4-4 荷载作用下的位移计算
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结构力学虚功基本知识和结构的位移计算
Bm
B
6
4、刚体虚功原刚理体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对 于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。
W=0
二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理）
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
P
X X P P 0
A
C
B
X
P bP aX
种原因、不同的变形类型。
3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。
11
t1
P2 K ΔKH
t2
K‘ Ε2γ2κ2
位移状态 2
c1
P=1
N QM
虚拟力状态 1
R1
12
§4·4荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
( ) iP
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。 2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。
qa Fa
qa
8
qa2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
Q
M
GEAIRd2θ
1 4
θ
h R
2
NP Psinq QP Pcosq
N sinq Q cosq
N
M
I AR 2
1 12
h R
2
P=1
3） M M Pds N NPds Q QPds 如 dsh=RR<d1θ10
结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例
3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32
11.5 荷载作用下的计算位移的公式[5页]
![11.5 荷载作用下的计算位移的公式[5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/819c44194531b90d6c85ec3a87c24028915f85de.png)
11.5 荷载作用下的计算位移的公式
用虚力原理求结构在荷载作用下D点的竖向位移△DV 。
F
C' D
C
ΔDV D'
B B'
1
D
C
B
A 实际的位移状态
A 虚设的力状态
虚设一个力状态——在D点上加一单位竖向力，
令虚设的力状态在实际位移上做功，列出虚功方程：
δWe δWi l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为
l
ΔDV
0
F
N
FNP
dx
l
EA
0
FS
FSP
dx
l
GA
0
M M P dx EI
F N、F—S、—M 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩
方程式。
FNP、F—SP、—M实P 际荷载引起结构的轴力、剪力和 弯矩方程式。
E、G ——材料的弹性模量和剪力弹性拱，其轴力和弯矩的影响相 当，剪力的影响不计，位移计算公式为
Δ F NFNP ds M M P ds
s EA
s EI
拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是 不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩 三项因素都须要考虑进去。
0
0
0
l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
0
0
0
在荷载作用下:
d FNP ds
EA
d FSP ds
GA
荷载作用下的计算位移的公式:
d M P ds
EI
1 ΔDV
s
F N FNP ds
用虚力原理求结构在荷载作用下D点的竖向位移△DV 。
F
C' D
C
ΔDV D'
B B'
1
D
C
B
A 实际的位移状态
A 虚设的力状态
虚设一个力状态——在D点上加一单位竖向力，
令虚设的力状态在实际位移上做功，列出虚功方程：
δWe δWi l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为
l
ΔDV
0
F
N
FNP
dx
l
EA
0
FS
FSP
dx
l
GA
0
M M P dx EI
F N、F—S、—M 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩
方程式。
FNP、F—SP、—M实P 际荷载引起结构的轴力、剪力和 弯矩方程式。
E、G ——材料的弹性模量和剪力弹性拱，其轴力和弯矩的影响相 当，剪力的影响不计，位移计算公式为
Δ F NFNP ds M M P ds
s EA
s EI
拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是 不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩 三项因素都须要考虑进去。
0
0
0
l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
0
0
0
在荷载作用下:
d FNP ds
EA
d FSP ds
GA
荷载作用下的计算位移的公式:
d M P ds
EI
1 ΔDV
s
F N FNP ds
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
EI
杆
EA
K
(
MP
M
* K
FNP
FNK
*
)ds
EI
EA
作业： 5—11、5—7（a）
EA
EA
例 2：已知EI、GA为常数，求C点竖向位移
FP
A
B
C
l/2
l/2
CM
M
PM EI
K
ds
F PL3 48EI
CQ
kFQP FQK ds kFP L
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
（5）可计算绝对位移和相对位移。
三、位移计算的一般步骤
（1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。 四、单位虚荷载法的施加方法（参考教材）
一、位移计算的一般公式
+ ∫ M xδ P ds 扭转项 对于由线弹性直杆组成的结构 线弹性直杆组成的结构, 对于由线弹性直杆组成的结构,有: kFQP M xP FNP MP δε P = , δγ P = , δθ P = , δ P = GA EI EI P EA
FN FNP kFQ FQP MM P + + P = ∑ ∫ ds GA EI EA 轴向 M x M xP 剪切 弯曲 +∫ ds GI P
δWe =∑∫[pδu+qδv+mδθ]ds +∑ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =∑∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为 设待求的实际广义位移为 ,与对应 位移为 对应 广义力为P. 的广义力为 . 设仅在广义力P作用下 作用下, 设仅在广义力 作用下,与之平衡的轴 剪力,扭矩和弯矩分别为F 力,剪力,扭矩和弯矩分别为 N , FQ, Mx和M. M. 虚设的力状态 FP 实际位移状态 P
P=1 A
(g)
A = ?A B P=1 源自=1(h)AB = ?
二, 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
= ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδθ )ds
+ ∫ M xδds ∑ FRi ci
P = ∑ ∫ (FNδε P + FQδγ P + Mδθ P )ds
变形; 变形;
5. 位移种类:线位移,角位移;相对线位移 位移种类:线位移,角位移;
和相对角位移. 和相对角位移.
试确定指定广义位移对应的单位广义力. 试确定指定广义位移对应的单位广义力. A P=1
FN FNP kFQ FQP MM P + + P = ∑ ∫ ds GA EI EA 轴向 M x M xP 剪切 弯曲 +∫ ds GI P
δWe =∑∫[pδu+qδv+mδθ]ds +∑ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =∑∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为 设待求的实际广义位移为 ,与对应 位移为 对应 广义力为P. 的广义力为 . 设仅在广义力P作用下 作用下, 设仅在广义力 作用下,与之平衡的轴 剪力,扭矩和弯矩分别为F 力,剪力,扭矩和弯矩分别为 N , FQ, Mx和M. M. 虚设的力状态 FP 实际位移状态 P
P=1 A
(g)
A = ?A B P=1 源自=1(h)AB = ?
二, 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
= ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδθ )ds
+ ∫ M xδds ∑ FRi ci
P = ∑ ∫ (FNδε P + FQδγ P + Mδθ P )ds
变形; 变形;
5. 位移种类:线位移,角位移;相对线位移 位移种类:线位移,角位移;
和相对角位移. 和相对角位移.
试确定指定广义位移对应的单位广义力. 试确定指定广义位移对应的单位广义力. A P=1
结构力学第四章(荷载作用下位移计算公式)
By
0l
MPM EI
ds
0 2
MPM EI
Rd
PR3
4EI
()
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MM Pds EI
FN FNP ds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
2x6 2
3
AC段
0 x 2
80x qx 2
1 x 3
D
2720 9EI
()
例题：计算D处竖向位移，B处角位移？（EI为常数）
解：1.构造虚设状态
x
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
DB段
0 x2
P 轴向
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
式中：
剪切 弯曲
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。
解：1.构造虚设状态
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
结构在荷载作用下的位移计算公式
(10-12)
式 (10-12) 为结构在 荷载作用下计算位移的一 般公式，适用于线弹性结 构的位移计算。
1. 2 各类结构的位移计算公式
在荷载作用下的实际结构中，不同的结构形式其受力特点不同，各内力项对 位移的影响也不同。为简化计算，对不同结构常忽略对位移影响较小的内力项， 这样既满足于工程精度要求，又能使计算简化。
FNK FNPl EA
(10-14)
3. 拱结构
对于拱结构，当其轴力与压力线相近 ( 两者的距离与拱截面高度为同一数量
级
)
或者为扁平拱
f l
＜1 5
时主要考虑弯矩和轴力对位移的影响，则位移计算公式
简化为
KP
MKMP ds l EI
FNK M NP d s (10-15) l EA
4. 组合结构 此类结构中梁式杆以受弯为主，析杆(二力杆)则主要承受轴力，故有
② 列写实、虚两种状态的弯矩表达式。
AC 段： CB 段：
M (x) 1 x， a
M
P
(x)
3 8
qax
1 2
qx2
M (x) 1 x 1， a
1 M P (x) 8 qa(a x)
(0 x a 2) (a 2 x a)
③ 用积分法求 θC 。
C
MKMP ds l EI
2d
Fd (2 2) 3.41 Fd ()
EA
EA
建筑力学
d
x
1 EI
a 0
0
Fx
d
x
1 EI
Fa3 2
qa4 8
()
图10-12
【例10-3】试计算图10-13a 所示析架结点 C 的竖向位移 ΔCy 。设各杆 EA 为同一常数。
结构力学(虚功基本知识和结构位移计算)
解：在载荷作用下，
刚架的 M P 图如图所示，
状态I
BC梁
MP
1 qx2 2
AB柱
MP
1 qa2 2
<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力
得状态II，M K 图 状态II
BC梁 M K 0
AB柱 M K x
代入位移公式，得：
c
MPMK EI
ds
0
a
0
x( 1 qa2 ) 2 EI
三、几种类型的虚拟状态 求线位移： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力。
求转角、相对转角： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。
1) 若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方 向加一单位力，如图示
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
二、变形体位移计算的步骤： 1、沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载 2、确定单位荷载下的结构内力 M、 N、 Q 和支反力R 3、利用公式计算拟求位移Δ
注：1、Δ是广义位移
2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移 3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明
实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反
3、位移产生的原因
（1）、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
（2）、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。
4、结构位移
变形(deformation) －－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变； 由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
4虚功原理及静定结构位移计算1
10
9
A
A1
M P、FQP 、FNP——荷载作用下结构产生的弯矩、剪力、轴力 式中：
——单位广义力作用下结构产生的弯矩、剪力 、轴力 M k、 F Qk 、 F Nk 、
内力正负号规定：轴力拉为正，剪力使微段顺时针转动为正，弯 矩只规定乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，乘积 取正号。
30
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； 荷载 温度改 变、材 料收缩 制造误 差、支 座位移
变形
位移
（5）材料收缩
3
二结构位移的种类 .结构位移的种类 2. （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 线位移： 角位移： 线位移： 角位移： A C
We Wi
外力虚功：
内力虚功：
23
F F
p
RK
Ck FN ds FQds Mds Ck （FN FQ M）ds
杆件结构：
F F
p
RK
说明：（1）虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。 （2）原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于 任何结构。
(a)
MB 0 由外力虚功总和为零，即： 实际受力状态的平衡方程
(2)虚位移与实际力状态无关 将 X / C a ,/故可设 b 代入得 :x
X x
X X P C 0 1X bP / a
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 1 通常取 (4)特点：用几何法来解静力平衡问题
L1
Fp=1/L Fp=1/L
结构力学--虚功原理和结构的位移计算 ppt课件
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
ds
dv
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 （1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ （2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
1
P
11
P1
P1
1
11
o
静力荷载所做的实功为变力实功。
W1 12P1Δ11
11
3、常力所做的虚功
所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、 支座移动等）引起的位移上所做的功。
FP1 (先)
M2(后)
1
11
1’ 12 1’’
21
2
22
FP1在Δ12上做的功:
W12FP1Δ12
FP1 1
11
1
12
2
M2 2
W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为 虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功
时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2 。
二、广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示，即:
式中:
c t1
c
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
1.一个截面的位移（绝对位移）
（1）截面A 位置的移动（用截面形
心的移动来表示）ΔA，称为线位移，
可分解为：
结构位移计算
1 A y0 EI
o
Mi = x tgα
y0 y0 = x0 tgα
Mi图 x
应用图乘法计算的注意点： ⑴ y0 与A 的取值： y0 一定取自直线图形，对应取A 图形的形心处。 A 则取 自另一个图形，且取A 的图形的形心位置是已知的。 ⑵ 若 y0 与A 在杆轴或基线的同一侧，则乘积A y0 取正号；若 y0 与A 不在杆轴 或基线的同一侧，则乘积A y0 取负号。
2、几种常见图形的面积和形心的位置
h
2l/3 三角形A = hl/2 l/3
顶点 FQ=0 h
l/2
l/2
标准二次抛物线A = 2hl/3 顶点 FQ=0
h h
顶点 FQ=0 3l/4 l/4
5l/8
3l/8
标准二次抛物线A = hl/3
标准二次抛物线A = 2hl/3
例：试求图示刚度为 EI 的简支梁 B 端截面的角位移。 解：⑴ 画出两种状态的弯矩图。 ⑵ 图乘计算 B ：
l 2ac 2bd ad bc 6
式中同侧为正，异侧为负
3、应用图乘法时的几个具体问题
⑴ 如果两个图形都是直线图形，则 y0 可取自其中任一图形。
⑵ 如果EI 分段为常数或取 y0 的图形为折线时，应分段图乘再叠加。 ⑶ 如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项图乘计算后
再进行叠加。
MP
A B C D
A2
b
A1
A B
A2
C
A3
D
a
A1
y2 l/3 l/3
M1
d
M
y1
y2
y3
c l/3
y1
y1
荷载作用下的位移计算过程
荷载作用下的位移计算过程在工程领域中，荷载作用下的位移计算是一项重要的任务。
位移是指结构或材料在受到外部荷载作用下发生的形变或位移。
通过计算位移，我们可以评估结构的稳定性、安全性以及性能。
本文将介绍荷载作用下的位移计算过程，并提供一些常用的计算方法。
荷载的类型在进行位移计算之前，我们需要了解结构所承受的荷载类型。
常见的荷载类型包括：1.静载荷：在结构上保持不变的恒定力或重力。
2.动载荷：随着时间变化的力或重力。
3.集中载荷：集中于结构某一点或某一区域的力。
4.分布载荷：均匀分布在结构上的力。
根据实际情况，我们可以选择适当的计算方法和理论来处理不同类型的荷载。
位移计算方法位移计算方法根据结构的类型和问题的复杂性而有所不同。
下面是一些常用的位移计算方法：静力学方法静力学方法是最简单和常见的位移计算方法之一。
这种方法根据结构的力学平衡条件来计算位移。
我们可以利用平衡方程和材料力学性质等基本原理来分析结构的受力和位移情况。
静力学方法通常适用于简单结构和小变形情况。
弹性力学方法弹性力学方法是一种更精确的位移计算方法。
这种方法基于结构材料的弹性性质，使用弹性力学理论来计算位移。
弹性力学方法考虑了结构与荷载之间的相对变形，通常适用于小变形情况。
在这种方法中，我们可以使用拉梅方程、叠加原理和应力应变关系等来求解位移。
有限元方法有限元方法是一种广泛应用于复杂结构的位移计算方法。
这种方法将结构离散化为有限数量的元素，并利用数值计算技术求解位移。
有限元方法可以模拟结构的非线性、大变形以及非常复杂的荷载情况。
使用有限元软件，我们可以通过建立结构的有限元模型，对结构进行数值分析，并计算位移。
其他方法除了上述方法外，还有一些其他的位移计算方法可供选择，如位移法、平衡法和位移矩阵法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，我们可以根据具体问题来选择合适的方法。
位移计算过程进行位移计算时，我们通常需要遵循以下步骤：1.确定结构的荷载类型和大小，包括静力荷载和动力荷载。
第四章结构力学 位移计算2
( M FN FQ 0 )ds 计算公式：
图（a）所示的结构在荷 载作用下产生位移。位移计 算公式中的变形 、、 0 是由荷载产生的。
FP
1
M、FN、FQ
（ b）
M P、FNP、FQP
、、 0
具体计算步骤：
1）荷载
2）内力
1 d M P R ds EI M P、FNP、FQP 。 F NP E EA M P、FNP、FQP 、、 0 。 F 0 0 k QP
AV ( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
19
( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
—位移计算的一般公式
M ds FN ds
B
x
A
M图
B B
1 A
27
FQ图
ql 4 ql 2 V M Q 0.6 8EI GA
15
讨论： 1、变形体虚功原理是基于如下两点：力系的平衡条 件和变形的连续条件。即虚功原理是平衡条件和连续条件
的综合。反之，虚功原理既可以代替平衡条件，也可以代
替连续条件。 2、推倒过程中并没有牵涉到材料的性质，所以虚功 原理既适合弹性材料，也适合非弹性材料。 3、变形体虚功原理的两个状态并非一定是同一体 系，只要两个体系具有相同的几何形状，则变形体虚功原 理都将成立。
ds
ds
dW12=dW刚+dW变
(2)位移状态
dW刚—微段上的力在对应微段刚体位移变上作的功； dW变—微段上的力在对应微段自身变形位移上作的功。 由刚体虚功原理 dW刚=0 dW12=dW变
图（a）所示的结构在荷 载作用下产生位移。位移计 算公式中的变形 、、 0 是由荷载产生的。
FP
1
M、FN、FQ
（ b）
M P、FNP、FQP
、、 0
具体计算步骤：
1）荷载
2）内力
1 d M P R ds EI M P、FNP、FQP 。 F NP E EA M P、FNP、FQP 、、 0 。 F 0 0 k QP
AV ( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
19
( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
—位移计算的一般公式
M ds FN ds
B
x
A
M图
B B
1 A
27
FQ图
ql 4 ql 2 V M Q 0.6 8EI GA
15
讨论： 1、变形体虚功原理是基于如下两点：力系的平衡条 件和变形的连续条件。即虚功原理是平衡条件和连续条件
的综合。反之，虚功原理既可以代替平衡条件，也可以代
替连续条件。 2、推倒过程中并没有牵涉到材料的性质，所以虚功 原理既适合弹性材料，也适合非弹性材料。 3、变形体虚功原理的两个状态并非一定是同一体 系，只要两个体系具有相同的几何形状，则变形体虚功原 理都将成立。
ds
ds
dW12=dW刚+dW变
(2)位移状态
dW刚—微段上的力在对应微段刚体位移变上作的功； dW变—微段上的力在对应微段自身变形位移上作的功。 由刚体虚功原理 dW刚=0 dW12=dW变
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②求出两种状态的内力表达式
实际状态：AB杆
M
P
=qlx
qx2 2
FNP =ql / 2
BC杆
MP =qlx / 2 FNP =0
实际状态
FQP =ql qx
FQP = ql / 2
yluo@
虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
例4.2 试求图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
实际状态
②求出两种状态的内力表达式
M
P
=
qx2 2
FQP = qx
M = 1 x FQ = 1
③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
MP = FPR sin M =1 R(1-cos )
③代入公式进行计算
xB
0
MKMP EI
ds
1
EI
R(1 cos)
0
FPR sin
Rd
FPR3 1 cos 2
yluo@ 2EI
实际状态 虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
qx2
MP= 2
M =x
③代入公式进行计算
BX
MMP ds EI
h2 qx2 x dx h qx2 x dx
0 2EI2
h2 2EI1
qh24 q(h4 h24 )
yluo@swjtu.c8nEI2 8EI1
转角
dP
MP EI
ds
轴向变形
duP
FNP EA
ds
剪切变形 yluo@
Pds
FQP
GA
ds
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
2.位移计算公式
将
dP
MP EI
ds
duP
FNP EA
ds
Pds
FQP
GA
ds
代入 1 KP FNK duP M K dP FQK Pds
实际状态
虚拟状态
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
47
FNK FNPl EA
1360kN/cm 21000kN/cm2
0.065cm（靠近）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.5试求图示阶形柱顶点的水平位移。
实际状态 虚拟状态
The End
yluo@
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
2.步骤
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
0.6ql 2 GA
=
ql
4
（1+
8EI
4.8EI GAl 2
）
设 1/ 3，E / G 2(1 ) 8 / 3
当 h / l 1/10
yA
ql
4
（1+1.07%）
8EI
当 h/l 1/ 4
yA
ql
4
（1+6.68%）
8EI
yluo@ 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。
得到
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
FNK，FQK，M K 为虚拟力状态引起的内力 FNP，FQP，MP 为实际位移状态对应的内力
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
二、积分法
1.公式
1 KP
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
8H
FNK FNPl EA
1800kN/cm 21000kN/cm2
0.086cm（）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
2.求结点4、7的相对线位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
)
当 h / l 1/10 当 h/l 1/ 4
CX
3ql
4
（1
1
8EI 900
1) 400
CX
3ql
4
（1
1
8EI 144
1) 64
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.3 试求图示等截面圆弧曲梁B点的水平位移。
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
GA
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
解：
①建立两种状态：
实际状态
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
yluo@
l qx2 x dx l qxdx
0
2EI
0
GA
ql4 0.6ql2
8EI GA
矩形截面 =1.2
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
④讨论
yA
ql 4 8EI
1 KM
FNK duM
M K dM
FQK M ds
两个状态：
力状态——虚拟单位力，由平衡条件求出内力。
位移状态——微段上的变形由材料力学公式得到。 yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
实际位移状态下微段ds上内力MP、FNP、FQP引 起的微段上的变形可由材料力学得到。
KP
FNk FP ds EA
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
M K MP ds EI
§4 荷载作用下的位移计算
三、积分法计算位移示例
例4.2 试ห้องสมุดไป่ตู้图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：①建立两种状态
例4.4 试求图示试求图示桁架结点8的水平位移 和结点4与7的相对线位移。已知各杆面积如图中
括号内数值，单位 cm2, E 2.1104 kN / cm2
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
解：1.求结点8的水平位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
实际状态
虚拟状态
yluo@
GA
l 0
(ql
qx)
1
dx
l 0
ql 2
(1)
dx
ql2
GA
§4 荷载作用下的位移计算
C点水平位移
CX CXM CXN CXQ
3ql4 ql 2 ql 2
8EI 2EA GA
3ql
4
（1
8EI
h2 9l 2
h2 4l 2
1 EI
l 0
(qlx
x2 2
)xdx
l 0
qlx 2
xdx
3ql 4 8EI
轴力影响
CXN
剪切影响
FNK FNP ds 1 l ql 1 dx ql2
EA
EA 0 2
2EA
CXQ
FQK FQP ds
GA
yluo@
yluo@
第四章 结构位移计算
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算公式 二、积分法 三、位移计算示例
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
变形体的虚功原理：变形体上第一组外力在 第二组外力所引起的位移上所作外力虚功， 在数值上等于第一组内力在第二组内力所引 起的变形上所作变形虚功。
§4 荷载作用下的位移计算
3.不同结构的位移计算公式
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
梁和刚架 桁架
拱 组合结构 yluo@
KP
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
②求出两种状态的内力表达式
虚拟状态：AB杆 BC杆
M =x
M =x
实际状态：AB杆
M
P
=qlx
qx2 2
FNP =ql / 2
BC杆
MP =qlx / 2 FNP =0
实际状态
FQP =ql qx
FQP = ql / 2
yluo@
虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
例4.2 试求图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
实际状态
②求出两种状态的内力表达式
M
P
=
qx2 2
FQP = qx
M = 1 x FQ = 1
③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
MP = FPR sin M =1 R(1-cos )
③代入公式进行计算
xB
0
MKMP EI
ds
1
EI
R(1 cos)
0
FPR sin
Rd
FPR3 1 cos 2
yluo@ 2EI
实际状态 虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
qx2
MP= 2
M =x
③代入公式进行计算
BX
MMP ds EI
h2 qx2 x dx h qx2 x dx
0 2EI2
h2 2EI1
qh24 q(h4 h24 )
yluo@swjtu.c8nEI2 8EI1
转角
dP
MP EI
ds
轴向变形
duP
FNP EA
ds
剪切变形 yluo@
Pds
FQP
GA
ds
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
2.位移计算公式
将
dP
MP EI
ds
duP
FNP EA
ds
Pds
FQP
GA
ds
代入 1 KP FNK duP M K dP FQK Pds
实际状态
虚拟状态
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
47
FNK FNPl EA
1360kN/cm 21000kN/cm2
0.065cm（靠近）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.5试求图示阶形柱顶点的水平位移。
实际状态 虚拟状态
The End
yluo@
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
2.步骤
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
0.6ql 2 GA
=
ql
4
（1+
8EI
4.8EI GAl 2
）
设 1/ 3，E / G 2(1 ) 8 / 3
当 h / l 1/10
yA
ql
4
（1+1.07%）
8EI
当 h/l 1/ 4
yA
ql
4
（1+6.68%）
8EI
yluo@ 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。
得到
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
FNK，FQK，M K 为虚拟力状态引起的内力 FNP，FQP，MP 为实际位移状态对应的内力
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
二、积分法
1.公式
1 KP
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
8H
FNK FNPl EA
1800kN/cm 21000kN/cm2
0.086cm（）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
2.求结点4、7的相对线位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
)
当 h / l 1/10 当 h/l 1/ 4
CX
3ql
4
（1
1
8EI 900
1) 400
CX
3ql
4
（1
1
8EI 144
1) 64
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.3 试求图示等截面圆弧曲梁B点的水平位移。
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
GA
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
解：
①建立两种状态：
实际状态
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
yluo@
l qx2 x dx l qxdx
0
2EI
0
GA
ql4 0.6ql2
8EI GA
矩形截面 =1.2
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
④讨论
yA
ql 4 8EI
1 KM
FNK duM
M K dM
FQK M ds
两个状态：
力状态——虚拟单位力，由平衡条件求出内力。
位移状态——微段上的变形由材料力学公式得到。 yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
实际位移状态下微段ds上内力MP、FNP、FQP引 起的微段上的变形可由材料力学得到。
KP
FNk FP ds EA
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
M K MP ds EI
§4 荷载作用下的位移计算
三、积分法计算位移示例
例4.2 试ห้องสมุดไป่ตู้图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：①建立两种状态
例4.4 试求图示试求图示桁架结点8的水平位移 和结点4与7的相对线位移。已知各杆面积如图中
括号内数值，单位 cm2, E 2.1104 kN / cm2
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
解：1.求结点8的水平位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
实际状态
虚拟状态
yluo@
GA
l 0
(ql
qx)
1
dx
l 0
ql 2
(1)
dx
ql2
GA
§4 荷载作用下的位移计算
C点水平位移
CX CXM CXN CXQ
3ql4 ql 2 ql 2
8EI 2EA GA
3ql
4
（1
8EI
h2 9l 2
h2 4l 2
1 EI
l 0
(qlx
x2 2
)xdx
l 0
qlx 2
xdx
3ql 4 8EI
轴力影响
CXN
剪切影响
FNK FNP ds 1 l ql 1 dx ql2
EA
EA 0 2
2EA
CXQ
FQK FQP ds
GA
yluo@
yluo@
第四章 结构位移计算
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算公式 二、积分法 三、位移计算示例
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
变形体的虚功原理：变形体上第一组外力在 第二组外力所引起的位移上所作外力虚功， 在数值上等于第一组内力在第二组内力所引 起的变形上所作变形虚功。
§4 荷载作用下的位移计算
3.不同结构的位移计算公式
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
梁和刚架 桁架
拱 组合结构 yluo@
KP
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
②求出两种状态的内力表达式
虚拟状态：AB杆 BC杆
M =x
M =x