三角形的中位线

第十八章 平行四边形

18.1.2 平行四边形的判定

第3课时 三角形的中位线

学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；

2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.

重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.

一、知识回顾

1.平行四边形的性质和判定有哪些？

边：①AB ∥CD,AD____BC ②AB=CD,AD____BC 平行四边形ABCD ③AB ∥CD,AB_____CD

角：∠BAD____∠BCD ，∠ABC____∠ADC

对角线：AO____CO,DO____BO

一、要点探究

探究点1：三角形的中位线定理

概念学习 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段.

如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE.

则线段DE 就称为△ABC 的中位线.

想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC 中画出它所有的中位线吗？

2.三角形的中位线与中线有什么区别？

猜一猜 如图，DE 是△ABC 的中位线，DE 与BC 有怎样的位置关系，又有怎样的数量关系？

猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且

________第三边的________．

量一量 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？ 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点.

1

.2

DE BC DE BC 求证：∥，

分析：

课堂探究

自主学习

教学备注

学生在课前完成自主学习部分

配套PPT 讲授

1.情景引入 （见幻灯片3-4）

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片5-18）

性 质

判 定

教学备注

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片5-18） 倍长DE 至F

DF 与AC 互相平分 构造全等 三角形

角、边相等

平行四

边形

线段相等、平行

证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ，

∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ，

∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是________________， ∴

DF_____BC ,DF_______BC ， 12

DE DF =又∵，

∴

DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F

，使EF=DE ．连接FC ．

∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ． ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵，

∴DE_____BC ,DE=______BC.

要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．

符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，

12

=.

DE BC DE BC 则，

重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE.

②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.

典例精析

例1如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点

F.若DF ＝3，求AC 的长.

例2 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN 的度数．

教学备注 教学备注 配套PPT 讲授

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片5-18）

例3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为AB 的中点，在AB 的延长线上取一点D ，使BD ＝AB ，求证：CD ＝2CE.

方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．

针对训练

1. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 中点． （1） 若DE=5，则BC=________．

（2） 若∠B=65°，则∠ADE=_________°. （3） 若DE+BC=12，则BC=_________.

2. 如图，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出

AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20m ，那么A ，B 两点间的距离为______m ． 探究点2：三角形的中位线的与平行四边形的综合运用 典例精析

例4 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、

DA 中点．

求证：四边形EFGH 是平行四边形．

方法总结:顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.

变式题 如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边之中点．求证：四边形EFGH 为平行四边形.

第1题图 第2题图 教学备注 配套PPT 讲授 3.探究点2新知讲授

（见幻灯片19-25）

E

G F

H

B C D A