二次函数与一元二次方程朱敏龙
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级数学上册第22章的第2节，这一节内容是在学生已经学习了函数、方程等基础知识的基础上进行讲解的。
二次函数和一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是高考的必考内容。
本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质以及一元二次方程的解法。
通过本节内容的学习，使学生能够掌握二次函数和一元二次方程的基本概念和性质，能够运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程等概念已经有了初步的认识。
但是，对于二次函数和一元二次方程的性质和应用可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握二次函数和一元二次方程的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解二次函数的定义和性质，掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义和性质，一元二次方程的解法。
2.教学难点：二次函数和一元二次方程的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学模具、实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数和一元二次方程的概念。
2.讲解：讲解二次函数的定义和性质，演示一元二次方程的解法。
3.实践：让学生动手操作，进行实验和探究，加深对二次函数和一元二次方程的理解。
4.应用：通过解决实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识。
5.总结：对本节内容进行总结，强化学生的记忆。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数和一元二次方程的概念和性质。
人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、合作完成抛物线与坐标轴围成图形面积等问题的探讨，增强学生之间的沟通与协作。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数的定义及其图像性质：理解并掌握二次函数的基本形式，明确a、b、c的取值对二次函数图像的影响，特别是a的正负决定图像开口方向，顶点坐标的求法等。
举例：y=x²+2x+1与y=-2x²+3x+1的图像区别及顶点坐标的求解。
（2）一元二次方程的解法：熟练掌握因式分解法、配方法、求根公式法等解一元二次方程的方法，并能够根据方程特点选择合适解法。
举例：解方程x²-5x+6=0，通过因式分解法求解；解方程x²-4x+3=0，通过配方法求解。
（3）二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与x轴交点坐标即为相应一元二次方程的解，并能应用于实际问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如抛掷物体时的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与一元二次方程的奥秘。
北师大版九年级下册数学《二次函数与一元二次方程》二次函数教学说课(第2课时)
课堂小测
解：（1）由题意得
-1-b+c=0, c=3,
解得
b=2, c=3,
故所求解析式为y=-x2+2x+3 .
（2）令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1, x2=3,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3 , 0) ,
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围 是－1＜x＜3．
(2).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根 为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
小组交流
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应 该注意什么？
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的 近似根.
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是
。
（-2，0）和（3，0）
2 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）c
A 两个交点 B 一个交点
C 没有交点 D 画出图象后才能说明
3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。 抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为： （-2，0）和（3，0）
2
(1)求m的值. (2)先作y=x2-(m+1)x+1 (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后
2
将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写 出变化后图象的解析式. (3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点 时,求n2-4n的最大值和最小值.
2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教案
2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教案一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，对二次函数有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的性质解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。
三. 教学目标1.使学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.使学生能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式学习本节内容。
在教学过程中，注重启发学生思考，培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
例如：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？设原价为x元，打8折后的售价为0.8x元，根据题意可得：0.8x = 120引导学生思考，如果将上述问题转化为二次函数形式，应该如何表示？2.呈现（10分钟）呈现二次函数与一元二次方程之间的关系。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）引导学生理解，二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学内容。
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程教案3
22.2 二次函数与一元二次方程（1）教学目标：1．知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2．方法与过程：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识.3．情感、态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想. 教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.教学难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点． 教学方法：学生学法：教学过程：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45. (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：画出函数y ＝x 2－x －3/4的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x 轴交点的坐标是什么；(2)当x 取何值时，y ＝0?这里x 的取值与方程x 2－x －34＝0有什么关系? (3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y ＝x 2－x －34的图象与x 轴交点的横坐标，即为方程x 2－x －34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y ＝x 2－x －34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x 2－x －34＝0的解.更一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.三、课堂练习： P23练习1、2.五、小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y＝a x2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、a x2＋bx＋c＜0的解的情况.六、作业：。
九年级数学二次函数与一元二次方程知识精讲
九年级数学二次函数与一元二次方程知识精讲珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数和一元二次方程都是初中代数的重要内容，两者相结合的题目在近年中考中经常有出现，解决此类问题关键是搞清楚二次函数图象与一元二次方程的两根之间的关系。
一、二次函数图象与一元二次方程根的关系1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 的判别式为：△＝b 2－4ac 。
二次函数的解析式为：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（1）当△＞0时，二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当△＝0时，二次函数的图象与x 轴有一个交点；（3）当△＜0时，二次函数的图象与x 轴有无交点。
2、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点为A （x 1，0）、B （x 2，0），且两个交点之间的距离为： |AB|＝| x 1－x 2|。
3、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）的对称轴为：x ＝221x x +。
二、考点例析1、用根的判别式判断二次函数图象与x 轴的交点例1、(2005温州市)若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝_________.(只要求写出一个)解：令y ＝0，得一元二次方程：x 2－4x ＋c ＝0，方程的判别式为：△ ＝（－4）2－4c ＝16－4c ，因为二次函数图象与x 轴没有交点，所以，有16－4c ＜0，解得：c ＞4，c 可取5、6、7……中的任一个，只写一个即可。
例2、（2005湖北荆州）若y 关于x 的函数()()2221y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 可取的值为 ．解：令y ＝0，得一元二次方程：（a －2）x 2－（2a －1）x ＋a ＝0，方程的判别式为：△ ＝（2a －1）2－4（a －2）a ＝4a ＋1，因为二次函数图象与x 轴有两个交点，所以，有4a ＋1＞0，解得：a ＞－41。
人教版数学九年级上册《22.2 二次函数与一元二次方程(第1课时)》说课稿
22.2、二次函数与一元二次方程（第1课时）各位老师，各位评委大家好！今天我说课的内容是人教版九年级上册22.2《二次函数与一元二次方程》.我将从以下五个方面来说一说我对本节课的理解和教学安排：教材分析，教学目标，学情分析，教学策略，教学过程.一、教材分析教材的地位和作用函数和方程是人们刻画现实世界的重要数学模型.本节课是在学生已经了解和掌握了二次函数的图象和性质，以及一元二次方程有关内容之后,为进一步了解函数与方程的联系，本章在这里安排了对二次函数和一元二次方程联系的探究.一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面培养学生用函数的观点解决问题的应用意识，同时让学生在探究过程中体会数形结合的思想方法，这为今后进一步的学习打下坚实的基础.教学重点：二次函数与一元二次方程的联系.我将结合课本中的小球飞行问题引导学生从“数”的方面对它们的联系进行分析，再结合课本44页思考这个栏目从“形”的方面对它们的联系进行探究，通过数形结合的方法突出本节课的教学重点.二、教学目标：知识目标：通过本节课的学习，使学生理解二次函数图像与x轴的公共点与一元二次方程的根的关系，了解抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.能力目标：经历探索二次函数与一元二次方程的联系的过程，提高学生的分析和综合解决问题的能力，感受数形结合的思想方法.情感态度与价值观：通过探索二次函数与一元二次方程的联系，培养学生用联系的观点看问题的辩证思想.三、学情分析：学生已经认识了二次函数的图象及其性质，掌握了一元二次方程的有关内容，在八年级数学学习中也已经探讨了一次函数和一元一次方程的联系，对于本节课的学习有一定的数学基础.但是学生对于函数与方程之间的联系还是理解的较浅，本节课将通过对二次函数与一元二次方程的联系的探讨，让学生对函数与方程从“数”和“形”的角度有更全面、深入的了解.本节课的教学难点：1.理解抛物线与x轴的公共点与一元二次方程的根的关系，以及何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根. 2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h(a≠0) 的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=h公共点的横坐标.突破难点的策略：引导学生从观察具体的函数图像入手，进入一般性的讨论.讨论抛物线与x轴的公共点与一元二次方程方程的根的关系，以及抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.通过从特殊到一般的转化，实现突破本节课难点的目的.四、教学策略：本节课采用类比的教学方法，结合学生的自主学习合作探究和老师的启发点拨，利用多媒体辅助手段对二次函数与一元二次方程的联系进行探究.五、教学过程：（一）基础回顾1. 已知一次函数y =kx+b(k≠0)的图象如图，根据图象回答下列问题：(1)方程kx+b=0的解为____________．(2)方程kx+b=4的解为____________．2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有几种情况？如何判定？它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.（由学生回忆归纳）[设计意图] 结合函数图像更容易让学生回忆起一次函数与一元一次方程的联系，不至于太抽象，降低了难度，增强学生学习新知识的信心.回顾一元二次方程根的情况是为了巩固之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫.导入：现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的联系呢？本节课我们一起来探究. （揭示课题）（二）学习探究活动一：自主学习交流展示(学生自主学习课本43页内容，边学边思考以下问题)1.你怎么判断小球在飞行过程中能不能达到某个高度？需要用什么知识来解决？2.小球飞出时和落地时的高度是多少？[设计意图] 问题1是为了引导学生分析题意，启发学生寻找解决问题的方法，不妨假设能达到某个高度h，就相当于已知了函数关系式h=20t－5 t2中h的值，相应的得到关于t 的一元二次方程。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程教案(新版)新人教版
22.2 二次函数与一元二次方程一、内容和内容解析1．内容二次函数与一元二次方程的联系．2．内容解析模型思想、几何直观都是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的10个核心概念之一．二次函数和一元二次方程都是重要的数学模型，也是进一步学习其他函数的基础．利用函数图象研究方程的根，是培养学生几何直观的重要途径．二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，其几何意义是二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的分布与抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系相关联．综上所述，本节课的教学重点是：理解一元二次方程根的几何意义；掌握解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系．本节课通过创设情境，经过问题情境一般化构造二次函数模型；问题情境特殊化创建一元二次方程；问题解决再归纳的过程，使学生得出二次函数与一元二次方程的联系，从而实现重点的突出.二、目标和目标解析1．目标（1）理解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x轴的公共点的横坐标）.（2）掌握抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.（3）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．2．目标解析达成目标（1）的标志是：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴公共点的横坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根，学生知道其中的一个能说出另一个．达成目标（2）的标志是：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴公共点的个数和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）实数根的情况，学生能根据其中的一个说出另一个．达成目标（3）的标志是：学生能根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，利用“二分法”求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近似解．三、教学问题诊断分析在八年级下册，学生通过一次函数与方程、不等式的学习已经初步建立方程模型与函数模型的联系．在九年级上册，学生已经分别学习了一元二次方程、二次函数，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系．而且二次函数与一元二次方程之间的联系看似简单，但想要用简洁的语言归纳出来并非易事．基于以上分析，归纳总结二次函数与一元二次方程之间的联系是本节课的难点．初三学生的推理和归纳能力已经有了明显的发展，因此为了学生能够由特殊到一般地进行归纳二次函数与一元二次方程的关系，设计出表格并组织示范性语言，为学生归纳结论做铺垫，从而实现难点的突破. 四、教学策略分析采用启发式和探究式进行教学在探究二次函数与一元二次方程的关系中，从实际问题引入，激发学生的学习兴趣，教师与学生互动，示范探究的流程，学生根据流程自主探究并展示成果，教师整理学生探究的结果，启发学生找出二次函数与一元二次方程的联系.用简洁的语言表达出二次函数与一元二次方程的联系比较困难，为了方便学生得出结论，根据直观性原则，设计图表，用“问题串”引导学生，并利用字体的颜色区别来辅助学生归纳与表达.在估计一元二次方程的近似根的过程中，采取用几何画板软件显示函数图象，标识相应点的坐标，便于学生接受估值的方法． 五、教学过程 1.创设情境 发现联系在里约赛场上，冯珊珊以274杆、总杆数低于标准杆10杆的成绩摘得铜牌，而这也是中国军团首次夺得奥运会高尔夫奖牌.如图1，如果以40m /s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行的时间t （单位：s ）之间具有函数关系2520t t h -=考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？ 为什么？（4）球从飞出到落地要多少时间？师生活动：对于这样几个问题，学生会解决，但是思考的方向需要老师引导，因此教师与学生互动完成第（1）题并引导得出结论，而后学生讨论完成问题（2）——（4）.最后老师将解决问题的过程整理到图表中，引导学生自己得出结论.设计意图：创设情境，渗透了爱国主义教育，从实际问题引入，让学生感受数学来源于生活.通过本活动，让学生感知二次函数与一元二次方程有密切的联系，为后面深入讨论二次函数与一元二次方程做好了铺垫. 2.思考问题 归纳结论下列二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）22-+=x x y（2）962+-=x x y（3）12+-=x x y一般地，从二次函数c bx ax y ++=2的图象可得如下结论.（1）如果抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当0x x =时，函数值是_______，因此___=x 是方程02=++c bx ax 的一个根.（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程02=++c bx ax 的根的三种情况：_____ _______________________________________________________________________________ 师生活动：第（1）个函数教师按照问题的顺序进行提问，学生回答，教师将答案填入表格中，并引导学生得出二次函数与相应的一元二次方程的一种联系.第（2）个活动与第（3）个活动由学生分小组合作交流完成，并展示成果.最后由教师将学生的成果整理，并引导学生得出二次函数与一元二次方程的联系.设计意图：利用表格为学生搭桥，引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系.3.运用图象 估计求根例 利用函数图象求方程0222=--x x 的实数根（结果保留小数点后一位）.师生活动：教师给学生示范，利用“二分法”确定一元二次方程的实数根，然后让学生根据此方法小组配合计算，同时告诉学生计算结束的判定标准，最后由学生展示结果.设计意图：学生能够能结合二次函数图象，使用“二分法”求一元二次方程实数根的近似值，为后续学习解一元高次方程作铺垫. 4.同步练习 强化认知1.如图2，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是35321212++-=x x y （1）画出上述函数的图象；（2）观察图象，指出铅球推出的距离.2.填空题. （1）抛物线的图象与x 轴的公共点横坐标为（-1，0），（3，0），则关于x 的一元二次方程的实数根是____________________.（2）二次函数的图象与x 轴有2个公共点，那么方程的实数根的情况是_______________. （3）二次函数的图象与x 轴没有公共点，那么方程的实数根的情况是_______________. （4）方程有两个相等实数根，那么二次函数与x 轴的公共点有_____个.3.利用函数32--=x x y 图象求方程032=--x x 的实数根（结果保留小数点后一位）师生活动：学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果.设计意图：通过练习加深对所学知识的理解.5.小结反思巩固知识学生根据学案回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）通过本节课的学习，你认为二次函数与一元二次方程之间有怎样的联系？（2）用何方法求二次函数图象所对应的一元二次方程实数根的近似值？设计意图：通过小结，再次让学生认识到二次函数与一元二次方程的联系，强化了学生的学习成果.。
二次函数与一元二次方程的联系教学设计
1、知识目标：
体会二次函数与方程之间的联系，理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，以及何时方程有两个不相等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=M（M是实数）图象交点的横坐标．
2、能力目标：
培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；
2．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=
3．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
3、情感目标：
在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题。
三、学情分析及学习策略
学生的知识技能基础：学生在上学期学习了用多种方法求解一元二次方程的根，其中有因式分解法、配方法、求根公式法，通过这些方法他们可以准确的求出方程的根。在上节课，他们学习了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；理解了一元二次方程ax2+bx+c=M的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=M（M是实数）图象交点的横坐标。这些知识基础完全可以使他们很好的完成本节课的学习目标。
八、板书设计
二次函数与一元二次方程
1例题
2巩固新知
3课堂小测
九、教学反思
由于本练习题思考解决的入手点的多样性，学生回答问题的积极性很高，小组间的议论很热烈。教学中，我开展了看哪个小组得到的结论多的活动，同学们之间、学习小组之间的竞争气氛被很好的调动起来。有的小组得到了5个结论，有的小组得到了6个结论，我及时带领同学再认真从不同角度审图，精简点拨之后，又有些小组受到启发，踊跃抢答。当同学们回答完我事先准备好的答案后，课堂的气氛被学生精彩的回答渲染的非常热烈。
数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程》 教学设计.2 二次函数与一元二次方程》
《22.2二次函数与一元二次方程》教学设计祁阳县观音滩镇中学于旭平一、教材分析1、教材的地位和作用《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续.又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次”的关系进一步探讨奠定基础.2、重难点的确点重点：从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系；掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.难点：灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题；利用函数的图象求一元二次方程的近似解.二、目标分析知识与技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系.数学思考：运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.解决问题：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，认识到事物的互相联系与转化.情感态度：让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.三、学情分析已形成的：1、能理解二次函数的性质、图象，有一定看图识图能力，并能画一次函数、二次函数的草图.2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.有待形成、提升的：1、由特殊到一般的归纳总结能力.2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.3、用函数的观点解决问题的应用意识.四、教法学法分析1、教法分析在本节课中我采用情景教学法，观察发现法和探讨法为主，多媒体演示为辅的教学方法进行教学.以学生活动为主线，引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点，在学习活动中，尽量让每一位学生积极参与，最终让他们学会学习.2、学法分析通过观察发现、合作交流、归纳总结完成本节课的教学.五、教学过程(一)复习引入活动1:问题1：一次函数与一元一次方程有怎样的联系？师生活动：老师引导，学生回答，最后分别从数与形这两个角度得出一次函数与一元一次方程的关系.问题2：类比猜想一下二次函数与一元二次方程的联系？师生活动：老师展示问题，学生回答.得出当二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，则得到了一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)；若把一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)中的常量0变为变量y ，则得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0).设计的意图：在学生已有的数学基础上，采用类比的学习方法，探索新知.（二）探究新知活动2：问题：如图，以40m ／s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h= 20t-5t 2问：(1)小球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5 m ？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：第（1）问师生共同分析，先用代数的方法解答，然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析.第（2）问由学生分析并展示过程，同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m ？接着老师又引导学生从二次函数的性质（即二次函数的最大值）来说明为什么只有一个时间？剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.设计的意图：让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.活动3：小组合作问题：根据刚才例题的讲解，类比一次函数与一元一次方程的联系，现在以小组为单位对二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系进行讨论，并请代表展示结果.二次函数的图象与x 轴交点横坐标与一元二次方程根的关系：（1）“数”：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的函数值y=0时相应的自变量的值即为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0)的根；（2）“形”：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标.即为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0)的根.设计的意图：通过学生合作交流，得出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的关系，同时培养学生合作学习的能力.活动4：观察发现（1）观察二次函数①y=x 2+x-2，②y=x 2-6x+9，③y=x 2-x+1的图象，回答下列问题：函数与x 轴的交点的个数是：① 个② 个③ 个.函数与x 轴交点的横坐标为：① ② ③ .22y x x =+-21y x x =-+269y x x =-+（2）已知一元二次方程①x 2+x-2=0，②x 2-6x+9=0,③x 2-x+1=0，则一元二次方程根的情况：①Δ 0,有根②Δ 0,有根，③Δ 0,有根.一元二次方程的解是：①，② ,③ .思考：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况有怎样的联系？师生活动：老师展示问题，学生观察填空.通过观察（1）与（2）的结果，对思考问题进行合作讨论.设计意图：通过学生讨论、观察，得出判别式和二次函数与x轴交点个数的情况的关系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法.（三）归纳新知二次函数与一元二次方程的关系：师生活动：通过以上环节的探究，教师指导学生思考归纳，并展示结果。
2024年人教版九年级上册教学设计第22章22.2 二次函数与一元二次方程
课时目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系.掌握二次函数的图象与x轴的三种位置关系.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.通过解决实际问题,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.学习重点理解并掌握二次函数图象与一元二次方程(不等式)之间的联系.学习难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.课时活动设计知识回顾根据上节课所学二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,回答问题,多媒体展示.设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节课的内容学习做铺垫.探究新知探究1二次函数的图象与x轴交点情况多媒体展示问题:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?教师利用多媒体展示二次函数的图象,学生观察图象,展开讨论,回答问题.解:(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标分别是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴只有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根是3.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.探究2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解多媒体展示问题如何求一元二次方程x2-2x-1=0根的近似值(精确到0.1)?解:画出函数y=x2-2x-1的图象(如下图),由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是在-0.5左右,利用计算器进行计算,见下表:观察上表可以发现,当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.设计意图:让学生进行合作探究,通过解决问题,了解本节所学内容,培养学生的探究能力.新知讲解从上面的探究,我们发现,二次函数与一元二次方程联系紧密.已知二次函数y 的值,求自变量x的值.可以看作解一元二次方程.反过来,解一元二次方程,就是已知二次函数y的值,求自变量x的值.多媒体展示二次函数与一元二次方程的关系.由探究可知,方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.多媒体展示二次函数的图象与x轴交点情况.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2-4ac≥0.由探究容易得出利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的基本步骤:1.画出函数的图象;2.根据图象确定抛物线与x轴的交点;3.利用计算器探索交点横坐标,从而确定方程的近似根.设计意图:知识梳理,让学生了解知识脉落,促进教学目标达成.典例精讲例1根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是(C)A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26例2已知二次函数y=2x2-3x-4的函数值为1,则自变量x的值为-1或2.5,一元二次方程2x2-3x-5=0的解为x1=-1,x2=2.5,则抛物线2x2-3x-5=0与x轴的交点坐标为(-1,0)和(2.5,0).例3已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是k>-1且k≠0.设计意图:通过例题讲解,加深学生对新学知识的理解与掌握.巩固训练1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y=0;当y=0时,x=1或2.2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为(0,-1);与x轴的交点坐标为(0.5,0)和(-0.5,0).3.已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求证:此抛物线与x轴总有交点;(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.(1)证明:∵m≠0,a=m,b=-(m+2),c-2.∵Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∵Δ≥0,因此抛物线与x轴总有交点.(2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=2m.当m为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1.4.如图,同学在扔铅球时,铅球沿抛物线y=-x210+610x+85运行,其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离,y(m)是铅球离地面的高度.(1)当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是多少?(2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m,它离初始位置的水平距离是多少?(3)铅球离地面的高度能否达到3 m?为什么?(1)解:由题意,得2.1=-x210+610x+85,即x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.(2)解:由题意,得2.5=-x210+610x+85,即x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5 m时,它离初始位置的水平距离是3 m.(3)解:由题意,得3=-x210+610x+85,即x2-6x+14=0,因为Δ=(-6)2-4×1×14=-20<0,所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3 m.设计意图:体会知识的不同考法.灵活应用所学知识,提高解题能力.课堂小结设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路.随堂小测1.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根,则抛物线y=x2-mx+n图象位于(A)A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根为(B)A.x1≈-2.1,x2≈0.1B.x1≈-2.5,x2≈0.5C.x1≈-2.9,x2≈0.9D.x1≈-3,x2≈1,那么二次函数y=3x2+x-103.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=53,0).图象与x轴的交点坐标是(-2,0),(534.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2=-1.5.如图设水管AB高出地面2.5 m,在B处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,水流高度y(m)与水平距离x(m)之间具有函数关系y=-0.5x2+2x+2.5,在如图所示的直角坐标系中,求水流的落地点D到A的距离是多少?解:根据题意,得-0.5x2+2x+2.5=0,解得x1=5,x2=-1(不符合题意,舍去).答:水流的落地点D到A的距离是5 m.设计意图:通过习题进一步对本节所学的知识点进行巩固,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第47页习题22.2第1,2,3,4,5题.2.七彩作业.教学反思。
22.2二次函数与一元二次方程 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册
成果展示
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系.
二次函数
y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点
有两个交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的
根
b2-4ac
有两个相等的实数根
b2-4ac < 0
练习1 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是
自主学习
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与一元一次方程kx＋b＝0的 根有什么关系？ 问1、一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（－2， 0） 问2 、一元一次方程 x＋2＝0的根为__x_=_－__2__ 结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的 横坐标就是 一元一次方程kx＋b＝0的根
综上所述，k的取值范围是k≤4.
知识来敲门
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数 y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个 一元二次方程.
二次函数与一元二次方程的关系：
y取定值 且a≠0 一元二次方程
已知二次函数值 求自变量的值
求相应的一元 二次方程的根
例 已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数
y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
2. 深入讨论二次函数与一元二次方程的关系
人教初中数学九上《《二次函数》二次函数与一元二次方程》教案 (公开课获奖)
二次函数与一元二次方程教学过程一、导入新课我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系．二、新课教学问题如图〔见教材图〕，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t 〔单位：s〕之间具有函数关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：〔1〕小球的飞行高度能否到达15 m？如果能，需要多少飞行时间？〔2〕小球的飞行高度能否到达20 m？如果能，需要多少飞行时间？〔3〕小球的飞行高度能否到达20.5 m？为什么？〔4〕小球从飞出到落地要用多少时间？教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题．〔1〕当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．〔2〕当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．〔3〕方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m．〔4〕当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这说明小球从飞行到落地要用4 s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．问题2 以下二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？〔1〕y＝x2＋x－2；〔2〕y＝x2－6x＋9；〔3〕y＝x2－x＋1．教师引导学生画出函数的图象〔以下图〕，然后说说有什么特点和性质．〔1〕抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．〔2〕抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．〔3〕抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．三、归纳总结从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：〔1〕如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．〔2〕二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．四、稳固练习例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根〔结果保存小数点后一位〕．解：画出函数y＝x2－2x－2的图象〔以下图〕，它与x轴的公共点的横坐标大约是－，．所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－，x2≈．我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．五、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？六、布置作业习题22.2 第2、4题．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(b a a b b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩D CA B所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)D CABDC A B答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，D C A B12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，那么其腰长为〔x+2〕cm ，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的E DC A B P方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
课件4：22.2二次函数与一元二次方程
二
十
22.2二次函数与一元二次方程
二 章
二 次 函 数
课件说明
• 二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方 程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识， 另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有 关问题．
课件说明
• 学习目标： 了解二次函数与一元二次方程的联系.
• 学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系．
y = x2+ x - 2
2
1
-3 -2 -1 -O11 2 3 4 5 6 x -2
y = x2 - 6x + 9
2．小组合作，类比探究
问题3 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？
y
y = x2- x + 1
6
5
4
3
y = x2+ x - 2
2
1
-3 -2 -1 -O11 2 3 4 5 6 x -2
x2+ x - 2 = 0 x2 - 6x + 9 = 0 x2- x + 1 = 0
2．小组合作，类比探究
归纳
一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知：
（1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点，
公 因共 此点（x =的2）x横0二是坐次方标函程是数axx0y，2=+那abxx么2++当cb=xx
y = x2 - 6x + 9
2．小组合作，类比探究
问题4 由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数 与一元二次方程具有怎样的联系？
y
二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)说课课件-2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
4.说教学目标
1.通过求一个矩形花卉边长的情景引入，提炼出一元二次不等式的概 念:掌握一元二次不等式的解法，帮助学生理解三个“二次”的关系，并ห้องสมุดไป่ตู้ 在实际情境中解决问题.
2.说教材
本节课选自新人教A版必修一第二章第三节内容.本节内容 是在学习了一次函数、二次函数图像，一元二次方程解法的基 础上进行的教学内容.
让学生学会求解一元二次不等式，并且体会函数的重要性 ，为学生今后研究其他函数与相关方程、不等式的问题提供了 经验.因此本节内容有承上启下的作用.
3.说学情
1.学生在初中已掌握了从一元一次函数观点看一元一次方 程、一元一次不等式，会求解一元一次不等式和二元一次方程 ，会画二次函数的图象.积累了一定的数学活动经验,初步具备 自主探究、分析问题、解决问题的能力.
“精研乐教”创新教研活动
说课
1.说课标
①会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及 实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
②经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次 不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用 集合表示一元二次不等式的解集。
③借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方 程的联系。
8.说板书设计
9.说反思
1、问题串要给与学生思考的时间。 2、学生活动的点评要更丰富。 3、本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学， 让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步 理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。
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二次函数与一元二次方
程朱敏龙
集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
【省数学优秀指导教师评比赛课教案】
二次函数与一元二次方程（1）
南京师大附中江宁分校 朱敏龙
教学目标：1、理解二次函数与一元二次方程的关系，能根据一元二次方程根的
知识判断二次函数的图象与x 轴的位置关系；
2、通过学生的自主探索，加强新旧知识间的联系，培养学生数形
结合的意识和能力。
教学重点：1、二次函数与一元二次方程的关系；
2、能根据一元二次方程根的知识判断二次函数的图象与x 轴的位
置关系。
教学难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
教学方法：学生自主探索——合作探究的方法。
教学过程：
一、情境设计：
打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的
阻力，球的飞行高度y （单位：米）与飞行距离x （单位：百米）满足二次函
数 ：y= -5x2+20x （显示出图象）问：这个球飞行的水平距离最远是多少米
（由讨论引出课题）
二、新知探究：
（探究）1、观察二次函数 的图象，你能确定一元二次方程 根吗
2、观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0
的根的情况.
（讨论、归纳）二次函数与一元二次方程的关系。
（探究）1、根据一元二次方程042=-x 根的情况，判断二次函数42-=x y
的图象与x 轴交点坐标是什么
2、根据一元二次方程0642=---x x 根的情况，判断二次函数
642---=x x y 的图象与x 轴交点坐标是什么
（讨论、归纳）一元二次方程与二次函数的关系。
根据一元二次方程的根的情况，可以知道二次函数的图象与x 轴的位置关系。
223
y x x =--2230x x --=
三、例题讲解：
不画图象，你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗请说明理由。
四、课堂随练：
1．方程 0542=-+x x 的根是 ；则函数542-+=x x y 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ．
2．方程 025102=-+-x x 的根是 ；则函数25102-+-=x x y 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ．
3．下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ）
x x y B -=2)( 96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D 4、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x 轴有公共点，求k 的取值范围.
五、课堂小结：
六、布置作业
1、读一读：课本P22 《学会“读”图》
2、预习： 二次函数与一元二次函数（2）
62
-+=x x y 2)(2-=x y A。