用配方法解一元二次方程教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]

任教学科：_____________

任教年级：_____________

任教老师：_____________

xx市实验学校

2.1.2用配方法解一元二次方程

教学目标

【知识目标】

使学生会用配方法解一元二次方程。 【技能目标】

经历列方程解决实际问题的过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，使学生理解转化变形思想，掌握一些转化的技能。 【情感目标】

通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性。

教学重点难点

【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程

教法：引导、观察、归纳、探究 教具：多媒体、课件

教学过程： 一、复习回顾

上一节我们学习了配方法，首先我们回顾上一节学习的内容： 1、配方法的具体步骤是什么？

对二次三项式ax 2+bx+c 配方的一般步骤是： (1)把ax 2+bx+c 变形为a （x 2+a

b

x ）+c

(2)配方为：a[x 2

+a b

x+(a b 2)2-224a

b ]+c

(3)整理成a(x+a

b 2)2+a b a

c 442

的形式

议一议：配方的关键是什么？

点拨：配方的关键是把x 2+a b x 加上一次项系数一半的平方（a

b

2）2。 2、将下列各式配成完全平方式。

（1）a 2+12a+ 62 =(a+ 6 )2； （2）x 2

- x +41=(x- 2

1 )2

二、讲授新课

这一节我们就来学习一下用配方法解一元二次方程

（一） 提出问题 归纳定义 1、 提出问题

如图 现有长方形的纸片一张，长20cm ，宽14cm ，在其四个角上各剪去一个边长相等的小正方形，然后把四边折起，如果恰好能将其做成底面积是72cm 2的无盖长方体纸盒，求剪去的小正方形边长是多少？

分析：

设剪去的小正方形的边长是xcm ，则盒子底面长方形的长是（20-2x ）cm,宽是（14-2x ）cm 。根据题意，列出方程

（20-2x）（14-2x）=72.

化简得x2-17x+52=0 再求x即可。

2、一元二次方程的有关定义

象上述这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程，关于未知数x的方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常数，且a≠0）是一元二次方程的一般形式，a,b,c依次称为方程的二次项系数，一次项系数和常数项。

能够使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

求出方程的解或者确定方程无解的过程，叫做解方程。

（二）合作交流例题探究

1、提出问题

（1）那么如何求解一元二次方程x2-17x+52=0呢？

（目前没现成的方法可求，只学过一元一次方程的求解。）

（2）你会解下列一元二次方程吗？

x2=4 (x+1)2=0 x2+6x+9=16

（三个方程的特点是左边是完全平方的形式，右边是非负实数，只要两边开平方，把方程降为一次方程即可求解。）

（3）解方程x2-17x+52=0的方法有多种，这一节我们只学习用配方法求解，求解的难点和关键是什么呢？（将方程x2-17x+52=0转化为上面方程的形式。）

2、例题探究

例4 用配方法解一元二次方程：

（1）x2+2x-3=0 （2）x2-4x-3=0

（3）2x2-5x-3=0 （4）x2-6x+10=0

分析：对比这些方程与方程x2+6x+9=16，可以发现方程x2+6x+9=16的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接开方降次解方程；而上述方程不具有上述形式，直接降次有困难，要设法把上述方程化为具有上述形式的方程。

点拨：求解上述方程的关键是只要将方程左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的确定。

解：（1）

移项，得x 2+2x=3，

配方，得x 2+2x+12=3+12，即（x+1）2=4, 开平方得 x+1=-2或x+1=2 解得 x 1=-3, x 2=1

所以原方程的解为-3, 1 (2)

移项，得x 2-4x=3，

配方，得x 2-4x+22=3+22，即（x-2）2=7, 开平方得 x-2=-72或x-2=7 解得 x 1=2-7, x 2=2+7

所以原方程的解为2-7, 2+7 (3)

方程的两边都除以2得x 2

25x-2

3=0 移项，得x 2

25x=2

3

， 配方，得x 2 25x +(45)2=23+(45)2，即（x-45）2=16

49, 开平方得 x-4

5=-4

7或x-4

5 =4

7 解得 x 1=-21, x 2=3 所以原方程的解为-2

1, 3.

(4)

移项，得x 2-6x=-10，

配方，得x 2-6x +32=-10+32，即（x-3）2=-1 所以原方程无实数解。 3、 方法总结

像上面那样，通过把方程左边配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的一般步骤：

（1）方程二边同时除以a ，将二次项系数化为1（a=1时此步省略）变为x 2

+a b

x+a

c =0

（2）移项：使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项：x 2

+a b x=-a

c （如2x 2+3=7x 应变为2x 2-7x =-3）

（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式：x 2+a b x+（

a b 2）2=-a c +（a

b

2）2即 （x+a

b 2）2=2

2

44a ac b - （4）求根：

想一想：为什么要讨论b 2-4ac 的大于零，小于零，等于零？（因为

2

244a

ac

b -在大于零，小于零，等于零时解的情况不一样，所以要讨论） 当判别式△=b 2-4ac>0时，两边直接开平方，解这个一元二次方程。得

X=a

ac b b 242-±-，这就是一元二次方程的求根公式。

当判别式△=b 2-4ac=0时，解方程得x 1=x 2=-

a

b 2 当判别式△=b 2-4ac<0时,原方程没有实数解。 （三）巩固练习

首先请同学们利用配方法求出x 2-17x+52=0的解，然后做以下各题： 1、说出下列一元二次方程的根(口答)

（1）x 2=4 (2) x(x-3)=0 (3) (x+1)(x-2)=0 （4）(x-1)2=0 (5) x 2+1=0 (6)(x+3)2=-2 2、用配方法解一元二次方程：

（1）x 2+6x+7=0 （2）x 2-7x-8=0 （3）2x 2+3=7x （4）t 2+t-1=0 (5)x 2-6x+9=0 (6)x 2+3x+3=0 3、解下列一元二次方程：