拉氏变换
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换
质
此式可由定义证明。
机 械 控 制 理 论
实 数 域 的 位 移 定 理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实 数a有,
L[f ( t a )] e as F(s)
其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t) 延迟时间a.
对于象函数F(s),常可写成如下形式：
B(s) b m s m b m 1s m 1 b 0 F(s) A(s) a n s n a n 1s n 1 a 0 k(s z1 )(s z 2 ) (s z m ) (s p1 )(s p 2 ) (s p n )
机 械 控 制 理 论
拉普拉斯反变换
在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简 单的象函数，可直接查拉氏变换表， 但对于复杂的，可利用部分分式展开 法，即通过代数运算将一个复杂的象 函数化为数个简单的部分分式之和， 再求出各个分式的原函数，从而求出 总的原函数 。
部分分式展开法
机 械 控 制 理 论
s 2
1
解二
2 1 F(s) s 1 s 2
A '(s) 2s 3 A '( 1) 1 B( 1) 2 A '( 2) 1 B( 2) 1
f (t) 2e t e 2t
k1 B(1) 2 A '(1) k2 B( 2) 1 A '( 2)
其中f(0+)由正向使 t 0时的f(t)值。
L f ( t ) s F ( s ) f ( k 1 ) ( 0) s n k
拉氏变换
9、卷积定理：若f1(t), f2(t)可拉氏变换，且 有L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s),则
F1 ( s) F2 ( s ) L[ f1 ( ) f 2 (t )d ]
0
t
t
0
f1 ( ) f 2 (t )d为f1 (t）、f 2 (t）的卷积
2、时域平移定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
L[ f (t a)] e F ( s)
as
3、时域微分定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0 ) dt d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0 ) s n 2 f (1) (0 ) ...... f ( n 1) (0 ) dt n df (t ) (1) f (0 ) |t 0 dt d n 1 f (t ) f ( n 1) (0 ) |t 0 n 1 dt
f (t ) R(t ) t 1(t )......... t 0 .......
F ( s) L[ R(t )] te dt
st 0 令u t dv e
t
e
st
st
s
0
e dt s
st
e 1 2 |0 2 s s
n Ai pi t 1 1 f (t ) L [ F ( s )] L [ ] Ai e i 1 ( s pi ) i 1 n
(2)当F(s)中的极点pl为l重极点时，F(s)可以表示为
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
信号与系统第6章拉氏变换
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换
s 3
7
f (t ) 3e (t ) 7e (t )
3t
N ( p1 ) p t N ( p2 ) p t N ( pn ) p t f (t ) ' e ' e ' e D ( p1 ) D ( p2 ) D ( pn )
1 2 n
原函数的一般形式
二 单位冲激函数
1. 单位脉冲函数 p(t) p(t) 1/ 0
1 p( t ) [ ( t ) ( t )]
t
p( t )dt 1
2. 单位冲激函数 (t)
1/
p(t)
- / 2
定义
/2
t
lim p( t ) ( t )
0
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
f (t ) K1e K 2e
p1t
p2t
K n e
返 回
pn t
上 页 下 页
待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 、 2、 3、 n
K1， 2 F ( s )( s j )s j
返 回 上 页 下 页
(2) 若 D(s) 0 具有共轭复根
p1 j p2 j
N (s) N (s) F (s) D(s) (s j )(s j ) D1 (s)
K1 K2 N1 (s) s j s j D1 (s)
st 0
(s c ) t
拉普拉斯积分变换
s m1
利用位移性质,可得
Leatt m Γ (m 1)
(s a)m1
27
例 求 L eat sin kt
解 因为
Lsin
kt
s2
k
k
2
由位移性质得
L eat sin kt
(s
k a)2
k
2
28
5、 延迟性质 若L f (t) F (s),又 t 0 时 f (t) 0
时间 τ。从她们得图象来讲, f (t τ ) 得图象就是由f(t)得
图象沿t 轴向右平移距离而得。
这个性质表明,时间函数延迟 τ 得拉氏变换等于她得
象函数乘以指数因子 e s 。
31
例
求函数 u(t τ
)
0, t τ 1, t τ
得拉氏变换。
解 由于
Lu(t) 1
s
根据延迟性质,有
Lu(t τ ) 1 esτ
dt t
解 因为
Lsin t 1
s2 1
且
所以
f (t) dt
F (s)ds
0t
0
sin t dt
0t
0
1 ds
s2 1
arctan s
0
2
25
d、位移性质 若 L f (t) F (s) ,则有
L eat f (t) F (s a) (Re(s a) c)
证
根据定义,利用积分性质就可推出这个性质。 此性质表明:函数线性组合得拉氏变换等于各函 数拉氏变换得线性组合。
14
b、 微分性质 L f (t) sF (s) f (0)
证 由定义并利用分部积分法得
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
拉氏变换
t<0 0≤t<a a ≤ t < 3a t ≥ 3a
试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。
例5
已知
sin t , 0 ≤ t < π f (t ) = t ≥π t,
试将f(t)合写为一个式子。
（2）狄拉克函数 δ (t ) (Dirac) 定义 设 t<0 0, 1 δ τ (t ) = 0 ≤ t ≤τ τ t >τ 0, 则称 δ ( t ) = lim δ τ ( t ) 为狄拉克函数，
说明：
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。 ≡ 不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为： 傅里叶变换）。
例题
例1 求f(t)=eat（t ≥ a是常数）的拉氏变 0, 换。 例2 求f(t)=at（t ≥0, a为常数）的拉氏变换。 例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 ≥ ω 同理可求L[cos t].
拉氏变换及其性质
一 拉氏变换的基本概念
定义
设函数f(t)的定义域为[0， + ∞ ),若广义积分 +∞ 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即 f ( t ) e − pt dt ∫0 +∞ F(p)= − pt
∫
0
f (t )e
dt
则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数， 拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p) −1 L 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).
g (t )δ (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。
拉氏变换定义,性质
拉氏变换的未来发展
理论完善
随着数学和工程领域的发展，拉普拉斯变换的理论体系将不断完 善，为解决更复杂的问题提供更有效的工具。
应用拓展
随着科技的不断进步，拉普拉斯变换的应用领域将不断拓展，例如 在人工智能、机器学习等领域的应用。
数值计算
随着计算机技术的发展，拉普拉斯变换的数值计算方法将更加精确 和高效，为实际应用提供更好的支持。
拉氏变换的定义
定义
拉普拉斯变换是一种将时域函数（通常是无限或有限时间内 的信号或系统响应）转换为复频域函数的方法。通过将时域 函数乘以相应的权函数，然后对结果进行积分，可以得到该 时域函数的拉普拉斯变换。
符号表示
通常使用符号 (L) 表示拉普拉斯变换，例如，如果 (f(t)) 是时 域函数，那么 (F(s)) 就是 (f(t)) 的拉普拉斯变换，其中 (s) 是 复频域变量。
时移性质
时移性质
若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(t-a)$ 的拉氏变换为 $e^{-sa}F(s)$，其中 $a$ 是时移量。
应用
在系统分析中，时移性质可用于分析 系统的稳定性和动态响应。
频移性质
Hale Waihona Puke 频移性质若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(at)$ 的拉氏变换为 $frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$，其中 $a$ 是频移量。
拉氏变换定义、性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的应用 • 结论
01 引言
拉氏变换的背景和重要性
背景
拉普拉斯变换是18世纪末由法国科学家拉普拉斯提出的一种数学工具，主要用 于解决初值问题，即求解微分方程时，需要给出初始条件的问题。
拉氏变换定义
拉氏变换定义拉氏变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。
它是将时域信号转换为复频域信号的一种方法，可以用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性以及系统的传递函数等问题。
拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上绝对可积，即∫|f(t)|dt<∞，则称函数F(s) = L{f(t)}=∫f(t)e^(-st)dt为f(t)的拉氏变换，其中s为复变量。
通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的时域信号转换为在复频域中的表示，从而更方便地进行分析。
通过对拉氏变换的运算和性质的研究，我们可以得到许多有用的结论和定理，进而解决各种与信号与系统相关的问题。
拉氏变换的一个重要性质是线性性质。
即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
这个性质使得我们可以将复杂的信号分解为更简单的部分进行处理，从而简化问题的求解过程。
拉氏变换还有平移性质和尺度变换性质。
平移性质表明，如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
尺度变换性质表明，如果f(at)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行平移和尺度变换，来获得不同频率和幅度的信号的拉氏变换。
拉氏变换还有微分和积分性质。
微分性质表明，如果f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉氏变换为sF(s) - f(0)。
积分性质表明，如果f(t)的积分为∫f(t)dt，则∫f(t)dt的拉氏变换为F(s)/s。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行微分和积分操作，来得到信号的导数和积分的拉氏变换。
拉氏变换的应用非常广泛。
在信号与系统中，我们可以利用拉氏变换来分析信号的频谱特性，如频率响应、带宽等。
在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的稳定性和动态响应。
第三章拉氏变化
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
积分变换第二章拉氏变换
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
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控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。
证明：同理可得n阶积分的拉氏变换：当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有5、初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明：由微分定理知：对等式两边取极限：则有例：已知，求f(0+)由初值定理知：6、终值定理：若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：证明：由微分定理知：令，对上式两边取极限，这个定理在稳态误差中常用。
例：已知：，求f()7、卷积定理设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，则有式中，称为f(t)与g(t)的卷积。
此定理不要求证明。
课堂练习：1) 求L[t2]2)求图示正弦波半波函数的拉氏变换3)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求4)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求L[f(at)]四、拉氏反变换的数学方法在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接利用表2-1来查，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。
部分分式展开法：对于象函数F(s),常可写成如下形式：式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点，p1,p2…,pn称为F(s)的零点。
一般A(s)的阶次大于B(s)，若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式。
下面分两种情况，研究分式展开法。
1、F(s)无重极点的情况此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和：其中，分子为待定系数。
例：求F(s)的拉氏变换解一：解二：所以例2若p1,p2为共轭复数，相应的系数k1，k2也是共轭复数，故只需求出一个即可。
2、F(s)有重极点的情况设F(s)有r 个重极点p1,其余极点均不相同，则例：求的拉氏反变换所以：2-2 系统的数学模型一、概述为了分析、研究系统的动态特性，一般情况下，首先要建立系统的数学模型。
1、数学模型的概念我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。
深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。
动态特性控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。
状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。
这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。
例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。
具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。
建立控制系统数学模型的方法有1）分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。
建立系统数学模型的几个步骤：•建立物理模型。
•列写原始方程。
利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）•选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
2）实验法－是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。
即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辩识。
数学模型的逼近1、线性系统和非线性系统1) 线性系统可以用线性微分方程描述的系统。
如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；例：，其中,a,b,c,d均为常数。
如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：系统在几个外力作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用时的响应之和。
可加性：齐次性：或2) 非线性系统用非线性微分方程描述的系统。
非线性系统不满足叠加原理。
例：就是非线性系统。
实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。
即在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关系，如：间隙、饱合、死区、干磨擦特性等。
非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，可进行如下外理：①线性化②忽略非线性因素③用非线性系统的分析方法来处理。
3）线性系统和非线性系统的判别设某系统的微分方程如下：①若方程的系数ai ,bj都既不是xo(t)和xi(t)及它们的导数的函数，又不是时间的函数，则此方程是线性定常的，此系统为线性定常系统。
②若ai ,bj是时间的函数，则该方程是线性时变的，此系统称为线性时变系统。
③若ai ,bj中只要有一个系数依赖于xo(t)和xi(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现t r 其它函数形式，该方程为非线性的。
例：线定常非线性判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？a: (线定常)b: (非线性)c:（线时变）(t)：时变系统式中：u:输入信号 y:输出信号 ai3、本课程涉及的数学模型形式时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性二、系统微分方程的建立1、建立微分方程的一般步骤1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；2)从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3)消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；4)标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排2、机械系统微分方程的列写机械系统中部件的运动有直线和转动两种。
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。
列写其微分方程通常用达朗贝尔原理。
即：作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。
用公式表示：1）直线运动（机械平移系统）式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。
2）转动系统3、电网络系统电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。
1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。
2）尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。
电网络系统中三人基本原件是：电阻、电感、电容电阻：电容：电感：例：小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。
三、传递函数微分方程建立后，就可对其求解，得出输出量的运动规律，从而对系统进行分析与研究。
但微分方程求解繁琐，且从其本身很难分析系统的动态特性，但若对微分方程进行拉氏变换，即得到代数方程，使求解简化，又便于分析研究系统的动态特性，更直观地表示出系统中各变量间的相互关系。
传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。
1、传递函数的基本定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
零初始条件：t<0时，输入量及其各阶导数均为0；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；传递函数的一般形式：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：式中，n m，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：此式表示了输入到输出之间信息的传递关系，称G(s)为系统的传递函数。