第五课时因式分解小结与复习
因式分解的知识点总结
因式分解的知识点总结因式分解是数学中的重要知识点之一，它在代数运算、方程求解、解决实际问题等方面起到了重要作用。
因式分解的目的是将复杂的代数式或多项式表示为简单的因式乘积形式，从而揭示其内在的性质和关系。
下面将对因式分解的定义、方法和应用进行总结。
一、因式分解的定义因式分解是将一个代数式或多项式分解为若干个互不相等、不可再分的因式的乘积形式。
因式分解的基本原则是尽量找出能够整除原式的因式，然后重复这一过程，直到无法再分解为止。
二、因式分解的方法1.提取公因式：当一个多项式的各项中存在一个公因式时，可以通过提取公因式来进行因式分解。
具体步骤是找出各项的最高公因式，然后提取出来，余下的部分就是新的因式。
2.公式法：对于一些特定的多项式，可以利用已知的公式进行因式分解。
常用的公式有平方差公式、差平方公式、和差积公式等。
3.配方法：对于一个二次多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次多项式的乘积形式。
具体步骤是将二次项拆解成两个一次项相乘的形式，然后根据一次项的系数和常数项进行组合。
4.完全平方公式：对于一个二次多项式，如果能够表示为两个一次多项式的平方和的形式，则可以利用完全平方公式进行因式分解。
5.分组法：对于一个含有四个以上项的多项式，可以通过将其分成两组或多组来进行因式分解。
具体步骤是找出各组之间的公因式，然后进行提取，最后再对各组的公因式进行提取。
6.根据题目的要求进行因式分解：在实际问题中，可能会给出一些特殊的条件或要求，可以根据这些特殊条件进行因式分解。
三、因式分解的应用因式分解在数学中起到了重要的作用，它不仅可以简化代数式的计算，还可以帮助我们解决实际问题和证明数学定理。
以下列举了因式分解的一些常见应用。
1.求解方程和不等式：通过因式分解，可以将复杂的方程或不等式转化为简单的乘积形式，从而更容易求解。
2.展开与合并式子：通过因式分解，可以将复杂的多项式展开成为简单的乘积形式，或者将多个因式合并成为一个多项式。
七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版
七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版因式分解一、因式分解的概念例1下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为Aa=ax+aBx2-4x+4=x+410x2-x=xDx2-16+6x=（x+4）（x-4）分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式解：选二、因式分解的方法例2因式分解：22-a+3=分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）解：22-a+3=22-==注意：注意本题在提取公因式后要将剩余部分合并例3因式分解：42+92+12分析：可将看做一个整体，利用完全平方公式分解解：42+92+12=2+2×2×3+[3]2=[2+3]2=2注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用例4因式分解：a2+9分析：先提取，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化解：a2+9==三、因式分解相关的计算例已知x=a+b，=a-b，用简便方法计算代数式2-2的值分析：将代数式2-2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，的关系，再将x=a+b，=a-b代入求解解：2-2==2x2·22=4x22=42=4[]2=4a4-8a2b2+4b4例6计算分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解解：==四、因式分解相关的说明例7已知a2+b2=1，x2+2=1试说明：2+2=1分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+2表示，故考虑将左边因式分解2+2=a2x2+2abx+b22+b2x2-2abx+a22=a2x2+b22+b2x2+a22 =x2+2=因为a2+b2=1，x2+2=1，所以2+2=1注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明五、因式分解的实际应用例8已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88，它们的面积相差8362，求这两个正方形的边长分析：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为，则根据它们的周长相差88，可得4=88又因为它们的面积相差8362，所以x2-2=836，根据这两个方程可求出x，的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将x2-2=836用因式分解法变形，求解解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为，根据题意得方程组等价于将③代入④，得x+=38⑤③和⑤组成方程组得解得x=30，=8所以大正方形的边长是30，小正方形的边长是8误区点拨误区一因式对分解的概念理解不透彻例1下列从左到右的变形是分解因式的是ABD=错解：选B、、D错因分析：B中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确正解：选A误区二多项式分解不彻底例2因式分解a4-2a2+1错解：a4-2a2+1=2-2a2+1=2错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成22正解：a4-2a2+1=2-2a2+1=2=22误区三利用公式出现偏差例3因式分解2-4x错解：2-4x=（x++2x）错因分析：4x不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解正解：2-4x=x2+2+2x-4x=x2+2-2x=2误区四提公因式漏项例4分解因式3a2b3-12ab2+3ab错解：3a2b3-12ab2+3ab=3ab错因分析：最后一项提取公因式3ab后，还剩余1单独成一项正解：3a2b3-12ab2+3ab=3ab教学反思：。
因式分解小结
课题因式分解小结授课人陈林教学目标知识与技能进一步巩固因式分解的概念以及选择恰当的方法进行因式分解，应用因式分解解决一些实际问题．过程与方法经历探索因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本方法．培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．情感态度价值观培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神．教学重点灵活地应用恰当的方法进行因式分解教学难点灵活地应用恰当的方法进行因式分解．教学活动教学步骤师生活动设计意图知识回顾1.因式分解的定义；2. 因式分解与整式乘法的关系。
学生回忆并回答活动一：实践探究判断下列各式哪些是因式分解？（1） x2-4y2=(x+2y)(x-2y)（2） (a+3)(a-3)= a2-9（3）a2-26=(a+5)(a-5)-1（4）x2+x= x2(1+1x)【总结】①要分解的式子必须是多项式；②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；借助练习巩固理解因式分解的定义3.因式分解的方法★提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)(1)6mx+9my；(2)-12x3-24x2+48xy；(3)m(x-y)+n(y-x)；【规律总结】提公因式法分解因式，找准公因式是关键，还要注意多项式各项的符号。
找公因式一看系数，二看因式，公因式由各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂的积组成。
活动二：自主合作探究★公式法▲平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)（说明：公式中的a,b可以表示数，单项式，多项式，甚至更复杂的整式）(1)- y2 + x2; （2）x4-16; (3)4(x-1)2-9(x+2)2; (4)12x3y-27xy3; 【规律总结】对于二项式进行因式分解，首先看有没有公因式，有公因式要先提公因式，再看能不能用平方差公式。
要注意必须分解到每个因式都不能再分解为止。
▲完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2(1) a2-a＋14；（2）221122x xy y++（3）-x2y2+2xy-1；(4)4－12(a－b)＋9(b－a)2; （5）ax2+2a2x+a3；（6）（x+y）2-6x2+6y2+9(x-y)2【规律总结】运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：①是三项式；②其中有两项是平方式，且这两项的符号相同；③第三项是两个平方项幂的底数的2倍或-2倍。
因式分解知识点总结
因式分解知识点总结一、因式分解的概念。
1. 定义。
- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。
2. 与整式乘法的关系。
- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的方法。
1. 提公因式法。
- 公因式的确定。
- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在6x^2+9x中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。
所以公因式是3x。
- 提公因式的步骤。
- 找出公因式。
- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。
例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。
2. 公式法。
- 平方差公式。
- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。
例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。
- 完全平方公式。
- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。
例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。
3. 十字相乘法（拓展内容，人教版教材部分有涉及）- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)，如果能找到两个数m和n，使得m + n=b 且mn = ac，那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。
因式分解知识总结
因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把ma+mb+mc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：ma+mb+mc=m（a+b+c）注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,寻找满足的ab、，则有5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.6、求根公式法：如果有两个根，那么二、典型例题及针对练习考点1 因式分解的概念例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2 提取公因式法2注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.[补例练习]1。
因式分解知识点归纳
因式分解知识点归纳因式分解是代数中的重要概念和技巧，它在解方程、求根、化简表达式等方面都有广泛的应用。
以下是关于因式分解的知识点归纳：一、基本概念1.因式：在乘法中，参加运算的每个数或字母或含有字母的式子，称为因式。
2.因式分解：把一个多项式写成若干个因式相乘的形式，称为因式分解。
3.因数：若一个数a能够整除另一个数b，那么称a是b的因数，b 是a的倍数。
二、因式分解的原则1.分解的因式中只能有素数，即不能再分解。
2.同一因式在分解式中只能出现一次，不允许出现多个相同的因式。
三、因式分解的方法1.公因式法：把多项式中的公因式提出来，然后将剩余部分进行因式分解。
2.提取因式法：将多项式中的因式提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。
3.平方差公式：对于两个完全平方差的多项式，可以利用平方差公式进行因式分解。
4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后利用求和公式或平方差公式进行因式分解。
5.完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以利用完全平方公式进行因式分解。
四、常用的因式分解公式1.两个平方差的因式分解公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；a² + 2ab+ b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.一次式的因式分解公式：ax + bx = x(a + b)；ax - bx = x(a - b)；ax + ay = a(x + y)；ax - ay = a(x - y)。
五、案例分析1.因式分解：将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例如：x²-3x-10=(x-5)(x+2)。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。
因式分解的知识点总结
因式分解的知识点总结因式分解的知识点总结在日常的学习中，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
相信很多人都在为知识点发愁，下面是小编为大家整理的因式分解的知识点总结，欢迎大家分享。
因式分解的知识点总结篇1因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
提取公因式步骤：①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
分解因式注意；①不准丢字母②不准丢常数项注意查项数③双重括号化成单括号④结果按数单字母单项式多项式顺序排列⑤相同因式写成幂的形式⑥首项负号放括号外⑦括号内同类项合并。
因式分解的知识点总结篇21.因式分把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化。
2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”。
3.公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂。
注意公式：a+b=b+a;a-b=-(b-a);(a-b)2=(b-a)2;(a-b)3=-(b-a)3。
4.因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2。
5.因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式。
因式分解知识点归纳总结
因式分解知识点归纳总结
定义与基本概念
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因
式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
关系：因式分解是整式乘法
的逆过程。
分解方法
提公因式法：
公因式：多项式中的每一项都含有的因式，称为公因式。
找法：
取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数，各项中相同字母取
最低次幂的积。
公式法：
平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)完全平方公式：a² +
2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²
十字相乘法：适用于二次项系数为1的二次三项式，如x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)。
分组分解法：将多项式分组，然后提取每组的公因式或应用其他方法进行分解。
应用与重要性
应用：因式分解在数学求根作图、解一元二次方程等方面有广泛
应用，是解决许多数学问题的有力工具。
重要性：学习因式分解的方
法与技巧，不仅是掌握数学内容所需，而且对于培养解题技能、发展
思维能力都有着十分独特的作用。
注意事项
在进行因式分解时，要注意分解彻底，即分解到每个因式都不能
再进一步分解为止。
注意公因式的提取要准确，避免遗漏或错误。
熟
记并理解常用的公式和定理，以便在分解过程中灵活运用。
综上所
述，因式分解是数学中的一个重要概念和方法，通过学习和掌握相关的知识点和技巧，可以更好地应用它来解决实际问题。
因式分解知识点总结九年级
因式分解知识点总结九年级因式分解知识点总结九年级因式分解是初中数学中的重要内容之一，是解决代数问题的基础。
在九年级学习中，同学们要深入理解因式分解的概念、方法和应用，并进行大量的练习，以提高解题能力。
下面是对九年级因式分解知识点的总结。
一、因式分解的基本概念因式分解是将多项式写成乘积形式的过程，其中乘积的每一项叫做因式。
因式分解可以简化计算，方便解决问题。
因式分解有时需要运用因式分解公式，如二次差式的因式分解公式和完全平方公式等。
二、基本的因式分解方法1. 因式分解法则（1）最大公因式法则：将多项式中的公因式提取出来。
（2）公式法则：根据已知的因式分解公式进行因式分解。
（3）零点法则：利用多项式的零点实际解出因式。
2. 因式定理法则因式定理是因式分解的基础，它告诉我们，如果 a 是 f(x)的一个因式，则 f(a) = 0。
这个定理可以用来确定因式分解的一个因式。
三、因式分解的常见方法1. 公因式提取法如果多项式的各项有一个公因式，可以把它提取出来作为公因式，然后把去掉公因式后的多项式再分解。
例如：2x^2 + 4x = 2x(x+2)6a^3 + 3a^2b = 3a^2(2a+b)2. 公式法利用因式分解的公式将多项式进行分解。
例如：x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^23. 平方差公式平方差公式可以用来分解差的平方。
例如：a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)4. 完全平方式完全平方公式可以用来分解平方的和。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2四、因式分解的应用1. 方程解的求取因式分解可以用来解方程，将方程因式分解后，可以很方便地求出方程的解。
例如：x^2 - 7x + 10 = 0，可以因式分解为(x-2)(x-5)=0，得到方程的解为x=2或x=5。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
因式分解知识点归纳总结
因式分解知识点归纳总结因式分解是数学中的一个重要知识点，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。
因式分解是将一个多项式表示为乘积的形式，使得每个乘积因子都是原多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以更好地理解多项式的结构、性质和特点。
一、基本概念和思想1.多项式：由变量和常数的乘积相加或相减而成的代数表达式。
2.因式：在乘积中的每个项。
3.因式分解：将一个多项式表示为乘积的形式。
4.公因式提取：在多个项中提取出一个公共的因子，然后将其提取出来。
5.公式：将其中一种特殊形式的多项式因式分解的方法。
二、因式分解的基本方法1.提取公因子：在多个项中提取出一个公共的因子。
2.完全平方公式：将二次多项式表示为完全平方的形式。
3.平方差公式：将二次多项式表示为一个平方差的形式。
4.组合因式法：将多项式按照特定的方式分组，然后进行因式分解。
5.因式定理：根据多项式的特征和性质，通过试探法找到一个因式，然后进行因式分解。
6.代换法：通过适当的代换，将多项式转化为一个更易于因式分解的形式。
三、因式分解的应用1.简化运算：可以通过因式分解将复杂的数学计算简化为更简单的形式，提高计算的速度和效率。
2.解方程：通过因式分解将方程转化为一个乘积的形式，可以更方便地求解方程的解。
3.获得更多信息：因式分解可以给出多项式的根的信息，从而帮助我们更好地理解多项式的特点和性质。
4.拓展推广：通过因式分解的方法，可以推广到更高次数的多项式，进行更深入的数学研究和应用。
四、因式分解的注意事项1.因式分解的结果应尽可能简化，即将多项式表示为最简形式的乘积。
2.对于不同类型的多项式，有不同的因式分解方法，需要根据具体情况选择合适的方法。
3.因式分解中的变量可以是实数、复数或其他数学对象，需要根据具体情况进行分析和处理。
4.在进行因式分解时，需要注意运算规则和性质，避免出现错误。
总结起来，因式分解是数学中的一个重要概念和方法，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。
因式分解小结与复习课
x y2 x y
4 a2 a b 2aba b b2 a b
a ba2 2ab b2
a ba b2
例2 把下列多项式分解因式
1 x2 144
x 12 x 12
2 x4 81
x2 9x2 9
x2 9x 3x 3
3 4x2 20x 25
2x 52
4 4a4 12a2b2 9b4
2a2 3b2 2
例3 把下列多项式分解因式
1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1
x 1 x2 1
2 ax bx ay by
ax bx ay by
xa例4 在实数范围内分解因式．
1 x2 5
2
x2 5
2 x4 10x2 25
x2 5 2
（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进行因式分解． （2）因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止， 至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这 跟多项式的系数在使什么数集有关系，例如，在系数为有理数 的多项式组成的集合中，x2－2不能表示成两个一次多项式的 乘积的形式，但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有
x2 2 x 2 x 2
例1 把下列多项式分解因式
1 6x2 12x 6
2 x2 xy x
6 x2 2x 1
6 x 12
x x y 1
3 x2 x y y2 y x
x yx2 y2
这一章我们介绍了因式分解的两种方法：
1.提公因式法．
关键是找出各项的公因式，步骤如下：
数学中的因式分解知识点总结
数学中的因式分解知识点总结因式分解是数学中重要的基础概念之一，它在代数运算、方程求解、函数图像等领域都有广泛的应用。
本篇文章将对数学中的因式分解知识点进行总结和归纳，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是将一个数、一个代数式或一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积因子都是不可再分解的。
因式分解可以简化复杂的式子，方便进行进一步的计算和求解。
在因式分解中，常用的因式分解形式有公因式、差平方公式、完全平方式、三项完全平方式等。
二、公因式的因式分解公因式是多个代数式的公共因子，通过提取公因式，可以将一个多项式进行因式分解。
公因式的因式分解是因式分解的基础，也是其他形式的因式分解的前提。
公因式分解的关键是找到所有项的公共因子，然后将其提取出来作为公因式。
三、差平方公式的因式分解差平方公式（a²-b²）=(a+b)(a-b) 是平方差公式的一个特例。
差平方公式的因式分解运用了平方差公式的性质，通过将一个二次多项式表示为两个一次多项式的乘积形式，从而进行因式分解。
在应用差平方公式进行因式分解时，需要根据具体的题目要求，将其转化为差平方的形式，然后使用差平方公式进行因式分解。
四、完全平方式的因式分解完全平方式是将一个二次多项式表示为两个一次多项式乘积的形式，数学中非常常见的一种因式分解形式。
完全平方式的因式分解要求将二次多项式写成一个二次平方的形式（(a±b)²），然后应用完全平方式进行因式分解。
在应用完全平方式进行因式分解时，需要根据题目给出的多项式，将其转化为完全平方式的形式，然后应用完全平方式进行因式分解，得到最终的结果。
五、三项完全平方式的因式分解三项完全平方式是将一个三次多项式表示为三个一次多项式乘积的形式，同样也是一种常见的因式分解形式。
三项完全平方式的因式分解要求将三次多项式写成三个完全平方式的乘积形式（(a±b)³），然后应用三项完全平方式进行因式分解。
湘教版七年级数学下册教案《因式分解》小结与复习
课题：《因式分解》小结与复习学习目标：1、复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.2、熟悉本章的知识结构图.3、通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.4、通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.重点：复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.难点：利用分解因式进行计算及讨论.教学过程：一、本章知识结构：二、概念复习：（出示ppt课件）1. 什么叫多项式的因式分解？因式分解与多项式的乘法有什么关系？把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
因式分解ma+mb+mc m(a+b+c)整式乘法2. 什么叫公因式？怎样确定公因式？提公因式法？一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定：系数：取各系数的最大公约数；字母：取各项相同的字母；字母的指数：取最低指数。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
注意几个式子的变形规律：x-y=-(y-x) -x-y=-(x+y)(x-y)2=(y-x) 2(x-y) 3=-(y-x) 3一般步骤：（1）确定应提取的公因式；（找）（2）提出公因式，注意另一个因式如何确定；（提）（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
（写）3.写出公式法分解因式时所用的公式.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²二次三项式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)4、分组分解法：(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2因式分解的一般步骤：一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公式；三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提”或能“套”。
因式分解知识点归纳总结
乡镇开展安全生产大检查大排查大整治工作方案乡镇开展安全生产大检查大排查大整治工作方案为进一步落实全区安全生产紧急会议要求，深刻汲取教训，举一反三，强化监管和防范措施，进一步强化安全风险防控，全面彻底排查各类安全隐患，切实堵塞安全漏洞，确保公共安全和群众生命财产安全。
X街办按照上级各项要求，结合辖区自身实际，特制定方案如下：一、工作目标认真落实全区安全生产紧急会议要求，深刻汲取教训，举一反三，强化监管和防范措施，全面彻底排查各类隐患，切实堵塞安全漏洞，确保公共安全和群众生命财产安全。
要通过深入开展安全生产大检查、大排查，进一步夯实各级安全监管责任，严格执行各项安全监管和风险防控措施，督促企业落实安全生产和隐患排查两个主体责任。
严厉打击非法违法生产经营建设行为，整治消除一批安全隐患，规范全辖区安全生产秩序，坚决遏制重、特大生产安全事故发生，为我区、街办实现“追赶超越”提供稳定的安全保障。
二、组织机构三、检查方式和重点内容此次安全生产大检查大排查采取企业自查，街办检查排查的方式进行，主要内容有：(一)企业自查(即日起至X月X日)街办辖区内各类企业要严格落实安全生产主体责任和隐患排查主体责任，按照通知要求，深入组织开展安全隐患自查自改工作。
企业主要负责人要亲自安排部署检查，切实履行安全生产第一责任人的法定责任和义务。
要成立安全隐患整治小组，针对重点环节、关键岗位和危险因素组织多轮次的隐患排查。
对发现的各类安全隐患要逐条建立隐患台账，明确整改责任人和整改时限，确保整改到位。
各村委会、社区、机关各科室要及时将本通知及时下发至各自辖区内各类生产企业，机关个科室要指导各自包村范围内企业开展隐患自查工作。
(二)街办检查及隐患整治(X月X日至X月X日)各村委会、社区、机关科室是本辖区检查排查工作的组织实施主体，要严格落实属地监管责任，组织开展大检查、大排查。
要针对辖区实际，深入分析，查找风险因素，扎实细致开展整治工作，要严格落实通知文件相关要求，细化隐患整改措施和标准，对发现的安全隐患和违法行为要建立清单，进行详细记录，汇总相关情况上报街办综治办，由综治办整理汇总后上报上级相关部门。
因式分解的知识点总结
因式分解的知识点总结1. 什么是因式分解？因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式的过程，其中每个乘积因子称为因式。
因式分解是代数学中重要的基础概念，它在解方程、求导数、化简算式等数学问题中都有广泛的应用。
2. 基本原理2.1 因式分解的基本原则是根据多项式的各项之间的关系，将其从一个形式变换为另一个形式。
常见的因式分解方法有以下几种：•公因式法：将多项式中的一个公因式提取出来，形成因式分解的结果。
•配方法：根据两项之间的关系，通过配方将多项式分解为二次因式。
•分组分解法：将多项式中的项进行合理的分组，然后在每组中提取公因式进行分解。
2.2 因式分解的基本原理可以总结为以下几点：•同符号原理：多项式中的每一个项都必须具有相同的符号。
•分配律：可以将乘法在加法之前或者在加法之后进行运算。
3. 常见的因式分解方法3.1 公因式法公因式法是最基础也是最简单的因式分解方法之一。
其基本思想是将多项式中的一个公因式提取出来，得到因式分解的结果。
例如，对于多项式3x2+6x，我们可以提取出公因式3x，得到因式分解的结果为3x(x+2)。
3.2 配方法配方法主要适用于二次因式的因式分解。
其基本思想是根据二次项的特点，通过猜测与配方的方式将多项式分解为两个括号内相乘的形式。
例如，对于多项式x2+5x+6，我们可以通过猜测将其分解为(x+2)(x+3)。
3.3 分组分解法分组分解法适用于多项式中存在多个项的情况，通过合理的分组和提取公因式的方式进行因式分解。
例如，对于多项式ab+ac+bd+cd，我们可以进行分组得到(a+b)(c+d)，从而得到因式分解的结果。
4. 示例下面通过几个具体的示例来进一步说明因式分解的方法和原理。
4.1 示例一：公因式法考虑多项式6x2+9x，我们发现它的公因式是3x，因此可以将其分解为3x(2x+3)。
4.2 示例二：配方法考虑多项式x2+7x+10，我们可以通过配方法将其因式分解为(x+5)(x+2)。
七年级数学下册导学案：因式分解小结与复习
因式分解小结与复习一、因式分解的概念例1下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为( )A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.解：选C.二、因式分解的方法例2 因式分解：2(a-3)2-a+3= .分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.例3 因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+2×2m×3(m+n)+ [3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2= (5m+3n)2.注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用.例4 因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化.解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三、因式分解相关的计算例5 已知x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代入求解.解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2= 4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=4a4-8a2b2+4b4.例6 计算.分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.解： ==.四、因式分解相关的说明例7 已知a2+b2=1，x2+y2=1.试说明： (ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考虑将左边因式分解.(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).因为a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.五、因式分解的实际应用例8 已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88 cm，它们的面积相差836 cm2，求这两个正方形的边长.分析：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，则根据它们的周长相差88 cm，可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836 cm2，所以x2-y2=836，根据这两个方程可求出x，y的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形，求解.解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，根据题意得方程组等价于将③代入④，得x+y=38⑤.③和⑤组成方程组得解得x=30，y=8.所以大正方形的边长是30 cm，小正方形的边长是8 cm.误区点拨误区一因式对分解的概念理解不透彻例1 下列从左到右的变形是分解因式的是( )A. B.C. D. =错解：选B、C、D.错因分析：B中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，C中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.正解：选A.误区二多项式分解不彻底例2 因式分解a4-2a2+1.错解： a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2.错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2 (a-1)2.正解：a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2 (a-1)2.误区三利用公式出现偏差例3 因式分解 (x+y)2-4xy.错解：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).错因分析： 4xy不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.正解： (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.误区四提公因式漏项例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.错解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).错因分析：最后一项提取公因式3abc后，还剩余1单独成一项.正解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).教学反思：。
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第五课时
教学内容:
小结与复习(P19)
教学目标
回顾思考本章内容，进一步了解因式分解的意义和因式分解的方法，同时掌握因式分解的基本要求，并会对简单的多项式进行分解。
教学重点和难点
教学重点：梳理所学内容，形成知识间的联系。
教学难点：形成因式分解的一般理论，会对多项式熟练地进行因式分解。
教学手段
幻灯片。
教学过程
一、知识回顾
（出示投影１）
思考：
１、举例说明什么是因式分解？
２、如何确定多项式中各项的公因式？
３、公式法分解因式的依据是什么？
4、因式分解的一般步骤与要求是什么？分解时应注意些什么事项？
针对以上问题，让学生逐个思考，并与同伴展开充充分分讨论，老师针对讨论情况补充归纳。
二、归纳知识
（出示投影２）
1、提公因式法的关键是找出各项的公因式，步骤如下：
①、公因式的系数，如果多项式的系数是整数，则取各项系的绝对值的最大公因数作为公因数，如果原灭多项式的第一项系数为负则把负号提出，此时括号内的各项要变号。
②、公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的。
③、公因式含的式子是各项中相同的式子，该式子的指数取各项中次数最低的。
２、公式法分解因式，可依据平方差、完全平方公式从右到左地使用，就可以把某些多项式因式分解。
即按公式a²－b ²＝(a＋b) (a－b)和a ²± 2ab＋b ²＝(a±b) ²进行。
３、因式分解的步骤及要求：
①、常常先提公呃再用公式法进行因式分解；
②、因式分解一定要进行到每一个因式不能再分为此；
③、多项式因式分解结果中常用小括号括号出现，因式不含中括号；
④、多项式第一项为负数系数常先提出负号使分解后一因式的第一项系数为正。
４、因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为此。
三、深化知识
（出示投影３）
例１、分解因式１－a²－b²＋2ab。
（出示投影４）
例２、已知a、b、c是ΔABC的三边长，且满足a²＋b²＋c²－ab－bc－ac，试判断ΔABC的形状。
四、随堂练习
Ｐ２０Ａ组第１题。
五、课堂小结
本节课复习了本章内容，要求同学们回顾学习中存在的问题及收获，认真总结，逐步提高因式分解等数学能力。
主要巩固了非负数的应用及平面直角坐标系中点的坐标等知识，要求灵活运用所学知识解决问题。
六、布置作业
P２０Ａ组练习第２题。