第4章因素模型

2 (e) 0.0037
0.8 0 .0 0 2 3
1 .0 0 .0 0 3
2 M
0.0064
求：
（1） A、 B、 C 的 方 差 ；
（
2）
对
A、
B
进
行
等
权
重
投
资
时
组
合
P的
、
p
非
系
统
性
风
险
（2
e
）
p
和
总
风
险
2；
p
（ 3） 将 C 加 入 组 合 P中 ， 对 A B C 实 行 等 额 投 资 ，
两证券收益率中受特殊 因素影响的部分ei，ej互 不相关。这是因为各企业 微观事件只影响本企业而 与其他企业无关。
市场组合的超额收益 率Rm是对宏观因素变动 的综合反映。ei代表的企 业微观因素与宏观因素一 般是不相关的。
单指数模型下证券的预期收益率和方差
•证券的预期收益率和方差
E(Ri ) Ri E(i i RM ei )
• 这说明，分散程度不必太高就可达到大大降低风险的效 果。
• 对投资者而言，选择10～15种证券进行组合投资，就可 基本消除非系统风险。
分散化与证券组合风险的关系（理论）
2 p
非系统风险
2
(ep
)
2 (e) n
2 p
2 M
系统风险 n
分散化与证券组合风险的关系（实例）
课后作业
Sec
A
B
C
i
1.2
(RMt RM )
i 1
i Ri i RM
1 N
N
Rit
i 1
i
1 N
N
RMt
i 1
单指数模型的参数估计
由回归直线可以算出对应于每个RMt的Ri的估计值Rit；
Rit与实际值Rit之差（残差）为：
eit Rit Rit是证券非系统性收益ei的估计。
所有的eit的平方和再除以自由度N 2就是证券非系
分散化与证券组合风险的关系（实证）
• 1968年，美国学者埃文斯和亚瑟从实证的 角度考察了分散化与风险之间的关系：
– 他们以1958～1967年纽约股票交易所上市交 易的470种普通股票为研究对象，随机构造出 2400个证券组合；
• 60个证券组合含1种证券 • 60个证券组合含2种证券 • 60个证券组合含3种证券 • …… • 60个证券组合含40种证券
• 组合的非系统风险
n
2(ep) xi22(ei) i1
n i1
(1n)22(ei
)
(假设等权重投资)
=1n{1n[2(e1)2(e2) 2(e3) 2(en)]}
12(e)
n
（2(e)是公司特有方差的均值，独立于n）
当n越大时，组合的非系统性风险越小。即非系统性风险可以通过分散化加以消除。
– 所以我们常把指数模型写成超额收益的形式：
ri rf ii(rM rf) e i
Ri iiRMei
单指数模型
• 单指数模型的假定
(1) Cov(ei,ej) 0 (i j) (2) Cov( ei,RM) 0 (3) E(ei) 0
尽管企业存在潜在的不 可预知的微观事件可能使 证券的收益率高于或低于 正常情况下的期望值，但 从平均水平上来看，其影 响为零，即期望值为零。
求
新
的
组
合
P
'的
p
、
'
非
系
统
性
风
险
（2
e
p
）
'
和
总
风
险
2 p
；
'
( 4 )比 较 组 合 P 和 P '的 风 险 变 化 。
单指数模型的参数估计
• 单指数模型描述了任一证券收益率的产生过程， 但它是在一系列假定条件下给出的抽象模型。
• 对某证券或证券组合来说，要得到模型的具体表 达式，还需借助实际观测数据进行估计。
3.84
3.63 -1.97
7.14 13.32
6.26
5.99
5.30 -2.72
3.97 -1.94
-8.38 -0.22
招商银行
上证指数与招商银行月收益率线性回归方程
40
30
20 10
0
-15
-10
-10
-20
-30
-5
0
上证指数
y = 0.8733x + 2.2463 R2 = 0.5015
分散化对风险的影响
•组合的系统风险
组合的系统风险pM2 主要取决于p，而
n
p xii i1
1 n
n i1
i
(若等比例投资)
分散化将导致系统风险平均化。只要不专门挑选贝塔系数
较大（或较小）的证券加入组合，那么随着证券数目的增加， 组合的系统风险将向一个特定的值靠拢，即趋于稳定。
同时也表明，组合的系统风险不能通过分散化加以消除。
• 假设已收集到某证券超额收益率Ri与市场证券组 合超额收益率RM的时间序列数据〔Rit，RMt)，t＝ 1，2，…N。利用最小二乘法可求出参数α和β的 估计值，从而得到回归直线：
单指数模型的参数估计
Ri i i RM
（证券特征线方程）
N
[(Rit Ri )(RMt RM )]
其 中 ： i i 1 N
i i RM
2 ( Ri )
2 (i
i RM
ei )
2 (i ) 2 (i RM ) 2 (ei )
2Cov(i , i RM ) 2Cov(i , ei ) 2Cov(i RM , ei )
2 (i RM ) 2 (ei )
i2
2 M
2 (ei )
系统风险 非系统风险
2005000
1500000
1000000 500000 0
1325 50
501500
5150 20300 80600
100
200
400 1000 2000
组合数量
本章内容
• 单指数模型基本方法 • 单指数模型的估计 • 多因素模型
单指数模型
• 假定条件
– 证券收益率之间存在正的协方差，是因为存在相同的 经济力量影响着许多公司的命运。
单指数模型
• 假定条件
– 基于以上考虑，夏普（1963年）提出，实际 影响证券收益率变化的因素只有一个——宏观 经济因素。
• 宏观经济因素影响着整个证券市场，除了此之外， 证券之间的相关性没有其它来源了。
• 公司特有事件只影响单一企业命运，而不能以一个 可测度的方式影响整个经济的因素。总体上，其对 公司股价影响的期望值为零。
0.91
1.13
-5.10 -6.73
-4.69 -5.05
-4.86 -3.80
-5.34 -11.58
10.47 20.83
0.81 -4.19
-0.09
9.00
0.72 20.28
3.60 -1.57
-5.72 -6.97
-0.62
1.07
-3.71 -10.38
-3.86 -7.57
-1.38
P p RM ep
• 证券组合的预期收益率
N
N
E(Rp)Rp xiRi xi(i iRM)
i1
i1
p pRM
单指数模型下证券组合的收益与风险
• 证券组合的风险
2 p
2 ( p
p RM
ep)
2 ( p ) 2 ( p RM ) 2 (e p ) 2Cov( p , p RM )
• 由参数估计的t统计量的值的大小，可回答参数是 否显著不为零。
• /t/>2时，可在0.05的显著性水平下拒绝参数为零的 假设。
单指数模型的参数估计
R22M 2 2M 2 2 2M 2 2(e)
单指数模型的参数估计实例
index% zsyh%
-9.12 -13.08
14.32 32.87
-4.68 -7.55
单指数模型下证券间的协方差
•证券间的协方差
ij Cov(Ri , Rj )
Cov(i iRM ei , j j RM ej )
Cov(i , j j RM ej )
Cov(i RM , j j RM ej ) Cov(ei , j j RM ej )
Cov(iRM , j ) Cov(iRM , j RM ) Cov(iRM , ej )
分散化与证券组合风险的关系（实证）
• 通过考察证券组合的风险与所含证券数目的关系发现， 随着证券数目的增多，证券组合的风险是逐渐减少的。
• 与一个完全分散化（n足够大）的证券组合相比
– 一个包含5种证券的组合（等比例投资） 其风险只多出14％； – 一个包含10种证券的证券组合，其风险不过多出7％； – 当证券组合包含20种证券时，其风险只多出3％。
5
10
15
理解贝塔系数
• 贝塔实际就是证券特征线方程的斜率
– 反映了证券预期的超额收益率相对于市场组合 预期超额收益率的敏感度
– 若β＞1，说明…… – 若β＜1，说明……
理解贝塔系数
• 思考
– 市场组合的β=？ – 从统计意义上看，所有证券的平均贝塔值=？ – 在估计一个证券的贝塔值时，其最佳的预测值
N
N
E(Rp)Rp xiRi xi(iiRM)ppRM
i1
i1
p 2p 2M 2 2(ep)
– 计算组合的期望收益率和方差可归结为寻求组合的αp、βp、收益 率的残差方差、市场组合的期望收益率和方差；
– 而证券组合的αp 、βp、残差方差又依赖于组合中各证券的α、β 和残差方差；
– 只需要有N个αi，N个βi，N个残差方差以及市场组合的期望收益 率和方差（共3N＋2）个参数的估计，大大少于马克维滋的模型 中的参数的估计。
第4章
因素模型
引言
•马克维滋模型告诉我们如 何选择最优证券组合的方法。
•然而，该模型的建立需要 有相当数量的证券之间协方 差的估计，这要求有巨大的 计算量来满足大型资产组合 的需要。
•如果组合中证券的数量为n
种，需要估计n个期望收益
率、n个方差和C
2 协方差。
n
组合证券数量与参数估计量
2500000 2000000
马克维滋模型与单指数模型参数估计对比
90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000
0
1325 152
50
80600
20300
5150
302
602
1202
100
200
400
组合证券数量
马克维滋模型 单指数模型
分散化对风险的影响
• 由前述可知，证券或组合的风险由系统分线和非 系统风险组成。进行分散化投资的意义在哪？
2Cov( p , e p ) 2Cov( p RM , e p )
n
2 ( p RM ) 2 (e p ) 2Cov( p RM , xiei ) i 1
n
p2
2 M
源自文库
2 (ep )
2 p
xiCov(RM , ei )
i 1
p2
2 M
2 (ep )
单指数模型中证券组合的风险
•单指数模型的意义
• 单指数模型
– 不同证券对宏观因素有不同的敏感度。
• F－宏观因素的非预测成分 • βi－证券i对宏观因素的敏感度 • mi＝ βi·F为证券i的宏观成份
ri i iFei
单指数模型
• 单指数模型（市场模型）
– 由于单因素模型没有提出具体测度某种是否影响证券 收益的方法，其用途有限。
– 一般认为证券指数收益率是宏观因素的有效代表，从 而有：
Cov(ei , j ) Cov(ei , j RM ) Cov(ei , ej )
i
j
2 M
单指数模型下证券组合的预期收益率
• 证券组合的收益率
N
N
rp xi Ri xi ( i i RM ei )
i 1
i 1
N
N
N
xii ( xii )RM xiei
i 1
i 1
i 1
– 所有相关因素影响着几乎所有的公司。如果这些变量 发生了非预期的变化，则整个股票市场的收益率也相 应地会发生非预期的变化。
– 把所有的相关经济因素组成一个宏观经济指示器，假 定它影响着整个证券市场。除此之外，没有其它影响 证券之间相关性的因素。
– 对证券收益率产生影响的不可预知的微观因素一般只 对单个公司产生影响而不涉及整个经济体。
ri iirMei
– 上式就是确定证券收益率的单指数模型，由夏普于 1963年提出，又称为夏普模型。这一模型大大简化了 马克维滋证券选择模型的运算，在现实中有广泛的运 用。
单指数模型
• 单指数模型——另一种表示法
– 由于股票市场收益率水平在超过或低于无风险利率时，其意义 代表了宏观经济状态。
– 由于在不同时期内无风险利率有时不一样，因此单纯用市场证 券组合收益率来反映宏观因素的影响就不十分准确。
单指数模型
• 模型设定
– 将单个证券i的收益率ri分解成三个部分
ri i mi ei
– ai——证券的基本收益率，即宏观与微观影响都为零时 证券的收益率；
– mi——非预期的宏观因素对收益率的影响，即证券的系 统收益率；
– ei——非预期的公司微观因素对收益率的影响，即证券 的非系统收益率；
单指数模型
统性风险（2 ei）的估计：
（2 ei）＝N
1
2
n t 1
2
eit
单指数模型的参数估计
• 如何检验特征线方程较好地反映了证券预 期超额收益率和市场组合超额收益率之间 的线性关系？
– 可以通过判定系数R2的大小，对线性关系作 显著性检验
• 一般地，R2越接近于1，系数估计的t统计量的值 越大（大于2），则特征线越具解释力。