计算机应用基础-偏微分方程求解
第6章_偏微分方程数值解法
u ( x, 0) = sin( x) ， u (0, t ) = 0, u (π , t ) = 0
利用线上法数值求解 u ( x, t ) 随时间的演化关系 解：取 Δx = π /15 ，计算程序：demo_MOL.m，和结果见右图。
对于 a > 0 ，波从 k − 1 点过来， k − 1 点状态已变化， k + 1 点状态还未变化。差分只能 uk − uk −1 。同样意
n n
义可分析 a < 0 情况。见图 6.1.1。迎风格式的精度为 O(Δt , Δx) ，稳定性条件为 Δt < Δx / | a | 。
% Upwind_Method L = 15;dx = 0.1;dt = 0.05;a = -1.; x =[-L+dx:dx:0]';n=length(x); %Initial value u1=zeros(1,n-20);u2=ones(1,10);u3 = zeros(1,10); u = [u1 u2 u3]';r = a*dt/dx; u0 = u; plot(x,u','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]);pause(1); for t=dt:dt:10. u(1:n-1) = (1+r)*u(1:n-1)-r*u(2:n); % u(2:n-1)=0.5*((1.-r)*u(3:n)… % +(1.+r)*u(1:n-2)); % Lax scheme hold off;plot(x,u,'LineWidth',2); axis([-15 0 -1 2]);pause(0.05) end hold on; plot(x,u0','r','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]); xlabel('position');ylabel('u(x,t)'); legend('传播的波','初始方波'); title('Upwind')
偏微分方程的分类及其求解方法
偏微分方程的分类及其求解方法偏微分方程是数学中的一个重要分支，它是描述现实世界中各种自然现象的一种工具。
通俗来说，偏微分方程是一种与时间、空间或空间位置有关的方程式。
偏微分方程的应用范围极广，如物理、数学、金融等领域，它的求解方法也因其类别不同而不同。
偏微分方程的分类偏微分方程可以按照方程中未知函数的数量和自变量的数量分类。
1. 偏导数方程偏导数方程是指方程中只有一个未知函数，但它依赖于多个独立变量（通常是时间和空间）的变量。
常见的偏导数方程包括热传导方程和波动方程。
热传导方程：热传导方程可以描述物质中的热传导过程。
在物质内部，热会沿着温度梯度传导，从高温区域传到低温区域。
因此，热传导方程与物质的热扩散有关。
波动方程：波动方程可以描述许多物理过程，特别是电磁波、声波和其他类型的波动。
波动方程的形式类似于二阶线性常微分方程。
2. 广义保守方程系广义保守方程是指方程中有多个未知函数和多个独立变量的变量。
它们可以描述流体动力学、多相系统等系统。
常见的广义保守方程系包括纳维-斯托克斯方程和零阻力欧拉方程。
纳维-斯托克斯方程：纳维-斯托克斯方程可以描述流体运动。
纳维-斯托克斯方程可以分为不可压缩纳维-斯托克斯方程和可压缩纳维-斯托克斯方程。
零阻力欧拉方程：零阻力欧拉方程是一种部分解析的解对称的不可压缩流体运动的偏微分方程。
它是最基本的转子动量方程之一，在研究飞行器、导弹、宇宙航行器等方面起着重要的作用。
偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是偏微分方程求解的一种基本方法。
其主要思想是将多元函数表示为各变量的单元函数乘积形式，再通过互相作为超定条件的单个变量的恒等式得到未知参数。
例如，假设在一维的热传导方程中，温度场函数是t(x,t)，其中x是空间变量，t是时间变量。
则可以将温度场函数写成t(x,t)=X(x)T(t)的形式，从而将偏微分方程转化为两个常微分方程。
通过求解这些常微分方程可以得到解。
2. 有限差分法有限差分法是一种数值解偏微分方程的方法。
应用数学中的偏微分方程及其求解方法
应用数学中的偏微分方程及其求解方法偏微分方程是数学的一个分支，它主要研究物理、工程、经济等领域中的现象和问题，这些问题都可以用一些数学模型来描述，这些数学模型就是偏微分方程。
偏微分方程在实际问题中的应用非常广泛，例如，流体力学、电磁学、声学等。
偏微分方程的求解是应用数学研究的一个重点，因为只有通过求解偏微分方程，才能获得事物的规律和掌握其本质。
偏微分方程的求解方法也很多，本文将介绍偏微分方程的求解方法以及其在应用数学中的实际应用。
一、偏微分方程的分类在讨论偏微分方程的求解方法之前，我们需要首先了解偏微分方程的分类。
偏微分方程一般可以分为以下几类：椭圆型、双曲型和抛物型方程。
其分类依据的是方程的二阶导数的符号和方程的解的性质。
1.椭圆型方程椭圆型方程的二阶导数在整个解域中均大于等于零，是一类具有平稳性的方程，它的解具有较好的可微性和连续性，例如，泊松方程、拉普拉斯方程等。
2.双曲型方程双曲型方程的二阶导数在解域中的某些部分正、负性相反，是一类具有波动性的方程，它的解具有较好的非光滑性和间断性，例如，波动方程、热传导方程等。
3.抛物型方程抛物型方程的二阶导数在整个解域中的某个方向上为正，而在其他方向上为负，和双曲型方程有些相似，它的解具有介于椭圆型和双曲型之间的特性，例如，扩散方程、亥姆霍兹方程等。
二、偏微分方程的求解方法在应用数学中，我们目的是求出偏微分方程的解，因此，需要采用一些方法对偏微分方程进行求解。
通常来说，偏微分方程的求解方法可以分为以下几类：分离变量法、变系数法、特征线法、有限差分法和有限元法等。
1.分离变量法分离变量法是一种比较简单的求解偏微分方程的方法，它适用于一定特定条件下，例如，线性的偏微分方程、边值问题和定解问题等。
分离变量法的核心思想是假设偏微分方程的解可以表示为一个或多个函数的乘积形式，并通过代入得到常微分方程或定积分，从而求解原方程的解，例如，波动方程、热传导方程等。
2.变系数法变系数法是一种较为常用的求解偏微分方程的方法，它的思想是利用变系数的技巧来求解复杂的偏微分方程。
偏微分方程的数值解方法及源程序
(k , j = 0,±1,±2, L) 将 定 解 区 域 剖 分 成 矩 形 网 格 。 节 点 的 全 体 记 为 R = {( x k , y j ) | x k = kh, y j = jτ , i, j为整数} 。定解区域内部的节点称为内点，记内点
集 R I Ω 为 Ω hτ 。边界 Γ 与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为 Γhτ 。与节点
（7）
ϕ (0) = g1 (0), ϕ (l ) = g 2 (0)
问题（7）中的边界条件 u (0, t ) = g 1 (t ), u (l , t ) = g 2 (t ) 称为第一类边界条件。第二类和 第三类边界条件为
⎡ ∂u ⎤ − λ1 (t )u ⎥ = g1 (t ), 0 ≤ t ≤ T ⎢ ⎣ ∂x ⎦ x =0
⎡ ∂u ⎤ + λ 2 (t )u ⎥ = g 2 (t ), 0 ≤ t ≤ T ⎢ ⎣ ∂x ⎦ x =l 其中 λ1 (t ) ≥ 0, λ 2 (t ) ≥ 0 。当 λ1 (t ) = λ 2 (t ) ≡ 0 时，为第二类边界条件，否则称为第三
类边界条件。 双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程
（15）
求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法， 同步迭代法是最简单的迭代方式。 除 边界节点外，区域内节点的初始值是任意取定的。 例 1 用五点菱形格式求解 Laplace 方程第一边值问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u ⎪ 2 + 2 =0 ∂y ⎨ ∂x 2 2 ⎪u ( x, y ) | ( x , y )∈Γ = lg[(1 + x ) + y ] ⎩
第二十章
偏微分方程的数值解
自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。 这些规 律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。 我们将只含有未知多元 函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。 方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。 如果方程中对于未 知函数和它的所有偏导数都是线性的， 这样的方程称为线性偏微分方程， 否则称它为非 线性偏微分方程。 初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。 对于一个具体的问题， 定解条件与泛定方程总是同时提出。 定解条件与泛定方程作为一 个整体，称为定解问题。 §1 偏微分方程的定解问题 各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典 型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程
偏微分方程的几种解法
偏微分方程的几种解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决PDEs的问题是科学研究和工程实践中的一个关键任务。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。
其基本思想是将未知函数表示为一系列互相独立的分离变量的乘积，然后将方程两边同时关于这些变量积分。
这样就可以得到一系列常微分方程，然后通过求解这些常微分方程得到原偏微分方程的解。
例如，对于二维的泊松方程（Poisson Equation）∇²u = f，可以假设u(x, y) = X(x)Y(y)，将其代入方程后得到两个常微分方程，然后分别求解这两个常微分方程，最后将其合并即可得到泊松方程的解。
分离变量法的优点是简单易行，适用于一些特定的偏微分方程。
但也存在一些限制，例如只适用于线性齐次方程、边界条件满足一定条件等。
二、变量替换法变量替换法是另一种常见的解偏微分方程的方法。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为一些形式简单的方程，从而更容易求解。
例如，对于热传导方程（Heat Equation）∂u/∂t = α∇²u，可以通过变量替换u(x, t) = v(x, t)exp(-αt)将其转化为∂v/∂t = α∇²v，然后再利用分离变量法或其他方法求解新方程。
变量替换法的优点是可以将一些复杂的偏微分方程转化为简单的形式，便于求解。
但需要根据具体问题选择合适的变量替换，有时可能会引入新的困难。
三、特征线法特征线法是解一阶偏微分方程的一种有效方法。
通过寻找方程的特征线，可以将方程转化为常微分方程，从而更容易求解。
例如，对于一维线性对流方程（Linear Convection Equation）∂u/∂t + c∂u/∂x = 0，其中c为常数，可以通过特征线法将其转化为沿着特征线的常微分方程du/dt = 0，然后求解得到解。
python偏微分方程
python偏微分方程【原创版】目录1.偏微分方程的概述2.Python 在偏微分方程中的应用3.常用的 Python 库和工具4.偏微分方程的求解实例5.Python 在偏微分方程中的优势和局限性正文一、偏微分方程的概述偏微分方程是数学中的一个重要分支，主要研究多元函数的分支规律。
它在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
偏微分方程可以分为线性和非线性两类，其中线性偏微分方程较为简单，非线性偏微分方程则更具挑战性。
二、Python 在偏微分方程中的应用Python 作为一门强大的编程语言，可以很好地应用于偏微分方程的求解、模拟和可视化。
Python 提供了丰富的库和工具，使得偏微分方程的求解变得更加简单高效。
通过 Python，我们可以轻松地实现偏微分方程的数值解法，如有限差分法、有限元法等。
三、常用的 Python 库和工具在求解偏微分方程时，Python 提供了许多常用的库和工具。
以下是一些常用的库和工具：1.NumPy：用于创建和操作多维数组，提供了许多用于处理数值数据的函数。
2.SciPy：基于 NumPy 的科学计算库，提供了许多用于解决科学问题的函数和方法。
3.Matplotlib：用于绘制 2D 和 3D 图形的库，可以方便地实现偏微分方程的图形化表示。
4.Scikit-learn：用于机器学习的库，可以应用于偏微分方程的参数估计和模型选择。
四、偏微分方程的求解实例下面我们以一个简单的一维热传导方程为例，展示如何使用 Python 求解偏微分方程：u_t = k * u_xx其中，u 表示温度分布，t 表示时间，k 表示热传导系数。
我们可以使用 Python 的 scipy 库中的 solve 方法求解该方程：```pythonimport numpy as npfrom scipy.special import gammafrom scipy.integrate import solve_ivpk = 1t_final = 1x_domain = (0, 1)t_domain = (0, t_final)def f(t, x, u):return u_xx - k * uu0 = np.zeros(x_domain)u_init = np.array([u0])sol = solve_ivp(f, t_domain, x_domain, u_init,t_eval=np.linspace(t_domain[0], t_domain[1], 1000), rtol=1e-6, atol=1e-8)u = sol.yimport matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x_domain, u(t_final, x), "r")plt.xlabel("x")plt.ylabel("u(x, t)")plt.title("一维热传导方程的数值解")plt.grid()plt.show()```五、Python 在偏微分方程中的优势和局限性Python 在偏微分方程求解中的优势主要体现在以下几个方面：1.易学易用：Python 语法简单，易于上手，使得偏微分方程的求解变得更加容易。
偏微分方程的解法
只表示P(x)一个确定的函数.
3、一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法
由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为
y C ( x )e
P ( x ) dx
(5)
对（5）式求导得 P ( x ) dx P ( x ) dx dy C ( x )e P ( x )C ( x )e . (6) dx 将(5)和(6)代入方程(3)并整理得
化简，得
10x 10 y C
(其中C C1 ln10)
把初始条件 y x1 0 代入上式 ，得 C 11．
于是所求微分方程的特解为
10x 10 y 11．
5
二、齐次型微分方程
1. 定义 形如
dy y f( ) dx x ( 2)
的微分方程， 称为齐次型微分方程．
x
用常数变易法，设非齐次方程的通解为
1 y C ( x) 2 x
则 1 2 y C ( x ) 2 3 C ( x ) x x
把 y 和 y 代入原方程并化简 ， 得 C ( x) x 1.
1 2 C( x) x x C 两边积分，得 2 1 1 C 因此，非齐次方程的通解为 y 2 2 x x 1 将 初 始 条 件y x 1 0 代 入 上 式 ， 得C . 故所求微分方程的特解为 2
2
3．步骤
(1)分离变量，得 dy f ( x )dx g( y ) (2) 两边积分，得
( g ( y ) 0)
(3) 求得积分，得
dy f ( x )dx g( y )
G( y ) F ( x ) C
1 其 中G( y ), F ( x )分 别 是 , f ( x )的 原 函 数 ． g( y )
偏微分方程数值解的计算方法
偏微分方程数值解的计算方法偏微分方程是研究自然和社会现象的重要工具。
然而，大多数偏微分方程很难用解析方法求解，需要用数值方法求解。
本文将介绍偏微分方程数值解的计算方法，其中包括有限差分方法、有限体积法、谱方法和有限元方法。
一、有限差分方法有限差分法是偏微分方程数值解的常用方法，它将偏微分方程中的空间变量转换为网格点上的差分近似。
例如，对于一个二阶偏微分方程：$$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=f(x,y,u)$$可以使用中心差分方法进行近似：$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}$$$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}$$其中，$u_{i,j}$表示在第$i$行第$j$列的网格点上的函数值，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格步长。
将差分近似代入原方程中，得到如下的差分方程：$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Deltax)^{2}}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Deltay)^{2}}=f_{i,j,u_{i,j}}$$该方程可以用迭代法求解。
有限差分方法的优点是易于实现，但在均匀网格下准确性不高。
二、有限体积法有限体积法是将偏微分方程中的积分形式转换为求解网格单元中心值的方法。
例如，对于如下的扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partialx}\left(D(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$可以使用有限体积法进行近似。
python求解偏微分方程
python求解偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是研究连续介质中的许多物理现象所必需的重要数学工具。
PDE 涉及了空间、时间和其它同步变量之间的关系，因此对于有限元分析（FEM）和流体力学等领域来说，具有极为重要的应用价值。
下面我们将简单介绍使用 Python 求解偏微分方程的基本方法。
1. 引入库在 Python 中，我们可以使用 SciPy 和 NumPy 库来处理偏微分方程。
其中，NumPy 用于数值计算，而 SciPy 则提供了一些特定的算法，包括线性方程组求解、优化、数值积分和微分方程等。
因此，我们需要在程序中引入这两个库：```pythonimport numpy as npfrom scipy import sparsefrom scipy.sparse.linalg import spsolve```2. 构建矩阵在求解偏微分方程时，我们通常需要构建雅可比矩阵。
这里举一个简单的例子，设有一个一维热传导方程：$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x) $$其中，$u$ 是未知函数，$f(x)$ 是给定函数。
为了求解这个方程，我们可以按照离散化的方法来处理。
我们将区间 $[0,1]$ 分成 $n$ 个小区间，即 $x_0 = 0$，$x_n= 1$，$x_i = ih$，$h = 1/n$。
因此，$u(x_i)$ 可以用 $u_i$ 来表示。
我们将前式中的二阶导数离散化，得到如下近似式：$$ \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h^2} = f_i $$解出 $u_i$，得到：$$u_i = \frac{1}{h^2} \left(u_{i+1} + u_{i-1} - h^2f_i\right)$$这样，我们就可以得到一个线性方程组：$$A\mathbf{u} = \mathbf{f}$$其中，$\mathbf{u}$ 是 $[u_1, u_2, ..., u_n]$ 的列向量，$\mathbf{f}$ 是 $[f_1, f_2, ..., f_n]$ 的列向量。
偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法
偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中一种重要的方程类型，在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
掌握偏微分方程的基本概念与解法对于深入理解和应用相关领域的知识至关重要。
本文将介绍偏微分方程的基本概念，并详细讨论几种常见的偏微分方程解法。
一、偏微分方程的基本概念在介绍偏微分方程的解法之前，我们有必要先了解一些偏微分方程的基本概念。
偏微分方程是包含多个未知函数的方程，这些未知函数的导数以及它们本身都可能出现在方程中。
偏微分方程通常用来描述物理、化学、工程等自然科学领域中的过程和现象。
常见的偏微分方程类型包括椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程。
椭圆型方程常用于描述稳态问题，如静电场分布；双曲型方程常用于描述波动传播过程，如声波、电磁波的传播；抛物型方程常用于描述热传导、扩散以及其他变化速度较慢的现象。
二、偏微分方程解法1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程中常用的一种方法。
它适用于一些特定的偏微分方程类型，如线性齐次方程。
分离变量法的基本思想是假设待求解函数可以表示为若干个单变量函数的乘积形式，然后将原方程中的导数进行分离，并且令各个单变量函数分别等于常数。
通过求解这些常数，再将各个单变量函数组合起来，得到最终的解函数。
2. 特征线法特征线法常用于解决双曲型方程。
该方法通过分析偏微分方程的特征线和特征曲面来求解方程。
首先，通过特征曲线对自变量进行参数化，并将其代入原方程，得到关于未知函数的常微分方程（ODE）。
然后，通过求解此常微分方程，得到未知函数的一般解。
最后，通过特征线与边界条件的关系确定未知常数，得到特定的解。
3. 变换法变换法是通过对偏微分方程进行变量变换，将原方程转化为更简单的形式，从而求解方程的方法。
常见的变换方法有齐次化变量、特征变量法等。
通过适当的变量替换，可以将原方程转化为常微分方程、分离变量的偏微分方程或者恒定系数的变系数常微分方程。
偏微分方程数值解
第一章概述1．1 偏微分方程工具箱的功能偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。
PDE Toolbox的功能包括：(1) 设置PDE (偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；(2) 用有限元法(FEM) 求解PDE数值解；(3) 解的可视化。
无论是高级研究人员还是初学者，在使用PDE Too1box时都会感到非常方便。
只要PDE定解问题的提法正确，那么，启动MATLAB 后，在MATLAB工作空间的命令行中键人pdetool，系统立即产生偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)的图形用户界面(Graphical User Interface，简记为GUI)，即PDE解的图形环境，这时就可以在它上面画出定解区域、设置方程和边界条件、作网格剖分、求解、作图等工作，详见1．4节中的例子。
我们将在第二章详细介绍GUI的使用，在第二章给出大量典型例子和应用实例。
除了用GUI求解PDE外，也可以用M文件的编程计算更为复杂的问题，详见第三章和第四章的内容。
1．2 PDE Toolbox求解的问题及其背景1．2．1 方程类型PDE Toolbox求解的基本方程有椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。
椭圆型方程： (), c u a u f i n -∇⋅∇+=Ω，椭圆型方程：(),,c u au f in -∇⋅∇+=Ω其中Ω是平面有界区域，c ,a ,f 以及未知数u 是定义在Ω上的实（或复）函数。
抛物型方程：(), .u d c u au f in t∂-∇⋅∇+=Ω∂ 双曲型方程：22(), u c u au f in t∂∂-∇⋅∇+=Ω∂. 特征值方程：(), ,c u au du in λ-∇∇+=Ω其中d 是定义在Ω上的复函数，λ是待求特征值。
在抛物型方程和双曲型方程中，系数c ,a ,f 和d 可以依赖于时间t 。
偏微分方程求解
在x 0处： x0＝0 R 在x d处： xd ＝( C1d 1 C2 d 2 ) 10 R
在x 0处： ）x 0＝0 （ 10 在x d处：）x d ＝ （
3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式：
j 1时,得到一个代数方程：
F j ( R ) j R d j R d，j 1,2
F1( R ) 1 R d 1 R d x( 2C2 )d
0 d
| x 0 | x d
x( ( C1 x1 C2 x 2 ) x( ( C1 x1 C2 x 2 )
3.
假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 ψ i 的线性组合 来表示，线性组合的系数就是一组待定系数 Ci 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 和近似解 间误差的目标函数 F 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了 待定系数，从而也就得到了问题的近似解。
i 1 i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
2 2 2 ( Ci x i ) 2 (C1 x1 ) 2 (C2 x 2 ) i 1 0 2C2 2 0
: R 2 2
2C2
3. 加权余量法－－例1
i 1 * j i 1
n
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
{[ w j ( i )d]C i } {[ w * ( i )d]C i } w j q d w * s d j j
i 1 i 1
n
偏微分方程求解算法研究及应用
偏微分方程求解算法研究及应用偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。
从最简单的热传导方程到流体力学中的Navier-Stokes方程，这些方程的求解能够获得很多实际问题的解答。
随着计算机技术的飞速发展，可解决的偏微分方程问题的范围和复杂性也得到了提高。
在本文中，我们将讨论偏微分方程的一些求解算法及其应用，以及这些算法如何在实践中发挥作用。
第一部分：解析方法解析方程的基本思想是寻找满足特定条件的解析表达式。
在偏微分方程的求解中，常见的解析方法包括分离变量法、变量参数法和特征线方法等。
1.1 分离变量法分离变量法是解决大多数运筹学、物理学和工程学问题的重要方法。
它的基本思想是，假设找到一种函数形式，使得偏微分方程中的某些变量可以单独表示，这样就可以得到关于单个变量的一组普通微分方程。
通过求解这些方程，就可以获得原始问题的解。
例如，考虑一个双曲型偏微分方程：$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0 $$我们可以假设$u(x,t)$的解有如下形式：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$将它代入原方程得到：$$ \frac{X''}{X}=\frac{T''}{T}=-\lambda $$其中$\lambda$是分离常数。
然后，我们可以解出关于$X$和$T$的两个普通微分方程：$$ X''+\lambda X=0, T''+\lambda T=0 $$这两个方程都是熟悉的谐振动方程，其解可以表示为正弦波和余弦波的线性组合。
因此，原方程的通解可以写成：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(\sqrt{\lambda_n}x)+B_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x))(C_n\cos(\sqrt{\lambda_n}t)+D_n\sin(\sqrt{\lambda_n}t)) $$其中，$A_n,B_n,C_n$和$D_n$是一些常数，根据边界条件和初始条件来确定。
偏微分方程解法
偏微分方程解法一、概述偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解决偏微分方程的方法有很多种，其中最常用的方法是数值解法和解析解法。
本文将重点介绍偏微分方程的解析解法。
二、基本概念1. 偏微分方程：含有多个自变量和它们的偏导数的方程。
2. 解析解：能够用一定的代数式或函数表示出来的解。
3. 常微分方程：只含一个自变量和它的导数的方程。
4. 偏微分方程分类：（1）线性偏微分方程：各项次数之和为1或2。
（2）非线性偏微分方程：各项次数之和大于2。
5. 解析解法分类：（1）可分离变量法（2）相似变量法（3）积分因子法（4）特征线法（5）变换法三、可分离变量法可分离变量法是求解一类特殊形式线性偏微分方程最常用的方法，其基本思想是将未知函数表示成各自变量之积，然后将其带入原偏微分方程中得到一组常微分方程，再求解这些常微分方程，最后将得到的解代回原方程中即可。
以一阶线性偏微分方程为例：$$\frac{\partial u}{\partial t}+a(t)u=b(t)$$其中$a(t)$和$b(t)$为已知函数，$u=u(x,t)$为未知函数。
将未知函数表示成各自变量之积：$$u=X(x)T(t)$$将其带入原方程中得到：$$XT'+aXT=bXt$$将$X$和$T$分离变量并整理得到：$$\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}=\frac{1}{at+b}-\frac{c}{X}$$其中$c$为常数。
对上式两边同时积分得到：$$ln|X|=ln|at+b|-ct+D_1,D_1为常数。
$$即可得到$X(x)$的解析解。
同理，对于$T(t)$也可以通过可分离变量法求出其解析解。
最后将$X(x)$和$T(t)$的解代入原方程中即可得到未知函数$u=u(x,t)$的解析解。
四、相似变量法相似变量法是一种适用于非线性偏微分方程的方法，其基本思想是通过引入新的自变量和因变量，将原偏微分方程转化成一个形式相似但更简单的方程，从而求出原方程的解析解。
偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
偏微分方程式之求解
第六章偏微分方程式之求解在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partial differential equation ；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。
这些用以描述实际问题的PDE ，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。
而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finitedifference)何有限元素法(finite element)。
然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。
值得庆幸的是，MATLAB 的环境中提供了一个求解PDE 问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE ，并求解。
使得PDE 之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。
本章将以循渐进的方式，介绍PDE 工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行示范，期能使初学者很快熟悉PDE 工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。
6.1 偏微分方程式之分类偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。
6.1.1依阶数的分类偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如： 一阶偏微分方程式： 0=∂∂+∂∂yu x u 二阶偏微分方程式：032222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂y ux u y u x u 三阶偏微分方程式：02233=∂∂+∂∂+∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y ux u y x u x u6.1.2 依非线性程度分类偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性(linear)，似线性(quasilinear)，以及非线性三类。
例如，以下之二阶偏微分方程式(Constantinides and Mostoufi,1999)0)()()()(22222=⋅+∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅d x u c y x u b y u a可依系数)(⋅之情况，进行如下表之归类类别情况线性系数)(⋅为定值，或仅为(x,y)函数似线性系数)(⋅为依变数(dependent variable)u 或其比方程式中之偏微分低阶之偏微分项的函数，如),,,,()(y u x u u y x ∂∂∂=⋅非线性系数)(⋅中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如),,,,,()(22222y x u y u x u u y x ∂∂∂∂∂∂∂=⋅另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型(elliptic)，拋物线型(parabolic)，以及双曲线型(hyperbolic)。
求解偏微分方程三种数值方法
求解偏微分方程三种数值方法偏微分方程是数学中研究包含多个变量及其偏导数的方程。
解决偏微分方程的数值方法有很多，但本文将重点介绍三种常用的数值方法，分别是有限差分法、有限元法和谱方法。
一、有限差分法：有限差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本思想是通过建立网格来离散化偏微分方程中的空间变量，并近似替代导数，将偏微分方程转化为代数方程组，进而求解。
常见的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
有限差分法主要包括以下步骤：1.空间离散化：将区域划分为网格点，在每个网格点上计算方程中的函数值。
2.近似代替导数：使用差分公式，将导数近似替代为函数在相邻网格点上的差分。
3.建立代数方程组：根据近似的导数和偏微分方程的形式，可以建立相应的代数方程组。
4.求解方程组：使用求解线性方程组的方法，如高斯消元法或迭代法，求解代数方程组。
5.恢复连续解：通过插值或者其他方法，将离散解恢复为连续解。
二、有限元法：有限元法是一种广泛应用的数值方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本思想是将区域划分为有限个小区域，称为单元，通过求解单元上的局部方程，最终得到整个区域上的数值解。
有限元法主要包括以下步骤：1.离散化：将区域划分为单元，并选择适当的有限元空间。
2.建立局部方程：在每个单元上，根据选择的有限元空间和边界条件，建立局部方程。
3.组装全局方程：将所有单元上的局部方程组装成整个区域上的全局方程。
4.施加边界条件：根据问题的边界条件，施加适当的边界条件。
5.求解方程组：使用求解线性方程组的方法，求解全局方程组，得到数值解。
6.后处理：通过插值等方法，将离散解恢复为连续解，并进行后续的分析。
三、谱方法：谱方法是一种高精度的数值方法，适用于求解偏微分方程的数值解。
其基本思想是将区域上的函数展开为一组基函数的线性组合，通过选取适当的基函数和系数，来逼近求解方程。
谱方法主要包括以下步骤：1. 选择基函数：根据问题的性质，选择合适的基函数，如Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
c++解偏微分方程
c++解偏微分方程摘要：I.引言- 介绍偏微分方程- 说明C++在解偏微分方程方面的应用II.C++解偏微分方程的基本原理- 概述偏微分方程的类型及解法- 介绍C++编程基础III.C++解偏微分方程的步骤- 初始化数据- 选择适当的数值方法- 编写C++代码实现数值方法- 分析结果IV.C++解偏微分方程的实际案例- 应用C++解决具体偏微分方程问题- 分析案例结果V.结论- 总结C++在解偏微分方程方面的优势- 提出未来发展方向正文：C++解偏微分方程偏微分方程是数学中的一种基本工具，用于描述各种自然现象和科学问题。
随着科技的发展，C++编程语言已逐渐成为解决偏微分方程的主要手段。
本文将介绍C++解偏微分方程的基本原理、步骤和实际案例。
一、C++解偏微分方程的基本原理偏微分方程主要分为椭圆型、抛物型和双曲型三种类型，每种类型都有多种求解方法。
C++作为一种通用编程语言，可以通过各种数值方法来解决偏微分方程。
首先需要了解C++编程基础，包括变量、数据类型、循环、条件语句等。
二、C++解偏微分方程的步骤1.初始化数据：根据偏微分方程，定义所需变量，并初始化数据。
2.选择适当的数值方法：针对不同类型的偏微分方程，选择合适的数值方法。
例如，有限差分法、有限元法、有限体积法等。
3.编写C++代码实现数值方法：根据所选方法，编写C++代码。
这需要对C++语言有深入了解，以便高效地实现算法。
4.分析结果：对计算结果进行分析，确保数值方法的有效性和精度。
三、C++解偏微分方程的实际案例本文以一个具体的偏微分方程为例，应用C++解决该问题。
首先，根据偏微分方程的类型，选择合适的数值方法。
然后，编写C++代码实现该方法。
最后，分析计算结果，确保数值方法的准确性和有效性。
四、结论C++作为一种通用编程语言，在解偏微分方程方面具有很大优势。
通过选择合适的数值方法，可以高效地解决各种类型的偏微分方程问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.1 偏微分方程组求解
求解函数：ME_5_1.m, 结果如下
6.2 二阶偏微分方程的求解
Tm1,n1 2Tm,n1 Tm1,n1 Tm1,n 2Tm,n Tm1,n
将上三式代入二维模型的物料衡算方程
6.4 偏微分方程在化工中的应用
Tm,n1
Tm,n
erz 2ucp r
2
1
2m
T T m1,n1 m1,n1
例6-3：求解热传导方程：
u
t
2u x2
2u y 2
2u z 2
0 ,
u 0
G x, y, z0 x, y, z 1
ME_6_2
6.2 二阶偏微分方程的求解
三 双曲型偏微分方程
6.3 偏微分方程求解工具箱
• 启动偏微分方程求解界面
第六章 偏微分方程求解
6.1 偏微分方程组求解 6.2 二阶偏微分方程的数学描述 6.3 偏微分方程的求解界面应用举例 6.4 偏微分方程在化工中的应用
6.1 偏微分方程组求解
一 偏微分方程的分类
2u A x2
B
2u xy
C
2u y 2
D u x
E
u y
Fu
f
x,
T T0 T 0 r
6.4 偏微分方程在化工中的应用
径向边界条件
ra
T z
C1
T r
C1
2ae Fc'p
质量初始边界条件
z0
x0
r 0 x 0; r a x 0
r
r
6.4 偏微分方程在化工中的应用
微分方程组的差分格式离散化
一 隐式差分（Crank-Nicholson)
T
z m,n1/ 2
1 z
Tm,n1 Tm,n
T
r m,n1/ 2
1 4r
Tm1,n1 Tm1,n1 Tm1,n Tm1,n
2T r 2
m,n1/ 2
1 2(r)2
n n
c12u2 q11u1 q12u2 g1 h11 c22u2 q21u1 q22u2 g2 h21
6.1 偏微分方程组求解
三 偏微分方程数值解法
1. 有限差分法 2. 正交配置法 3. MOL法 4. 有限元法
6.1 偏微分方程组求解
四 采用pdepe( )函数求解一维偏微分方程
y,u, u x
, u x
当A，B，C为常数时，称为拟线性偏微分方程，可 分为三类：
B2 4AC 0 椭圆型方程
B2 4AC 0 抛物型方程
B2 4AC 0 双曲型方程
6.1 偏微分方程组求解
二 偏微分方程边界条件： （1）Dirichlet 边界条件 hu=r 也称为第一类边界条件，对于偏微分方程组，
c Am1, n
6.4 偏微分方程在化工中的应用
管中心和管壁处的边值条件也可用差分方程表示。管中心：
T0,n1
T0,n
2erz ucp r
2
T1,n1 T0,n1 T0,n T1`,n
B H rA 0,n1/2 z
b1
H Gcp
b2
uc0
6.4 偏微分方程在化工中的应用
通过反应计量关系获得各组分的分压：
pE
1.21 x
11 x
pS
pH
1.2x 11 x
rc
15100 exp 1100 /
T111xx
1.2x 2
K11 x2
温度初始边界条件：
z 0, r 0.
u=assempde(b,p,e,t,c,a,f,u0) U0:初始条件，用于非线性方程求解
6.2 二阶偏微分方程的求解
例6-2，利用adaptmesh函数求解拉普拉斯方程，其 在弧上满足Dirichlet条件：
u=sin(2/3*atan2(y,x))
ME_6_3
6.2 二阶偏微分方程的求解
二 抛物线型偏微分方程
一 椭圆型偏微分方程
6.2 二阶偏微分方程的求解
6.2 二阶偏微分方程的求解
adaptmesh 和assempde函数用于求解椭圆型偏微分方 程的解，调用格式如下：
[u, p, e, t]=adapmesh(g,b,c,a,f) g: 求解几何区域； b: 边界条件 u:解向量 p,e,t :网格数据
6.3 偏微分方程求解工具箱
【例6-3】 求解椭圆型方程
2u
x
2
2u y2
2
u 100
5 x 5, 5 y 5 x 5 y 5
采用工具箱求解
6.3 偏微分方程求解工具箱
6.3 偏微分方程求解工具箱
利用PDE工具箱命令行求解偏微分方程:
6.4 偏微分方程在化工中的应用
进入反应器，相当于总质量速率为G=2500kg.h-1.m2。反应管
外用速率为F 130kg h-1烟道气与反应混合物
逆流加热反应管，烟道气出口温度为620C。其
它数据：催化剂的堆积密度＝1440kg / m3，操作
压力P 1.2bar，乙苯的反应热H＝140000kJ / mol，
cAm,n
Derz 2u r 2
1
2m
c c Am1,n1 Am1,n1
c Am1, n 1
1 2m
c Am1,n
cAm1,n1 2cAm,n1 cAm1,n cAm1,n 2cAm,n
c
Am1,n
B rA m,n1/ 2 z
u
6.4 偏微分方程在化工中的应用
上两式中(rA)m,n+1/2是指温度为Tm,n+1/2与浓度cAm,n+1/2 条件下的反应速率，有：
Tm,n1/2
Tm,n
z 2
er
uc
p
r
1 2 2m
B
Tm1,n Tm1,n Tm1,n
6.1 偏微分方程组求解
边界条件程序”c7mbc.m” function [pa, qa, pb, qb]=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t) pa=[0; ua(2)]; qa=[1; 0]; pb=[ub(1)-1; 0]; qb=[0; 1];
function u0=c7mpic(x) u0=[1; 0];
6.4 偏微分方程在化工中的应用
固定床二维反应器模型
T z
a1
2T r 2
1 r
T r
b1rc
0
x z
a 2
2x r 2
1 r
x r
b2rc
0
Z为反应管轴向距离，r为径向距离，方程系数如下：
a1
e Gcp
a2
De u
分压（bar）; rc的单位为kmol/(h kg催化剂）
反应速率常数：k 12600exp11000/ T
平衡常熟： K 0.027exp[0.021T 773]
T表示温度，K
已知反应管的内径2a 10cm，乙苯和水蒸汽在6000C
下分别以0.069kmol h1和0.69kmol h1的加料速率
Dirichlet边界条件为 h11u1 h12u2 r1 h12u1 h22u2 r2
（2）Neumann边界条件
n cu qu g
6.1 偏微分方程组求解
也称为第三类边界条件；当q=0时，则变为第二类边界 条件。对于偏微分方程组，Neumann边界条件为：
n n
采用差分代替 微分，离散化 进行迭代。
如图，任一节 点的径向与轴 向位置可表示 为：
r mr
z nz
M-1, n+1 M, n+1 M+1, n+1
M, n+1/2
M-1, n
M, n M+1, n
r
z
6.4 偏微分方程在化工中的应用
对于点（M,n+1/2)的各项导数都可以用该处周围六个节点的 函数值计算的差商表示，如温度可表示为：
1. 问题定义及参数初始化 2. 网格化 3. 求解 4. 显示结果
6.3 偏微分方程求解工具箱
例6-5 求解二维动态热传导方程
T t
2T x2
2T y 2
,
0 x 15,0 y 20,t 0
初始条件： u t0 0, 0 x 15,0 y 20
6.2 二阶偏微分方程的求解
parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格 式如下：
u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件 u0: 初始条件 tlist；时间列表 u1:对应于tlist的解向量 p,e,t :网格数据