培优反比例函数辅导专题训练附答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．

（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；

（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．

（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．

【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，

∴C（1，1），

∵AC∥y轴，AB∥x轴，

∴A点横坐标为1，

∵A点在函数y= （x＞0）图象上，

∴A（1，4），

∴B点纵坐标为4，

∵点B在y= 的图象上，

∴B点坐标为（，4）；

（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），

∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，

∴S△ABC= AB•AC= × × = ，

即△ABC的面积不发生变化，其面积为；

（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，

∵AB∥x轴，

∴△ABC∽△EFC，

∴ = ，即 = ，

∴EF= a，

由（2）可知BG= a，

∴BG=EF，

∵AE∥y轴，

∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．

【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

2．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点

（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；

（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．

【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比

例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，

∴k=6，C（﹣2，﹣3），

即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；

（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，

∵点A（2，3），k=6，

∴AN=2，

∵△APO的面积为2，

∴，

即，得OP=2，

∴点P（0，2），

设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，

，得，

∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，

当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，

∴点D的坐标为（﹣4，0），

设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，

则，得，

∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，

∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．

【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C

在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．

3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．

例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．

（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；

（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，

点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；

（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．

【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：

正方形ABCD的边长为．

（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：

设正方形边长为a，易得3a= ，

解得a= ，此时正方形的边长为．

∴所求“伴侣正方形”的边长为或

（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，

易证△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵点D的坐标为（2，m），m＜2，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=2﹣m．

∴OF=BF+OB=2，

∴点C的坐标为（2﹣m，2）．

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

∴反比例函数的解析式为y=

（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶

点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，

c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在

d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶

点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；

e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D