高中数学复数(DOC)
高中数学公式大全复数与复平面
高中数学公式大全复数与复平面高中数学公式大全：复数与复平面一、复数的基本概念复数是由实数和虚数所组成的数。
通常表示为a+bi的形式，其中a 是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i² = -1。
复数可以用来解决实数范围内无解的问题，例如开平方根的运算。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法：对于复数a+bi和c+di，其加法运算为：(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i；减法运算为：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i。
2. 复数的乘法：对于复数a+bi和c+di，其乘法运算为：(a+bi)·(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：对于复数a+bi和c+di，其除法运算为：(a+bi)/(c+di) =[(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
4. 复数的共轭：对于复数a+bi，其共轭复数记作a-bi，即共轭复数与原复数的实部相同，虚部符号相反。
5. 复数的模和幅角：对于复数a+bi，其模记作|a+bi| = √(a²+b²)，表示复数与原点的距离；其幅角记作θ = arctan(b/a)，表示复数与正实轴的夹角。
三、复平面复数可以用复平面上的点来表示，其中实数部分对应复平面上的横坐标，虚数部分对应复平面上的纵坐标。
复平面分为实轴和虚轴，原点表示复数0。
复数的模对应复平面上点到原点的距离，幅角对应点与正实轴的夹角。
四、复数的指数形式复数还可以表示为指数形式，即a+bi = |a+bi|·e^(iθ)，其中e为自然常数。
指数形式方便复数的乘除运算，并可将复数的幂次运算转化为简单的乘法运算。
五、常见的复数等式1. 欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 0，这个公式将五个重要的数学常数联系在一起：0、1、π、i、e。
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。
高中数学-复数的基础知识
复数基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi(a ，b ∈R ）的数,称为复数.所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a ，b ∈R)，a 称实部记作Re(z)，b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将（a,b ）作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式;如果将(a ，b ）作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z,见图15-1，连接OZ,设∠xOZ=θ，|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r （cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式.若z=r （cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg （z ）。
r 称为z 的模，也记作|z|,由勾股定理知｜z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式.3．共轭与模，若z=a+bi,(a,b ∈R ），则=z a —bi 称为z 的共轭复数.模与共轭的性质有：(1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅;(3)2||z z z =⋅;（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5)||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =;（7)|｜z 1|—|z 2|｜≤|z 1±z 2｜≤|z 1｜+｜z 2｜；（8)|z 1+z 2|2+｜z 1—z 2｜2=2｜z 1｜2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
(完整版)高中数学复数
第1章：复数与复变函数§1 复数1．复数域形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。
实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。
记为z x Re =， z y Im =虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数,实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。
复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数,z 的共轭复数记为z 。
设,复数的四则运算定义为加（减）法： 乘法：除法:相等：当且仅当复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域。
在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示,所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ,求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐,可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 2．复平面一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。
于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。
如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则,例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。
全国通用版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版
(名师选题)全国通用版高中数学第七章复数知识点总结归纳完整版单选题1、若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：C分析：先根据i2=−1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故选：C．小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．2、复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）A．1或-1B．1C．-1D．0或-1答案：C分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.因复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0a2−1=0，解得a=−1，所以实数a的值为-1.故选：C3、在复平面内，复数z=(a2−2a)+(a2−a−2)i(a∈R)是纯虚数，则（）A ．a =0或a =2B ．a =0C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2答案：B分析：利用复数是纯虚数的条件，即：实部为零且虚部不为零求解参数的值.复数z =(a 2−2a )+(a 2−a −2)i (a ∈R )是纯虚数,所以{a 2−2a =0a 2−a −2≠0，解得：a =0， 故选：B.4、已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A ．1B ．–1C ．2D ．–2答案：C分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(a −1)+(a −2)i 为实数，所以a −2=0，∴a =2，故选：C小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.5、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ）A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.6、复数2−i1+3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C分析：利用复数的除法可化简2−i1+3i，从而可求对应的点的位置.∵2−i1+3i =(2−i)(1−3i)10=−1−7i10，所以该复数对应的点为(−110,−710)，在第三象限.故选：C.7、设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．z=x+yi,z−i=x+(y−1)i,|z−i|=√x2+(y−1)2=1,则x2+(y−1)2=1．故选C．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．8、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z̅=（）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i. 故选：D.9、若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：D分析：由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.10、若复数z满足z(1−2i)=5，则（）A．z=1−2iB．z+1是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则cosα=√55答案：D分析：利用复数的除法求复数z及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.=1+2i且对应点在第一象限，A、C错误；由题设，z=51−2iz+1=2+2i不是纯虚数，B错误；，D正确.由z在复平面内对应的点为(1,2)，所以cosα=√55故选：D11、若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2答案：D分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.12、复数1−3i(1−i)(1+2i)=（）．A．−1B．−i C．35−45i D．35−i答案：B解析：根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.根据复数的运算法则，可得1−3i(1−i)(1+2i)=1−3i3+i=(1−3i)(3−i)(3+i)(3−i)=−10i10=−i.故选：B.填空题13、在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z=___________.答案：−2−8i##−8i−2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5)，则z=3−5i，所以(1−i)z=(1−i)(3−5i)=−2−8i.所以答案是：−2−8i14、已知复数z满足|z−1−2i|=2，则|z|的最大值为___________.答案：2+√5分析：设z=a+b i,ab∈R，由已知条件求出复数z=a+b i对应的点(a,b)的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.设z=a+b i,ab∈R，由|z−1−2i|=2，可得|a−1+(b−2)i|=2，则√(a−1)2+(b−2)2=2，即(a−1)2+(b−2)2=4，复数z=a+b i对应的点(a,b)的轨迹是以A(1,2)为圆心，半径r=2的圆，而|z|表示复数z 对应的点到坐标原点O 的距离，所以|z|的最大值就是|OA|+r =√12+22+2=2+√5.所以答案是：2+√5.15、1−i1+2i （其中i 是虚数单位）的共轭复数为___________.答案：−15+35i 分析：首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数；解：1−i 1+2i =(1−i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i−i+2i 25=−15−35i 故1−i 1+2i （其中i 是虚数单位）的共轭复数为−15+35i所以答案是：−15+35i16、设z 1=2(cos π3+isin π3)，z 2=√22(sin π6+i cos π6)，则z 1⋅z 2的三角形式为___________. 答案：√2(cos 2π3+i sin 2π3)分析：先将z 1,z 2化简，然后计算z 1⋅z 2，再转化为三角形式即可因为z 1=2(cos π3+isin π3)=1+√3i ， z 2=√22(sin π6+i cos π6)=√22(12+√32i )=√24+√64i ， 所以z 1⋅z 2=(1+√3i )(√24+√64i ) =√24+√64i +√64i +3√24i 2 =−√22+√62i =√2(−12+√32i ) =√2(cos 2π3+isin 2π3)，所以答案是：√2(cos 2π3+i sin 2π3)17、写出一个复数z，使得z满足z2∈R且z∉R，则z可以为______．答案：i（不唯一）分析：根据z满足z2∈R且z∉R求解.解：因为z满足z2∈R且z∉R，所以z可以为：i，所以答案是：i（不唯一）解答题18、已知复数z1=1+i，z2=3−i.(1)求z2z1；(2)若z=a+4i(a∈R)满足z+z2为纯虚数，求|z|.答案：(1)1−2i(2)5分析：（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a，再根据复数模的计算公式即可求出．(1)z2 z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i−i−12=1−2i．(2)因为z+z2=(a+3)+3i为纯虚数，∴a+3=0，∴a=−3.即z=−3+4i，|z|=√(−3)2+42=5．19、已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i，−2+i，−1−2i，求第四个顶点所对应的复数．答案：2−i分析：根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．设复数1+2i ，−2+i ，−1−2i 对应的点分别为A,B,C则A(1,2)，B(−2,1)，C(−1,−2)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+3=0，所以∠ABC =90° 设第四个点为D(x,y)，则按照A,B,C,D 的顺序才能构成正方形，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(−3，−1)=(−1−x ，−2−y) 即{−1−x =−3−2−y =−1 ，解得{x =2y =−1， 则D(2,−1)，对应的复数为2−i ，所以答案是：2−i20、（Ⅰ）在①z +z̅=4，②z 为纯虚数，③z 为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数z =(m 2−3m +2)+(m 2−5m +6)i （i 为虚数单位），z̅为z 的共轭复数，若_________，求实数m 的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（Ⅱ）在复数范围内解关于x 的方程：x 2+2x +2=0．答案：（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）x 1=−1+i,x 2=−1−i分析：（Ⅰ）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m 的值；（Ⅱ）由配方法结合复数的性质得出方程的解.（Ⅰ）①∵z̅=(m 2−3m +2)−(m 2−5m +6)i,z +z̅=4∴2(m 2−3m +2)=4，即m 2−3m =0，解得m =0或m =3②∵z 为纯虚数∴{m 2−3m +2=0m 2−5m +6≠0，解得m =1 ③∵z 为实数，∴m 2−5m +6=0，解得m =2,m =3（Ⅱ）∵(x +1)2=−1=i 2，∴x 1=−1+i,x 2=−1−i。
高中数学第七章复数知识点梳理(带答案)
高中数学第七章复数知识点梳理单选题1、设m ∈R ，则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C分析：求出z =(m +2i )(1+i )为纯虚数时m 的值，与m =2比较，判断出结果z =(m +2i )(1+i )=m −2+(m +2)i ，复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数，则m −2=0，解得：m =2，所以则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的充要条件故选：C2、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（ ） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i =2i 3+4i =2i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=8+6i 25， 所以|z |=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C3、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．4、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．52C．5D．√2答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：∵复数z1+i +i=(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i=x+y+(y−x+2)i2是实数y−x+2=0故x=y+2|z|=√x2+y2=√(y+2)2+y2=√2y2+4y+4=√2(y+1)2+2≥√2当且仅当y=−1,x=1时取等号|z|的最小值为√2故选：D5、设i为虚数单位，若zi=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z=√5−2i，再求模长即可得解.令z=a+bi，zi=ai−b=2+√5i，所以a=√5,b=−2，即z=√5−2i，所以|z|=√5+4=3，故选：D6、已知复数z1﹑z2满足|z1−z2|=r(r>0)，复数ωi(1≤i≤n,n∈N∗)满足|ωi−z1|=r或者|ωi−z2|=r，且|ωi−ωj|≥r对任意1≤i<j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.7、复数1−cosθ−isinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（ ）A ．2sin θ2(cos θ+π2+isin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) C ．2sin θ2(cosθ−π2+isin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) 答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−isinθ=2sin 2θ2−2isin θ2cos θ2=2sin θ2(sin θ2−icos θ2)=2sin θ2(cos π−θ2−isin π−θ2) =2sin θ2[cos π−θ2+isin (−π−θ2)] =2sin θ2(cos θ−π2+isin θ−π2)，故选：C.8、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C多选题9、下列说法正确的是（）A ．若|z |=2，则z ⋅z =4B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1z 2=0C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“a ≠1”是“复数z =(a −1)+(a 2−1)i (a ∈R )是虚数”的必要不充分条件答案：AD解析：由|z |求得z ⋅z 判断A ；设出z 1，z 2，证明在满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|时，不一定有z 1z 2=0判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.若|z |=2，则z ⋅z =|z |2=4，故A 正确；设z 1=a 1+b 1i (a 1,b 1∈R )，z 2=a 2+b 2i (a 2,b 2∈R )由|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，可得|z 1+z 2|2=(a 1+a 2)2+(b 1+b 2)2=|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2 则a 1a 2+b 1b 2=0，而z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=a 1a 2−b 1b 2+a 1b 2i +b 1a 2i =2a 1a 2+a 1b 2i +b 1a 2i 不一定为0，故B错误；当z=1−i时z2=−2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数，则a2−1≠0，即a≠±1所以“a≠1”是“复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确；故选：AD小提示：本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.10、给出下列命题，其中是真命题的是（）A．纯虚数z的共轭复数是−z B．若z1−z2=0，则z1=z2C．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数D．若z1−z2=0，则z1与z2互为共轭复数答案：AD解析：A．根据共轭复数的定义判断.B.若z1−z2=0，则z1=z2，z1与z2关系分实数和虚数判断.C.若z1+z2∈R，分z1,z2可能均为实数和z1与z2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据z1−z2=0，得到z1=z2，再用共轭复数的定义判断.A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B．若z1−z2=0，则z1=z2，当z1,z2均为实数时，则有z1=z2，当z1，z2是虚数时，z1≠z2，所以B是假命题；C．若z1+z2∈R，则z1,z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；D. 若z1−z2=0，则z1=z2，所以z1与z2互为共轭复数，故D是真命题.故选：AD小提示：本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11、已知复数z1=1−3i，z2=3+i，则（）A．|z1+z2|=6B．z1−z2=−2+2iC．z1z2=6−8i D．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限答案：BC分析：直接根据复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义依次判断4个选项即可.由题可知，|z1+z2|=√42+(−2)2=2√5，A不正确；z1−z2=−2+2i，B正确；z1z2=(1−3i)(3+i)=3+i−9i−3i2=6−8i，C正确；对应的点在第四象限，D不正确.故选：BC.12、已知方程x2+2(1+i)x+(a−b)i+2ab=0(a,b∈R)，则下列说法正确的是（）A．若方程有一根为0，则a=0且b=0B．方程可能有两个实数根时，方程可能有纯虚数根C．ab<12D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥2答案：AD分析：将方程进行等价变形为x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当a=0且b=0时，无纯虚根判断C.解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有(a−b)i+2ab=0，则有a=b，2ab=0，即a=0且b=0，故A正确；B选项：方程可变形为：x2+2x+2ab+(a−b+2x)i=0，即x2+2x+2ab=0,(a−b+2x)=0，则x=b−a，只有一解，故B错误；2C选项：当a=0且b=0时，方程仅存在一解x=0，此时无纯虚根，故C错误；，代入方程可得：b2+a2+4b−4a+6ab=0，即(b−a)2+D选项：若方程存在实数根x0，则x0=b−a24(b−a)−8(−a)b=0，即(b−a)2+4(b−a)−2(b−a)2≤0，解得：(b−a)≤0或(b−a)≥4，即x0≤0或x0≥2，故D正确故选：AD13、下列命题中正确的有（）A．若复数z满足1∈R，则z∈R；B．若复数z满足z2∈R，则z∈R；zC．若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2；D．若复数z∈R，则z∈R．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A正确；取z=i，可判定B不正确；取z1=1+i,z2=2−2i，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.对于A中，设复数z=a+bi,(a,b∈R)，可得1z =a−bi(a+bi)(a−bi)=aa2+b2−ba2+b2i，因为1z∈R，可得b=0，所以z=a∈R，所以A正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD填空题14、设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则2x+√2y=+2=0＋z2的虚部为_____.答案：－1分析：由题意结合共轭复数的概念、复数的运算可得zz+z2=−i，再由虚部的概念即可得解.∵z＝1－i(i为虚数单位)，∴z=1+i，∴zz +z2=1+i1−i+(1−i)2=(1+i)2(1−i)(1+i)−2i=2i2−2i=−i，∴zz+z2的虚部为−1.所以答案是：−1.小提示：本题考查了共轭复数的求解、复数的运算、复数虚部的求解，牢记知识点、细心计算是解题关键，属于基础题.15、已知|z−1−i|=1，则|z+i|的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z+i|表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z−1−i|=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z+i|表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z+i|的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−a−bi|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z−a−bi|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.16、已知复数z满足z(1−i)=(1+i)2，则z=___________.答案：−1+i##i-1分析：利用复数的运算进行化简即可．z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，所以答案是：−1+i解答题17、已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=0(2)（0，1）分析：（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.（1）若复数是纯虚数，则{m(m+2)=0m2+m−2≠0，解得m=0或m=−2且m≠1，m≠−2，所以m=0.（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则{m(m+2)>0m2+m−2<0，解得0<m<1，故m的取值范围为(0,1).18、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)，所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.。
高中数学复数专题知识点整理(K12教育文档)
(直打版)高中数学复数专题知识点整理(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)高中数学复数专题知识点整理(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题二 复数【1】复数的基本概念（1)形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，)；复数的单位为i ，它的平方等于－1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；(4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；(象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++;（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
【高中数学必修】第七章 复数(公式、定理、结论图表)
第七章 复数（公式、定理、结论图表）1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ．(2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →． 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． <常用结论>1．三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．2．复数代数运算中常用的三个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.<解题方法与技巧>一、解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部。
高中复数知识点高一
高中复数知识点高一复数是数学中重要的概念，我们在高中数学学习中也会接触到复数的相关知识。
本文将介绍高中一年级学生需要了解的复数知识点。
一、复数的定义与表示方法复数由实部和虚部两部分组成，用a+bi表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
常见的复数表示方法有“标准形式”和“三角形式”。
标准形式：a+bi，其中a、b均为实数；三角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加；2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减；3. 复数的乘法：根据分配律，将实部和虚部进行分别乘法再相加；4. 复数的除法：将除数和被除数都乘以共轭复数，再按照乘法规则进行运算。
三、复数的共轭与模1. 共轭复数：将复数中的虚部取相反数，得到的新复数称为共轭复数，用“~”表示。
例如：若z=a+bi，则共轭复数为~z=a-bi；2. 模：复数z的模表示复数z到原点的距离，用|z|表示，其计算公式为|z|=√(a²+b²)。
四、复数的指数形式与三角形式之间的转换1. 指数形式：z=r*e^(iθ)，其中r为模，θ为辐角；2. 三角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
根据欧拉公式，e^(iθ)=cosθ+isinθ。
五、复数的乘除法的几何意义1. 复数的乘法：将复数看作平面上一个点，复数的乘法相当于将该点绕原点进行旋转和缩放；2. 复数的除法：将复数看作平面上一个点，复数的除法相当于将该点绕原点进行旋转和缩放。
六、复数在方程中的应用1. 一元二次方程的根：当二次方程无实根时，解可以是复数。
解可以为 a+bi 或者 a-bi 的形式；2. 解析几何方程：解析几何中的有些问题，不能用实数进行表示，需要用到复数进行计算。
总结：高中一年级的学生需要了解复数的定义、表示方法、四则运算规则、共轭与模、指数与三角形式的转换、乘除法的几何意义以及复数在方程中的应用。
高中数学必修二课件：复数的几何意义
探究3 (1)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝ a2＋b2 即 可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系．
【讲评】 点P(x，y)关于x轴对称点为(x，－y)． 点P(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)． 点P(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)． 点P(x，y)关于y＝x对称点为(y，x)． 点P(x，y)关于y＝－x对称点为(－y，－x)．
探究2 复数与平面向量的对应关系 (1)当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复 数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数 对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一 一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 ∵O→A＝－1－2i，∴A(－1，－2)． ∴B(－1，2)，∴O→B＝－1＋2i.故选D.
题型三 复数的模 例3 (1)已知复数－z 的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是___±__3___．
【解析】 ∵ －z 的实部为1，∴z的实部为1，又|z|＝2，∴可设z＝1＋bi(b∈ R)．则b2＝3，b＝± 3，即复数z的虚部是± 3.
1．如何理解复数与复平面内的点的一一对应关系？
答：(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面 内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0， b)(b≠0)都表示纯虚数．
高中数学复数运算步骤解释
高中数学复数运算步骤解释复数运算是高中数学中的一个重要内容，也是学生们常常感到困惑的一个知识点。
在这篇文章中，我将详细解释复数运算的步骤，并通过具体的题目举例，帮助读者理解复数运算的考点和解题技巧。
一、复数的基本概念首先，我们需要了解复数的基本概念。
复数是由实部和虚部组成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示在复平面上的点，实部对应x轴坐标，虚部对应y轴坐标。
二、复数的四则运算接下来，我们将详细介绍复数的四则运算步骤。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法可以通过实部和虚部的分别相加或相减得到。
例如，给定两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的和为z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i，差为z₁-z₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
举例：计算复数(3+2i)+(1-4i)的结果。
解析：将实部和虚部分别相加，得到(3+1)+(2-4)i=4-2i。
2. 复数的乘法复数的乘法可以通过使用分配律和虚数单位的性质来计算。
例如，给定两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的乘积为z₁×z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
举例：计算复数(2+3i)×(4-5i)的结果。
解析：根据乘法公式，展开计算得到(2×4-3×(-5))+(2×(-5)+3×4)i=23+2i。
3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式来计算。
共轭复数是将原复数的虚部取相反数得到的复数。
例如，给定两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的商为z₁÷z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+((b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²))i。
举例：计算复数(3+2i)÷(1-4i)的结果。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结复数是数学中一个非常重要的概念，它由实数和虚数构成。
复数在高中数学中经常被涉及，并且在解决二次方程、矩阵运算、电路分析等问题中发挥着重要的作用。
本文将对高中数学中与复数相关的知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数由实数部分与虚数部分构成，形如a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，且i为虚数单位，满足i^2=-1。
当虚数部分为0时，复数即为实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：对于复数a+bi，a为实部，b为虚部。
2. 几何形式：可将复数a+bi看作是平面上的一个点，实部a对应x 轴上的坐标，虚部b对应y轴上的坐标。
三、复数的运算1. 复数的加法：将实部与虚部分别相加。
2. 复数的减法：将实部与虚部分别相减。
3. 复数的乘法：按照分配率展开并利用i^2=-1进行计算。
4. 复数的除法：将分子分母同时乘以共轭复数的分母，然后按照乘法的规则进行计算。
5. 复数的乘方：利用乘法的性质，对复数进行指数运算。
6. 复数的共轭：将复数的虚部取负数。
四、复数的性质1. 两个复数相等，当且仅当它们的实部相等且虚部相等。
2. 若复数z的实部为0，则称z为纯虚数；若虚部为0，则称z为实数。
3. 复数的模：复数的模表示复数与原点的距离，可用勾股定理计算得到。
4. 复数的辐角：复数与实轴的夹角。
五、复数的应用1. 二次方程的解：利用复数运算，方程无实根的情况下，可求得复数解。
2. 矩阵运算：复数在矩阵运算中常用于描述线性变换。
3. 电路分析：复数在交流电路分析中扮演着重要的角色，可用于计算电流、电压等。
六、常见公式1. 欧拉公式：e^(ix)=cosx+isinx。
2. 复数求模公式：|z|=√(a^2+b^2)。
3. 共轭复数公式：若z=a+bi，则z的共轭复数为z* = a-bi。
结语：本文对高中数学中关于复数的知识进行了总结，包括复数的基本概念、表示形式、运算法则、性质以及应用。
复数在数学中有着广泛的应用，掌握了复数的相关知识对于解决数学问题具有重要的意义。
高中数学《复数》
复数的引入<教师备案>（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：515+-与515--，但并不清楚这有什么意义． 于是引发了一个重要问题，1-是什么？ （二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称1-为“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”． （三）复数的意义引入1-后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i 1=-=-，；2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（complex number ），复数通常用小写字母z 表示，即i()z a b a b =+∈R ，，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部． <教师备案>注意虚部是一个实数．如34i +的实部为3，虚部为4；34i -的虚部为4-．3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） 若0b =，则z 为实数（real number ）；若0b ≠，则z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数．<教师备案>如34i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数．可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？6.1 数系扩充知识点睛第6讲 让世界充满iz 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，． <教师备案>常见数集的关系为：*N N Z Q R C ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别． 5．复数相等与比较大小：⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．<教师备案> 注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的． 两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．例：21(3)i z n m =+-，2(2)(3)i z m n m =-+-，若12z z >，求m n ，的取值范围．只有实数比较大小，故3m =，2232n m n n >-=-，解得1n >或3n <-．讲完这些知识点可以先讲例1．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根24i 22b ac b x a a-=-±互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）考点1：复数的概念【例1】 复数的概念⑴ x ∈R ，当x 取何值时，22(2)(32)i x x x x +-+-+是实数？虚数？纯虚数？⑵ 已知两个复数1()(4)i z x y xy =+-+()x y ∈R ，和2520i z =-+，当实数x y ，取何值时，1z 和2z 相等？【解析】 ⑴ 2320x x -+=时为实数1x ⇒=或者2x =；2320x x -+≠时为虚数1x ⇒≠且2x ≠；220x x +-=且2320x x -+≠时为纯虚数2x ⇒=-．⑵ 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： 5x y +=-，(4)20xy -+=解这个方程可得83x y =-⎧⎨=⎩或38x y =⎧⎨=-⎩．<教师备案>例2⑴是解实系数的一元二次方程；第⑵小题涉及到复系数的一元二次方程．易知实系数的一元二次方程与复系数的一元二次方程都有韦达定理成立，但实系数一元二次方程的判别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确．见易错门诊．解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得到两个等式，解得结果．这里先看一些最简单的情形，如例2⑵有实根存在的情形与易错门诊已知一根的情形．【例2】 解一元二次方程⑴ 在复数集内解方程：①2450x x ++=；②210x x ++=；③42230x x --=． ⑵ 若方程22i 1i x mx x m ++=--有实根，求出实数m 的值，并求出此实根．经典精讲【解析】 ⑴ ①2(2)1x +=-，故2i x +=±，2i x =-±；②因为1430∆=-=-<，所以原方程没有实根，只有两复根：1211313i 2222x -±∆-±-===-±，． ③22(3)(1)0x x -+=，故23x =或21x =-，故此方程的根有3x =±与i x =±；⑵方程有实根，x ∈R ，利用复数相等的定义有 22212112x mx x x x x m⎧+=-⇒-=-⇒=±⎨=-⎩；而22m x m =-⇒=， 即2m =-时，有实根1；2m =时，有实根1-．尖子班学案1【拓2】已知2i 0x kx +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值． 【解析】 因i 是其根，代入原方程为2i i i 0k +-=，由此得1i k =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0i i x =-，从而得01x =-．目标班学案1【拓3】解方程410x +=． 【解析】 将方程变形得：4222120x x x ++-=，即222(1)(2)0x x +-=，因式分解得22(21)(21)0x x x x ++-+=，2210x x ++=无实根，两个虚根为22i2x -±=； 2210x x -+=无实根，两个虚根为22i2x ±=；故原方程的解有四个，为2(1i)2(1i)2(1i)2(1i)2222+--+--，，，．<教师备案>我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题2）；并且我们在解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在解决复数问题中经常遇到的．引入：解方程23i 0x x +=，求x ．【解析】(3i)00x x x +=⇒=或3i x =-．关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 【解析】 误解：∵方程有实根，∴22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-≥．解得5a 或5a ≤ 分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正解：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得2000210x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．二、复数的几何意义<教师备案> 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面．用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系． 这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，22|i |a b a b +=+．【挑战五分钟】求下列复数的模①34i -=_____；②1i +=______；③13i 22--=_______；④26i +=_____．答案：①5；②2；③1；④22．知识点睛考点2：复数的几何意义【例3】复数的几何意义⑴ 设(3)(21)i z m m =++-，若z 对应的点在第四象限，求m 的范围．⑵ 设i z a b =+∈C ，在复平面内，满足条件0a >，0b >，24z <<的复数z 对应的点的集合是什么图形？⑶ 在复平面内，点A ，点B 所对应的复数分别为2i -+，15i +，那么AB 的中点C 对应的复数为____________．【解析】 ⑴由题意知30210m m +>⎧⎨-<⎩，解得132m -<<．⑵ 0a >，0b >表示第一象限的点，24z <<表示以原点O 半径为2和4的两圆所夹的圆环，综合起来是如右图所示的阴影部分（不包括边界）． ⑶ 13i 2-+；点A 的平面直角坐标是(21)-，，点B 的平面直角坐标是(15)，，中点C 的坐标是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以C 所对应的复数为13i 2-+．【点评】 学习复数加减法的几何意义之后，111()(2i 15i)3i 222C A B z z z =+=-+++=-+．提高班学案1【拓1】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【解析】 D ；2222(1)10t t t -+=-+≠．数系扩充的历史<教师备案> 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲．数系的扩充中有很多生动的例子与故事，下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时参考．（一）正整数人类最早认识的是正整数．中国的《周易》中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法．（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法语中还在延续，在法语中79就是60109++，80就是420⨯，99用得上三则运算了，是420109⨯++，心算不好的千万别学法语！） （二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点⋅，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）．0的书写方法正好对应中文的经典精讲42y O x“零”．（汉字中很早就有零，在《孙子算经》中有除百零伍便得之．但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）． （三）负数负数来源自减法运算，解出负数根．欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）．最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现．负数比分数出现的更晚． （四）分数欧洲15世纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则．《九章算术》章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”．其中田指分母，子指分子． 分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了． （五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关．毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数．但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡．比如边长为1的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比． 我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论． 无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来．达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”．在中国称无理数为算而不求其本质．有了无理数实数系就形成了． （六）复数系——完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系．到复数系，数系就完备了．想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质．三、复数的运算<教师备案>复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++． 复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的减法：定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3．复数的乘法定义：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++ 复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z 的共轭复数用z 表示，即当i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等． 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．<教师备案>“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．知识点睛共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．<教师备案>讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解．例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ．③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z称为复数z （0z ≠）的倒数． <教师备案> 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来， 如1i +表示模长为2，角度为45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒，模长再伸长到原来的2倍，如 (34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了． 这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．【挑战十分钟】计算下列各小题：⑴(32i)2(1i)(5i 1)--+++；⑵2(1i)-；⑶(2i)(3i)+-；⑷(34i)(43i)+-；⑸1i i +；⑹1i 1i -+；⑺43i 43i43i 43i -+++-；⑻2(1i)3(1i)2i ++-+；⑼213i 1i ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭． 【解析】 ⑴2i +；⑵2i -；⑶7i +；⑷247i +；⑸1i -；⑹i -； ⑺1425；⑻2i 33i 3i (3i)(2i)55i 1i 2i 2i 55+-----====-++；⑼213i 223i 13i3i 1i 2i i ⎛⎫-----===-+ ⎪ ⎪+⎝⎭．经典精讲考点3：复数的运算【铺垫】⑴已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．⑵已知复数z 满足1i 1zz-=+，则1z +等于______．【解析】 ⑴1-；注意a 是实数，复数为纯虚数，则实部为0，22(i)12i 2i a a a -=--=，则21a =且221a a =-⇒=-；⑵2；1i1i(1)i i i 1iz z z z --=+=+⇒==-+，故11i 2z +=-=．【例4】 复数的运算⑴ 设复数11i z =+，22i z x =+()x ∈R ，若12z z 为实数，则x 等于 ．⑵ 若复数3i()12ia a +∈+R 为纯虚数，则实数a =_____．⑶如果复数2i12ib z -=+的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【解析】⑴ 2-； 复数为实数，虚部为0，而()()()()121i 2i 22i z z x x x =++=-++，所以20x +=，2x =-．⑵6-；3i (3i)(12i)(6)(32)i12i 55a a a a ++-++-==+为纯虚数，故606a a +=⇒=-； ⑶4；2i 12i b -+(2i)(12i)(12i)(12i)b --=+-224i 55b b -+=-，又实部与虚部互为相反数，即22455b b -+=， 解得23b =-，故2(1i)3z =-，2(1i)3z =+，222233(1i)(1i)(1i)(1i)3333zz z z ++=⋅⋅-++-++84433=+=．提高班学案2【拓1】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数） 【解析】 由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()22a =+44(2)i a -++则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．尖子班学案2【拓2】已知2211z x x =++22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 ∵12z z >，∴42221()x x x a ++>+，∴22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法． ⑴ 直接证明：①综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；②分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．<教师备案>分析法是在一步步寻求结论成立的“充分条件”．分析法在思考过程中用得比较多，综合法在书写过程中用得比较多．比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综合法与分析法得到结果．讲完直接证明可以先讲例题5及其拓展．⑵ 间接证明：常用的有反证法．反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，说明假设错误，从而肯定结论的真实性．常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实、原命题中的已知条件矛盾等．<教师备案>反证法是由p q ⇒转向证明：q r t ⌝⇒⇒⇒，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q ⌝为假，推出为真的方法．它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论——非真即假． 考虑使用反证法的情况有： ①条件太少；②一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及无限结论的命题等．<教师备案>反证法首先需要正确的进行反设．例：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）A ．假设三个内角都大于60︒B ．假设三个内角都不大于60︒C ．假设三个内角至多有一个大于60︒D ．假设三个内角至多有两个大于60︒ 答案：A ．<教师备案>反证法的小例子：①伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的学说，据传说是在1589年，实际上是假的） ②线面平行的判定定理和性质定理的证明．（判定定理：a b a b a ααα⊄⊂⇒∥，，∥． 简单证明：如果a 与α不平行，则a A α=；a b ，确定平面β，则b α⊂，b β⊂，A A αβ⊂⊂，，于是A b ∈，从而a b A =，这与条件中a b ∥矛盾．性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去） ③证明质数有无限多个．（古希腊经典证明，欧几里得《几何原本》的命题20，原文“预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数．”）简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为12n p p p ，，，，则121n N p p p =⋅⋅+不是质数，故它一定有质因子，即存在某个i p ，i N p M =⋅，即12i i 12i 1i 11()1n n p p p p M p M p p p p p -+⋅⋅+=⇒-⋅=，这不可能．故假设错误，即质数有无穷多个．6.2 证明题三大方法知识点睛④证明2是无理数．简单证明：如果结论不成立，即2是有理数，则∃m n ∈Z ，，m n ，互素，使得2mn=， 故2m n =，两边平方得222m n =．从而2是m 的因子，从而4是2m 的因子，故2是2n 的因子，故m n ，有公因子2，它与m n ，互素矛盾．上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例6及拓展．考点4：分析法与综合法【例5】分析法与综合法已知a b c ∈R ，，，0a b c ++=， ⑴求证：0ab bc ac ++≤．⑵若0abc >，求证：1110a b c++<．⑶若a b c >>，求证：0a >，且2ca>-；⑷若a b c >>，求证：23b aca-<． 【解析】 ⑴由0a b c ++=得a b c =--；∴()()()ab bc ac a b c bc b c b c bc ++=++=--++22223024c b bc c b c ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭≤．⑵111bc ac ab a b c abc++++=， 由⑴知0ab bc ac ++≤，当且仅当002cc b =+=，，即0a b c ===时取等号，∵0abc >，故等号取不到，即0ab bc ac ++<，又∵0abc >，∴1110bc ac aba b c abc++++=<．⑶ ∵a b c >>，所以30a a b c >++=，即0a >； 又∵b a c =--，a b >，所以a a c >--，所以2a c >-，又0a >，所以2c a >-，所以2ca>-．⑷法一：分析法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立． 法二：综合法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，22221324b ac a ac c c a a a -++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 而1012c b c b a a a a ++=⇒=-->-，又0ca<， 故(20)c a ∈-，，故213324c a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，从而23b ac a -<． 经典精讲11提高班学案3【拓1】已知：00a b >>，，求证：a b a b b a++≥．【解析】 法一：综合法 ∵00a b >>，， ∴22a a b b a bb+⋅=≥，2b a b a+≥，两式相加化简得a b a b ba ++≥． 法二：分析法∵00a b >>，，要证a b a b ba++≥，即证：a a b b a b b a ++≥，移项整理得即证明()()0a b a b --≥，即证明2()()0a b a b +-≥，这显然成立，故原不等式得证．目标班学案2【拓3】求证：2233()a b ab a b ++++≥． 【解析】 法一：∵2222a b ab ab +≥≥，232323a a a +≥≥，232323b b b +≥≥， 将此三式相加得222(3)22323a b ab a b ++++≥ ∴2233()a b ab a b ++++≥．法二：要证2233()a b ab a b ++++≥，即证222[33()]0a b ab a b ++--+≥， 左边可以写成：222()(3)(3)0a b a b -+-+-≥，此不等式显然成立，且在3a b ==时取到等号，故原不等式得证． 法三：把原式视作关于变量a 的不等式，即证：()()223330a b a b b -++-+≥；① 那么该不等式恒成立等价于其判别式()()2234330b b b ∆=+--+≤恒成立；整理∆得()223639330b b b ∆=-+-=--≤恒成立，所以不等式①即原不等式成立．考点5：反证法【铺垫】已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数．【解析】 假设a b c d ，，，都是非负数， ∵1a b c d +=+=，∴()()1a b c d ++=．又∵()()1a b c d ac bd ad bc ac bd ++=++++>≥，即11>，矛盾；∴a b c d ，，，中至少有一个是负数．【例6】 反证法已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：111a b c，，不可能是等差数列．12【解析】 假设111a b c ，，是等差数列，则211b a c=+，又2b a c =+，两式联立消去b 得411a c a c =++，化简得：2()0a c -=，故a c =，这与0d ≠矛盾，故111a b c，，不可能是等差数列．【点评】 本题结论还可以推广：a b c ，，与111a b c，，均不可能构成等比数列．尖子班学案3【拓2】证明：238，，不可能是同一等差数列中的三项．【解析】 假设结论不成立，即存在一个等差数列{}n a ，公差为d ，使得238，，是其中三项，不妨记12(1)k a a k d ==+-，13(1)m a a m d ==+-，18(1)n a a n d ==+-． 于是32()m k a a m k d -=-=-，83()n m a a n m d -=-=-， 将这两个式子相除得83(223)(32)1632m k n m --==-+=+--， 由*m n k ∈N ，，知m kn m-∈-Q ，故16+∈Q ，这不可能，故假设错误，238，，不可能是同一等差数列中的三项．目标班学案3【拓3】实数a b c ，，满足000a b c ab bc ac abc ++>++>>，，，求证：a b c ，，均大于零． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，中存在不大于零的数，不妨设0a ≤，由0abc >知， 0a <，且0bc <，不妨设00b c <>，， 由0a b c ++>知0c a b >-->，0a b +<．于是22()()()ab bc ac ab a b c ab a b a b a ab b ++=++<++--=---223024b a b ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，这与已知中0ab bc ac ++>矛盾，故假设不正确，即a b c ，，均大于零．【演练1】已知(32)(5)i 1910i a b a b ++-=+()a b ∈R ，，则a = ，b = ． 【解析】35，；32193510a b a a b +=⎧⇒=⎨-=⎩，5b =．【演练2】若3i z =-，则2z 的共轭复数是 ． 【解析】223i +； 22(3i)223i z =-=-，2223i z =+．【演练3】实数m 分别取什么数值时？复数22(56)(215)i z m m m m =+++--⑴ 与复数212i -相等；⑵ 与复数1216i +互为共轭；⑶ 对应的点在x 轴上方．实战演练13【解析】 ⑴ 根据复数相等的充要条件得2256221512m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =-．⑵ 根据共轭复数的定义得22561221516m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =．⑶ 根据复数z 对应点在x 轴上方可得22150m m -->，解之得3m <-或5m >． ∴(3)(5)m ∈-∞-+∞，，．【演练4】若复数3i1ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．3- D ．6【解析】 C由3i (3i)(1i)3(3)i 33i 1i (1i)(1i)222a a a a a a++-++-+-===+++-． 因为复数3i 1i a ++是纯虚数，所以302a +=且302a-≠．解得3a =-．【演练5】若1x <，1y <，证明：11x yxy-<-． 【解析】 用分析法证明：要证明11x yxy-<-，即证明1x y xy -<-，即证明2222212x y xy xy x y +-<-+， 不等式移项得即证明2222221(1)(1)0x y x y x y +--=-->． 由11x y <<，知，2211x y <<，，故此不等式成立，原命题得证．【演练6】已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：a b c ，，不可能是等比数列． 【解析】 假设结论不成立，即a b c ，，构成等比数列，则2b ac =． 又2b a c =+，故222a c b ac +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理得：2()0a c -=，故a c b ==，这与已知中的公差0d ≠矛盾，故假设不成立，所以a b c ，，不可能是等比数列．。
高中数学知识复习总结(复数)
复数知识复习总结1.虚数单位i 的性质(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；（3）i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, 4n =1。
2．复数的定义与表示：（1）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数， a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*（2）复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式。
3 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0 4．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C[题目3]如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则实数m =____________[题目4]如果复数ibi212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于________ [题目1] 23212123n n n n ii i i --+++++（n Z ∈）的值等于_______________[题目2] 计算2341234()n n i i i i n i --+-++-（*n N ∈）的值。
5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。
这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小， 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
【高三】第十五章复数(高中数学竞赛标准教材)
【高三】第十五章复数(高中数学竞赛标准教材)第十五复数一、基础知识1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi（a,b∈r）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用c表示。
2.复数形式。
对于任意复数Z=a+bi（a，B∈ R） a称为实部，记录为re（z），B称为虚部，记录为im（z）。
它由两部分组成，AI=实部，AI=实部；如果将（a，b）作为坐标平面中各点的坐标，则Z对应于坐标平面中的唯一点，这样就可以在复数集和由坐标平面中所有点组成的集合之间建立一对一的映射。
因此，复数可以用点来表示。
表示复数的平面称为复数平面，x轴称为实轴，y轴称为不带原点的虚轴，点称为复数的几何形状；如果将（a，b）作为向量的坐标，则复数Z对应于唯一的向量。
因此，坐标平面上的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；此外，将Z设置为与复杂平面中的点Z相对应，如图15-1所示，连接Oz，并设置∠ xoz=θ，然后RCA，r=ozθ，b=rsinθ，所以z=r （COS）θ+isinθ），这种形式被称为三角形形式。
如果z=R（COS）θ+isinθ），则θ为散度角，称为z≤ θ<2π，那么θ，称为Z的弧度的主值被记录为θ=arg（Z）。
R被称为Z的模，也被记录为Z。
根据毕达哥拉斯定理，Z=如果使用EI，θ表示cosθ+isinθ，那么Z=Reiθ，一种称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈r）,则a-bi称为z的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）z1-z2≤z1±z2≤z1+z2；（8）z1+z22+z1-z22=2z12+2z22；（9）若z=1，则。
4.复数运算：（1）代数形式的加法、减法、乘法和除法运算与实数的范围一致，运算结果可以通过共轭复数相乘而分成实数；（2）根据矢量形式，加法和减法符合平行四边形和三角形规则；（3）在三角形形式中，如果Z1=R1（COS）θ1+isinθ1），z2=r2（COSθ2+isinθ2），那么z1z2=r1r2[COS（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；如果[COS]（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）]，以指数形式表示为z1z2=r1r2ei（θ1+θ2），5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.公式：如果R（COS）θ+isinθ），那么k=0,1,2，。
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复 数知识回顾:一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方：4414243*i1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数，单个复数常常用字母z 表示．把复数z 表示成i a b +时，叫做复数的代数形式．,a b 分别叫做复数的实部与虚部，记作Re ,Im z z ． 注意复数的实部和虚部都是实数．3. 复数相等如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作i i a b c d +=+．一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．4. 共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-． a a =，i i b b =-．二、复数的分类正整数有理数,Q Z q p q p ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数复数C 无理数i(,)R z a b a b =+∈纯虚数（0a =）虚数（0b ≠）非纯虚数（0a ≠）i z a b =+是实数0b z z ⇔=⇔=．i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ⇔=≠⇔+=≠．三、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的．我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ．3. 复数的向量表示在复平面内，复数i z a b =+与点(,)Z a b 是一一对应的，而点(,)Z a b 与向量OZ （O 为原点）又成一一对应，因此复数i z a b =+与向量OZ 也是一一对应的，即复数i a b +可由向量OZ 表示，并且规定相等的向量表示同一个复数．我们也把复数i a b +看作向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =特别地，如果0b =，则z a =就是一个实数，它的模就等于a ，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广．四、复数的运算1. 加法（1） 法则复数的加法按照一下规定的法则进行：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的和是(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z +=+② 结合律：123123()()z z z z z z ++=++（3） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法（1） 法则复数的减法是加法的逆运算．设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的差是(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．（2） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法（1） 法则复数的乘法规定为：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd bc ad ++=++-=-++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z ⋅=⋅② 结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅③ 分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=+4. 乘方（1） 法则复数的乘方运算是指几个相同复数相乘．（2） 性质① m n m n z z z+⋅= ② ()m n mn z z =③ 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法复数的除法是乘法的逆运算，即复数i a b +除以复数i(i 0)c d c d ++≠的商是指满足(i)(i)i c d x y a b ++=+的复数i x y +，记作i ia b c d ++． 一般通过“分母实数化”进行除法运算，即11212222222(0)z z z z z z z z z z ⋅⋅==≠⋅．6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+，22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-，1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =． （5） 2z z z ⋅=，z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z =五、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．1的平方根是i ±．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω．12ω=-，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=．（2） 1-的立方根：111,22z z -=+=． 六、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-±∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3） 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则z =a-bi 也是一个根。
3. 复系数方程问题常见类型（1） 已知方程的实根，求方程的复系数c解法：设i c a b =+，将方程的实根代入方程，利用复数相等的性质求解,a b 得到c ．（2） 求解复系数方程的根解法：设方程的根i a b +，代入方程，利用复数相等的性质求解,a b 得到复根． 典型例题:例 .m 取何实数时，复数i m m m m m z )152(3622--++--=（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z 已写成标准形式，即)R (∈+=b a bi a z 、，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．同步练习:1. 设复数),(R b a bi a z ∈+=，则z 为纯虚数的必要不充分条件是____________。
2. 已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数； 当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。
3. 已知0)2(622=-++-+i y x y x ，则实数.___________,__________==y x4. 若复数a 满足i ai a 4421+-=+-,则复数a=___________。
5. 已知R a ∈，则复数i a a a a z )106()22(22--++-=必位于复平面的第_____象限。
6. 复数2i i z +=在复平面对应的点在第_______象限。
7. 设i 是虚数单位，计算=+++432i i i i ________.8. 已知向量1OZ 对应的复数是i 45-，向量2OZ 对应的复数是i 45+-， 则1OZ +2OZ 对应的复数是___________。
9. 已知复数|2||4|),(+=-∈+=z i z R y x yi x z 满足条件，则y x 42+的最小值 是________。
10. 计算： ________21211_________1__________|)4()23(|________5)3()5(等于，则已知z i i z ii i i i i i ---==+=--+=---- 11. 复数ii z 213--=的共轭复数是__________。
12. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =____________.13. 设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
14. 已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为_______15. 求i 125+的平方根。