风筝模型和梯形蝴蝶定理

风筝模型和梯形蝴蝶定理

知识框架

板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

A B

C

D

O b

a

S 3

S 2

S 1S 4

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

例题精讲

【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角

形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

7

6

E

D

C B

A

7

6

【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千

米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

C

D

B

A

【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC

的面积；⑵:AG GC ？

C

B

【巩固】 在△ABC 中

DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OE

OB

=?

【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．

B

A

【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．

A B

【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次

是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．

O

G

F E

D

C B

A

【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

【例 5】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．

S 4

S 3

S 2

S 1

【巩固】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积

分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．

3525O

A

B

C

D

【例 6】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形

BOC 面积的

2

3

，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．

O

A B C

D

【巩固】 如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且

3

5

ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，

那么OC 的长是多少？

A

B

C

D

O

【例 7】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？

A

B

C

D

O

【巩固】 如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．

O

D

C

B

A

【例 8】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH

的面积是23，求四边形EGFH 的面积．

H

G F

E

D

C

B A

【巩固】 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三

角形1的面积为________．

3

21

【例 9】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．

【巩固】 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1

平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．

A

B

C

D

E

F

【例 10】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是

10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？

F

A

B

C

D

E

10

5