2021考研数学高等数学基础讲义01 函数部分

高等数学全考点精讲
考点：函数及其表达式的求解
1.函数的概念
(),,
,,,x y D x D y f y y x y f x x y D ∈=设和是两个变量是一个给定的数集,如果对于每个数变量在对应法则作用下总有唯一确定的一个数值和它对应,则称是的函数记为,常称为自变量为因变量为函数的定义域.
定义1()(){}()(){}[
][][],0,00,0.,0,0max ,min ,.1,03sgn 0,0.1,04,5____;____;1____; 3.5__7x x x x y x x x x x x U f x g x V f x g x x y x x x y x x ⎧−<⎧−<⎪⎪====⎡⎤⎨⎨⎣⎦≥⎪⎪>⎩⎩
==⎡⎤⎣⎦
−<⎧⎪===⎡⎤⎨⎣⎦⎪>⎩
=⎡⎤⎣⎦
⎡⎤==−=−=⎢⎥⎣⎦
例1（绝对值函数）例2（最值函数），例（符号函数）例（取整函数）；表示不超过的最大整数如()()()()()()()
()()()()()0002002__.,,,.,,1,.0,,0, 1.1821,.119,.10C v x x Q D x x Q
y u x u x u x f x f x f x x f x x f x x x xo f x x x f x x x y y a x x g x x x g x x y x ∈⎧=⎡⎤⎨⎣⎦∈⎩=>≠⎡⎤⎣<⎧≤⎧⎪⎪===⎡⎤⎨⎨⎦
⎛⎫+=−⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
⎛⎫+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦>⎪⎩⎣⎦⎝
⎭⎡⎪⎤⎦>⎣⎩
例5（分段函数）或例6（狄利克雷函数）例7（幂指函数）且例设求例设求例设平面上()():01,01:0,,.D x y l x y t t S t D l S t t ≤≤≤≤+=≥有正方形及直线（
）若表示正方形位于直线左下方部分的面积求与之间的函数关系
考点：复合函数与反函数
1.复合函数
()()()()(),.
f g g f y f u D u g x D R D y f g x y f u u g x ==⊂===⎡⎤⎣⎦设的定义域为函数定义域为,且其值域,则称为和的复合函数定义1()()()()()()()()2
21,1,0,.
1,12,22,,,.0,12,2x f x e f x x x x x x x f x g x f g x g f x x x ϕϕϕ==−≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎧⎧≤−≤⎪⎪==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎨⎣⎦⎣⎦⎣⎦>>⎪⎪⎩⎩例设且求及其定义域例设求2.反函数
()()()()()()()()()()()()111111,,123,
4,.g g y f x D R y R x D y f x x f y y f x y f x y f x y f x y f x y x y f x x f y f f x x f f x x −−−−−−=∈∈==========⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦
设的定义域为值域为,如果对于任一,
有唯一确定的,使得则称为的反函数.（）有时将的反函数也写成；
（）单调函数必有反函数,且有相同的单调性；
（）和的图形关于直线对称而和的图形是重合的；
（）定义2注:[]()223sin 0,2.
1,040,0.1,0y x x x y f x x x x π=⎡⎤⎣⎦⎧+>⎪===⎡⎤⎨⎣⎦⎪−−<⎩
例求在上的反函数例求的反函数并作图
考点：函数的几种特性
1.有界性
()()()()()11,,,,,,,1sin 1,cos 1,arcsin ,arctan 222y f x X M x X f x M f x X M x X f x M f x X x x x x ππ=∈≤∈>≤≤≤
≤设在数集上有定义如果存在正数使得对任意的都有则称在上有界；反之,如果对于任何正数总存在使则称在上无界.（）常见的有界函数有,；
（）函数的有界（无界）是针对具体区间而言的.定义1注:2.单调性
()()()()()()12121212,,,.
y f x I I x x x x f x f x f x f x f x I =<<>设在区间上有定义如果对于区间上任意两点及当时,恒有（或）
则称在区间上是单调增加（或单调减少）.
以后经常使用导数来判定函数在区间上的单调性定义2注:3.奇偶性
()()()()()()(
)(()2,,1cos ,
sin arcsin tan arctan sgn ln 2,0,003y f x D x D f x f x f x D f x f x f x D x x x x x x x x x y x f =∈−=−=−+==±设的定义域关于原点对称.如果对于任一,恒有则称在上是偶函数,
如果恒有则称在上是奇函数.
（）常见的偶函数有,、、常见的奇函数有,、、、、、；
（）偶函数的图形关于轴对称奇函数的图形关于原点对称,且奇函数在处若有定义则；
（）奇定义3注:,,,.=±=⋅=⋅=⋅=奇奇,偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇()()()()()()()()()()()()1,,:
2,,,:f x x l l g x f x f x h x f x f x x y f x y f x f y f x ∈−⎡⎤⎣⎦=+−=−−+=+⎡⎤⎣⎦例设的定义域关于原点对称即,证明是偶函数，是奇函数.例设对任意的都有证明是奇函数.
4.周期性
()()()(),+,.
sin ,cos 2,tan ,sin sin 2.T x f x T f x f x T f x x x x x x ππ=如果存在一个正数,使得对于任一有则称是周期函数,称为的周期常见的周期函数有,以为周期,以为周期定义4注:()()()()[][]()()()()3,sin ,24,____.f x f x f x x f x T x x y x x A B C D ππ−∞+∞=−+⎡⎤⎣⎦==−⎡⎤⎣⎦例设函数在（）上满足证明:是以为周期的周期函数.
例设表示不超过的最大整数则是无界函数单调函数偶函数周期函数。