拉氏变换

控制原理补充讲义——拉氏变换

拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义

1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：

称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：

1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。2)当时，

，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号

关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换

在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

注意：六大性质一定要记住

1．单位阶跃函数

2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数

5．正弦函数sinwt

由欧拉公式：所以，

6．余弦函数coswt

其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)

1

1 11

2

1(t) 12

3

t

13

4

14

5

11

+Ts T

t

e T

-1 15

6

)(1

a s s +

at

e --1

16

7

)

1(1

+Ts s

T

t e

--1

17

)1sin(122

ϕξωξωξω----t e n t n

n

8

18

9

19

10

20

三、拉氏变换的性质

1、线性性质

若有常数k

1，k

2

,函数f

1

(t),f

2

(t),且f

1

(t),f

2

(t)的拉氏变换为F

1

(s),F

2

(s),

则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理

(1)实数域的位移定理

若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有

,

其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.

证明：，

令t-a=τ,则有上式=

例：求其拉氏变换

(2)复数域的位移定理

若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：

例：求的拉氏变换

3、微分定理

设f(t)的拉氏变换为F(s),则

其中f(0+)是由正向使的f(t)值。

证：

同理可推广到n阶：

当初始条件为0时，即

则有

4、积分定理

设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。

证明：

同理可得n阶积分的拉氏变换：

当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有

5、初值定理

设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：

证明：由微分定理知：

对等式两边取极限：则有

例：已知，求f(0+)

由初值定理知：

6、终值定理：

若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：证明：由微分定理知：

令，对上式两边取极限，

这个定理在稳态误差中常用。

例：已知：，求f()

7、卷积定理

设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，

则有

式中，称为f(t)与g(t)的卷积。此定理不要求证明。课堂练习：

1) 求L[t2]

2)求图示正弦波半波函数的拉氏变换

3)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求

4)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求L[f(at)]

四、拉氏反变换的数学方法

在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接利用表2-1来查，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。

部分分式展开法：

对于象函数F(s),常可写成如下形式：

式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点，p1,p2…,pn称为F(s)的零点。一般A(s)的阶次大于B(s)，若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式。

下面分两种情况，研究分式展开法。

1、F(s)无重极点的情况

此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和：

其中，分子为待定系数。例：求F(s)的拉氏变换解一：

解二：

所以

例2

若p

1,p

2

为共轭复数，相应的系数k

1

，k

2

也是共轭复数，故只需求出一个即可。

2、F(s)有重极点的情况

设F(s)有r 个重极点p

1

,其余极点均不相同，则例：求的拉氏反变换