人教版九年级上册数学期中试卷易错题(Word版 含答案)
人教版九年级上册数学期中试卷易错题(Word 版 含答案)
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)
1.如图,∠ AOB =90°,且点A ,B 分别在反比例函数1k y x =(x <0),2k
y x
=(x >0)的图象上,且k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根. (1)求k 1,k 2的值;
(2)连接AB ,求tan ∠ OBA 的值.
【答案】(1)k 1=-2,k 2=3. (2)tan∠OBA =6
. 【解析】
解:(1)∵k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根,∴解方程x 2-x -6=0,得x 1=3,x 2=-2.结合图像可知:k 1<0,k 2>0,∴k 1=-2,k 2=3.
(2)如图,过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,过点B 作BD ⊥y 轴于点D .[来源:学&科&网Z&X&X&K]
由(1)知,点A ,B 分别在反比例函数2y x =-(x <0),3
y x
=(x >0)的图象上, ∴S △ACO =
12×2-=1 ,S △ODB =12×3=3
2
.∵∠ AOB =90°, ∴∠ AOC +∠ BOD =90°,∵∠ AOC +∠ OAC =90°,∴∠ OAC =∠ BOD . 又∵∠ACO =∠ODB =90°,∴△ACO ∽△ODB .
∴S S ACO ODB ??=2OA OB ?? ???
=23,∴OA OB =±63(舍负取正),即OA OB =6
3. ∴在Rt △AOB 中,tan ∠ OBA =
OA OB 6
.
2.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0.
(1)求证:对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
【答案】(1)证明见解析;(2)m的值为±2,方程的另一个根是5.
【解析】
【分析】
(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可;
(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m的值,然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】
(1)证明:
∵(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0,
∴x2﹣7x+12﹣m2=0,
∴△=(﹣7)2﹣4(12﹣m2)=1+4m2,
∵m2≥0,
∴△>0,
∴对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;
(2)解:∵方程的一个根是2,
∴4﹣14+12﹣m2=0,解得m=±,
∴原方程为x2﹣7x+10=0,解得x=2或x=5,
即m的值为±,方程的另一个根是5.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当△=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
3.计算题
(1)先化简,再求值:
2
1
x
x-
÷(1+
2
1
1
x-
),其中x=2017.
(2)已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,求m的值.
【答案】(1)2018;(2)m=4
【解析】
分析:(1)根据分式的运算法则和运算顺序,先算括号里面的,再算除法,注意因式分解的作用;
(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解:(1)
2
1
x
x-
÷(1+
2
1
1
x-
)
=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-?- =x+1,
当x=2017时,原式=2017+1=2018
(2)解:∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根, ∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m ﹣3)=0, 解得,m=4
点睛:此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式,关键是熟记分式方程的运算顺序和法则,注意通分约分的作用.
4.如图,平面直角坐标系中,直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点(OA <OB )且OA 、OB 的长分别是一元二次方程(
)
2x 31x 30-++=的两个根,点C 在x 轴负半轴上,
且AB :AC=1:2
(1)求A 、C 两点的坐标;
(2)若点M 从C 点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动,连接AM ,设△ABM 的面积为S ,点M 的运动时间为t ,写出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (3)点P 是y 轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q ,使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)解)
2x 31x 30-+=得(x 3x ﹣1)=0,
解得x 13,x 2=1。
∵OA <OB ,∴OA=1,3A (1,0),B (03AB=2。 又∵AB :AC=1:2,∴AC=4。∴C (﹣3,0)。; (2)由题意得:CM=t ,3
①当点M 在CB 边上时,3t 3 ②当点M 在CB 边的延长线上时,S=t 3t 3)。 (3)存在,Q 1(﹣1,0),Q 2(1,﹣2),Q 3(1,2),Q 1(123
【解析】
试题分析:(1)通过解一元二次方程(
)
2x 31x 30-
++=,求得方程的两个根,从而
得到A 、B 两点的坐标,再根据勾股定理可求AB 的长,根据AB :AC=1:2,可求AC 的长,从而得到C 点的坐标。
(2)分①当点M 在CB 边上时;②当点M 在CB 边的延长线上时;两种情况讨论可求S 关于t 的函数关系式。
(3)分AB 是边和对角线两种情况讨论可求Q 点的坐标:
5.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上,顶点B 在x 轴正半轴上,OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根(OA >OB ). (1)求点D 的坐标. (2)求直线BC 的解析式.
(3)在直线BC 上是否存在点P ,使△PCD 为等腰三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)D (4,7)(2)y=39
44
x -(3)详见解析 【解析】
试题分析:(1)解一元二次方程求出OA 、OB 的长度,过点D 作DE ⊥y 于点E ,根据正方形的性质可得AD=AB ,∠DAB=90°,然后求出∠ABO=∠DAE ,然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO 全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=OA ,AE=OB ,再求出OE ,然后写出点D 的坐标即可;
(2)过点C 作CM ⊥x 轴于点M ,同理求出点C 的坐标,设直线BC 的解析式为y=kx+b (k≠0,k 、b 为常数),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;
(3)根据正方形的性质,点P与点B重合时,△PCD为等腰三角形;点P为点B关于点C 的对称点时,△PCD为等腰三角形,然后求解即可.
试题解析:(1)x2﹣7x+12=0,
解得x1=3,x2=4,
∵OA>OB,
∴OA=4,OB=3,
过D作DE⊥y于点E,
∵正方形ABCD,
∴AD=AB,∠DAB=90°,
∠DAE+∠OAB=90°,
∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠ABO=∠DAE,
∵DE⊥AE,
∴∠AED=90°=∠AOB,
∵DE⊥AE
∴∠AED=90°=∠AOB,
∴△DAE≌△ABO(AAS),
∴DE=OA=4,AE=OB=3,
∴OE=7,
∴D(4,7);
(2)过点C作CM⊥x轴于点M,
同上可证得△BCM≌△ABO,
∴CM=OB=3,BM=OA=4,
∴OM=7,
∴C(7,3),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),
代入B(3,0),C(7,3)得,,
解得,
∴y=x﹣;
(3)存在.
点P与点B重合时,P1(3,0),
点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).
考点:1、解一元二次方程;2、正方形的性质;3、全等三角形的判定与性质;4、一次函数
二、初三数学 二次函数易错题压轴题(难)
6.已知,抛物线y =-12
x 2
+bx+c 交y 轴于点C (0,2),经过点Q (2,2).直线y =x+4分别交x 轴、y 轴于点B 、A .
(1)直接填写抛物线的解析式________;
(2)如图1,点P 为抛物线上一动点(不与点C 重合),PO 交抛物线于M ,PC 交AB 于N ,连MN. 求证:MN∥y 轴;
(3)如图,2,过点A 的直线交抛物线于D 、E ,QD 、QE 分别交y 轴于G 、H.求证:CG ?CH 为定值.
【答案】(1)2
122
y x x =-++;(2)见详解;(3)见详解. 【解析】 【分析】
(1)把点C 、D 代入y =-
12
x 2
+bx+c 求解即可;
(2)分别设PM 、PC 的解析式,由于PM 、PC 与抛物线的交点分别为:M 、N.,分别求出M 、N 的代数式即可求解;
(3)先设G 、H 的坐标,列出QG 、GH 的解析式,得出与抛物线的交点D 、E 的横坐标,再列出直线AE 的解析式,算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证. 【详解】 详解:(1)∵y =-
12
x 2
+bx+c 过点C (0,2),点Q (2,2), ∴2122222b c c ?
-?++???=?
=, 解得:1
2b c =??=?
. ∴y=-
12
x 2
+x+2; (2) 设直线PM 的解析式为:y=mx ,直线PC 的解析式为:y=kx+2
由2
2122y kx y x x =+??
?=-++??
得
12
x 2
+(k-1)x=0, 解得:120,22x x k ==-, x p =22p x k =-
由2
1=22y mx y x x =???-++??
得
12
x 2
+(m-1)x-2=0, ∴124b
x x a
?=-
=- 即x p?x m =-4, ∴x m =
4p x -=21
k -. 由24y kx y x =+??=+?
得x N =
2
1
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
(3)设G (0,m ),H (0,n ). 设直线QG 的解析式为y kx m =+, 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+
22
m
k -∴=
∴直线QG 的解析式为22
m
y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n
y x n -=
+; 由222122m y x m y x x -?=+????=-++??
得
221
=222
m x m x x -+-++ 解得:122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理,2E x n =-
设直线AE 的解析式为:y=kx+4,
由2
4122y kx y x x =+???=-++??
, 得
12
x 2
-(k-1)x+2=0 124b
x x a
∴?=-
= 即x D x E =4,
即(m-2)?(n-2)=4 ∴CG?CH=(2-m )?(2-n )=4.
7.图①,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),并且与直线y=1 2 x
﹣2相交于坐标轴上的B、C两点,动点P在直线BC下方的二次函数的图象上.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)如图①,连接PC,PB,设△PCB的面积为S,求S的最大值;
(3)如图②,抛物线上是否存在点Q,使得∠ABQ=2∠ABC?若存在,则求出直线BQ的解析式及Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=1
2
x2﹣
3
2
x﹣2;(2)﹣1<0,故S有最大值,当x=2时,S的最大值
为4;(3)Q的坐标为(5
3
,﹣
28
9
)或(﹣
11
3
,
92
9
).
【解析】
【分析】
(1)根据题意先求出点B、C的坐标,进而利用待定系数法即可求解;
(2)由题意过点P作PH//y轴交BC于点H,并设点P(x,1
2
x2﹣
3
2
x﹣2),进而根据S
=S△PHB+S△PHC=1
2
PH?(x B﹣x C),进行计算即可求解;
(3)根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况,利用解直角三角形的方法,求出点H的坐标,进而分析求解.
【详解】
解:(1)对于直线y=1
2
x﹣2,
令x=0,则y=﹣2,
令y=0,即1
2
x﹣2=0,解得:x=4,
故点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,﹣2),抛物线过点A、B两点,则y=a(x+1)(x﹣4),
将点C的坐标代入上式并解得:a=1
2
,
故抛物线的表达式为y=1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①;
(2)如图2,过点P 作
PH//y 轴交BC 于点H ,
设点P (x ,
12x 2﹣32
x ﹣2),则点H (x ,1
2x ﹣2), S =S △PHB +S △PHC =
12PH?(x B ﹣x C )=12×4×(12x ﹣2﹣1
2x 2+32
x+2)=﹣x 2+4x , ∵﹣1<0,故S 有最大值,当x =2时,S 的最大值为4; (3)①当点Q 在BC 下方时,如图2,
延长BQ 交y 轴于点H ,过点Q 作QC ⊥BC 交x 轴于点R ,过点Q 作QK ⊥x 轴于点K , ∵∠ABQ =2∠ABC ,则BC 是∠ABH 的角平分线,则△RQB 为等腰三角形, 则点C 是RQ 的中点, 在△BOC 中,tan ∠OBC =
OC OB =1
2=tan ∠ROC =RC BC
, 则设RC =x =QB ,则BC =2x ,则RB 22(2)x x 5=BQ , 在△QRB 中,S △RQB =
12×QR?BC =12BR?QK ,即122x?2x =1
2
5, 解得:KQ 5
∴sin ∠RBQ =KQ
BQ
55x
=45,则tanRBH =43,
在Rt △OBH 中,OH =OB?tan ∠RBH =4×
43=163,则点H (0,﹣16
3
),
由点B 、H 的坐标得,直线BH 的表达式为y =4
3
(x ﹣4)②, 联立①②并解得:x =4(舍去)或53
, 当x =
53时,y =﹣289,故点Q (53,﹣289); ②当点Q 在BC 上方时,
同理可得:点Q 的坐标为(﹣113,929
); 综上,点Q 的坐标为(53,﹣289)或(﹣113,929
). 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等,注意分类讨论思维的应用,避免遗漏.
8.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 2
0x +(b+1)x 0+b ﹣2=x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线,求实数b 的取值范围.
【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣
4
≤b <0. 【解析】 【分析】
(1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围;
(3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线,从而可以求得b 的取值范围.
【详解】
解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1,
即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0,
∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,
设t =b 2﹣4a (b ﹣2)=b 2﹣4ab+8a ,对于任何实数b ,t >0, 故(﹣4a )2﹣4×1×8a <0, 解得,0<a <2,
即a 的取值范围是0<a <2; (3)由题意可得, 点A 和点B 在直线y =x 上, 设点A (x 1,x 1),点B (x 2,x 2),
∵A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点, ∴x 1,x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣
b a
, ∵线段AB 中点坐标为(122x x +,122
x x
+), ∴该中点的坐标为(2b a -,2b a
-), ∵直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线,
∴点(2b a -,2b
a -)在直线y =﹣x+2121
a +上, ∴2b
a -
=21221
b a a ++
∴﹣b =
2
21
a a ≤
+4,(当a =2
时取等号)
∴0<﹣b
≤b <0,
即b 的取值范围是﹣2
4
≤b <0. 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
9.如图1,抛物线2
:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-,1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ,且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ,此时四边形111D OB A 恰为正方形;按上述类似方法,如图2,抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线
()2222:C y a x x b =-,2C 与x 轴的正半轴交于点2A ,且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于
点2B 、2D ,此时四边形222OB A D 也恰为正方形;按上述类似方法,如图3,可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ,请探究以下问题: (1)填空:1a = ,1b = ; (2)求出2C 与3C 的解析式;
(3)按上述类似方法,可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D (1n ≥). ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式;
②当x 取任意不为0的实数时,试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系,并说明理由.
【答案】(1)11a =,12b =;(2)22132y x x =-,231
26
y x x =-;(3)①()22
1
2123
n n y x x n -=
-≥?,②20182019y y >. 【解析】 【分析】
(1)求与x 轴交点A 1坐标,根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标,代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值,写出D 1的坐标,代入y 1的解析式中可求得a 1的值; (2)求与x 轴交点A 2坐标,根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标,代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值,写出D 2的坐标,代入y 2的解析式中可求得a 2的值,写出抛物线C 2的解析式;再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式;
(3)①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1,由B 1坐标(1,1)、B 2坐标(3,3)、B 3坐标(7,7)得B n 坐标(2n -1,2n -1),则b n =2(2n -1)=2n +1-2(n ≥1),写出抛物线C n 解析式.
②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式,用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小. 【详解】
解:(1)y 1=0时,a 1x (x -b 1)=0, x 1=0,x 2=b 1, ∴A 1(b 1,0),
由正方形OB 1A 1D 1得:OA 1=B 1D 1=b 1, ∴B 1(
12b ,12b ),D 1(12b ,12
b
-), ∵B 1在抛物线c 上,则
12b =(12
b )2
, 解得:b 1=0(不符合题意),b 1=2, ∴D 1(1,-1),
把D 1(1,-1)代入y 1=a 1x (x -b 1)中得:-1=-a 1, ∴a 1=1, 故答案为1,2;
(2)当20y =时,有()220a x x b -=, 解得2x b =或0x =,()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ,得2222B D OA b ==,
222,22b b B ??∴ ???,22
2,22b
b D ??- ???
. 2B 在抛物线1C 上,2222222b b b ??∴
=- ???
. 解得24b =或20b =(不合舍去),
()22,2D ∴-
2D 在抛物线2C 上,
()22224a ∴-=-.
解得21
2
a =
. 2C ∴的解析式是()2142y x x =
-,即221
22
y x x =-. 同理,当30y =时,有()330a x x b -=,
解得3x b =,或0x =.
()33,0A b ∴.
由正方形333OB A D ,得3333B D OA b ==,
333,22b b B ??∴ ???,333,2
2b
b D ??- ???.
3B 在抛物线2C 上,
2
333122222
b b b
??∴=-? ???. 解得312b =或30b =(不合舍去),
()36,6D ∴-
3D 在抛物线3C 上,
()366612a ∴-=-.解得31
6
a =
. 3C ∴的解析式是()31126y x x =
-,即231
26
y x x =-. (3)解:①n C 的解析式是()22
1
2123
n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2
201820161223y x x =
-?,220192017
1223
y x x =-?. 当0x ≠时,2
2018201920162017
111
0233y y x >??-=
-
???
, 20182019y y ∴>.
【点睛】
本题是二次函数与方程、正方形的综合应用,将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.就此题而言:①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算,把函数问题转化为方程问题;②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标;③根据规律之间得到解析式是关键.
10.如图,抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(?1,0),B(4,0),交y 轴于点C ; (1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D 使S △ABC =2
3
S △ABD ?若存在,请求出点D 坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E ,求BE 的长.
【答案】(1)213
222
y x x =-++(2)存在,D (1,3)或(2,3)或(5,3-)(3)10 【解析】 【分析】
(1)由A 、B 的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由条件可求得点D 到x 轴的距离,即可求得D 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D 点坐标;
(3)由条件可证得BC ⊥AC ,设直线AC 和BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,则可得BF=BC ,利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE 解析式,联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标,则可求得BE 的长. 【详解】
解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A (-1,0),B (4,0),
∴2016420a b a b -+=??++=?,解得:12
32a b ?
=-????=??
,
∴抛物线解析式为:213
222
y x x =-
++; (2)由题意可知C (0,2),A (-1,0),B (4,0), ∴AB=5,OC=2,
∴S △ABC =12AB?OC=1
2×5×2=5, ∵S △ABC =2
3S △ABD ,
∴S △ABD =315
522
?=,
设D (x ,y ), ∴11155222
AB y y ?=??=, 解得:3y =;
当3y =时,213
2322
y x x =-
++=, 解得:1x =或2x =,
∴点D 的坐标为:(1,3)或(2,3); 当3y =-时,213
2322
y x x =-
++=-, 解得:5x =或2x =-(舍去), ∴点D 的坐标为:(5,-3);
综合上述,点D 的坐标为:(1,3)或(2,3)或(5,-3); (3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,
∴22125AC =+=,222425BC =+=, ∴222AC BC AB +=,
∴△ABC 为直角三角形,即BC ⊥AC ,
如图,设直线AC 与直线BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,
由题意可知∠FBC=45°, ∴∠CFB=45°, ∴25CF BC == ∴
AO AC OM CF =,即15
25OM = 解得:2OM =, ∴
OC AC FM AF =,即25
35
FM = 解得:6FM =,
∴点F 为(2,6),且B 为(4,0), 设直线BE 解析式为y=kx+m ,则
2640k m k m +=??+=?,解得3
12
k m =-??
=?,
∴直线BE 解析式为:
312y x =-+; 联立直线BE 和抛物线解析式可得:
231213
222y x y x x =-+??
?=-++??
, 解得:40x y =??=?
或53x y =??=-?,
∴点E 坐标为:(5,3)-,
∴22(54)(3)10BE =-+-=. 【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D 点的纵坐标是解题的关键,在(3)中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,有一定的难度.
三、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
11.如图,四边形ABCD 为正方形,△AEF 为等腰直角三角形,∠AEF =90°,连接FC ,G 为FC 的中点,连接GD ,ED .
(1)如图①,E 在AB 上,直接写出ED ,GD 的数量关系.
(2)将图①中的△AEF 绕点A 逆时针旋转,其它条件不变,如图②,(1)中的结论是否成立?说明理由.
(3)若AB =5,AE =1,将图①中的△AEF 绕点A 逆时针旋转一周,当E ,F ,C 三点共线时,直接写出ED 的长.
【答案】(1)DE 2DG ;(2)成立,理由见解析;(3)DE 的长为2或2. 【解析】 【分析】
(1)根据题意结论:2DG ,如图1中,连接EG ,延长EG 交BC 的延长线于M ,连接DM ,证明△CMG ≌△FEG (AAS ),推出EF=CM ,GM=GE ,再证明△DCM ≌△DAE (SAS )即可解决问题;
(2)如图2中,结论成立.连接EG ,延长EG 到M ,使得GM=GE ,连接CM ,DM ,延长EF 交CD 于R ,其证明方法类似;
(3)由题意分两种情形:①如图3-1中,当E,F,C共线时.②如图3-3中,当E,F,C 共线时,分别求解即可.
【详解】
解:(1)结论:DE=2DG.
理由:如图1中,连接EG,延长EG交BC的延长线于M,连接DM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠B=∠ADC=∠DAE=∠DCB=∠DCM=90°,
∵∠AEF=∠B=90°,
∴EF∥CM,
∴∠CMG=∠FEG,
∵∠CGM=∠EGF,GC=GF,
∴△CMG≌△FEG(AAS),
∴EF=CM,GM=GE,
∵AE=EF,
∴AE=CM,
∴△DCM≌△DAE(SAS),
∴DE=DM,∠ADE=∠CDM,
∴∠EDM=∠ADC=90°,
∴DG⊥EM,DG=GE=GM,
∴△EGD是等腰直角三角形,
∴DE=2DG.
(2)如图2中,结论成立.
理由:连接EG,延长EG到M,使得GM=GE,连接CM,DM,延长EF交CD于R.
∵EG=GM,FG=GC,∠EGF=∠CGM,
∴△CGM≌△FGE(SAS),
∴CM =EF ,∠CMG =∠GEF , ∴CM ∥ER , ∴∠DCM =∠ERC , ∵∠AER+∠ADR =180°, ∴∠EAD+∠ERD =180°, ∵∠ERD+∠ERC =180°, ∴∠DCM =∠EAD , ∵AE =EF , ∴AE =CM ,
∴△DAE ≌△DCM (SAS ), ∴DE =DM ,∠ADE =∠CDM , ∴∠EDM =∠ADC =90°, ∵EG =GM , ∴DG =EG =GM ,
∴△EDG 是等腰直角三角形, ∴DE =2DG .
(3)①如图3﹣1中,当E ,F ,C 共线时,
在Rt △ADC 中,AC 22AD CD +2255+2,
在Rt △AEC 中,EC 22A AE C -22(52)1-7, ∴CF =CE ﹣EF =6,
∴CG =
1
2
CF =3, ∵∠DGC =90°,
∴DG 22CD CG -2253-4, ∴DE 2DG =2.
②如图3﹣3中,当E ,F ,C 共线时,同法可得DE =2.