2019年中考数学第18讲 相似三角形

2019年中考数学第18讲 相似三角形命题点 相似三角形的性质与判定1．(2017·河北T7·3分)若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A ′B ′C ′，则∠B ′的度数与其对应角∠B 的度数相比(D)A ．增加了10%B ．减少了10%C ．增加了(1＋10%)D ．没有改变2．(2011·河北T9·3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在 AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处．若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为(B)A.12B ．2C ．3D ．43．(2014·河北T13·3分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图1 图2 对于两人的观点，下列说法正确的是(A) A ．两人都对 B ．两人都不对 C ．甲对，乙不对 D ．甲不对，乙对4．(2016·河北T15·2分)如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)重难点 相似三角形的性质与判定在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN ＝∠B.(1)如图1，当射线DN 经过点A 时，DM 交边AC 于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形； (2)如图2，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于点E ，F(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，当S △DEF ＝14S △ABC 时，求线段EF 的长．【思路点拨】(1)由题意得AD ⊥BD ，DE ⊥AC ，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD ＝∠CDE ，又由∠B ＝∠C ，可得△BDF ∽△CED ；由相似三角形的性质得BD CE ＝DF ED ，进而有CD CE ＝DF ED ，从而△CED ∽△DEF ；(3)首先利用△DEF 的面积等于△ABC 的面积的14，求出点D 到AB 的距离，进而利用S △DEF 的值求出EF 即可． 【自主解答】解：(1)图1中与△ADE 相似的有△ABD ，△ACD ，△DCE.(2)△BDF ∽△CED ∽△DEF.证明：∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°，∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°， 又∵∠EDF ＝∠B ，∴∠BFD ＝∠CDE.由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ，∴△BDF ∽△CED.∴BD CE ＝DFED .∵BD ＝CD ，∴CD CE ＝DFED.又∵∠C ＝∠EDF ，∴△BDF ∽△CED ∽△DEF.(3)连接AD ，过点D 作DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，垂足分别为G ，H. ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD ＝8. ∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝48.S △DEF ＝14S △ABC ＝12.又∵12AD ·BD ＝12AB ·DH ，∴DH ＝4.8.∵△BDF ∽△DEF ，∴∠DFB ＝∠EFD. ∵DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，∴DH ＝DG ＝4.8. ∵S △DEF ＝12EF ·DG ＝12，∴EF ＝5.【变式训练1】(2018·杭州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．解：(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC.∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADB中，AD＝AB2－BD2＝12，∵12AD·BD＝12AB·DE，∴DE＝6013.方法指导基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论：①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；②△BDE∽△CFD.特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.模型拓展“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助．【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．解：分三种情况：设BP＝x.①当P 在线段BC 上时，如图1，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠BAP ＋∠APB ＝90°.∵∠APQ ＝90°，∴∠APB ＋∠CPQ ＝90°. ∴∠BAP ＝∠CPQ ， ∴△ABP ∽△PCQ. ∴AB BP ＝PC CQ ，∴4x ＝4－x 1， ∴x 1＝x 2＝2. ∴BP ＝2；②当P 在CB 的延长线上时，如图2，同理，得BP ＝22－2； ③当P 在BC 的延长线上时，如图3，同理，得BP ＝2＋2 2. 综上所述：线段BP 的长为2或22－2或2＋2 2.1．(2018·白银)已知a 2＝b3(a ≠0，b ≠0)，下列变形错误的是(B)A.a b ＝23B ．2a ＝3bC.b a ＝32D ．3a ＝2b2．(2018·重庆)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为(C)A ．3 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm3．(2018·河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与△ABC 是位似图形的是(C)A ．①B ．②C ．③D ．④4．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE ∥BD ，且交AB 于点E ，GF ∥AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是(D)A.AB AE ＝AGADB.DF CF ＝DGADC.FG AC ＝EGBDD.AE BE ＝CF DF5．(2018·邯郸一模)如图，在△ABC 中，∠BCD ＝∠A ，DE ∥BC ，与△ABC 相似的三角形(△ABC 自身除外)的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．46．(2018·石家庄裕华区模拟)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是(B)已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC. 求证：△ADE ∽△DBF. 证明：又∵DF ∥AC ，① ∵DE ∥BC ，② ∴∠A ＝∠BDF.③ ∴∠ADE ＝∠B.④ ∴△ADE ∽△DBF.A ．③②④①B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④①7．(2018·随州)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BDAD的值为(C)A ．1B.22C.2－1D.2＋18．(2018·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是6017步．9．(2018·抚顺)如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A(8，0)，O(0，0)，B(8，－6)，点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为52或152．10．(2018·江西)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，CA ＝6，CD ∥AB ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．解：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD. ∵AB ∥CD ，∴∠D ＝∠ABD. ∴∠D ＝∠CBD.∴BC ＝CD. ∵BC ＝4，∴CD ＝4.∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE. ∴AB CD ＝AE CE. ∴84＝AECE .∴AE ＝2CE. ∵AC ＝AE ＋CE ＝6， ∴AE ＝4.11．(2018·包头)如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为(D)A.253B.233 C.343 D.453 提示：连接DE ，可证△DEF ∽△BAF.12．(2018·达州)如图，E ，F 是▱ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH的值为(C)A.12B.23C.34D ．1提示：可证AG ∶AB ＝CH ∶BC ＝1∶3. 13．【分类讨论思想】(2018·常州)如图，在△ABC 纸板中，AC ＝4，BC ＝2，AB ＝5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是3≤AP ＜4．14．(2018·福建)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.线段AD 由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，且直线EF 过点D.(1)求∠BDF 的大小； (2)求CG 的长．解：(1)∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝10. ∴∠ABD ＝45°.∵△EFG 是△ABC 沿CB 方向平移得到， ∴AB ∥EF.∴∠BDF ＝∠ABD ＝45°.(2)由平移的性质，得AE ∥CG ，AB ∥EF ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝∠ABC ，∠ADE ＋∠DAB ＝180°. ∵∠DAB ＝90°， ∴∠ADE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ACB. ∴△ADE ∽△ACB. ∴AD AC ＝AE AB. ∵AC ＝8，AB ＝AD ＝10，∴AE ＝12.5，由平移的性质，得CG ＝AE ＝12.5.15．(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E ，D 两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A ，B ，C ，且A ，B ，D 三点在一条直线上，A ，C ，E 也在同一条直线上，若已知AB ＝27米，AD ＝500米，AC ＝15米，AE ＝900米，且测得BC ＝22.5米．(1)求DE 的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元． 若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．解：(1)连接DE.∵AB ＝27米，AD ＝500米， AC ＝15米，AE ＝900米， ∴AB AE ＝AC AD ＝3100. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△AED. ∴BC DE ＝22.5DE ＝3100，即DE ＝750米． (2)设甲工程队每天开挖涵洞x 米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x 米，依据题意，得 750x －7501.5x ＝25，解得x ＝10. 经检验，x ＝10是原方程的解． 则1.5x ＝15.∴甲工程队打通这个涵洞的时间为75010＝75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为 75×3 500＝262 500(元)； 乙工程队打通这个涵洞的时间为 7501.5x ＝75015＝50(天)， 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 50×4 000＝200 000. ∵200 000＜262 500， ∴选用乙工程队较合算．16．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H 位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中点，出东门15步A 的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木(即点D 在直线AC 上)？请你计算KC 的长为2 0003步．。