一章数学建模概述

C´
D´
D
正方形ABCD
绕O点旋转
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模型构成
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
f() Biblioteka Baidu g()是连续函数
数学建模（Mathematical Modeling) 建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、验证等）
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Mathematical ModeMlianthgematical modeling
模型构成 设
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2,
sk=(xk , yk)~过程的状态
S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一 次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共72 小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数 学建模全过程为素材撰写的论文。
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1.3
数学建模示例
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
1.3.1 稳定的椅子 1.3.2 商人安全过河 1.3.3 传送系统效率 1.3.4 人口增长预测
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Mathematical ModeMlianthgematical modeling
1.3.1 稳定的椅子 问 题 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 模型假设
数学模型的分类
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
分类标准
建模目的
对某个实际问题 了解的深入程度
模型中变量的特 征
建模中所用的数 学方法
研究课题的实际 范畴
具体类别
描述、优化、预报、决策 …
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
连续型模型、离散型模型 或确定性模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、 差分方程模型、优化模型等 人口模型、生态系统模型 、交通 流模型、经 济模型、基因模型等
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
生物学 航空宇宙 滤波设计
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Mathematical ModeMlianthgematical modeling
3
s1
2
d1
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
允许状态 ~ 10个 点
允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
1 d11
0
sn+1
1
2
3x
d1, ，d11给出安全渡河方案
评注和 思考:
规格化方法,易于推广 考虑4名商人各带一名随从的情况
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
四只脚着地 椅脚与地面距离为零
B´ B A´
距离是 的函数
四个距离
C 两个
(四只脚) 正方形对称性 距离
A
O
x
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
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数学建模的方法
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
机理分析的方法：根据对客观事物特性的认 识，分析其因果关系，通过推理分析得到的 数学模型。
模型求解
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
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Mathematical ModeMlianthgematical modeling
数学模型 (Mathematical Model)
数学模型是实际对象的一种 抽象模拟，它用数学符号、数学 公式、图表、算法或程序描述现 实对象中的数量关系。
动力传输系统
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1.1
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
数学的应用与数学建模
➢数学模型 (Mathematical Model) ➢数学建模（Mathematical Modeling)
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怎样学好数学建模
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数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则
想像力
洞察力
判断力
• 学习、分析、评价、改进别人做过的模型
• 亲自动手，认真做几个实际题目
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数学建模竞赛
Mathematical ModeMlianthgematical modeling
美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一 次，时间在2月初的第一个周五至下周二，共96 小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数 学建模全过程为素材撰写的论文（英文）。
如：微分方程方法，最优化方法等。
测试分析的方法：对客观事物的特性不能 准确认识，只能通过对问题的观测数据的 测量和分析，找到与数据吻合最好的模型。
如：回归分析方法，方差分析方法等。
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数学建模的基本过程
河
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
问题分析 多步决策过程
3名商人 3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),
经有限步使全体人员过河.
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椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
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由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和 建模的关键 : 和 f(), g()的确定 思考: 假设条件的本质与非本质
考察四脚连线呈长方形的椅子
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数学建模的全过程
现 现实对象的信息 表述
数学模型
数
实
(归纳)
学
世
验证
求解 (演绎) 世
界
界
现实对象的解答
数学模型的解答 解释
表述 求解 解释
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象
验证 用现实对象的信息检验得到的解答 实践 理论 实践
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—即建立数学模型。
在难以得出解析解时，也应当
4.模型求解 选择适当借的助 方计算法机（求解出析数法值解、。数值法、画图 法等）求解数学模型。
5.模型的分析与检验 对模型进行理论或计算分析，并 用实际数据检验是否符合实际。
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1.模型准备 了解问题的实际背景，明确建模目的，
收集掌握必要的数据资料。
2.模型假设 在明确建模目的, 掌握必要资料的基础上,
通过对资料的分析计算, 找出起主要作用的因素, 经
实息(体3数必.模信据要型)的建精立炼假、在设简所化作,假提建设出模的若基干础符求上合解，客利观用实适验际当证的的假数设学应。工用 具去刻划各变量之间的关系, 建立相应的数学结构—
➢ 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;
➢ 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;
➢ 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
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模型构成
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对于一个现实对象，为了一个特定目的，
根据其内在规律，做出必要的简化假设，
运用适当的数学工具, 得到的一个数学结构
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态转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
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模型求解
➢ 穷举法 ~ 编程上机 ➢ 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
yMathematical ModeMlianthgematical modeling
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1.2 数学建模的基本问题
➢数学建模的方法 ➢数学建模的基本过程 ➢数学模型的分类 ➢怎样学好数学建模 ➢数学建模竞赛
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1.3.2 商人安全过河 问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
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sk+1=sk +(-1)k dk uk~第k次渡船上的商人数 ~状态转移律 vk~第k次渡船上的随从数
uk, vk=0,1,2; k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
多步决策问题 求dk D (k=1,2, n), 使sk S, 并按状