第十三章 达朗贝尔原理.
理论力学第十三章达朗贝尔原理
aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。
设刹车时货车作匀减速运动，货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。
试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。
解：以货物为研究对象，其受力如图所示。
图中， 虚加惯性力之后，重物在形式上“平衡”。
货物不滑动的条件是：即货物不滑动的条件是：)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒（不向前倾倒）的条件是：)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) （1）（2）的通解是)(1.5s t ≥。
即，使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。
[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ，质量kg m A 40=，置于A 上的物体B ，质量kg m B 15=；力kN F 500=，其作用线平行于斜面。
为使A 、B 两物体不发生相对滑动，试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。
解：以A 、B 构成的质点和系为研究对象，其受力如图所示。
在质心加上惯性力后，在形式上构成平面一般“平衡”力系。
以B 为研究对象，其受力如图所示。
由达朗伯原理得：305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ，即： [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=，置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力N F 60=，使杆AB 沿F 力方向作直线平动。
试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。
解：以AB 杆为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：[习题13-4] 重为1P 的重物A ，沿光滑斜面D 下降，同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动，斜面与水平成θ角。
试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。
解：以A 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得：EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象，其受力与运动分析如图所示。
达朗贝尔原理
例13-6某传动轴上安装有两个齿轮，质量分别为 m1、m2，偏心距分别为 e1
和 e2。 在图示瞬时， 1D1 平行于 z 轴， 2D2 平行于 x 轴， C C 该轴的转速是 n r/min。 求此时轴承 A、B 的附加动反力。
解：研究 AB 轴，其受力图如图示 Q1 m1e1 2 Q 2 m 2 e 2 2
解得
S B 45.5 N
例13-4图示矩形块质量m1 = 100 kg，b = 0.5 m，h = 1.0 m，置于平台车上。车质量m2 = 50 kg。此车沿光 滑水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m3的物体 牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足 够阻止相互滑动，求能够使车加速运动的质量m3的最 大值，以及此时车的加速度大小。
解：研究 ABC 杆，由机构可知，ABC 作平移运动，初瞬时＝0， 所以 a n 0, Q AB ma , QBC ma ，受力图如图示，由达朗贝尔原理：
X 0 Q AB Q BC mg sin mg sin 0 解得
a g sin
l l l m B (F ) 0 S A cos l Q AB sin mg Q BC cos 0 2 2 2 解得 S A 5.38 N Y 0 S A S B mg cos mg cos 0
M1、M2的惯性力的方向如图示，大小
在定滑轮上，质量为mi的轮缘质点的虚加切向
惯性力和法向惯性力方向如图示，大小分别为 n 2
qi mi r
qi mi r
根据质点系的达朗贝尔原理，由平衡方程得
X 0
n X O qix qix 0
例 13-1单摆摆长l，摆锤质量m，求单摆的运动规律 及绳的约束力。
达朗贝尔原理名词解释
达朗贝尔原理名词解释引言达朗贝尔原理是热传递领域中的基础原理之一。
它描述了热量是如何通过辐射传递的过程，深化了我们对热辐射现象的理解。
本文将对达朗贝尔原理进行详细解释，包括其定义、物理背景、数学表达和应用。
定义达朗贝尔原理是指在热平衡状态下，两个物体的辐射热流密度与它们的辐射特性（如温度、表面特性等）有关。
根据该原理，两个物体之间的净辐射热流密度正比于它们的体温差的四次方，并与它们的表面性质有关。
物理背景达朗贝尔原理建立在基于物体的辐射行为的基础上。
物体发出的热辐射能够传递能量，并且辐射的强度与物体的温度有关。
辐射热量的传递主要通过光子的辐射和吸收来实现，而达朗贝尔原理描述了这一现象的规律。
数学表达达朗贝尔原理的数学表达式为：q=σ⋅A⋅(T14−T24)其中，q表示两个物体之间的净辐射热流密度，σ是斯特藩-玻尔兹曼常数，A是两个物体之间的表面积，T1和T2分别是两个物体的绝对温度。
辐射特性达朗贝尔原理中涉及到物体的表面性质，这些性质对辐射热流密度产生影响。
以下是一些影响辐射特性的因素： 1. 反射率：物体的反射率决定了其对外界辐射的反射程度，反射率越高，辐射热流密度越低。
2. 吸收率：物体的吸收率决定了其对外界辐射的吸收程度，吸收率越高，辐射热流密度越高。
3. 发射率：物体的发射率决定了其自身的辐射能力，发射率越高，辐射热流密度越大。
达朗贝尔原理的应用达朗贝尔原理在很多领域都有重要的应用，下面列举了一些应用案例： 1. 热辐射计算：在热传递计算中，达朗贝尔原理通常被用于计算不同温度物体之间的热辐射传递。
2. 太阳能利用：太阳能的收集和利用依赖于太阳辐射能量的捕获，达朗贝尔原理可用于描述太阳辐射的传递和捕获过程。
3. 红外热成像：红外热成像技术通过捕捉物体的红外辐射来显示物体的温度分布情况，达朗贝尔原理为该技术的基础原理。
4. 空间热传递：在航天器和卫星中，热传递对于电子设备和舱内环境的控制非常重要，达朗贝尔原理可用于优化热传递效果。
第十三章 达朗贝尔原理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
O
η
θ
mg
dFI A y
η
3. 建立平衡方程：
ω
M
Oxi
l mg sin cosdFI 0 2 0
l
3g arccos 2 2 l
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
FI mi ai maC
主矩
mi ri ri i )
FIit
FIin
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
达朗伯原理
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理（动静法）。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力 为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程，动静法体现不出优点，但是虚加惯性力和惯 性力偶后，动静法可以对任意点取矩（二矩式、三矩式） 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知：m , h , , l。 求：A、D处约束反力。 解： 取 AB 杆为研究对象
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
《达朗贝尔原理》课件
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
达朗贝尔原理
α O
有质量对M称O面 F且i转e 轴垂直M此O面F的Ii 定轴0转动
的刚体, 其上达朗伯惯性力系向对称面与
C
定轴的交点O简化可得一力和一力偶.
FI
M IO
惯性力: FI M aC
惯性力偶: M IO JO
3. 刚体平面运动( 刚体有质量对称面且运动平面平行于此面).
刚体平面运动是随质心的平动和绕质心 的转动的合成. 其上的达
下面, 我们将对常见的几种运动的刚体上的达氏惯性力进行简化.
§14 – 3 刚体惯性力系的简化
1. 刚体的平动
FI C
刚体作平动, 其上所有点的加速度矢都相等. 因而惯性力系是一同向平行力系. 这个力系 与重力系类似, 其合力过质心C .
a a
C
i
F I
F Ii
mi ai
mi a C M a C
§13 – 1 惯性力 . 质点的达朗贝尔原理
1. 达朗贝尔惯性力:
FI
定义: F I ma
m
F
FN ma
▲: 达朗贝尔惯性力是在惯性参考系下定 义的惯性力, 惯性力中所含的加速度是绝 对加速度 , 在合成运动的分析中, 它是相 对, 牵连和科氏加速度的总和.
2. 质点的达朗贝尔原理:
由动力学基本方程
这个‘ 平衡力系’ 显然是一个空间的平衡力系. 根据空间力系的 平衡理论 , 就是: 系统中的所有质点的达朗贝尔惯性力和外力系的 矢量和为零( 主矢为零), 以及这些力对任意点的矩的矢量和为零( 主 矩为零). 用数学式表示, 即是:
e
F i F Ii 0
M
O
F
e
i
M O
F Ii
0
n8a[理学]13达朗贝尔原理
![n8a[理学]13达朗贝尔原理](https://img.taocdn.com/s3/m/26eb74f633d4b14e8524688d.png)
maCx Fx
maCy Fy
J C M C ( F )
例
半径为R、重量为W1的滚子，由绳索牵引，在重量为W2
的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小滑
轮重量忽略不计。求：滚子与地面之间的摩擦力。
C
R
O
W1
A
W2
解： 考察整个系统，有4个未知约束力。
采用动静法，需将系统拆开，取滚子研究。滚子上有4个
I MO JO
C
3、刚体作匀速转动，且转轴通过质心C
FRI 0
M 0
I O
M
I O
3.刚体作平面运动
取质心为简化中心
FRI maC
F
M J C
I C
I R
aC
M
I C
例
车载杆件AB为均质杆，B处为铰链约束，A处为光滑面
约束，若已知汽车以匀加速度 a在平坦的路面上行驶，杆件 的重量为W、长度为l，杆件与车厢水平面的夹角为。求： A、B二处的约束力。
J C aC W2W1 Ff 2 R 2W2 3W1
C
M
W1 FN
I C
A W2
aC Ff
F
I RLeabharlann FT例 均质圆盘m1 ,纯滚动 R, .均质杆
l 2R, m2 .
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动的条件? 解: 刚好离开地面时,地面约束力为零. 研究 AB 杆求轮心加速度 加惯性力 F A m1g D C m2g B
m2
m1
解:取整体研究
F
n Ii
F
t Ii
FI 1 m1a FI 2 m2a
达朗贝尔原理
FT maB ml cos30 0
Fy 0
FN FIr sin30 mg 0
(2)
C
FN ml sin30 mg 0 MC (F ) 0
B
FN
mg
x
FT l cos30 FN l sin30 M I 0
(3)
1 2 FT l cos 30 FN l sin 30 ml 0 3
以B为基点, 则A点的加速度为
t n t n aA aA aB aAB aAB
aB
2
A
t aA t aCB
其中
a v AE 0
n A 2 A
a
n AB
2l 0
B aB
30o
将上式投影到x 轴上得
0 aB a cos30
t AB
x
aB 2l cos30
ma F FN
将上式改写成
FI m F a
F FN ma 0
令
FI ma
FN
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘 积, 方向与质点加速度的方向相反。
一、质点的达朗贝尔原理
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
(e)
(e)
称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi) 为惯性力 系的主矩。
三、刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题， 需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性 力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力 系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。
理论力学 第十三章 达朗贝尔原理
（2）受力分析，画受力图； （画全部外力，并虚加惯性力系）
（3）列平衡方程； （选取适当的矩心和投影轴）
（4）解方程，求未知量。
[注] FIR ，MIO 的方向及转向已在受力图中标出，建立
方程时，只需按 FIR= maC ，MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解：选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法，有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系：
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答
习 题13-1 如图13-16所示，一飞机以匀加速度a 沿与水平线成仰角b 的方向作直线运动。
已知装在飞机上的单摆的悬线与铅垂线所成的偏角为f ，摆锤的质量为m 。
试求此时飞机的加速度a 和悬线中的张力F T 。
图13-16ma F =I 0cos sin 0I T =-=∑βϕF F F xϕβsin cos IT F F =0sin cos 0I T =--=∑mg F F F y βϕ0sin cos sin cos I I =--mg F F βϕϕβ0sin )cos(I=-+mg F ϕβϕ mgma=+ϕβϕsin )cos()cos(sin βϕϕ+=g amg maF F )cos(cos sin cos sin cos I T βϕβϕβϕβ+===13-2 球磨机的简图如图13-17所示，滚筒作匀速转动，内装钢球及被粉碎的原料，当钢球随滚筒转到某一角度f 时，将脱离筒壁作抛射运动，由于钢球的撞击，从而破碎与研磨原料。
已知钢球脱离筒壁的最佳位置'4054︒=ϕ，滚筒半径R =0.6m 。
试求使钢球在'4054︒=ϕ处脱离滚筒的滚筒转速。
图13-172n I ωmR ma F == 0cos 0I N n =-+=∑F mg F F ϕ)cos (cos cos 22I N ϕωϕωϕg R m mg mR mg F F -=-=-=令0N =F0cos 2=-ϕωg RR g ϕωcos =min r/35.296.00454cos 8.9π30cos π30π30='︒⨯===R g n ϕω13-3 一质量为m 的物块A 放在匀速转动的水平转台上，如图13-18所示。
已知物块的重心距转轴的距离为r ，物块与台面之间的静摩擦因数为s μ。
试求物块不致因转台旋转而滑出时水平转台的最大转速。
图13-182n I ωmr ma F == 00N =-=∑mg F F ymg F =N00I =-=∑F F F x0N s 2=-F mr μω 0s 2=-mg mr μωrgs μω=rgn s max π30π30μω==13-4 离心调速器的主轴以匀角速度w 转动，如图13-19所示。
第十三章 达朗伯原理
ε
aiτ ain mi Fiτ
ω
Fgi = Fgi + F
τ
n gi
Fin
R 主矢： gi
= ∑ Fgi = ∑ (− mi ai ) = −∑ mi ai = −maC
m z (Fgi ) = ∑ m z F n + ∑ m z F τ ∑
gi gi
Rgi = − MaC
主矩： M gz =
( )
FgA A mAg B mBg A
FgA = m A a
FgB = mB a
三、列方程求解： mBg
图示系统，滑 轮的半径为r， 质量略去不 计。两重物的 质量分别为 mA、mB。求重 物的加速度和 轴承处的约束 反力。
∑ M (F ) = 0
O i
FgB
m A g ⋅ r − mB g + FgA + FgB r = 0
(
)
即： m A g − mB g − (m A + mB )a = 0
∑F
y
=0
FO − m A g − mB g + FgA − FgB = 0
a= m A − mB g m A + mB
FO = 2 m A mB g m A + mB
解得：
§13—3 刚体惯性力系的简化
应用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，需要 对刚体内每个质点都加上它的惯性力，这就构成了 一个惯性力系。如果用静力学中力系简化的方法将 惯性力加以简化，对于解题就方便多了。 以下，分别对刚体做平动、绕定轴转动和平 面运动时的惯性力系进行简化。
一、刚体做平动。
a
C
aC
∵刚体平动 ∴ a i = aC
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
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第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
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达朗贝尔原理—搜狗百科
达朗贝尔原理—搜狗百科达朗贝尔原理d'Alembert principle研究有约束的质点系动力学问题的一个原理。
由J.le R.达朗贝尔于1743年提出而得名。
对于质点系内任一个质点，此原理的表达式为F ＋N－ma＝0，式中F为作用于质量为m的某一质点上的主动力，N 为质点系作用于质点的约束力，a为该质点的加速度。
从形式上看，上式与从牛顿运动方程F＋N＝ma中把ma移项所得结果相同。
于是，后人把－ma 看作惯性力而把达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。
利用达朗贝尔原理，可将质点系动力学问题化为静力学问题来解决，这种动静法的观点对力学的发展产生了积极的影响。
d'Alembert principle作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零。
即F＋（-Ma）＋N=0 （1）其中M，a为物体质量和加速度，F为物体受到的直接外力，N为物体受到的约束反作用力（也是外力）。
在没有约束时，相应的N=0，（1）式成为F-Ma=0 （2）与牛顿的运动第二定律一致，只是进行了移项。
但这是概念上的变化，有下列重要意义：①用（2）式表达的是平衡关系，可以把动力学问题转化为静力学问题来处理。
②在有约束情况下，用（1）式非常有利；它与虚功原理结合后，可列出动力学的普遍方程。
③用于刚体的平面运动时，可利用平面静力学方法，使问题简化。
实际上，达朗贝尔原理还为不久后创立的分析力学打下了基础。
研究有约束的质点系动力学问题的一个原理。
由J.le R.达朗贝尔于1743年提出而得名。
对于质点系内任一个质点，此原理的表达式为F＋N－ma＝0，式中F为作用于质量为m的某一质点上的主动力，N 为质点系作用于质点的约束力，a为该质点的加速度。
从形式上看，上式与从牛顿运动方程F＋N＝ma中把ma移项所得结果相同。
于是，后人把－ma 看作惯性力而把达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。
13达朗贝尔原理
§9-2达朗贝尔原理在刚体动力学中的应用
刚体惯性力系的简化
1.刚体作平动 1.刚体作平动
F
I R
I R
aC
F = ∑ FIi = ∑ (−mi ai ) = −aC ∑ mi
F = −maC
I R
2.刚体绕定轴转动 2.刚体绕定轴转动
（仅讨论刚体具有垂直于转轴的 质量对称面的情况） 质量对称面的情况） 取质量对称面与转轴的交点O点为简化中心 取质量对称面与转轴的交点 点为简化中心
Fi e + ∑ FIi = 0 ∑
∑M
O
( Fi ) + ∑ MO ( FIi ) = 0
e
例 如图所示,滑轮的半径为 ，质量m均匀分布在轮缘上，可绕 如图所示 滑轮的半径为r，质量 均匀分布在轮缘上， 滑轮的半径为 均匀分布在轮缘上 水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m 水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为 1和m2的重 绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动， 物,且 m1 > m2 。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，摩 且 擦不计。求重物的加速度。 擦不计。求重物的加速度。
a
FR
注意： 注意： 非处于平衡状态。 非处于平衡状态。
F + FN + FI = 0
是形式上的平衡方程， 是形式上的平衡方程，实际质点并
质点的惯性力是真实的力， 质点的惯性力是真实的力，但是它不是作用在该质点 而是作用在使该质点运动变化的其他物体上。 上，而是作用在使该质点运动变化的其他物体上。故不能 质点受到惯性力作用” 而应该说“ 说“质点受到惯性力作用” ，而应该说“在质点上假想的 加上惯性力” 加上惯性力” 。 在质点上假想的加上惯性力只是为了借用静力学的研 究方法来解决动力学物体。故达朗伯原理也称为动静法。 究方法来解决动力学物体。故达朗伯原理也称为动静法。
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F' F man
O
R
F
an
O
F'
即小球的惯性力大小等于小球的质量与加速度的乘积， 方向和加速度的方向相反。
质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积， 方向与质点加速度的方向相反。
13.1.2 质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，在主动力F和约束外力FN的共同 作用下，产生的加速度为a，如图所示。根据牛顿第二定 律，有 FI F FN ma
设有n个质点组成的质点系，其中任一个质点i 的质量 为mi，加速度为ai，此质点上除了作用有真实的主动力Fi 和约束反力FNi外，还假想地在这个质点上增加它的惯性 力FIi，由质点的达朗贝尔原理，有 Fi + FNi +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 上式表明，质点系运动的每一瞬时，作用于系内每个质 点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力 系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
e i F F i i F Ii 0
e i M ( F ) M ( F O i O i ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线， 它们相互抵消，这样，上面两式可简化为
e F i FIi 0 e M ( F O i ) M O ( FIi ) 0 上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一 个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系 达朗贝尔原理的又一表述形式。
FOy
mi O
m3 g
FI1 a'’
a
A
m1 g
B
m2 g
FI2
滑轮可视为由许多质点组成的质点系。记轮缘上 任一点i 的质量为mi，该质点的惯性力的大小为
Fn i
2 v Fin mi r
FΙ i
FOy
Fi mi r mi a
mi O
列平衡方程
m3 g
M (F ) 0
【例13-3】 如图所示的定滑轮半径为r，质量为m3均匀分 布在轮缘上,可绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端 挂有质量分别为m1和m2的两重物(m1>m2), 绳和轮之间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
解：以滑轮和两重物组成的质点系 为研究对象，受力分析如图所示。 F
n i
FΙ i
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力 和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
解：选摆锤为研究对象，受力分析如图所示。由 达朗贝尔原理，列x方向的平衡方程 a
mgsin FIcos 0
由于
FN
FI
mg
FI 加速度固定时，单摆偏角也固定不变。因此，只要 测得偏转角，就能知道列车的加速度。这就是摆式加速计 的原理。
13.2
质点系的达朗贝尔原理
F a
F' F ma
(a)
即小车的惯性力大小等于 小车的质量与加速度的乘积，
F'
F
a
方向和加速度的方向相反。
(b)
质量为m的小球，在光滑的水平面内通过绳子绕中心轴 O作匀速圆周运动,圆周的半径为R，小球的速度为v，加速 度为an，如图所示。由于小球的惯性，小球将给予绳子一 个反作用力F'。 v
13.3.1 刚体做平动
刚体做平动时，刚体的惯性力系构成一组相互平行的 力系。任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理
13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如
图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性，
这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反 作用力F， 由作用和反作用定律，可知
O
i
FI1 a'’
(m1g F1 m2 g F 2 )r Fir 0
解得
a m1 m2 g m1 m2 m3
a
A
m1 g
B
m2 g
FI2
13.3 刚体惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力系和虚加 惯性力系向任意点O简化，所得的主矢和主矩分别记为FR， MO，FIR，MIO，由力系的平衡条件，可得
m
即
F FN (ma) 0
FN
F
ma
上式 –ma 即为质点的惯性力，用FI 来表示，于是上式可写为
F FN FI 0
质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反 力以及假想加在质点上的惯性力，在形式上组成一平衡力 系，这就是质点的达朗贝尔原理。
【例13-1】一圆锥摆如图所示。质量为m的小球系于长为l 的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以 速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ 角。用达朗 贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力 分析如图所示。由达朗贝尔原理， O 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
l
FNcos mg 0
解得 由于
FN an mg
FI mgtan
v FI man m lsin
2
v
FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬
挂一单摆，摆锤的质量为m。当车厢向右做匀加速运动时， 单摆向左偏转的角度为 ，求车厢的加速度a。
FR FR 0
MO MO 0
由质心运动定理FR=maC，有
FR mac
即质点系惯性力系的主矢恒等于质点系总质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。 惯性力系的主矩，一般说来也与简化中心的位置有关。 下面对刚体平移，定轴转动、平面运动时惯性力系简化的 主矩进行讨论。