波函数的复数表示

§3.3 波函数的复数表示 复振幅

一．波函数的复数表示

简谐函数和复指数函数之间存在着对应关系，可用复指数函数来表示简谐函数。

不论复指数函数的实部或虚部都可以用来描写简谐波，习惯上都选用其实部，即余弦函数 平面波波函数为

图3.3-1 复数的图示

)cos(0),(ϕω+⋅−r k t =A t p E

)]}(exp[{0ϕω+⋅−−=r k t i A R e 平面波复数表示：)}(exp{),(0ϕω+⋅−−=r k t i A t p E

球面波复数表示：0(,)()exp{()}E p t A r i t k r ωϕ=−−⋅+

注意：

1．复数表示是对应关系，不是相等关系。 2．作简谐波函数的线性运算（加、减、乘常数、微分、积分）时，可用复指数函数来表示波函数，并通过复数运算后，从计算的最后结果取相应的实部即为所求。

二．复振幅

复指数函数表示波函数

t i i e Ae t p E ωϕ−−⋅⋅=)(0),(r k 某点在 t 时刻的振动完全由该点的振幅和初相所决定。

平面波场中任一点 P 的复振幅

0()()()()()i k r i p E

p A p e A p e φφ•−−== 沿x 方向传播的一维平面波的复振幅为

)(0)(~φ−=kz i Ae p E

球面波的复振幅为

0()()i kr A E p e r

φ±−= 强调：相位因子的表示会聚与发散

±高斯波束的复振幅为

)]())

(2(exp[))(exp()()(~0222220z i z r y x z ik z w y x t w A p E φ+++−⋅+−=

小结：复振幅是一个复量，其模量表示波场中某点的振幅，其辐角表示该点初相位的负值。复振幅包含了我们所关心的振幅和相位两个空间分布，所以可以用它来描写单色光波场。

三．共轭波

设某一波的复振幅为 r k ⋅=i e p A p E )()(~

复共轭函数 ()()i E

p A p e −⋅= k r ——共轭波 意义：共轭波与原波是互为共轭的，它们的实振幅空间分布相同，只是其波矢量由k 变为-k ，即传播方向反转。

例如发散的球面波，其共轭波变成了会聚球面波。

四．光强的复振幅表示

*2~~E E A I =＝