b
1
a2 2a 1 a2 6a 9
(1)7;
(2)x2 1;
人教版数学八年级下册第16章《二次根式》复习课件
（1）
=_____5_____；
（2） =__________；
（3）
=____9_a_____；
（4） =_____4_____.
最简二次4根.式二满足条次件：根式的运算：
（3）
.
（1）、二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
=__________；
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
； （2）
；
4、已知a在1＜a<2中，化简：
（3）
=__________；
解：原式=13.
（3）
.
3、计算： (1)101 ( 3)0 (1)1 (1 2)2 .
2 1
=3 2
①(-1)2n+1=-1(n为整数) ② a0=1(a≠0)
③
a2 a
应用拓展 C．a≥5
D．a＞5
1、通过复习理清二次根式的 性质
（3）
.
最简二次根式满足条件：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的；
4、已知a在1＜a<2中，化简：
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
第十六章 《二次根式》单元复习
同学们学习完“二次根式”这章内容后，你有哪些收获，还存在哪些困惑？这节课我们一起来对本章学过的知识进行回顾和巩固.
子叫做二次根式. 2.最简二次根式满足条件： ①被开方数不含 分母 ； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次
根式，叫做最简二次根式.
3.二次根式的性质：
a具有双重非负性： ①a 0； ② a 0.
人教版八年级下册第16章二次根式全章复习和巩固(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式(0)a a ≥13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：a 0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，a a 才有意义. 2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x===（0x≥）.（2）a的取值范围可以是任意实数，即不论a.（3a，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a必须取非负数；a，2=a（0a≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥. 举一反三2x =-成立的条件是 .=成立的条件是 .【答案】① x ≤0；(22x x x ==-∴Q≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴Q ≥2≤3x <)2．当0≤x <11x +-的结果是__________. 【答案】 1.【解析】因为x ≥0x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，1x -=x +1-x =1.【总结升华】a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a < ）.A.-- D.【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）.【答案】A.【解析】选项B=C：有分母；选项D= A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（）.A.=B.=C.=D.3=【答案】D.【解析】选项A：===故正确；选项B====故正确；选项C==选项D：=故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题.举一反三【变式】计算：+【答案】 5.化简20102011⋅.【答案与解析】2010201020101⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6已知1,x =.【答案与解析】1,0,11=x xxxx=∴->∴=-==Q原式当时，原式【总结升华】化简求值时要注意x的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.举一反三【变式】已知a b+=-3, ab=1,求abba+的值.【答案】∵a b+=-3,ab=1，∴<0a,<0b11+==-(+)=-=3--a bb a b a ab∴+原式.《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一.选择题1．下列式子一定是二次根式的是( ).A．B．C．D．2.若1,=-则a应是（）.aA. 负数B. 正数C. 非零实数D. 有理数）.4．下列说法正确的是( ).A．若，则a＜0 B．C ．D ．5的平方根是5．50,x x y -+=-若则的值是( ). A ．-7 B ．-5 C ．3 D ．7 6．下列各式中，最简二次根式是（ ）.7．0a -≥ ）.=≥>><>=8．把()a b a b -<化成最简二次根式，正确结果是（ ）.二. 填空题9. 计算--=___________. 10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________.11．比较大小：.12. 已知最简二次根式是同类二次根式，则a b +的值为___________.13．已知0,_______a b a b <<-=.14 ___________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：22()a a c c b b +--=__________. 16．在实数范围内因式分解： (1)44a a + =___________________.(2)=___________________.三. 综合题 17． 计算：(1) (2)23232327264b ab a a a18.已知：，求的值.19．先化简代数式(11a ÷-，然后当4a =时，求代数式的值.20. 若x，y是实数，且，求的值.【答案与解析】一.选择题1．【答案】C.【解析】满足二次根式必须被开方数大于等于0，因为x没有取值范围，所以只有中无论x 取何值22x +≥0，即选C.2．【答案】 A.【解析】 a =Q ，所以1a a a==-，即a a =-，又因为a 0≠，所以a 是负数.3．【答案】C .【解析】判断是否是同类二次根式，一定要先化为最简二次根式，再判断.因为=====，所以选C. 4．【答案】C . 5．【答案】D .【解析】50,x -+=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-. 6．【答案】C .【解析】只有选项C 满足被开方数是整数或是整式；且被开方数中不含能开方的因式或因数. 7．【答案】A .【解析】因为0a ≥，,a a a ===-，=≥8.【答案】D.【解析】((a b a b -=-=a b <，所以原式== 二.填空题9. 10.【答案】1. 【解析】)1,111a b b∴==-== Q1，小数部分. 11．【答案】<.12．【答案】2.124326ba b a b+=⎧⎨+=-+⎩, 解方程组得11ab=⎧⎨=⎩.13．【答案】b-.a b a a b-=--，又因为0a b<<，所以原式=()a b a a b a b---=--+=-.14．【答案】0.【解析】因为2a-≥0，即2a≤0，即0a=，所以原式=0.15．【答案】0.【解析】由图像知：0,0,0,0,0a cb ac c b<<>+<-<,所以原式=a a c c b b-++--=a a c c b b-++-+-=0.16．【答案】(1)22);(2)三、解答题17.【解析】 (1) 原式=(2) 原式18.【解析】∴原式.19.【解析】原式11a ÷==-. 20.【解析】∵x-1≥0， 1-x ≥0，∴x=1，∴y ＜.∴= .。
第16章二次根式总复习
第16章 二次根式总复习一、【复习目标】12（二）知识点梳理：1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，符号“”读作根号，a 叫做被开方数．2、二次根式的基本性质：（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ； 3、最简二次根式必须满足：（1）被开方数中不含 与不含 ；（2）分母中不含 ．4、二次根式的乘、除法则：（1=___________（a ___0，b ___0）；（2=____________（a ___0，b ___0）． 5、同类二次根式：几个二次根式化成 后，如果 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．6、二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成 ，然后把 进行合并．注：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是 ，第二步是 ，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算．7、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先 ，再 ，最后 ，有括号的先 内的．8、二次根式的实际应用：利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值．（三）考点归纳：考点1：二次根式有意义的条件1、若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥34B ．x ＞34 C ．x ≥43 D ．x ＞432x 的取值范围为 ．3x 的取值范围是 ． 4、根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A ．x ≥3B ．x ≤3C ．x ＜3D ．x ＞3考点2 ：二次根式的性质 1、下列各式中，正确的是（ ）A ．()332-=- B ．332-=- C ．()332±=± D ．332±=2、计算()23-= ．3、实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-a a ＝_____． 考点3：二次根式的非负性1、已知011=-++b a ，则20132013b a +＝ ．2、已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A ．—15B ．15C ．215-D ．215 3、若02)1(2=++-b a ，则=+b a ．4、若x ，y 为实数，且20x +，则2015x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ． 考点4： 最简二次根式与同类二次根式1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．51 B ．5.0 C ．5 D ．50 2、下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A ．23 B ．36 C ．2.1 D ．49 3、下列各式是最简二次根式的是（ ） A ．20 B ．1.2 C ．72 D ．51 4、下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）A ．18B ．24C ．12D ．95、如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝ ，m ＝ ． 考点5 ：二次根式的运算1、计算1824-×31＝ ． 2、计算3312⨯÷＝ ． 3、化简122154+⨯的结果是（ ） A ．25 B ．36 C ．3 D ．35 4、下列运算正确的是（ ）A ．25＝±5B ．12734=-C ．9218=÷D ．62324=∙ 5、计算：()2850÷-的结果是_____．考点6： 二次根式的化简求值1、若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是 ． 2、已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A ．3- B ．33 C ．223- D ．13-3、先化简，再求值：()()()633--+-a aa a，其中215+=a ．4、若22221,1,12;(2)x y x xy y x y =++-求（） 的值5、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中，．6、先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a ． 下图是小亮和小芳的解答过程：（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________．（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a ．。
人教版八年级下册第十六章 二次根式复习归纳总结(提高题参考答案详解)
第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。
二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。
②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。
③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。
二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。
第16章 二次根式 复习课件
知识结构
三个概念
最简二次根式 同类二次根式 有理化因式
二 次 根 式
ab a b a 0, b 0
两个性质
两个公式
a
2
a a (a 0, b 0) b b
2
a a 0
a a
运算
aa 0 aa 0
二次根式的概念
2
2
a , a a ,a 0 0 a , a 0 a ,a0
题型:二次根式非负性的应用.
3.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的平方根.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
4.已知x,y为实数,且
(1) 2 x 3 ( 2) ( x 5)
2 (4) 1 x
2
3 (3) 2x 1
0
(5) x 5 ( x 6)
(6) x 2 2 x
二次根式的性质
（1）． （2）． ( （3）．
a 0 （ａ 0） aa （ａ 0） )0 a
2
a a a { { a
x2 成立的条件是 x3
.
ab
2
=
.
x 3 14.化简 x = 2 x
.
15.已知a满足 1992-a a 1993 a, 那么a-1992 的值是（ C ）
2
A.1991
B.1992
C.1993
D.1994
1 16.若把根号外的因式移到根号内则a 等于（ A ） a
A．-
2 2 2 2
人教版数学八年级下册第十六章 二次根式 章末复习课件
上一级
目录
(4)二次根式的混合运算 ①二次根式的混合运算顺序： 与 实 数 的 混 合 运 算 顺 序 一 样 ， 先 算 __乘__方____ ， 再 算 __乘__除____ ， 最 后 算 __加__减____，有括号的先算括号内的运算(或先去掉括号)； ②在二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式的乘法法则、多项式 的乘法公式仍然适用．
上一级
目录
9．已知等腰三角形的两边长满足 a－4＋b－2＝0，那么这个等腰三角形
的周长为( B )
A．8
B．10
C．8 或 10
D．9
上一级
目录
10．【例】若 y＝ 2－x＋ x－2＋4，求 x2＋y2 的平方根． 解：∵2－x≥0，x－2≥0， 解得 x≤2，x≥2，则 x＝2， ∴y＝4， 故 x2＋y2＝22＋42＝20， ∴x2＋y2 的平方根为± 20 ＝±2 5 .
＝2.
上一级
目录
16．【例】已知 a＝ 7－3，b＝ 7＋3，求下列各式的值：(1)a2－b2； 解：∵a＝ 7 －3，b＝ 7 ＋3， ∴a＋b＝( 7 －3)＋( 7 ＋3)＝2 7 ， a－b＝( 7 －3)－( 7 ＋3)＝－6， ab＝( 7 －3)( 7 ＋3)＝－2， a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝－12 7 ； (2)a2＋b2. 解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝28＋4＝32.
B．a≤0
C．a<0
D．a≥－2
上一级
目录
题型3 二次根式的性质
7．【例】若实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则 a2＋ b2－|b－c|
的结果是( C )
A．a－c
B．－a－2b＋c
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
第16章二次根式单元复习汇编
知识点4.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
（2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
变式练习： 1、比较 7 5与 5 3
的大小。
2、已知 x 3 2 ,
3 2
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
能力提升
1.若最简二次根式a1 2a 4与 2b a是同类二次根式 求a2 b的值.
2.通过仿照化简下列各式：
32 2
2
2
3 2 2 1 2 2 2 12 2 2 2 1 2
a a (a 0,b 0) bb
知识点5.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或
因式.
判断下列各式中哪些是最简二次根 式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b (3) x2 y2
(2) 1.5ab (4) a b
y x2 4 4 x2 1 x2
求3x+4y的值。
知识点2．二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）．( a )2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
知识点3.代数式的定义
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
2、把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12 (4) 3 3
数学八下 第十六章 二次根式 复习
第十六章 二次根式小结与复习学习目标：1．了解二次根式及代数式的概念，理解其基本性质，并能熟练地化简二次根式；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．学习重点：二次根式相关知识关系的整理和二次根式的运算．一、复习回顾 知识梳理二、考点讲解 巩固提升考点一 二次根式的相关概念有意义的条件例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围:32;a -+1(2);12a - 2(3)(3)a +； a针对训练1.225;;3;8;1(121a x x x x --≥++中，一定是二次根式的个数有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2.求下列二次根式中字母的取值范围:(1)44;x x --- (2)53x x ++-考点二 二次根式的性质例2 如果的取值范围是，那么）（a 1a 21-2a 2-=（ ）A. a> 0.5B.a< 0.5C.a ≤0.5D.a ≥0.5例3 若21(31)0,x x y -++-=25x y + 的值.针对训练1.若实数a,b 满足|2|0,a +=则2a b = .2.若1<a<3, 的结果是 .3.实数a,b 在数轴上的位置如图所示，请化简：||a考点三 二次根式的运算及应用例4 计算：(2)⎛ ⎝ )2(3)5;+ (4).针对训练1.下列运算正确的是 （ ）=2= 3=2. ，底边的高为则三角形的面积为 .3. 计算：04(1;- 3|.---考点四 二次根式的化简求值例5 先化简，再求值：22x y x y x y ---，其中11x y =+=-针对训练1. 先化简，再求值：22221444a a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-++⎝⎭,其中a =2.有这样一道题：“()22x x ＞的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”错抄成“x=2081” ，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？考点五 选做点 本章解题思想方法 .分类讨论思想例6 已知a 是实数，求()()2221a a +--的值.整体思想 例7 已知21,21x y =-=+，求x y y x +的值.类比思想例8 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()232212+=+，善于思考的小明进行了以下探索：设()222a b m n +=+（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有22222222,2,2.a b m n mn a m n b mn +=++∴=+= 这样小明就找到了一种把类似2a b +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若()233a b m n +=+ ，用含m 、n 的式子分别表示a ，b ，得a=_______;b=______;(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：743________;+=(3)请化简：126 3.+课堂小结。
第十六章 二次根式 章末复习课件 数学人教版八年级下册
19．（2023重庆A卷）估计 2 （ 8 ＋ 10 ）的值应在（ B ）
A．7和8之间
B．8和9之间
C．9和10之间
D．10和11之间
20．（2023 河北）若 a＝ 2 ，b＝ 7 ，则
A．2 C． 7
B．4 D． 2
14a2 b2
＝（
A
）
21．（2023自贡）请写出一个比 23 小的整数：___4_（__答__案__不__ _唯__一_）___.
1．（2023泰州）计算 （－2）2 等于（ B ）
A．±2 C．4
B．2 D． 2
2．若代数式 x1＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ B ）
A．x≠－1
B．x＞－1
C．x＜－1
D．x≤－1
3．（2023大连）下列计算正确的是（ D ）
A．（ 2 ）0＝ 2 C． 8 ＝4 2
B．2 3 ＋3 3 ＝5 6 D． 3 （2 3 －2）＝6－2 3
3.计算：
（1） 62 ＝____6____；
（2）（－ 6 ）2＝____6____；
（3）
－132
1
＝____3____；
（4）（3 2 ）2＝____1_8___．
4.下列根式是最简二次根式的是（ C ）
A． 8 C． 10
B． 9
D．
1 3
5.计算：
（1） 3 × 2 ＝____6____；
A．6
B．2 10
C．12
D．9 10
7．（2023益阳）计算： 20 × 5 ＝____1_0___．
8．计算（ 2 ＋ 3 ）（ 2 － 3 ） 的结果为___－__1___．
9．（2023哈尔滨）计算 63 －7
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.4.二次根式的性质：（1)（a)2=a (a≥0); (2）==aa25。
二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式,再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘(除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=0）．（4）有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a（a＞0）a-（a＜0）0 （a=0）；【典型例题】1、 概念与性质例1、下列各式1）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1)，最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3） 4） C ．1） 3） D ．1) 4）例4、已知:的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x y y x x x y例5、已知数a ，b，若=b －a,则 （ ）A 。
a>bB 。
a<bC 。
a≥bD 。
a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 （ ）A 。
； B. －； C 。
－； D 。
例2。
把（a －b ）错误!化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中51+，51-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1)、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >,>a b <<例1、 比较与.（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <.例2、比较（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
八年级下册数学16章二次根式 复习
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
八年级
下册
第16章 小结与复习
学习目标： 1．了解二次根式及代数式的概念，理解其基本性 质，并能熟练地化简二次根式； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运 算． 学习重点： 二次根式相关知识关系的整理和二次根式的运算．
知识点一：二次根式的定义 知识点二：二次根式有意义的条件
知识点三：双重非负性 知识点四：最简二次根式 知识点五：同类二次根式
45
； （ 2）
5
18 + 3
6
．
3
6
2
知识点五：同类二次根式
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ B ）
A、
C、
3
与
2
8
B、
ab
2
3
与
1 3
a b
与
D、
ba
a 1
与
a 1
2.若最简二次根式
3b 与
2b a 2
是同类项二
b a 2 3b 2 b a 2
0 ，b=_______. 2 次根式，则a=_____
2 2 2
2 2
，
试求 a b c
的值。
a=1,b=2,c=3 答案14 ， 则x+y的值。
2.若
y
x5
5 x 2009
x=5,y=2009 答案2014
知识点四：最简二次根式
1.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． A． 8 B． 7 0 C．
x 5
99
D．
1 x
2.在根式①
④
27 abc
第16章《 二次根式》单元复习课件
同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
16章 二次根式 单元复习课件 2022-2023学年人教版八年级数学下册
精典范例
x－2
21.【例 1】(全国视野)(2021 怀化)式子 y= x－3 中 x 的取值范围是 x≥2且x≠3 .
变式练习
27.(全国视野)(2021 黄石)式子 y= 1 +(x－2)0 中 x 的取值范
x+1
围是( C )
A.x≥－1 C.x＞－1 且 x≠2
B.x＞2 D.x≠－1 且 x≠2
9.(全国视野)(2021 甘肃)下列运算正确的是( C )
A. 3+ 3=3
B.4 5－ 5=4
C. 3× 2= 6 D. 32÷ 8=4
10.(全国视野)(2021 重庆)计算 14× 7－ 2的结果是( B )
A.7
B.6 2
C.7 2
D.2 7
11.计算 45÷3 3× 3的结果正确的是( A )
25.【例 5】(人教 8 下 P15)已知 x= 3+1,y= 3－1, 求下列各式的值: (1)x2+2xy+y2; (2)x2－y2. 解:(1)当 x= 3+1,y= 3－1 时, 原式=(x+y)2=( 3+1+ 3－1)2=12. (2)当 x= 3+1,y= 3－1 时, 原式=(x+y)(x－y)=( 3+1+ 3－1)( 3+1－ 3+1)=4 3.
4.(全国视野)(2021 武汉)计算 (－5)2的结果是 5 .
5.计算: (1)( 25)2= 25 ; (2)(－2 3)2= 12 .
6.(2021 抚顺模拟)若 (5－x)2=x－5,则 x 的取值范围是 x≥5 .
7.(全国视野)(2021 云南)已知 a,b 都是实数, 若 a+1+(b－2)2=0,则 a－b= －3 .
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知识结构
二 次 根 式
三个概念
两个公式
五个性质 四种运算
二次根式的性质
（ 1） （ 2） （ 3）
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
a 0
aa
二次根式的性质
（ 4）
ab a b
a a b b
a 0, b 0
（ 5）
a 0, b 0
2 2
2
(3) x y
2
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
1 ( 6) 6 2
1.把下列各式化成最简二次根式
1
54
2
4x
4a 16 a (a≥0)
2 2
2
1 34 1 2
y x 0 x
2．（１） （２）当 （３）
( 3) ____
2
x 1时， (1 x) ____
2
( x 2) x 2
2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若
( x 7) 1 x7
2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
3．若１＜Ｘ＜４，则化简 ( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿
2 2
4．设a,b,c为△ ABC的三边，化简：
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a)
2 2 2
2
5．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（ ） Ａ． Ｂ．a 0 a0 Ｃ． Ｄ．a 为任意数 a0
2 2
6．计算 （１） ( 5) 2 ( 5) 2 （２） ( 10) (3 3)
2
x 2 2 x （６） x 2 x 1
【例3】 二次根式的非负性
已知：x 4 2 x y 0，求：x - y的值。
【例4】
判断下列二次根式是否是最简二次根式,如果不 是请化为最简二次根式：
(1) 50 (4) 0.75
(2) a bc (5) (a b)(a b )
【例1】下列各式中那些是二次根 式？那些不是？为什么？
① ④
15
2
②
2
3a
⑤
⑧
③
2
x 100
a b
2
3 a 1 ⑥
5
⑦
a 2a 1
144
【例2】要使下列二次根式有意义，求字母
Ｘ的取值范围：
（１） （３） （５）
3 x
1 x x
（２）
1 2x 5
（４） x 3 8 x