《线性代数》第1章线性方程组与矩阵
线性代数第二版 主编 吴传生 第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换)
a22 x2 a2 n xn b2
am 2 x2 am n xn bm
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组 （1） 分析系数
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
两边同乘以已知常数 ，得到一个新的线性方程：
a1 x1 a2 x2 L an xn b.
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。
线性方程的线性组合
将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 1, 2
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
1a11 2a21 x1 1a12 2a22 x2 L
方程组转换成 x2 ， ，xn 的方程组来解 ，
若 x1 的系数不全为0，则利用变换（1），使 a11 0 . （2） 化简：利用初等变换（3），分别把第一个方程的 ai1 倍
a11 加到第 i 个方程，则方程组可以变成：
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
00
00
（II）当 dr1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形：
ii）r n . 这时阶梯型方程组为：
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1，r1 xr1 c1n xn d1
定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成 同解方程组 ．
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数第四版课后习题答案
线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。
本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。
第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。
1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。
第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。
3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。
通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。
线性代数进阶
线性代数进阶线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间及其线性映射的性质和运算规律。
在许多领域，线性代数都起到了关键作用。
本文将从线性方程组、矩阵、向量空间和特征值等方面介绍线性代数的进阶知识。
一、线性方程组线性方程组是线性代数中的基础概念之一。
对于一个线性方程组，其形式通常为Ax=b，其中A是一个矩阵，x和b都是向量。
线性方程组的解可以通过消元法、高斯消元法或矩阵求逆等方法求解。
此外，线性方程组的解的个数与系数矩阵的行列式是否为0有关。
二、矩阵矩阵是线性代数中的重要概念之一，它可以看作是一个二维数组。
矩阵的运算包括加法、减法和乘法。
其中，矩阵的乘法是矩阵运算中的基本操作，它使用行乘以列的方式进行计算。
此外，还有矩阵的转置、逆矩阵和行列式等概念。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。
三、向量空间向量空间是线性代数的重要概念之一，它是由一组向量构成的集合，并满足特定的性质。
向量空间的性质包括封闭性、线性组合、线性相关性和线性无关性等。
在向量空间中，还有一些重要的概念，如零空间、列空间、行空间和秩等。
零空间是指线性方程组Ax=0的解空间，列空间是指矩阵A的列向量张成的子空间，行空间是指矩阵A的行向量张成的子空间，秩是指矩阵A的列空间的维数。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和线性映射的研究中起到了关键作用。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx成立，则λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的计算可以通过求解矩阵的特征方程来实现。
综上所述，线性代数是数学中一个重要而广泛应用的领域。
通过对线性方程组、矩阵、向量空间和特征值等进阶知识的学习，我们可以更深入地了解线性代数的基本概念和运算规律，并且能够将其应用到实际问题中。
《线性代数》学习指南
学习指南《线性代数》是理工科及经济管理各学科专业的一门重要数学基础课程。
它的课程目标是通过各个教学环节，充分利用数学软件工具，运用各种教学手段和方法，系统地向学生阐述矩阵、向量、线性方程组的基本理论与基本方法，使学生掌握线性代数的基本概念、基本原理与基本计算方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题与解决问题的能力、运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学习后继课程的学习，从事工程技术、经济管理工作，科学研究以及开拓新技术领域打下坚实的基础 。
第一章 矩阵矩阵是研究线性方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究对象之一。
矩阵作为一种抽象数学结构的具体表现，其理论与方法在自然科学、工程技术、经济管理、社会领域都具有广泛的应用。
本章从实际问题出发，引出矩阵的概念，讨论矩阵的运算及其性质，逆矩阵及其求法，矩阵的分块，矩阵的初等变换与初等矩阵的概念与性质。
重点是矩阵的运算，特别是矩阵的乘法运算，逆矩阵及其性质，初等变换、初等矩阵的概念与性质，用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形，用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。
1. 矩阵是初学线性代数认识的第一个概念。
矩阵不仅是线性代数主要讨论的对象之一，而且是非常重要的数学工具,它的理论和方法贯穿于本课程始终。
本章的重点之一是矩阵的各种运算，其中又以矩阵的乘法最为重要，它也是难点之一。
两个矩阵的乘积是有条件的，不是任何两个矩阵都能相乘的。
AB 有意义，必须是A 的列数等于B 的行数，而积矩阵AB 的行数等于A 的行数，列数等于B 的列数。
积矩阵AB 的第i 行第j 列元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和。
读者务必掌握矩阵乘法的实质。
矩阵的乘法与数的乘法不同。
尤其要注意以下三点：（1）矩阵乘法不满足交换律。
当乘积AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使BA 有意义，也不一定有AB BA =。
线性代数-第一章第2节-矩阵的运算
四、矩阵的转置
1. 定义
将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列 换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。
例如： A 1 0 2
4 3 0
则
AT
1 0
4 3
2 0
2）、转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XXT T ET 2 XXT T
E 2XXT H , H是对称矩阵.
HH T H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
1.55 2.1 2.6
C (cik )32, A (aij )32, B (bjk )22
•而
2
cik aijbjk j 1
• （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）
三、矩阵与矩阵相乘 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,
则 A 与 B 的乘积 C＝AB = ( cij ) m×n
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
线性代数第一章
1 5 1 , , 3, , 2 , 2 2 2
1 1 3 ( , , 2, , 2). 2 2 2
n维向量的基本运算
定义2 设两个n维向量＝(a1 , a2 , , an ),
(b1 , b2 , , bn )
(1)如果它们对应的分量分别相等，即 ai bi , i 1, 2, , n, 则称向量 与 相等，记作 = 。 (2)加法：称向量(a1 b1 , a2 b2 , , an bn )为
16 College of Mathematics Sichuan University
注意：在上面的八条运算规律中只利用了向量 的加法和数乘。但是，利用负向量的概念，依 然可以定义向量的减法运算： - ＝ ( ). 直观地说就是对应的分量相减，
- ＝(a1 b1 , a2 b2 , , an bn ).
1 2 2 12 3 , 求。
解： (1, 1, 2) 2(1, 2,0) 12(1,0, 3)
(1, 1, 2) (2,4,0) (12,0, 36)
(1 2 12, 1 4 0, 2 0 36) (11, 5, 34).
运动的、变化的、瞬时的、高维的
《线性代数》 线性代数其实就做了一件事情，将中学的线性函数的像空间从一维扩 展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性 [X] 映射”：Y = T ，即 从“n维实线性空间”到“m维实线性空间”的“线性映射”
函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系 （1）线性映射的定义域、值域：“有穷维的向量空间”（也称有穷 维线性空间）
《线性代数》第1章-矩阵(张小向2014黑白打印版)
c 3
同型
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = (aij)m×n与B = (bij)m×n相等:
对∀1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, aij = bij都成立 记为A = B.
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
0 0
0 0
2
3
10 1 0
从i市经一次中转到达j市航线的条数=?
bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .
1
21 1 0
i
2
j
B = (bij) =
01 10
1 0
1 0
3 4
02 1 1
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
2. 定义: A = (aij)m×s与B = (bij)s×n的乘积(product)
a1
列向量(row vector):
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component): ai (i = 1, …, n)
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 16
50 20
30 16
与
a 1
b 2
注: ① 设矩阵A = (aij)m×n , 记−A = (−aij)m×n , ——A的负矩阵(additive inverse of A).
② 设A, B是同型矩阵, 则它们的差
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念和性质，掌握线性代数的基本运算和应用，提高学生解决实际问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组、矩阵及其运算、线性空间和线性变换。
3. 教学方法：采用讲解、案例分析、练习相结合的方法，引导学生主动探究、积极参与，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、第一节线性代数的基本概念1. 教学目标：使学生了解线性代数的发展历程，理解向量、线性方程组、线性空间等基本概念。
2. 教学内容：a. 线性代数的起源和发展；b. 向量的定义和性质；c. 线性方程组的解法；d. 线性空间的定义和性质。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，让学生了解线性代数的历史背景，通过练习，巩固基本概念。
三、第二节线性方程组1. 教学目标：使学生掌握线性方程组的求解方法，会运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：a. 线性方程组的矩阵表示；b. 高斯消元法求解线性方程组；c. 克莱姆法则；d. 线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握线性方程组的求解方法，培养学生解决实际问题的能力。
四、第三节矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算规则，会运用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容：a. 矩阵的定义和性质；b. 矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；c. 逆矩阵的概念和性质；d. 矩阵的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握矩阵的基本运算，培养学生解决实际问题的能力。
五、第四节线性空间和线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间和线性变换的概念，理解它们在数学和其他领域的应用。
2. 教学内容：a. 线性空间的概念和性质；b. 线性变换的定义和性质；c. 线性变换的应用。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，使学生了解线性空间和线性变换的基本概念，培养学生的抽象思维能力。
六、第五节行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，会运用行列式解决实际问题。
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
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记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.
L L O M
0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
得到的 n m 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT ，即
a11 a21 L
AT
a12
L
a22 L LL
a1n
a2n L
am1
am 2
.
L
anm
矩阵的转置满足下面的运算规律（这里 k 为常数， A 与 B 为同型矩阵）：
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
ai1, ai2, L , aip 与矩阵 B 的第 j 列相应元素b1j , b2 j , L , bpj 乘积之和，即
p
cij = aikbkj ai1b1 j ai2b2 j L aipbpj . k 1
三、矩阵的乘法
第1章 线性方程组与矩阵 15
例2
1 1 0
求矩阵
A
3 2
i 1, 2L, ,m ;j 1,L2, n，, 则称矩阵 A 和 B 相等，记为 A B.
二、矩阵的线性运算
第1章 线性方程组与矩阵 10
1. 矩阵的加法 定义3 设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记为 A B ，规定：
a11 b11
2
矩阵乘法对矩阵加法的分配律： A(B C) AB AC ， (A B)C = AC BC ；
3
(kA)B A(kB) k( AB) ；
4
Em Amn Amn En Amn ；
5
Oms Asn Omn ； AmsOsn Omn .
三、矩阵的乘法
第1章 线性方程组与矩阵 18
证明 （1）结合律 设矩阵 A (aij ) 是一个 m s 矩阵， 矩阵 B (bij ) 是一个 s p 矩阵，矩阵C (cij ) 是一个 pn 矩阵.
1 k(A B) kA kB
2 (k l)A kA lA
3 (kl)A k(lA) l(kA)
4 1A A
5 1 A A
6 0 A Omn
矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算.
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 13
例1
3
设
A
1
0 3
2 4
，
B
1 0
2 2
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
L
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
0
a2
L
0
L L O M
0
0L
an
称为 n 阶对角矩阵，简称对角阵，记为 diag a1,a2,L ,an .
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 9
如 果 n 阶 对 角 矩 阵 diag a1, a2,L , an 对 角 线 上 的 元 素 全 相 等 ， 即
a1 a2 L an ，则称其为数量矩阵.
第1章 线性方程组与矩阵 5
定义1 m n 个数 aij i 1,2,L , m; j 1,2,L , n 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n
a2n
M
amn
称为一个 m n 矩阵，简记为aij ，也记为 aij mn .
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
1 2
1 0
与
B
1 2
1 1
1
的乘积
AB
.
1
解 因为矩阵 A 是 23矩阵，矩阵 B 是 33 矩阵， A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵 A 与 B 可
以相乘，乘积 AB 是一个 23矩阵.
1 1 0
AB
3 2
1 2
1 0
1 2
1 1
1
1
31 111 2 31 1111 3 0 111 1
第1章 线性方程组与矩阵 3
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 4
由 m 个方程 n 个未知量 x1, x2,L , xn 构成的线性（即：一次）方程组可以表示为：
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2 L
L L
a2n xn L
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm ,
1
3 ，求 A B 和 2A B .
解
A
B
3 1
0 3
2 4
1 0
2 2
1 3
3 1 1 0
02 32
2 1 4 3
2
1
2 5
3
7
；
3 0 2 1 2 1 3 2 0 2 2 2 1 2 1
2A
B
2
1
3
4
0
2
3 1 2
32
4
2
0
2 3
6 1 20
02 62
4 1 8 3
A
a21
M
a22 M
L
am1
am2
L
a1n
a2n
M
称为该线性方程组的系数矩阵.
amn
x1
b1
令
x
x2
M
，
b2
M
xn
bm
a11 a12 L
则有：
Ax
a21
M
a22 M
L
am1
am2
L
a1n x1 a11x1 a12 x2 L a1n xn
并且规定：对非零方阵 A ，有 A0 E . 方阵的方幂满足以下运算规律（这里 k,l 均为非负整数）：
； . Ak Al Akl
Ak l Akl
由于矩阵乘法不满足交换律，一般来当 A 与 B 可交换（即 AB BA）时，公式
m n 矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
M M O
an1
an2
L
a1n
a2n
M
ann
称为 n 阶方阵.
元素 aii i 1, 2,L , n所在的位置称为 n 阶方阵的主对角线.
一个 n 阶方阵主对角线上方的元素全为零，即
a11 0 L
a21
a22
L
M M O
an1
an2
L
0
0
，
M
ann
称该 n 阶方阵为下三角矩阵，其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
一、矩阵的定义
类似地，有上三角矩阵
a11 a12 L
0
a22 L
M M
0
0L
a1n
a2n
，
M
ann
其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
第1章 线性方程组与矩阵 8
n 阶方阵
a1 0 L 0
ABk Ak Bk , A B2 A2 2AB B2 , A B A B A2 B2 等才成立.
三、矩阵的乘法
例5
0 1 0
设矩阵
A
0
0
1
，求
A2
和
A3
.
0 0 0
0 1 00 1 0 0 0 1
A2
0
0
1
0
0
1
0