随机过程第三章

3.1 泊松过程的定义
定义B：计数过程{N(t)，t ≥0 }是泊松过程， 如果N(t)满足 (1) N(0)=0； (2) N(t)是平稳、独立增量过程； (3) N(t)满足下列两式
P { N (t + h) − N (t ) = 1} = λ h + o(h) P { N (t + h) − N (t ) ≥ 2} = o(h)
3.1 泊松过程的定义
P0 (t + h) − P0 (t ) o(h) 故 = −λ P0 (t ) + , h h P0′(t ) 当h → 0时有P0′(t ) = −λ P0 (t )或 = −λ P0 (t ) 由于P0 (0) = P {N（0） 0} = 1 = 于是有P0 (t ) = e
∞ −λh λ h
P { N (t + h) − N (t ) ≥ 2} = P { N ( h) − N (0) ≥ 2} = ∑ P { N (h) − N (0) = n} = ∑ e − λ h
n=2 n=2 ∞ ∞
(λ h ) n = o( h) n!
3.1 泊松过程的定义
定义B⇒定义A
= E[ X ( s )( X (t ) − X ( s ))] + E[( X ( s )) 2 ] = E[( X ( s ) − X (0))( X (t ) − X ( s ))] + D[ X ( s )] + [ EX ( s )]2 = E[ X ( s ) − X (0)]E[ X (t ) − X ( s )] + D[ X ( s )] + [ EX ( s )]2 = λ s + λ (t − s ) + λ s + (λ s ) 2 = λ s (λ t + 1)
(λt ) ！ n
n
3.2 泊松过程的性质
一、数字特征 定理：设{X(t), t ≥ 0}是参数为λ的泊松过 定理： 程，对任意t, s∈[0, +∞)，若s < t ，则 有E[ X (t ) − X ( s )] = D[ X (t ) − X ( s )] = λ (t − s ) m X ( t ) = E[ X (t )] = E[ X (t ) − X (0)] = λt
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h ) + Pn −1 ( t ) P1 ( h ) + ∑ Pn − j ( t ) P j ( h )
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h ) + Pn −1 ( t ) P1 ( h ) + o ( h ) = (1 − λ h ) Pn ( t ) + λ hPn −1 ( t ) + o ( h ) n ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ Pn − j (t ) Pj (h) ≤ ∑ Pj (h) ≤ ⎟ j =2 ⎜ j =2 ⎟ ⎜ ∞ ⎟ ⎜ ∑ Pj (h) = P ( N (h) − N (0) ≥ 2) = o(h) ⎟ ⎝ j =2 ⎠
(参数λ>0)
3.1 泊松过程的定义
定理：泊松过程两种定义等价。 定理： 证明：定义A⇒定义B 。由定义A(3)知平稳性， 证明： 即B(2)成立，下证定义B(3)。当h充分小有
P { N (t + h) − N (t ) = 1} = P { N ( h) − N (0) = 1} ( −λ h) n =e = λ h∑ 1! n! n =0 = λ h[1 − λ h + o(h)] = λ h + o( h)
3.2 泊松过程的性质
定理： BX ( s,t ) = λ min( s,t ) 证明： 若t > s, 则 BX ( s,t ) = RX ( s,t ) − m X ( s )m X ( t )
= λ s, 同理，若t < s, 则BX ( s,t ) = λ t , 从而 BX ( s,t ) = λ min( s,t )
2 σ X (t ) = D[ X (t )] = D[ X (t ) − X (0)] = λt
RX ( s,t ) = λ s( λ t + 1 )
3.2 泊松过程的性质
证明：关于期望、方差可容易验证，下什么 证明： 相关函数。 RX ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = E[ X ( s )( X (t ) − X ( s ) + X ( s ))]
T1服从均值为1/λ的指数分布
3.2 泊松过程的性质
(2)n=2
0
T1=s
T2 t s s+t W1 W2
P{T2>t }＝P{T2>t | T1=s} = P{在(s, s+t]内没有事件发生| T1=s} =P{X(s+t) -X(s)=0 | X(s) -X(0) =1} = P{X(s+t) -X(s)=0 } e − λt = FT2 (t ) = P {T2 ≤ t } = 1 − P {T2 > t } = 1 − e − λt T2服从均值为1/λ的指数分布。
3.2 泊松过程的性质
定理：泊松过程的特征函数为 定理：
g X ( u ) = exp λ t( e iu − 1 )
{
}
P {X (t ) = n}
证明：g X (u) = E e
= ∑ e iun e −λt
n=0 ∞
[
iuX ( t )
]= ∑ e
∞ n =0
iun
= e −λt exp λte iu = exp λt (e iu − 1)
3.2 泊松过程的性质
等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量
T1 0 W1 T2 W2 T3 W3 Tn Wn-1 Wn t
定理：(时间间隔Tn的分布) 定理： 设{X(t), t ≥0}是参数为λ 的泊松过程， {Tn,n ≥1}是相应第n次事件A发生的时间 间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布 的均值为1/λ的指数分布。
d λt λt e Pn (t ) = λe Pn −1 (t ) dt
[
]
3.1 泊松过程的定义
(3)当n = 1时，
由于P1 0 = P { N (0) = 1} = 0 （） 所以C = 0，P1 ( t ) = λ te
−λt
d λt ⎡ e P1 ( t ) ⎤ = λ e λ t P0 ( t ) = λ e λ t e − λ t = λ ⎣ ⎦ dt −λt P1 ( t ) = (λ t + C )e
[
]
3.1 泊松过程的定义
(λt ) 积分得e Pn (t ) = +C ！ n 由于Pn (0) = P { N (0) = n} = 0
λt
n
从而Pn (t ) = e
−λt
(λt ) ！ n
n −λt
所以P { N (t + s) − NBaidu Nhomakorabea( s) = n} = e (n = 0,1, 2 )
令Pn (t ) = P { N (t ) = n} = P { N (t ) − N (0) = n} , 则 1 n = 0时 （ ）当 P0 (t + h) = P { N (t + h) = 0} = P { N (t + h) − N (0) = 0} = P { N (t ) − N (0) = 0, N (t + h) − N (t ) = 0} = P { N (t ) − N (0) = 0} P { N (t + h) − N (t ) = 0} = P0 (t )(1− P { N (t + h) − N (t ) ≥ 1}) = P0 (t )[1− λh + o(h)]
− λt
从而P0 (t ) = ke
− λt
3.1 泊松过程的定义
Pn ( t + h ) = P { N ( t + h ) = n} = P { N ( t + h ) − N (0) = n}
(2)对n ≥ 1，建立递推公式
= P {[ N ( t + h ) − N ( t )] + [ N ( t ) − N (0)] = n} =
3.1 泊松过程的定义
(4)用数学归纳法证明
Pn (t ) = e
− λt
(λ t ) n!
n
n=0, n=1时，结论已成立 假设n-1时(n ≥ 1)，结论成立，由递推公式
d λt λt e Pn (t ) = λe Pn −1 (t ) dt n −1 n −1 λ (λ t ) λt − λt ( λ t ) = λe e = (n − 1)! (n − 1)!
第三章 泊松(Poisson)过程
3.1 泊松过程的定义
定义：随机过程{N(t)，t ≥0 }是计数过程， 定义： 如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生的事件 A的总数，且N(t)满足下列条件 (1) N(t) ≥0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) ≤ N(t); (4)当s < t 时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
Pn (t + h) − Pn (t ) o(h) = −λPn (t ) + λPn−1 (t ) + h h 当h → 0时， Pn′ (t ) = −λPn (t ) + λPn−1 (t ) e
λt
[Pn′ (t ) + λPn (t )] = λe
λt
Pn −1 (t )
3.1 泊松过程的定义
独立增量计数过程 对于t1< t2 < … < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), …, N(tn)-N(tn-1) 独立 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s > 0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而 与初始时刻t无关
3.2 泊松过程的性质
证明： (1)n=1
T1 0 t W1
事件{T1> t}发生当且仅当在[0, t]内没有事 件发生 P {T1 > t } = P { X ( t ) = 0}
= P { X ( t ) − X (0) = 0} = e
− λt
FT1 ( t ) = P {T1 ≤ t } = 1 − P {T1 > t } = 1 − e − λ t
3.1 泊松过程的定义
定义A：计数过程{N(t)，t ≥0 }是泊松过程， 如果N(t)满足 (1) N(0)=0; (2) N(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中，事件A发 生的次数服从参数λ > 0的泊松分布，即对 任意s, t ≥ 0，有 (λ t ) n P { N (t + s ) − N ( s ) = n} = e − λ t , n! n = 0,1, 2,
3.1 泊松过程的定义
★(1)令s=0，有： (λ t ) n P { N (t ) = n} = P { N (t ) − N (0) = n} = e − λ t n! (2)泊松过程是平稳增量过程 ∞ ∞ (λ t ) n −λt (3) E[ N (t )] = nP{N (t ) = n} = ne
n
j | N ( t + h ) − N ( t ) = j}
⋅ P { N ( t + h ) − N ( t ) = j}
3.1 泊松过程的定义
= ∑ P {[ N ( t ) − N (0)] = n − j} P { N ( t + h ) − N ( t ) = j}
j=0 n
n
= ∑ Pn − j ( t ) P j ( h )
∑
n =1
∑
n =1
n!
(λ t ) = λ te ∑ = λt n =1 ( n − 1)! E[ N (t )] 由E[N(t)]=λt ,知 λ = t 故λ表示过程的强度
−λt ∞ n −1
3.1 泊松过程的定义
例：在(0, t]内接到服务台咨询电话的次数 例： X(t)，在(0, t]内到某火车站售票处购买 车票的旅客数X(t)等都是泊松过程。
∑ P {[ N ( t + h ) − N ( t )] + [ N ( t ) − N (0)]
j=0
n
= n | N ( t + h ) − N ( t ) = j} P { N ( t + h ) − N ( t ) = j} =
∑ P {[ N ( t ) − N (0)] = n −
j=0
{
∞ (λt ) n (λte iu ) n = e − λt ∑ n! n! n =0
}
{
}
3.2 泊松过程的性质
二、时间间隔与等待时间的分布
设{X(t), t ≥ 0}是参数为λ 的泊松过 程，X(t)表示到 t 时刻为止事件A发生的 次数，Wn表示第n次事件A发生的时间(n ≥ 1)，也称为第n次事件A的等待时间, 或 到达时间,Tn表示第n-1次事件A发生到第 n次事件A发生的时间间隔。