第十四专题最值问题

第十五专题 最值问题

考情动态分析：

最值问题涉及到函数、不等式、三角、解析几何、立体几何等内容，求最值的方法较多，但要求学生熟练掌握以下方法：均值定理、利用单调性（对单调性的判断除应用单调性的定义外，还要熟练地应用导数判断）、配方法、换元法、图象法等求最值.在近几年的高考中，求最值已成为热点，特别是导数知识的介入，因此在复习中，必须对求最值问题的常用方法和一般技能进行系统整理、深化训练.

第一课时 求最值的常见方法

一、考点核心整合

求最值常用的方法：均值不等式法、单调性法、判别式法、换元转化法、配方法、数形结合法.特别要注意利用导数判断单调性再求最值的方法.

二、典例精讲：

例1 当20π<

x

x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）

A 、2

B 、32

C 、4

D 、34

例2 求函数4

32+=x x

y 的最大值和最小值.

例3 设函数86)1(32)(23+++-=ax x a x x f ，其中R a ∈. （Ⅰ）若)(x f 在3=x 处取得极值，求常数a 的值； （Ⅱ）若)(x f 在)0,(-∞上为增函数，求a 的取值范围. 二、提高训练：

（一）选择题：

1．已知定点、B A ，且4||=AB ，动点P 满足3||||=-PB PA ，则||PA 的最小值是（ ） A 、

2

1

B 、

2

3 C 、

2

7 D 、5

2．实数、y x 满足42

2

=+y x ，则2

2-+y x xy

的最小值是（ ）

A 、222-

B 、222+

C 、2-

D 、3

4-

3．设y x z -=，式中变量x 和y 满足条件⎩⎨

⎧≥-≥-+0

20

3y x y x ，则z 的最小值为（ ）

A 、1

B 、1-

C 、3

D 、3- 4．函数)1(log )(++=x a x f a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）

A 、41

B 、2

1 C 、

2 D 、4

5．在OAB ∆中，O 为坐标原点，]2

,0(),1,(sin )cos ,1(π

θθθ∈、B A ，则当OAB ∆的

面积达到最大时，θ等于（ ）

A 、

6

π B 、

4

π C 、

3

π D 、

2

π （二）填空题：

6．P 是抛物线2x y =上任意一点，则当点P 和直线02=++y x 上的点的距离最小时，P 与该抛物线准线的距离是___________.

7．设实数、y x 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤-≥-+≤--0

320420

2y y x y x ，则x y 的最大值是_______________.

（三）解答题：

8．如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中0>>x y .

（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；

（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

9．过点)1,2(P 作直线l ，分别交x 轴和y 轴的正半轴于、B A

（Ⅰ）当||||PB PA ⋅取最小值时，求l 的方程； （Ⅱ）当||||OB OA +的面积取最小值时，求l 的方程； （Ⅲ）当AOB ∆的面积取最小值时，求l 的方程.

10．已知函数)(log )(3b ax x f +=的图象过点)1,2(A 和)2,5(B . （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；

（Ⅱ）记*∈=N n a n f n ,3)(，是否存在正整数k ，使得)

1

1()11)(11)(11(321n a a a a +

+++

12+≥n k 对一切*∈N n 均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.

第二课时 最值问题的综合应用

一、考点核心整合

在解题中，关键要熟悉求函数最值的几种基本方法，一般方法是什么，特殊方法是

什么，在多种方法中选出最优方法，根据具体问题注意挖掘隐含条件，求最值没有通用方法和固定式，要靠自己积累经验.

二、典例精讲：

例1 已知12,22=-∈x y R 、y x ，则xy y x 442

2-+的最小值为____________. 例2 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高80=BC （米），塔所在的山高220=OB （米），200=OA （米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P

在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，1

塔的视角BPC ∠

例3 已知函数),0(,sin 1

sin πθθθ∈+

=y ，求y 的最小值. 例4 已知函数21

2)(x

ax x f -=，]1,0(∈x .

（Ⅰ）若)(x f 在 ]1,0(∈x 上是增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）求)(x f 在区间]1,0(上的最大值.

三、提高训练：

（一）选择题：

1．已知0>a ，函数ax x x f +-=3

)(在),1[+∞上是单调减函数，则a 的最大值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

2．点),(y x P 在曲线12)2(22=+-y x 上移动，则222y x +的最大值是（ ） A 、23

B 、2

322+

C 、2

522+

D 、322+

3．下列命题中正确的是（ ）

A 、函数x x y 1+=的最小值为2

B 、函数)0(4

32>--=x x

x y 的最小值为342-

C 、函数)0(432>--=x x x y 的最大值为342-

D 、函数23

22++=x x y 的最小值为2

4．如图，南北方向的公路A l ,地在公路的正东2km 处，

km 32处，河流沿岸PQ （曲线）上任一点到公路l 和到

A 地距离相等.现要在曲线PQ 上选一处M 建一码头，向 、

B A 两地转运货物，经测算从M 到A 与从M 到B 修建 公路的费用均为a 万元/千米，那么修建这两条公路的总费

用最低是（ ）

A 、a )32(+万元

B 、a )13(2+万元

C 、a 5万元 5．已知2,2,12

2

2

2

2

2

=+=+=+a c c b b a ，则ac bc ab ++的最小值为（ ） A 、2

13-

B 、

32

1

- C 、32

1

--

D 、

32

1

+ （二）填空题：

6．已知在ABC ∆中，

90=∠ACB ，P AC BC ,4,3==是AB 上的点，则点P 到

、BC AC 的距离之积的最大值是____________.

7．设P 是曲线)1(42

-=x y 上的动点，则P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为_____________.