【考研数学】教材必做课后题(1)

合集下载

考研数学教材试题及答案

考研数学教材试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，则方程 $ f(x) = 0 $ 的根为：A. $ x = 0 $B. $ x = 1 $C. $ x = 3 $D. $ x = 2 $2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是：A. 0B. 1C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \infty $3. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值为 $ \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x dx $ 的值为：A. $ \frac{1}{2} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{4} $D. $ \frac{1}{6} $4. 设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $，则$ AB $ 的值为：A. $ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $B. $ \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $C. $ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} $D. $ \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $5. 设 $ \vec{a} = (2, 3) $，$ \vec{b} = (-1, 2) $，则$ \vec{a} \cdot \vec{b} $ 的值为：A. 4B. 5C. 6D. 76. 若 $ y = e^{2x} $，则 $ y' $ 的值为：A. $ 2e^{2x} $B. $ e^{2x} $C. $ 2e^x $D. $ e^x $7. 设 $ z = x^2 + y^2 $，其中 $ x = \cos t $，$ y = \sin t $，则 $ \frac{\partial z}{\partial t} $ 的值为：A. $ -2\cos t - 2\sin t $B. $ -2\cos t + 2\sin t $C. $ 2\cos t - 2\sin t $D. $ 2\cos t + 2\sin t $8. 若 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 收敛，则级数$ \sum_{n=1}^{\infty} na_n $ 必定：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛9. 设 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上连续，则 $ \int_I f(x) dx $ 的值：A. 一定存在B. 可能不存在C. 一定为正D. 一定为负10. 若 $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L $，则$ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 的值为：A. $ \infty $B. $ -\infty $C. 0D. L答案：一、选择题1. D2. B3. A4. B5. A6. A7. D8. B9. A10. D。

考研数学复习教程答案详解高数部分

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==，而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=，即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=，利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=，故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

考研数学必做课后习题

第一轮复习：基础知识自我复习高等数学第一单元（课前或课后复习内容）计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第一章函数与极限第1章第1节映射与函数（P1——P23）第1章第2节数列的极限（P23——P31）第1章第3节函数的极限（P31——P39）第1章第4节无穷小与无穷大（P39——P42）第1章第5节极限运算法则（P43——P50）本单元中我们应当学习——1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注2.5h 第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6) (8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数2h 第1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5) (8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

2h 第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

1h 第1章第4节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系习题1－44,6★1,5 大家要搞清楚无穷大与无界的关系2h 第1章第5节极限运算法则极限的运算法则(6个定理以及一些推论)习题1－51(5)★(11)★(13)★, 3★,51(9)(10)(14),2(1),4有理分式函数当x 的极限要记住结论，以后直接使用。

2011考研数学1线性代数教材上要学习的任务和课后题

《考研数学学习进程监控习题汇编》线性代数部分
第二章
2.5小时
第3章第1节
n维向量及其线性相关性
n维向量的概念，n维实向量空间Rn的定义
向量的加法、数乘运算及其运算规则
向量的线性组合和线性表示的定义
向量组的线性相关、线性无关的定义
向量组线性相关性判定的几个定理
第3章习题
1,3,5,8,9,10,11★
26,27,28,29
25
3小时
第6章
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法，总结归纳单元测试题中错题的知识点、题型
《考研数学学习进程监控习题汇编》线性代数部分
第五章
4
3(2)(3)
1．了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．
2．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．
3．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．
4．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．
第4章第2节
Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵
内积的定义和运算性质
2．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．
4．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．
第3章第5节
非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
非齐次线性方程组有解的几个等价命题（定理3.15）和推论
非齐次线性方程组的解的性质
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．
3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．
第6章第2节
化二次型为标准形

【考研数学】教材必做课后题

第四章
1. 2.至18; 20至36.
第五章
第六章
第2节直方图和箱线图
1. 2.至9.
第七章
第2. 6。7节。
1。2。3。4. 7。8. 9.10。11.12。14.至18。19.
第八章
第4至8节
1. 2. 3。4。5。
总习题九
1.2.5。9。10.11。（数一：14.15.16。17。18。）
第十章第一节
10—1：4（A).5(B）。
第二节
二重积分的换元法
10—2:1。2.4.5。6。9.10.11.12.13.14.15.
第三节
数二。数三不要求
10—3：4.5。6.7.9.10。11。
第四节
数二。数三不要求
10-4:1.4。5。7(1）。8.9。11。
第二章第一节
2-1：3. 6。7。8.10至20.
第二节
2—2: 2（B）.3。4。5。6(B）.7(B）. 8（B). 9.
10。11(B)。13.14.
第三节
2—3：1（B)。3. 4。9.10。11.12.
第四节
相关变化率数三
2—4：1。2。3. 5。7.8（B）.（数一。二10.11。12）
第三节
可化为齐次的方程
7-3：1（A)。2(B）. 3.
第四节
例2.伯努利方程(数一要）
7—4:1(B)。2（A)。3。4。6。7（1)（2).8（B).
第五节
例4.例6.数学三不要求
7—5:1(B).2（A).3。
第六节
例2．常数变易法
7—6：3。
第七节
例4;例5．
7—7:1(A)。2。(B)
第八节

2021年12月27日考研数学真题+逐题解析(数一)

，3
1
，记
1
1 ，2
2
k1
，3
3
l11
l2 2
，
1
1
2
若 1 ， 2 ， 3 两两相交，则 l1 ， l2 依次为
(A) 5 , 1 . 22
(B) 5 , 1 . 22
(C) 5 , 1 . 22
(D) 5 , 1 . 22
(7)设 A, B 为阶实矩阵，下列不成立的是
(A) lim n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
.
(B)
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 n
.
(C)
lim
n
2n k 1
f
k 1 2n
1 n
.
(D) lim x0
2n k 1
f
k 2n
2 n
.
【答案】B.
【解析】由定积分的定义知，将 0,1 分成 n 份，取中间点的函数值，则
(1)求 X 的概率密度；
(2)求 Z 的概率密度.
(3)求
E
X Y
.
3
2021 考研数学真题
数学（一）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
(1)函数
f
(
x)=
e
x
x
1
1
1
3
(6)已知 1
0
， 2
2
，3

考研数学必做课后习题(同济)

高等数学课后习题解读总习题一：1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。

而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。

所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。

2是无穷小的阶的比较3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题总习题二：1填空题，不多说了，重点2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a 处的情况是不清楚的。

而对(A)项来说只能保证右导数存在。

只有(D)项是能确实的推出可导的3物理应用现在基本不要求了4按定义求导数，不难，应该掌握5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容8求二阶导数，同上题9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可10求隐函数的导数，重要，常考题型11求参数方程的导数，同样是常考题型12导数的几何应用，重要题型13、14、15不作要求综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路总习题三1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法9非常见题型，了解即可10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握11不等式，一般可用导数推征，典型题12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些14、15、16不作要求17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……积分的题目是做不完的。

教材复习中必做的课后习题推荐-高数(下)

教材基础阶段复习中必做的课后习题推荐推荐教材：高等数学，同济大学第六版，高等教育出版社注意：未注明的部分，数一、数二、数三都要求！第八章：空间解析几何与向量代数（只数一要求）习题8-1: 4, 5, 12, 15, 17;习题8-2: 1, 2, 3, 6, 10;习题8-3: 5, 10(1)(4);习题8-4: 1, 4, 5(1), 7;习题8-5: 1, 3, 5, 8(3), 9;习题8-6: 1, 2, 5, 7, 12, 15;总习题八：不做3, 4, 5，其余全做.第九章：多元函数微分学及其应用习题9-1: 6(2)(4)(6), 7(2), 9;习题9-2: 1(2)(4)(6)(8), 4, 6(2)(3), 8;习题9-3: 1(3)(4), 2, 5;习题9-4: 2, 5, 8(3), 10, 11, 12(4);习题9-5: 2, 6, 7, 9, 10(3), 11;习题9-6（数一）: 6, 8, 10;习题9-7（数一）:2, 5, 7, 10;习题9-8: 1, 3, 11, 12;习题9-9: 不做; 习题9-10: 不做;总习题九：不做7, 其余全做.第十章：重积分习题10-1: 2, 5(4);习题10-2: 1(2)(4), 2(2)(4), 4(3)(4), 6(4)(5)(6), 7, 10, 12(2)(3), 13(4), 14(3), 15(2)(3), 18;习题10-3（数一）:1(2)(3), 2, 5, 6, 9(1), 10(1), 11(3)(4), 12(4);习题10-4（数一）:2, 3, 4(3), 5, 7(1); 习题10-5: 不做;总习题十：（数一、二、三）1-6, （数一）7-13.第十一章：曲线积分与曲面积分（只数一）习题11-1: 3(3)(4)(5)(8);习题11-2: 3(1)(3)(4)(6)(8), 4(2)(4), 7(2)(3);习题11-3: 2(1), 3, 4(3), 5(2)(3)(4), 6(4)(5), 8(4), 9;习题11-4: 4(2), 5(1), 6(2)(4);习题11-5: 3(1)(3)(4), 4;习题11-6: 1(2)(4), 2(1), 3(1);习题11-7: 2(1)(3), 3(1), 7;总习题十一：9, 10, 11不做，其余都做.第十二章：无穷级数（只数一、数三）习题12-1: 3(2)(3), 4(3)(5);习题12-2: 1(2)(4)(5), 2(3)(4), 3(3)(4), 4(4)(5)(6), 5(3)(4)(5);习题12-3: 1(3)(5)(6)(8), 2(1)(2)(3);习题12-4: 2(4)(5)(6), 4, 6;习题12-5: 不做;习题12-6: 不做;习题12-7（数一）: 4, 6;习题12-8（数一）: 1(3);总习题十二：（数一、数三）1-9, （数一）10, 11, 12.下册的内容数二和数三要求的部分相对比较少，数一都要求，数一加油！。

考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析

考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析一、矩阵的运算矩阵的加法、乘法、转置以及数量乘法等是矩阵运算的基本操作。

矩阵的加法和乘法具有结合律、交换律和分配律等基本性质。

1.1 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，定义为它们对应元素相加所得到的矩阵。

即，如果A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A + B = [a_ij + b_ij]。

1.2 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，它们可以进行乘法运算，记作C = AB。

矩阵C的元素c_ij可以表示为c_ij =∑(a_ik * b_kj)。

其中∑表示求和符号，k表示对应元素的相同下标。

1.3 矩阵的转置对于一个矩阵A，它的转置记作A^T。

即，如果A = [a_ij]，则A^T = [a_ji]。

也就是说，矩阵A的行变为转置后矩阵的列，矩阵A的列变为转置后矩阵的行。

1.4 数量乘法一个数与一个矩阵的乘积称为数量乘法。

对于一个数k和一个矩阵A，它们的乘积记作kA。

即，kA = [ka_ij]。

其中ka_ij表示矩阵A中每个元素乘以k所得到的矩阵。

二、线性方程组线性方程组是线性代数的重要内容之一。

解一个线性方程组就是找到一组使得方程组中所有方程都成立的未知数的值。

通常通过矩阵的方法来解线性方程组，有三种常用的解法：高斯消元法、克拉默法则和逆矩阵法。

2.1 高斯消元法高斯消元法是通过矩阵的初等变换将线性方程组化为最简形式，从而求解方程组。

具体步骤如下：1) 将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成增广矩阵；2) 逐行进行初等变换，使得增广矩阵的主对角线元素为1，其他元素为0；3) 对增广矩阵进行回代，求出方程组的解。

2.2 克拉默法则克拉默法则是通过行列式的性质来解线性方程组。

对于一个n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解，且每个未知数的值可以通过求解n个行列式得到。

2.3 逆矩阵法逆矩阵法是通过求解方程AX = B来解线性方程组。

考研数学笔记答案版

二.
向量 ................................................................................................................................ 41
三.
线性方程组 .................................................................................................................... 42
三.
导数·微分 ...................................................................................................................... 4
A 导数公式........................................................................................................................... 5
五.
期望·方差 .................................................................................................................... 49
六.
大数定律·中心极限定理............................................................................................. 51

数二高数课后题(考研)

2012届钻石卡学员考研数学学习计划（基础阶段）数学二——高等数学第一单元学习计划——函数、极限、连续本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习-—1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则,会利用其求极限;两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念,左、右连续的概念,判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质。

第一单元调整学习计划第二单元学习计划——一元函数微分学本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.导数和微分的概念、关系,导数的几何意义、物理意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2.导数和微分的四则运算法则,复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3.高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数；4.会求以下函数的导数:分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange)中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；6.会用洛必达法则求未定式的极限;7.函数极值的概念,用导数判断函数的单调性,用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值;8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．第二单元学习计划调整任务第三单元学习计划——不定积分本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.原函数、不定积分的概念；2.不定积分的基本公式，不定积分的性质，不定积分的换元积分法与分部积分法；第三单元学习计划调整任务第四单元学习计划——定积分及其应用本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.定积分的概念和性质，定积分中值定理；2.定积分的换元积分法与分部积分法;3.积分上限的函数的概念和它的导数,牛顿—莱布尼茨公式；4.反常积分的概念与计算;5.用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，函数的平均值．第五单元学习计划——常微分方程本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1. 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;2. 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；3. 齐次微分方程的解法；4. 可降阶微分方程：()(),(,)(,)n yf x y f x y y f y y ''''''===和的解法；5. 线性微分方程解的性质及解的结构；6. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.第五单元学习计划调整任务第六单元——向量代数和空间解析几何(考研数学二不要求）第七单元学习计划——多元函数微分学本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.二元函数的概念与几何意义；2.二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质；3.多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性，会求全微分；4.多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；5.隐函数存在定理，计算多元隐函数的偏导数;6.多元函数极值和条件极值的概念,二元函数极值存在的必要条件、充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值.第七单元学习计划调整任务第八单元学习计划——重积分本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.二重积分的概念和性质，二重积分的中值定理；2.会利用直角坐标、极坐标计算二重积分.第八单元学习计划调整任务第九单元——曲线积分与曲面积分（考研数学二不要求）第十单元——无穷级数（考研数学二不要求）。

高等数学考研必做课后题

高等数学考研必做课后题第一篇：高等数学考研必做课后题同济五版，课后典型习题习题1--4.题6.题7.习题1--5题1中选做偶数的。

习题1--6题2.题4中的第三小题。

习题1--7题4.习题1--8题2.题3.习题1--9题3题4.习题1--10题2.题4题5.总习题一题8.题13 习题2--1题6.题16.习题2--2题6题7题8题12.习题2--3题3.题4题9.习题2--4题1.题7.题8.总习题二题2.题5习题3--1题1.题5.题6.题8.题9.题10.题12.题13.习题3--2题1中做偶数的。

题4.习题3--3题4.题5.题7.题10.题3--4题4.题5.题14.习题3--5题2题3.总习题全做。

习题4--1题1.习题4--2题2习题4--3做偶数的。

习题4--4做2.5.6.13.15.20.总习题四全做习题5--2题1.题2.题3.题5.题6.题9.题10.题11.题12.习题5--3题1做偶数的.题8.题10.习题5--4题2.题3.总习题五题3.题5题7.题8.题10.习题6--2题2.题7.题13.数一数二再做题25，题30.第七章空间解析几何和向量代数数二数三不考。

数一看看基本内容就行。

同济六版高数下册课后的习题9-2题3.题4题7.题8习题9-3题1题2题5习题9-4题5题7题10题12习题9-5题6题7题8习题9-8题1题2题5总习题题5题10.数一题18.数三题19 习题10-1题2习题10--2题1题2题6题13题14题15数一习题10--3题5题9题10习题11-1题3中的奇数11--2题3中的偶数习题11--3题1题5题9习题11--4题6习题11-5题3习题11--6题1习题11--7题2总习题十一题4题7习题12--3题2习题12--4题3题4题5题6数一题2第二篇：历年考研数学真题高等数学部分考查历年考研数学真题高等数学部分考查重点一、函数、极限与连续1.求分段函数的复合函数;2.求极限或已知极限确定原式中的常数;3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;4.无穷小阶的比较;声明：本资料由大家论坛考研论坛5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

张宇2013考研数学辅导讲义高等数学第1,2章习题详解(理工类)

"
+
$ ) # $ 0 , 1 ) $ " # . / 0 ) & , " ! ) + , ! + $ & ) ( ) ( $ 6 7 ( ( 6 7 ) ) "& ) & $ " , - &! ! + % ) ($ 6 7 " & ( ) " " " "# % + 1 " # & "# " " "# % + 1 " # & "# " * 改为) * ! # " 题目中) + , -$ + , -$ % & & "( ( "( ( " " " " "# % + 1 " # & "# $" 分析 ! ! ! 3 % + , ! ( !设 & "( ( "
/" "# " "# $ 原式! + , ! $ /( % "( ( & &
令"! ! 得. # (代入原式得. /# ! " /" ( ! & % ' . " "# # " ' + , -. & ! " % "( ( " 分析 " ! % " " 8 9 . : 8 1 ' "# "# !原式!
+

考研数学——线性代数——习题及解答

第一部分矩阵本部分是全课程的基础,特别是计算的基础. 本部分概念多,因此考点也多.关键性概念:矩阵的初等变换,矩阵的乘法,可逆矩阵.一. n 阶行列式的计算计算n 阶行列式不一定用递推法或数学归纳法，一些简单的n 阶行列式可对某行(列)展开直接求得值;有些可化为三角行列式;还有的可用特征值计算.例1 1 0 0 … … tt 1 0 … … 0 0 t 1 … … 0 . … … … … 0 0 0 … t 1例2 证明 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑ .… … … …0 0 0 … b n-1 c n(就是要证明M 1i=b 1…b i-1 c i+1…c n .)例3 证明 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0b 2 0c 2 … 0 0 =011111n nii i i i n i i a c c ca b c c -+==-∑∏ .… … … … b n … 0 c n例4 ① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2这些行列式都可以先求出相应矩阵的特征值来求值.例5 计算444342414433332313423222212413121111x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a ++++ ，其中12340x x x x ≠.解444342414433332313423222212413121111x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a ++++13111214123423212224123412343132333412344341424412341111a b a b a b a b x x x x a b a b a b a b x x x x x x x x a b a b a b a b x x x x a b a b a b a b x x x x ++=++矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++1111444334224114443333223113442332222112441331221111x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a E x b x b x b x b a a a a +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),,,(443322114321 特征值为4443332221111,1,1,1x b a x b a x b a x b a ++++相应行列式为4443332221111x b a x b a x b a x b a ++++原行列式的值43122432114321x x x b a x x x b a x x x x ++=3214442133x x x b a x x x b a ++例6 证明2222121212a a a a a a a()1n n a =+证明 222222121321012221122aa a a aa a a a A aaa a==2130124034(1)2(1)3231(1)0n a a aa a n a a n a nn a n+ ==⋅⋅⋅=++二. 矩阵的初等变换和初等变换法问题：①什么时候可用列变换？②如果两类变换都可以用，能否交替使用？1.初等变换的作用除了计算行列式，矩阵的初等变换应用在两个方面: (1) 用在线性方程组类问题上对线性方程组的增广矩阵作初等行变换反映了方程组的同解变换. 这方面的应用只可用行变换,决不可用列变换. (2) 计算矩阵和向量组的秩初等行变换和初等列变换都保持矩阵的秩.因此两类变换都可以用,并且可交替使用. （但是如果要求极大无关组，则只可用行变换）每一种应用都要用到下面的基本运算:用初等(行)变换把一个矩阵化为阶梯形矩阵或简单阶梯形矩阵. 用初等行变换把可逆矩阵化为单位矩阵.2. 初等变换法(1)求方程组的唯一解当A 是可逆矩阵时, AX =β唯一解,求解的初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η), 则η 就是解.(2) 解矩阵方程有两种基本矩阵方程:(I) AX =B . (II) XA =B .在A 是可逆矩阵这两个方程都是且唯一解.(I) AX =B 是线性方程组的推广,求解方法:将A 和B 并列作矩阵(A |B ),对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X :(A |B )→(E |X )(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T =B T .再用解(I)的方法求出X T.. (A T |B T )→(E |X T )(3) 当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)近几年考题中常见的一类求矩阵的题, 可利用矩阵方程求解:给定了3阶矩阵A 的3个线性无关的特征向量α1,α2,α3,和它们的特征值，求A ,(给定6个3维列向量α1,α2,α3,β1,β2,β3,求一个3阶矩阵A ,使得A α1=β1, A α2=β2, A α3=β3.)例7 A 是3阶矩阵的向量α1=(-1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解, (1) A 的各行元素之和都为3, 求A .(06) (2) A 是3阶实对称矩阵,求A .解根据题意有100020101010A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，.(1)A 的各行元素之和都为3，则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333111A .建立矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000333110121111A再用初等变换法求出111111111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(2)0=Ax 有两个线性无关的解,,21αα则 32r A -()≥. ()1r A ≤. 再由()3()1tr A r A =⇒=. 所以A 的特征值为0，0，3.由于A 是实对称矩阵，属于3的特征向量与21,αα都相交，即满足⎩⎨⎧=+-=-+-00232321x x x x x 求得一个非零解,1113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α即333αα=A建立矩阵方程 )0,0,3(),,(3213αααα=A .例8二次型f(x 1,x 2,x 3)= X T AX 在正交变换X =QY 下化为y 12+y 22, Q 的第3列为(22,0,22)T.求A . 解有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001AQ Q T . 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000100011AQ Q .则A 的特征值为0,1,1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22022是A 的特征向量，特征值为0，从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101也是A 的特征向量，特征值为0.求A 的属于1的两个无关特征向量，即()0A E x -=的非零解它们都与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101相交，即满足方程组 031=+x x .(实际上它和()0A E x -=同解)，求出两个无关解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101,010.建立矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000101010101101010A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010001010110001110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010100201010001010001010110001110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→2102101021021100010001 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10102010121A*设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,-1,(0,1,1)T是属于-1的特征向量,求A .(1995).*设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3,(1,1,-1)T 和(-1,2,1)T分别是属于1和2的特征向量,求A .(1997)*设3阶实对称矩阵A 的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T 和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量.求A .(2004).*3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,-2, (1,-1,1)T是A 的属于1的特征向量.记 B =A 5-4A 3+E .(1) 求B 的特征值和特征向量. (2) 求B .(07)三．矩阵乘法的两个规律,矩阵分解① A (α1, α2,…, αs )= (Aα1,Aα2,…,Aαs ).② 若A =(α1, α2,…, αn ), B =(β1, β2,…, βn )T ,则A B =α1β1 +α2β2 +…+αn βn .乘积矩阵AB 的第i 个列向量是A 的列向量组的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量的各分量.(从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示.)乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量. (AB 的行向量组可以用B 的行向量组线性表示.)近几年考题中常见的又一类求矩阵的题是利用矩阵分解求解.设A 为3阶矩阵, α1, α2, α3是3维列向量组,知道了A α1,A α2,A α3对α1, α2, α3的分解,求矩阵B ,使得A P =P B . P =(α1, α2, α3).例9（2005）设A 为3阶矩阵, α1, α2, α3是线性无关的3维列向量组,满足A α1=α1+ α2+ α3, A α2=2α2+α3, A α3=2α2+3α3.求作矩阵B ,使得A (α1, α2, α3)=( α1, α2, α3)B .解：三种方法对照方法一：设,332313322212312111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b b b b b bb b B 则 B A ),,(),,(321321αααααα=可化为)32,2,(3232321ααααααα++++),,,(333223113332222112331221111αααααααααb b b b b b b b b +++++=得,331221111321ααααααb b b ++=++ 由于321,,ααα无关，得1,1,1312111===b b b .用同样方法求得1222320,2,1b b b ===, 3,2,0332313===b b b .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320120111B方法二：AP P B 1-=.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==----100010001),,(,3121111αααP P P E P P 有得1111231000,1,0001P P P ααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，)32,2,(32323211ααααααα++++=-P B)32,2,31213121312111ααααααα-------++++=P P P P P P P ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111.方法三(矩阵分解法)B A ),,(),,(321321αααααα=.)32,2,(3232321ααααααα++++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111),,(321ααα.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111B .方法三是直接求出了B ，并且不必要求321ααα线性无关！例10(2008)已知α1,α2,都是3阶矩阵A 的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 α3满足A α3=α2+α3.(1) 证明α1, α2, α3线性无关.(2) 记P =(α1, α2, α3),求P -1A P . (3) 证明A 不相似于对角矩阵. (4) 求A 的所有特征向量.例11（2001）设A 是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P =(α,A α,A 2α)可逆,并且A 3α=3A α-2A 2α. (1)求3阶矩阵B 使得A =P B P -1.(2)计算|A +E |.(3)求A 的特征值.用矩阵分解求行列式用矩阵分解估计秩和判断向量组的相关性(C 矩阵法)四. 可逆矩阵的充分必要条件n 阶矩阵A 可逆⇔ A 的行列式|A |≠0⇔ r(A )=n⇔ A 的列(行)向量组线性无关. ⇔ AX =0只有零解(AX =β有唯一解) ⇔ 0不是A 的特征值.(A -c E 可逆⇔c 不是A 的特征值.)例12 设n 阶矩阵A 满足A 2+3A -2E =0.对任何有理数c, 证明A -c E 可逆. 解：方法一：令cE A B -=,即cE B A +=，则02)(3)(2=-+++E cE B cE B 0)23()32(22=-++++E c c B c B . E c c E c B B )23(])32([2-+-=++.0232=-+x x 的两根为21732893±-=+±-，因此当c 是有理数时，0232≠-+c c . 则E c c )23(2-+-可逆，从而B 可逆. 方法二：只用说明有理数c 不是A 的特征值.由0232=-+E A A ，A 的特征值满足 0232=-+λλ.而有理数c 不满足此式，因此不是A 的特征值.例13 设n 阶矩阵A ,B 满足AB =a A +b B +c E ,其中0ab c +≠,证明A -b E 和B -a E 都可逆.解方法一：只用证))((aE B bE A --可逆.abE bB aA AB aE B bE A +--=--))((＝E c ab )(+∵0ab c +≠，E c ab )(+∴可逆，得)(),(aE B bE A --都可逆. 方法二：先证a 不是B 的特征值，从而aE B -可逆. 用反证法，若有向量0≠η，值得,ηηa B =则ηηηηc bB aA AB ++=， ηηηηc ab aA aA ++=得0)(=+ηc ab ，与条件0≠+c ab 矛盾要证b 不是A 的特征值，只用证b 不是TA 的特征值. 对cE bB aA AB ++=两侧转置，得cE bB aA A B T T T T ++=，用上法可证b 不是TA 的特征值，从而不是A 的特征值.例14 设α是n 维非零列向量,记A =E -Tαα.证明1Tαα=⇔ A 不可逆. (96) 证明 Tαα的特征值为0,,0,T αα .A 不可逆⇔1是T αα的特征值⇔1T αα=.例15 已知n 阶矩阵A ,B 满足E -AB 可逆,证明E -BA 也可逆,并且(E -BA )-1=E +B (E -AB )-1A . 证明 1()[()]E BA E B E AB A --+-1()()E BA E BA B E AB A -=-+--1()()E BA B BAB E AB A -=-+-- 1()()E BA B E AB E AB A -=-+--.E BA BA E =-+=例16 设A ,B 都是n 阶矩阵,证明c E -AB 可逆⇔ c E -BA 可逆. 证明当0=c 时，即AB -可逆BA -⇔可逆. 而||||||)1(||BA B A AB n-=-=-.结论显然下设0≠c .方法一：左⇒右，即设AB cE -可逆，证BA cE -可逆.构选BA cE -的逆矩阵11[()]E B cE AB A c-+-11[][()]cE BA E B cE AB A c--+-])()([11A AB cE B BA cE BA cE c ---+-= 11[()()]cE BA B cE AB cE AB A c-=-+--E =. 方法二：用特征值，要证的是c 不是AB 的特征值⇔c 不是BA 的特征值逆否为c 是AB 的特征值c ⇔是BA 的特征值. “⇒”设ηηηc AB =≠,0. 则ηηcB BAB =.0,0,0≠⇒≠≠ηηB c .于是ηB 是BA 的特征向量，特征值为c .第二部分向量组和线性方程组本部分全课程的理论基础,理论制高点, 特点是概念性强,抽象,因此是最难的部分,也是考试的重点和难点.关键性概念:线性表示,线性相关性,向量组和矩阵的的秩.齐次线性方程组的基础解系. 对这些概念要准确理解,并熟悉有关的性质,并且注意它们的联系,以及和其他章节的概念的联系.应该特别充分注意秩的作用.一．线性表示1. 线性表示的意义(1)一个向量β可用α1,α2,…,αs 线性表示,即n 维向量β是α1,α2,…,αs 的一个线性组合. 也就是：线性方程组AX =β有解，其中A =(α1, α2,…,αs ).一个向量是齐次方程组AX =0的解⇔它可以用AX =0的基础解系线性表示.(2) β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,即每个βi 都可以用α1,α2,…,αs 线性表示. 这个概念和矩阵乘积有联系: 当AB =C 时 , C 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示, C 的行向量组可以用B 的行向量组线性表示.反之,当 β1,β2,…,βt 可用α1,α2,…,αs 线性表示时,存在矩阵C （称为表示矩阵）使得：( β1,β2,…,βt )=(α1,α2,…,αs )C .(3) 向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 等价,即它们互相都可以表示,记作{α1,α2,…,αs }≅{β1,β2,…,βt }.如果A 用初等行变换化为B ,则A 和B 的行向量组等价; 如果A 用初等列变换化为B ,则A 和B 的列向量组等价.向量组和它的每个极大无关组都等价;因此它的任何两个极大无关组等价. 一个齐次方程组AX =0的任何两个基础解系等价.2.用秩判断线性表示(1) β可用α1,α2,…,αs 线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs ).(2) β可用α1,α2,…,αs 唯一线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs )= s. (3) β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt )=r(α1,α2,…,αs ). (4) α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 等价⇔r(α1,α2,…,αs )= r(α1,α2,…,αs , β1,β2,…,βt )= r(β1,β2,…,βt ).例1设α1=(1,2,0,1) , α2 =(1,1,-1,0), α3=(0,1,a,1),γ1=(1,0,1,0),γ2=(0,1,0,2).a 和k 取什么值时, γ1+k γ2可用α1,α2,α3线性表示?解),,(),,,(32121321αααγγγαααγ=+k)|,,(21321γγαααk +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k a 21111001111021行⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1212111011110001k k a 行⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1321011000110001k kk a 1,1≠-=a k例2 已知r(α1,…,αs )=r(α1,…,αs , β)=k,r(α1,…,αs , β,γ)=k+1，求r(α1,…,αs , β-γ )．解看γβ-是否可用s αα,,1 线性表示.β可以用s αα,,1 线性表示，γ不可用βαα,,,1s 表示，因此也不可用s αα,,1 表示.于是γβ-不可用s αα,,1 线性表示.11(,,,)(,,)11s s k γααβγγαα-=+=+例3设(1,2,3)T ,(2,3,5)T 和(1,a,b-1)T ,(2,a 2,b)T都是AX =0的基础解系,求a,b.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a 22,11532,321与等价，即221121153232122=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a b a b a γγ. 222121212122301243510022a a a a b b b a b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭ 得⎩⎨⎧=--=--02022a b a b 即⎩⎨⎧+==22a b a a ⎩⎨⎧==3210或或b a .当2,0==b a 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2022,101112b a b a 秩为1，不合要求当3,1==b a 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3122,211112b a b a ，秩为2，此时这两个向量组等价，符合题目要求.例4设AX=β的通解为 (1,-1,1,-1)T +c 1(1,-3,1,,0)T +c 2(-2,1,-1,2)T, c 1,c 2任意.(a,1,b,3)T是AX=β的解, 求a,b.解的解是的解是011113131=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ax b a Ax b a β线性表示可用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⇔2112,01314121b a 221120131412121120131=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇔γγb a . ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2932100120001213111520001412121120131a b a a a b a a b a 则1,302093-=-=⎩⎨⎧=--=+b a a b a .例5 α1=(1,1,0,-1)T , α2=(0,2,1,1)T . 求β=(c 1, c 2, c 3, c 4)T可用α1,α2线性表示的条件. 解 2),(,,2121==)(ααγβααγ.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3143123143212120010000111201011),,(c c c c c c c c c c c c βαα得：β可用⎩⎨⎧=-+=--⇔02,31431221c c c c c c 线性表示αα⎩⎨⎧=-+=--⇔002314312x x x x x x 是β的解. (即⎩⎨⎧=+-=+-002431321x x x x x x 是β的解).说明⎩⎨⎧=+-=+-002431321x x x x x x 以21,αα为基础解系.例6设α1,α2 ,…,αs 是n 维向量组.证明r(α1,α2 ,…,αs )= n 的充分必要条件为:任何n 维向量都可用α1,α2,…,αs 线性表示.解必要性：对任何n 维向量β，,),,,()(11n n s s ≤≤=βααγααγ得),,,(),,,(11s s ααγβααγ =从而β可用s αα 1表示充分性：当任何n 维向量都可用s αα 1表示时，任何n 维向量组都可用s ααα,,,21 表示.取n ηηη,,,21 是一个线性无关的n 维向量组(如一个n 阶可逆矩阵的列向量组)，则n n s n ≤≤=)()(11ααγηηγ .得n s =)(1ααγ .例7 设A 是m ⨯n 矩阵, C 是m ⨯s 矩阵.证明矩阵方程AX =C 有解⇔r(A |C )=r(A ). 证明记),(),,,(11s n C A γγαα ==则AX C =有解⇔存在s n ⨯矩阵H 使得 C AH =⇔n s ααγγ 11可用线性表示⇔)(),(111n s n ααγγγααγ =即)()|(A C A γγ=.例8 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解ξ1+c 1η1+c 2η2,其中ξ1= (1,0,1)T ,η1=(1,1,0)T ,η2=(1,2,1)T ；(Ⅱ)有通解ξ2+c η, ξ2=(0,1,2)T ,η=(1,1,2)T.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.解公共解都可写成ηξc +2，我们来求当c 取什么值时它又是(I )的解？ηξc +2是(I )的解⇔是12ξηξ-+c (I )的导出组的解 ⇔12ξηξ-+c ，可用21,ηη线性表示.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+1211121011),,(1221c c c c ξηξηη⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→1221011001c c得21=c ，公共解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+32321212ηξ二. 向量组的线性相关性1．定义和意义意义线性无关就是每个 αI 都不能用其它向量线性表示; 线性相关就是有向量(不必每个)可以用其它向量线性表示.定义设α1,α2,…,αs 是n 维向量组,如果存在不全为0的一组数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,则说α1,α2,…,αs 线性相关,否则(即要使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,必须c 1,c 2,…,c s 全为0)就说它们线性无关.和齐次线性方程组的关系记A =(α1,α2,…,αs ),则:α1,α2,…,αs 线性相关(无关) ⇔齐次线性方程组AX =0有(没有)非零解.2．线性相关性的判别在考试真题中,相关性的判别是常见的，许多情形可用一些简单性质完成,甚至直接可用定义判别.因此熟记有关的性质是重要的.例如α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关,(2,1,a+4),(2,1,a+6)无关. 对考场上也出现过一些证明题,常用的思路有3个:① 定义法:用定义证明一个向量组α1,α2,…,αs 线性无关,就是由c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0推出c i 都为0.② 扩大法:利用性质:如果α1,α2,…,αs 线性无关, 则α1,α2,…,αs ,β线性无关⇔β不能用α1,α2,…,αs 线性表示.推论如果αi ≠0，并且每个αi 都不能用前面的i-1个向量线性表示，则α1,α2,…,αs 线性无关.③ 秩法:α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.例9 设A 为n 阶矩阵, α为n 维列向量，正整数k 使得A k α=0,但是A k-1α≠0,证明α, A α,…, A k-1α线性无关.证明方法一：用定义证设0121=+++-αααk k A c A c c (1) 用1-k A乘(1)式得00111=⇒=-c A c k α 再用2-k A乘(1)式，得0,0212=⇒=-c A c k α这样逐个得出i c 都为0.方法二：用扩大法的推论，这个向量组是：最后一个01≠-αk A .每一个都不能用后边的线性表示，如α1-i A 不可用αα1,,-k i A A 表示，因为αα1,,-k i A A 用i k A -乘都为0，即它们都是0=-αi k A 的解，而αi k A -不是：0)(1≠=---ααk i i i k A A A .由推论，得ααα1,,,-k A A 无关.例10设α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt 线性无关,其中α1,α2,…,αs 是齐次方程组AX =0的基础解系.证明A β1,A β2,…,A βt 线性无关.证明用定义法设,02211=+++t t A c A c A c βββ 而,0)(2211=+++t t c c c A βββ于是t t c c ββ++ 11是0=Ax 的解，从而可用0=Ax 的基础解系s αα,,1 线性表示，即有 s s t t k k c c c ααβββ++=+++ 112211但是11,,,,,s t ααββ 线性无关，得)(11s t k k c c 和都为0.例11 设α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 是两个线性无关的n 维实向量组,并且每个αi 和βj 都正交,证明α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt 线性无关.证明用定义法，设,01111=+++++t t s s k k c c ββαα记)(1111t t s s k k c c ββααγ++-=++= 则0))(,(),(1111=++-++=t t s s k k c c ββααγγ 即0=γ，于是s s k k c c 11和全都为0.例12 设α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 都是线性无关的n 维向量组,证明α1,α2,…,αs ,β1, β2,…,βt 线性相关⇔存在非零向量η,它既可用α1,α2,…,αs 线性表示,又可用β1,β2,…,βt 线性表示.证明 “⇒”存在t s k k c c 11,不全为0使得01111=+++++t t s s k k c c ββαα .令t t s s k k c c ββααη---=++= 1111，则0≠η(∵t s k k c c 11和不能全为0！) 且η既可用s αα 1表示，又可用t ββ 1表示.“⇐”设0≠η，既可用s αα 1表示，又可用t ββ 1表示，证s s s c c c c 111,ααη++=不全为0，t t t p p p p ,,,111 ββη++=-也不全为0，则,01111=++++t t s s p p c c ββαα ∴t s ββαα 11,相关.例13 已知n 元非齐次方程组AX =β有解, n-r(A )=3. (1)证明AX =β有4个线性无关的解. (2)证明AX =β的任何5个解都线性相关.(n 元非齐次方程组AX =β有解时,解集合的秩= n-r(A )+1.) 证明 (1)设0ξ是β=Ax 的一个解321,,ηηη是0=Ax 的基础的解系，321,,ηηη线性无关，而0ξ不可用321,,ηηη线性表示，从而这个向量线性无关.易见,,,,,,32103020100ηηηξηξηξηξξ≅+++，它们的秩相等，为4，从而3020100,,ηξηξηξξ+++，也无关，它们都是β=Ax 的解.(2)设54321,,,,ξξξξξ都是β=Ax 的解，则它们都可用(1)中的4210,,,ηηηξ这4个向量表示，所以必相关.三. 秩的有关等式与不等式秩是讨论向量组线性相关性的深入,它把抽象的概念数量化了, 从而可用数量的形式来处理线性表示和线性相关性问题,显得简单化了.譬如, 有一个性质:如果β1,β2,…,βt 可用α1,α2,…,αs 线性表示，并且t>s,则β1,β2,…,βt线性相关.从秩看,r(β1,β2,…,βt )≤ r(α1,α2,…,αs )≤s<t,从而β1,β2,…,βt 线性相关.例14 n 维向量组(I) α1,α2,…,αr 可以用n 维向量组(II) β1, β2,⋯, βs 线性表示. (A) 如果(I)线性无关,则r ≤s. (B) 如果(I)线性相关,则r>s. (C) 如果(II)线性无关,则r ≤s. (D) 如果(II)线性相关,则r>s. 这题可以用上面那个性质解决: (A)是它的逆否命题, (B)是否命题. 如果用秩做: r=r(α1,α2,…,αr )≤r(β1, β2,⋯, βs )≤s.例15 已知β可用α1,α2,…,αs 线性表示，但不可用α1,α2,…,αs-1线性表示．证明 ⑪ αs 不可用α1,α2,…,αs-1线性表示； ⑫ αs 可用α1,α2,…,αs-1, β线性表示．这题可以用定义做,叙述起来有点罗嗦. 下面用秩做:r(α1,α2,…,αr-1)+1=r(α1,α2,…,αr-1,β)≤r(α1,α2,…,αr ,β)=r(α1,α2,…,αr ) ≤ r(α1,α2,…,αr-1)+1于是r(α1,α2,…,αr-1,β)=r(α1,α2,…,αr ,β), r(α1,α2,…,αr )=r(α1,α2,…,αr-1)+1.例16 已知α1,α2,α3线性相关,而α2,α3,α4线性无关,则α1,α2,α3,α4中, 能用另外3个向量线性表示,而不能用另外3个向量线性表示.r(α1,α2,α3)<3, r(α2,α3,α4)=3, r(α1,α2,α3,α4)=3.① 如果α1,α2,…,αs 是n 维向量组, 0≤r(α1,α2,…,αs )≤ Min{s,n}. 如果A 是m ⨯n 矩阵,则0≤r(A )≤Min{m,n}.② r(α1,α2,…,αs )+1.若β不可用α1,α2,…,αs 线性表示. r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs ).若β可用α1,α2,…,αs 线性表示. ③ 如果 β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,则 r(β1,β2,…,βt )≤r(α1, α2,⋯ ,αs ). ④ r(A ±B )≤r(A )+r(B ).⑤ r(AB )≤Min{r(A ),r(B )}.⑥ 当A (或B )可逆时,r(AB )=r(B )(或r(A )).⑦ 如果A 列满秩(r(A )等于列数),则r(AB )=r(B ).⑧ 如果AB =0,n 为A 的列数(B 的行数),则r(A )+r(B )≤n. ⑨ 设A *为n 阶矩阵A 的伴随矩阵,则 n, 若r(A )=n,r(A *)= 1, 若r(A )=n-1,0, 若r(A )<n-1.⑩ r(A |B )≤r(A )+r(B ).例17设A 是n 阶矩阵, α1,α2,⋯,αs 是一组n 维向量,βi =A αi , i=1,2，⋯,s.证明: (1) r(β1, β2,⋯, βs )≤r(α1,α2,⋯,αs ).(2) 如果A 可逆,则r(α1,α2,⋯,αs )=r(β1, β2,⋯, βs ).证明 (1)矩阵),,(),,(11s s A ααββ =∴11(,,)min{(),()}s s r r A r ββαα≤ (2)若A 可逆，则11()()s s r r ββαα=例18设α1,α2,α3,α4都是n 维向量.判断下列命题成立的为① 如果α1,α2,α3线性无关,α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ② 如果α1,α2线性无关,α3,α4都不能用α1,α2线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ③ 如果存在n 阶矩阵A ,使得A α1,A α2,A α3,A α4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关. ④ 如果α1=A β1,α2=A β2,α3=A β3,α4=A β4,其中A 可逆,β1,β2,β3,β4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关.解 ①√.② 不对，例如43αα=.③ 123412344(,,,)(,,,)4r A A A A r αααααααα=≤≤. ④ √. 4),,,(),,,(43214321==ββββααααA .例19，例20 都可用C 矩阵法解.C 矩阵法：若s αα 1无关，t ββ 1可用s αα 1线性表示，表示矩阵为C ，则1()()t r r C ββ= .如果s t =，则t ββ 1无关0||≠⇔C .例19 设 α1,α2,…,αs 是齐次方程组AX =0的基础解系, β1=α1+t α2,β2=α2+t α3,…, βs-1=αs-1+t αs ,βs =αs +t α1.t 取什么值时β1,β2,…,βs 也是AX =0的基础解系?解s ββ,,1 确定都是0=Ax 的解，个数也合要求，看1s ββ 是否无关，由于s αα 1无关，可用C 矩阵法，s βββ 21,对s αα 1的表示矩阵C 为100100000000001t t C t ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭s s t C 1)1(1||+-+= s s t C )1(0||-≠⇔≠当sst )1(-≠时s ββ,,1 线性无关，从而构成基础解系.例20 设α1,α2,α3是齐次方程组AX =0的基础解系,则( )也是AX =0的基础解系. (A) α1,α2-α3 . (B) α1+α2, α2+α3,α3-α1.(C) α1+α2+α3,α1-α2-2α3,α1+3α2+4α3. (D) α1+2α2-α3,2α1+α2+α3, α2+α3. 解 (A )个数2个，不对.×(B )0)()()(133221=-++-+αααααα相关.×(C )表示矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=431211111C111111||1130220124033C =-=-=--，32132132143,2,ααααααααα++--++相关.×(D )√ 此时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110112121C ,120120||2113006111111C ===---.四. 线性方程组线性方程组是课程的最主要部分,是考试的最大重点,但是考点很集中(解的情况的判别和通解的计算),有关的结论又十分明确，因此从方法上看不困难，大家也比较熟悉.但是近年来考题的发展趋势应该重视:考试重点转向概念化,考题渐渐脱离传统题型,出现许多有新意的题.1. 线性方程组解的情况的判别(1)对于方程组AX =β,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A ),r(A |β).① 无解⇔r(A)<r(A |β).② 有唯一解⇔r(A)=r(A |β)=n.(当A 是方阵时,就推出克莱姆法则.)③ 有无穷多解⇔r(A)=r(A |β)<n.方程的个数m 虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A )和r(A |β)的上界,因此当r(A )=m 时, AX =β一定有解. 当m<n 时,一定不是唯一解.(2)对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ).有非零解⇔ r(A )<n(即:只有零解⇔r(A)=n). 2. 基础解系和通解(1) 齐次方程组的基础解系如果齐次方程组AX =0有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX =0的基础解系.η1, η2,…,ηs 是AX =0的基础解系的条件为：① η1, η2,…,ηs 是AX =0的一组解. ② η1, η2,…,ηs 线性无关.③ s=n-r(A). (2) 通解当η1, η2,…,ηl 是AX =0的基础解系时, AX =0的通解为: c 1η1+c 2η2+…+c s ηs , c 1,c 2,…,c s 任意.如果ξ0是非齐次方程组AX =β的一个解, η1, η2,…,η s 是AX =0的基础解系时, AX =β的通解为:ξ0+c 1η1+c 2η2+…+c l ηs , c 1,c 2,…,c s 任意.例21 已知 ξ1=(1,-1,0,1)T ,ξ2=(2,0,1,1)T ,ξ3=(3,0,1,2)T都是线性方程组AX=β (β≠0)的解,并且r(A)=2,求通解.解 4,()2,()2n r A n r A ==-=.0=Ax 的基础解系由2个解构成0111201111312=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Ax 是和ξξξξ两个无关的解，构成基础解系.通解：2121,,111201111011c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-任意.例22 已知 ξ1,ξ2,ξ3都是线性方程组AX=β (β≠0)的解, ξ1=(1,2,3,4)T , ξ2+ξ3=(0,1,2,3)T,并且r(A)=3,求通解.解 4,()3,()1n r A n r A ==-=.123232()45ξξξ⎛⎫⎪⎪-+= ⎪ ⎪⎝⎭是0=Ax 的一个非零解，通解为c c ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛任意例23 已知ξ=(0,1,0)T是方程组123123123322213x x x x bx x ax x cx d+-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的解,求通解.解以ξ代入第2，3两个方程，得⎩⎨⎧==,31d b 不能确定c a 与.系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c a A 2131213 ()2r A ≥若()3r A =，此时方程组有唯一解，它就是ξ.若()2r A =，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−011010001052051001021012013行A0=Ax 的同解方程组为⎩⎨⎧-==3231x x x x ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111，通解为c c ,111010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛任意例24有两个3元方程组x 1+x 2+x 3=1, 2x 1+3x 2+ax 3=4,(I) 3x 1+5x 2+x 3=7, (II) 2x 1+4x 2+(a-1)x 3=b+4 (1) 已知它们同解，求a,b.(2) 已知它们有公共解，求a,b ，并求所有公共解. 解 (1)思路：解出(I )的通解，代入(II )求出b a ,.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211210014121210171115131 ⎩⎨⎧+=--=2123231x x x x ，通解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112021c . 用⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021代入(II )的第2个方程得2,482=⇒+=+-b b . 取,1=c 得(I )的另一个解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133，代入(II )的第1个方程1496=⇒=++-a a .(2)即联立方程组有解：1111111111113517022401122340122001024140110002a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得a b ,2=任意.i )当2,1==b a 时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00210012001000010021001100110001公共解为c c ,112021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-任意.ii )当2,1=≠b a 时 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0021010000100010021011100110001，得唯一解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-021.例25 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个齐次线性方程组,(Ⅰ)的一个基础解系(1,-1,0,2)T,(0,1,1,a)T ,(Ⅱ)的一个基础解系为(-2,0,a,-2)T ,(1,1,1,0)T.已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求a,并求出它们的全部公共解.解 (用例12结果)(1)(I )与(II )有公共非零解⇔这4个向量线性相关.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a a a a a a 2222001200221012012201102210120102211010111201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--→2)1(000100221012012200120022101201a a a a 得：1-=a 时，有非零解.(2)此时(I )的基础解系为,1110201121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ηη(II )的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0111,210221γγ. (II )的解为21121221212211,,2201112102c c c c c c c c c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+γγ任意它要成为公共解⇔它可用21,ηη表示.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+---212121211212212001012211102011c c c c c c c c c c c c c c 当21c c =时2211γγc c +是公共解，得公共解为1211()02c c γγ-⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，c 任意例26 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个齐次线性方程组,(Ⅰ)的一个基础解系为(2,-1,-1,0)T,(t,1-t,0,1)T,(Ⅱ)为123412341242023300x x x x x x x x x px x -++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求p 和t,并求出它们的全部公共解.解 (1)记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132********,101,011221p A t t ηη (I )和(II )有公共非零解⇔存在21,c c 不全为0，使得2211ηηc c +也是(II )的解 ⇔存在21,c c 不全为0，使得0)(2211=+ηηc c A ⇔存在21,c c 不全为0，使得02211=+ηηA c A c ⇔21,ηηA A 相关122216,521t A A t p t p pt ηη+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭21ηηA A 与相关，得3,36)12(35-=+=+=t t t t⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=241552p A η， 22542p p -=-- 84510,36,2p p p p -=-=-=-(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10155,46221ηηA A . 2211ηηc c +也是(II )的解⇔0)(2211=+ηηc c A,520101554622121c c c c =⇔=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即当25∶21∶=c c 时，2211ηηc c +是公共解. 整理后：公共解为c c ),25(321ηη+任意.注:关于两个齐次方程组有公共非零解的判断.(1)如果都给出了方程组的具体形式, 有公共非零解就是联立方程组有非零解.(2)如果一个给了系数矩阵A ,另一个给出了基础解系η1, η2,…,ηs ,则有公共非零解⇔ A η1,A η2,…,A ηs 线性相关.(3)两个都给出了基础解系η1, η2,…,ηs 和γ1, γ2,…,γt , 则有公共非零解⇔η1, η2,…, ηs ,γ1, γ2,…,γt 线性相关.第三部分特征向量与特征值相似和对角化二次型本部分包含了线性代数的应用方面的两部分. 特点是：概念多,考点多,但是题型确定,变化小.特征值是本部分的关键, 本部分的各类问题几乎都和特征值有关. 因此特征值的计算是应该关注的重点，还应该总结这部分的各个题型和解法的思路.一. 特征值的计算特征值不仅在这两章中被广泛应用,还可以用来计算行列式和判断n阶矩阵的可逆性: λ1λ2…λn=|A|;λ不是A的特征值⇔|A-λE|≠0⇔A-λE可逆.0不是A的特征值⇔A可逆.因此应该关注特征值的计算方法.除了用定义,一般都会想到用特征多项式|λE-A|来计算特征值,但是这样做不仅计算量大,并且因为一般的多项式求根并不总是可行的,所以不是任何矩阵都可求特征值的.事实上,考试题里都是给出都是特殊的矩阵,或者给了特殊的条件让求特征值.因此应该总结这些特殊方法.1.两类特殊矩阵的特征值①对角矩阵和上下三角矩阵的特征值就是对角线上的元素.②当r(A)=1时,特征值为 0,0,…,0,tr(A).(例如:αβT的特征值为0,0,…,0,βTα.)2.利用相关矩阵的特征值的关系:如果A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则①A的多项式f(A)的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn).特别地, A+c E的特征值是λ1+c,λ2+c,…,λn+c.②如果A可逆，则A-1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn;A*的特征值是|A|/λ1,|A|/λ2,…,|A|/λn.③A T的特征值也是λ1,λ2,…,λn.④相似于A的特征值也是λ1,λ2,…,λn.3.利用特征值的性质:①λ1+λ2+…+λ n=tr(A).②A的特征值λ的重数≥n-r(A-λE).A是实对称矩阵时, A的特征值λ的重数=n-r(A-λE).③如果f(A)=0,则A的每个特征值λ满足f(λ)=0.例 1 设A=(α1,α2,α3)是3阶矩阵,满足|A|=0,它的各列元素之和都为3, α1-α2=(2,-2,0)T.求A的特征值.解A有3个特征值，||A=0，则0是特征值各列元素之和为3，则1311331131TA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而3是T A的特征值，也是A的一个特征值又122 2 0αα⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，而1211Aαα⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11是A的特征向量，特征值为2.因此A的特征值为0，3，2。

2023年考研数学(一)答案解析

2023年全国硕士研究生统一入学考试数学（一）试题解析一、选择题：1-10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）【答案】：B【解析】：1ln()11lim lim limln(11x x x x e y x k e x x x）11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11x x x b y kx x e x x e x x11lim ln[1]lim (1)(1)x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为：1y x e（2）【答案】：C 【解析】：微分方程"'0y ay by 的特征方程为20a b ，当240a b 时，特征方程有2个不同的实数根12, ，则12, 至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212x xy C e C e 在(,) 无界当240a b ，特征方程有2个相等的实根，1,22a若20C ，则微分方程的解212()a x y C C x e在(,) 无界当240a b时，特征方程的根为1,222a i则通解为：212(cos sin )22ax y eC C 此时，要使微分方程的解在在(,) 有界，则0a ，再由240a b 知0b （3）【答案】：C 【解析】：1）当0t 时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx；当0t 时，,sin sin sin x t dyt t t y t t dx；当0t 时，因为'00()(0)sin (0)lim lim 03x t f x f t tf x t'00()(0)sin (0)lim lim 0x t f x f t t f x t所以'(0)0f 2）0sin cos lim '()lim 0'(0)3x t t t t f x f；'00sin cos lim '()lim 0(0);3x t t t t f x f所以0lim '()'(0)0x f x f ，所以'()f x 在0x 处连续3）当0t 时，因为"00'()'(0)sin cos 2(0)lim lim 339x t f x f t t t f x t"00'()'(0)sin cos (0)lim lim 2x t f x f t t t f x t所以"(0)f 不存在（4）【答案】：A 【解析】由条件知1()nn n ba为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a绝对收敛，则由||||||||n n n n n n n b b a a b a a ，由比较判别法知，得1nn b绝对收敛设1nn b绝对收敛，则由||||||||n n n n n n n a a b b b a b ，由比较判别法知，1nn a绝对收敛（5）答案：B 【解析】：对分块矩阵使用推广的初等行变换，注意到初等变换不改变矩阵的秩，如下：0000E A A E BC E BC E ，000A r r n BCE BC E，1n 00E C AB C AB E OE OE， 20ABC ABr r r AB n O E OE2E OE O E AB E AB AB E ABO OO OAB，则有： 2132E AB n r n r AB n r AB ABO（6）答案：D 【解析】：选项A 矩阵得特征值为三个不同得特征值，所以必可以相似对角化；选项B 矩阵为实对称矩阵，所以必定可以相似对角化选项C 矩阵得特征值为1，2，2，二重特征值的重数23(2)r C E ，所以必可以相似对角化选项D 矩阵的特征值为1，2，2,二重特征值的重数23(2)r D E ，所以不可相似对角化.（7）【答案】：D【解析】：根据题意，即是存在1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ，等价于求解12123434(,,,)0k k k k ,得到通解：12343111k k k k k，代入34,k k k k ，得到：15,8k k R（8）【答案】：C【解析】：由X服从参数为1的泊松分布，得到1EX ，1111110212211!!!!k k k k e e e e E X EX k e k e k k k k e（9）【答案】：D 【解析】：注意到：2212221222121222111,1,2211,11n S m S Z n Z m Z S n Z F n m Z S m（10）【答案】：A【解析】：注意到： 0,1Y N，根据：ˆ()E E a Y，则a，22222y y E Y y，解出2a二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.（11）【解析】：注意到22220ln 1ln 11limlim1cos 11cos x x x x ax bx x x x bx x a e xe x，首先得到：1a ，另外根据等价无穷小替换， 2222001ln 12lim lim 1311cos 2x x x b x x x bx x e x，得到：2b ，则2ab （12）【解析】：切平面法向量为：''0,0,01211x y z n z，根据点法式方程，切平面方程为：2z x y （13）【解析】由 f x 展开为余弦级数知， f x 为偶函数，由傅里叶级数公式知122221cos cos 1n a x n xdx n n所以20n a ，21nn a（14）【解析】32323112122121111u+2u+21=++2=++x =2f x dx f x dx f x dx f x dx f d f x dx f x dx f x dx f x dx dx（15）【解析】11111222333123111130013T T T T T k k k k k k k同理：2311,3k k所以222123119k k k（16）【解析】由于11,3X B，所以x=0,1，1Y 2,2B，所以y=0,1,2 22012221111=0=0+=1=1=32323p X Y p X Y p X Y C C，，三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）【解析】（1）曲线L 在点 x,y P 处的切线方程为'y=y (X -x)Y ，令X=0,切线在y 轴上的截距为'Y y xy ，即'11y y x，解得 ln y x x c x ，又经过点 1,2，所以c=2， 2ln y x x x （2）由（1）知 x1=2ln f x t t dt ， '=x 2-lnx 0f x ，得到驻点2x e，由单调性知 f x 的最大值在驻点处取得，最大值241544f ee .（18）【解析】'3'23(235)020x yf x y xy x f y x x得驻点为210(0,0),(1,1),(,)327，''32''''(235)(315),(23),2xx xy yy f y xy x x y x f x x f ，代入''''''0(0,0),02xx xyyy A f B f C f，则20AC B ，充分条件无法判断，利用定义法，当0x 时，取232332355(0),(,)()()[(1)](),y x kx k f x y y x y x kx x k x kx o x 则555500(,)()lim lim x x f x y kx o x k x x，由极限的局部保号性：0,(,0)x 时，(,)0f x y ，(0,)x时，(,)0f x y ，故在(0,0)处(,)f x y 不取极值；代入''''''12(1,1),52xx xy yy A f B f C f，则20AC B ，所以在(1,1)处(,)f x y 不取极值；代入''''''100272108(,32732xx xy yyA fB fC f，则20AC B ，且0A 所以在210(,)327处(,)f x y 取极小值4729.（19）【解析】利用高斯公式得102122320(2sin 3sin )2dz(1)cos 54xyxyxyx D D D I z xz y y x dV dxdy z x dxdy x dxdy d r dr其中因为关于yoz 对称，被积函数是x 的奇函数所以(sin 3sin )0I xz y y x dV，22:1xy D x y （20）【证明】（1）22111''()''()()(0)'(0)'(0),022f f f x f f x x f x x x 介于与之间，则222''()()'(0),(0,)2f f a f a a a ，233''()()'(0),,0)2f f a f a a a (-，则223()()''()''()2a f a f a f f ，由()f x 在 ,a a 上具有2阶连续导数，故()f x 在 32, 上具有2阶连续导数，所以()f x 在 32, 上必存在最大值M 和最小值m ，使得 231''()''()2m f f M由介值定理存在存在 32,(,)a a ，使得 23211''()''()''()()()2f f f f a f a a，得证.（1）设()f x 在x x 点处取得极值，则0'()0f x ，221100000010''()''()()()'()())()(),22f f f x f x f x x x x x f x x x x x 介于与之间，220020''()()()(),,2f f a f x a x a x()，230030''()()()(),,2f f a f x a x a x()，222232003020''()''()1|()()||()()||''()|()|''()|()222f f f a f a a x a x f a x f a x 32(,),''()max{|''()|,|''()|}a a f f f ，故223020222001|()()||''()|()|''()|()2|''()|[()()]2|''()|2f a f a f a x f a x f a x a x a f命题得证。

福建省考研数学学科必考习题精讲

福建省考研数学学科必考习题精讲考研数学学科是许多考生所关注和备考的重点科目之一。

在福建省的考研数学学科中，有一些习题被认为是必考的，掌握这些习题的解题方法和技巧对于考生来说非常重要。

本文将对福建省考研数学学科必考的一些习题进行精讲，帮助考生全面了解和掌握这些题型。

1. 一元二次方程题型一元二次方程是考研数学学科中非常基础和重要的题型之一。

在福建省考研数学学科中，常常涉及到一元二次方程的求根、判别式和根的关系等等问题。

考生需要掌握解一元二次方程的公式、韦达定理等解题方法，并能够熟练运用这些方法解答相关习题。

2. 函数求导与极值问题函数求导与极值问题也是福建省考研数学学科中经常出现的题型。

考生需要了解函数求导的基本概念、求导法则、高阶导数等知识，并能够运用这些知识解决函数的最值、最优化等相关问题。

在解答这类题目时，考生需要注意边界条件和极值点的存在性。

3. 线性代数中的矩阵与向量题型线性代数中的矩阵与向量是福建省考研数学学科中另一个重要的考点。

考生需要熟练掌握矩阵的运算法则、矩阵的转置、逆矩阵的求法等知识，并能够应用这些知识解决相关的线性方程组、矩阵秩和特征值等问题。

在解答这类题目时，考生需要注意矩阵间运算的顺序以及特殊矩阵的性质。

4. 概率统计中的随机变量与概率分布题型概率统计中的随机变量与概率分布也是福建省考研数学学科中常见的考点之一。

考生需要了解随机变量的概念、概率分布的定义、期望、方差等概念，并能够应用这些知识解决相关的概率计算、随机变量的分布函数等问题。

在解答这类题目时，考生需要注意题目中条件的转换和概率分布的特性。

以上是福建省考研数学学科必考习题的精讲，希望考生能够通过深入学习和练习，掌握这些题型的解题方法和技巧。

加强对这些必考习题的理解和掌握，对于顺利通过福建省考研数学学科考试将起到重要的作用。

祝愿各位考生取得优异的成绩！。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第二章第一节
2—1: 3. 6. 7.8.10至20.
第二节
2—2: 2(B). 3. 4. 5. 6(B).7(B). 8(B). 9.
10. 11(B). 13.14.
第三节
2—3: 1(B). 3. 4.9.10.11.12.
第四节
相关变化率数三
2—4:1. 2. 3. 5 .7.8(B).(数一.二10.11.12)
第五节
微分在近似计算中应用.
2—5: 1.2.3(B).4(B).
总习题二
1.2.3.6.7.8.9.10.11.12.13.14.
第三章第一节
3—1: 3.4.5.6.7.8.10.11.12.14.15.
第二节
3—2: 1(B).2.3.4.
第三节
3—3: 1.2.3.4.5.6.7.
第四节
3—4: 3(B).4.5(A).6.9(B).11.12.13.14.15.
总习题五
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.
第六章第一节
第二节
弧长数学三不要求
6—2:1.2(B).3.4.6.8.9.10.11.12.15(B).16.
18. (数一.二:21.24.27.28)
第三节
数学三不要求
6—3: 4.5.6.7.10.11.12.
总习题六
章节
不要求掌握内容
要求做的习题
第一章
对换
习题一: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.
第二章
习题二: 1.2.3.4.至.27.
第三章
习题三: 1.2.3.4.至.20.21.
第三节
8—3: 2.3.7.9(A).10(B).
第四节
8—4: 3. 4. 5. 7.
第五节
8—5: 1.2.3.5.6.8.9.
第六节
8—6: 1.2.4.5.7.8.9.10(1).11.12.13.15.
总习题八
6.7.8..16.17.18.19.20.21.
第九章第一节
平面点集
9—1: 4. 5(1)(2)(3)(4). 6.
考研数学教材课后题精选
高等数学(同济大学第六版)
(2 (A)表示第2题的单数题;4(B)表示第4题的双数题）
章节
不要求掌握内容
要求做的习题
第一章第一节
双曲函数
1—1: 4(B). 5. 6 .12(B). 15. 16.
第二节
1—2: 1.
第三节
1—3: 1. 2. 3. 4
第四节
1—4: 1. 6. 7.8.
第五节
3—5: 1(B).2.3.4.5.6.7.8.10.13.
第六节
3—6: 1. 4.
第七节
数学三不要求
3—7: 1. 2.3.4.5.
总习题三
1.2.3至20.
第四章第一节
4—1: 2(B) . 4. 5. 6. 7.
第二节
4—2: 1(B). 2.(B)
第三节
4—3: 1.2.至24.
第四节
4—4: 1.2.至24.(单数)
总习题四
1.2.至40.(双数)
第五章第一节
5—1: 3. 5. 7. 11. 12. 13(A).
第二节
5—2: 1.2.3.4.5.6(A).9.10.11.12.13.14.
第三节
5—3: 1(B).2.3.4.5.6.7(B).
第四节
5—4: 1(A).2.
第六节
例2．常数变易法
7—6: 3.
第七节
例4;例5．
7—7:1(A). 2.(B)
第八节
7—8:1. 2(B). 6.
第九节
数二.数三不要求
7—9：1. 2. 5.
总习题七
1.2.3(B).4(A).5.7.8.
第八章第一节
本章数二.数三不要求
8—1:3.4.5.8.9.12.15.16.
第二节
8—2: 1.3.7.9.10.
3.4.5.6.7.
第七章第一节
7—1: 3. 5.
第二节
例4．
7—2: 1(B).2(B).4.6.7
第三节
可化为齐次的方程
7—3: 1(A). 2(B). 3.
第四节
例2.伯努利方程(数一要）
7—4:1(B).2(A).3.4.6.7(1)(2).8(B).
第五节
例4.例6.数学三不要求
7—5:1(B).2(A).3.
第五节
1—5: 1(B).2.3.4.5.
第六节
柯西极限存在准则
1—6: 1. 2. 4.
第七节
1—7: 1. 2. 3. 4.
第八节
1—8: 1. 2. 3. 4. 5.8.
第九节
1—9: 1. 2. 3(B). 4(B). 5. 6.
第十节
一致连续性
1—10: 1. 2. 3. 5.
总习题一
1. 2. 3. 4. 5.6.9.10.11.12.13.14.
第二节
9—2:1(B).4.5.6.7.8.
第三节
全微分在近似计算中应用
9—3: 1.2.3.4.5.
第四节
9—4: 2.3.5.9.10.11.12.
第五节
9—5:1.3.4.6.7.8.10.11.
第六节
本节数二.数三不要求；
向量值函数及导数
9—6: 4.5.6.7.8.10.11.
第七节
数二.数三不要求
第三节
数二.数三不要求
10—3: 4.5.6.7.9.10.11.
第四节
数二.数三不要求
10—4: 1.4.5.7(1).8.9.11.
总习题十
1.2(B).3.5.6.(数学一:8.9.10.)
第十一章第一节
(本章数二数三不要求)
11—1: 1. 3(B). 4. 5.
第二节
11—2: 3. 4. 5. 7.
第三节
11—3: 1. 3.4(A).5.6(A).7.8(B).9
第四节
11—4: 5. 6(B).7.
第五节
11—5: 3. 4.
第六节
11—6:1.2(1).3(1).
第七节
11—7: 2. 3(1). 7.
总习题十一
2. 3. 4. 5. 7.
第十二章第一节
（本章数二不要求）
12—1: 3. 4.
第二节
12—2: 1. 2.3.4.5.
第三节
12—3: 1. 2.
第四节
12—4: 2. 3 .4. 5. 6.
第七节
数学三不要求
12—7: 1(1).2(2).3.6.
第八节
数学三不要求
12—8:1(1)(3). 2(2).
总习题十二
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
线性代数(同济大学第五版)
9—7:1.2.3.4.5.6.7.8.10.
第八节
9—8: 1.2.5.6. 9.10.11.12.13.
总习题九
1.2.5.9.10.11.(数一:14.15.16.17.18.)
第十章第一节
10—1: 4(A).5(B).
第二节
二重积分的换元法
10—2: 1.2.4.5.6.9.10.11.12.13.14.15.