4-4 荷载作用下的位移计算

GA


l 0
(ql

qx)
1
dx

l 0
ql 2

(1)
dx



ql2
GA
§4 荷载作用下的位移计算
C点水平位移
CX CXM CXN CXQ
3ql4 ql 2 ql 2
8EI 2EA GA

3ql
4
（1

8EI
h2 9l 2

h2 4l 2
FQK FQP ds
GA
yluo@swjtu.cn
l qx2 x dx l qxdx

0
2EI

0
GA
ql4 0.6ql2


8EI GA
矩形截面 =1.2
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
④讨论
yA

ql 4 8EI
得到
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
FNK，FQK，M K 为虚拟力状态引起的内力 FNP，FQP，MP 为实际位移状态对应的内力
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
二、积分法
1.公式
1 KP
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第四章 结构位移计算
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算公式 二、积分法 三、位移计算示例
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§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
变形体的虚功原理：变形体上第一组外力在 第二组外力所引起的位移上所作外力虚功， 在数值上等于第一组内力在第二组内力所引 起的变形上所作变形虚功。
)
当 h / l 1/10 当 h/l 1/ 4
CX

3ql
4
（1

1

8EI 900
1) 400
CX

3ql
4
（1

1
8EI 144

1) 64
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§4 荷载作用下的位移计算
例4.3 试求图示等截面圆弧曲梁B点的水平位移。
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
§4 荷载作用下的位移计算
3.不同结构的位移计算公式
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
梁和刚架 桁架
拱 组合结构 yluo@swjtu.cn
KP
M K M P ds EI
KP


FNK FNPl EA
②求出两种状态的内力表达式
实际状态：AB杆
M
P
=qlx

qx2 2
FNP =ql / 2
BC杆
MP =qlx / 2 FNP =0
实际状态
FQP =ql qx
FQP = ql / 2
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虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
例4.2 试求图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
②求出两种状态的内力表达式
虚拟状态：AB杆 BC杆
M =x
M =x
FN =1
FN =1
实际状态
FQ =1
FQ = 1
③代入公式进行计算
为比较各项影响大小，本题按弯
矩、轴力、剪力三项影响分别进
行计算。 yluo@swjtu.cn
虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
弯矩影响
CXM
M K MP ds EI
转角
dP

MP EI
ds
轴向变形
duP

FNP EA
ds
剪切变形 yluo@swjtu.cn
Pds

FQP
GA
ds
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
2.位移计算公式
将
dP

MP EI
ds
duP

FNP EA
ds

Pds

FQP
GA
ds
代入 1 KP FNK duP M K dP FQK Pds
KP
FNk FP ds EA
M K M P ds EI
KP


FNK FNPl EA

M K MP ds EI
§4 荷载作用下的位移计算
三、积分法计算位移示例
例4.2 试求图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：①建立两种状态
实际状态 虚拟状态
The End
yluo@swjtu.cn
GA
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
解：
①建立两种状态：
实际状态
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
1 KM
FNK duM
M K dM
FQK M ds
两个状态：
力状态——虚拟单位力，由平衡条件求出内力。
位移状态——微段上的变形由材料力学公式得到。 yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
实际位移状态下微段ds上内力MP、FNP、FQP引 起的微段上的变形可由材料力学得到。

0.6ql 2 GA
=
ql
4
（1+
8EI
4.8EI GAl 2
）
设 1/ 3，E / G 2(1 ) 8 / 3
当 h / l 1/10
ຫໍສະໝຸດ Baidu yA

ql
4
（1+1.07%）
8EI
当 h/l 1/ 4
yA

ql
4
（1+6.68%）
8EI
yluo@swjtu.cn 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。
MP = FPR sin M =1 R(1-cos )
③代入公式进行计算
xB



0
MKMP EI
ds
1
EI

R(1 cos)
0
FPR sin
Rd
FPR3 1 cos 2
yluo@swjtu.cn 2EI
实际状态 虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
解：
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
实际状态
②求出两种状态的内力表达式
M
P
=

qx2 2
FQP = qx
M = 1 x FQ = 1
③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
实际状态
虚拟状态
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP


FNK FNPl EA
各杆列表计算
47


FNK FNPl EA

1360kN/cm 21000kN/cm2
0.065cm（靠近）
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
例4.5试求图示阶形柱顶点的水平位移。
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
qx2
MP= 2
M =x
③代入公式进行计算
BX
MMP ds EI
h2 qx2 x dx h qx2 x dx
0 2EI2
h2 2EI1
qh24 q(h4 h24 )
yluo@swjtu.c8nEI2 8EI1
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
2.步骤
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
Structural Mechanics
西南交通大学 土木工程学院
yluo@swjtu.cn
第四章结构位移计算 Calculation of
Structural Displacement
西南交通大学土木工程学院 主讲：罗永坤
yluo@swjtu.cn
第四章 结构位移计算
第1节 概述 第2节 支座位移引起的位移计算 第3节 位移计算公式 第4节 荷载在作用下的位移计算 第5节 图乘法 第6节 温度变化引起的位移计算 第7节 互等定理
例4.4 试求图示试求图示桁架结点8的水平位移 和结点4与7的相对线位移。已知各杆面积如图中
括号内数值，单位 cm2, E 2.1104 kN / cm2
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
解：1.求结点8的水平位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
实际状态
虚拟状态
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP


FNK FNPl EA
各杆列表计算
8H
FNK FNPl EA

1800kN/cm 21000kN/cm2
0.086cm（）
yluo@swjtu.cn
§4 荷载作用下的位移计算
2.求结点4、7的相对线位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力

1 EI


l 0
(qlx

x2 2
)xdx

l 0
qlx 2
xdx


3ql 4 8EI
轴力影响
CXN
剪切影响
FNK FNP ds 1 l ql 1 dx ql2
EA
EA 0 2
2EA
CXQ
FQK FQP ds
GA

yluo@swjtu.cn