排列组合典型模型及解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合
安徽省马鞍山二中 刘向兵
加法原理：如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，......，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。
乘法原理：如果完成一件事情需要n个步骤，第一步有 种不同的方法，第二步有 种不同的方法，......，第n步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。
33、10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？
34、已知直线 ，在 上取3个点，在 上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在 、 之间的交点（不包括 、 上的点）最多有几个？A
A、18B、20C、24D、36
35、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？A
A.30B.120C.2520D.30240
39、三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是：C
A.6B.8C.10D.16
40、三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
解法一：（缩倍法）先将这7个人全排列，然后再除以甲、乙、丙3人的全排列。所以共有 种不同排法。
解法二：（空位法）设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐余下的3个位置，有1种方法，所以共有 种不同排法。
五、先选后排策略
【例5】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
A.120 B.64C.124D.504
20.以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（D）
． ； ． ． -6． ． ．
21、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（B）
A.8种B.12种C.16种D.20种
22、计划在某画廊展开10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有？种
A.20B.12C.6D.4
36、某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同的排列方法有多少种？D
A．720 B．60 C．480 D．120
37、5个小朋友站成一圈，一共有多少种不同的站法？D
A. 120B. 60C. 30D. 24
38、某展览馆计划4月上旬10天接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共( )种。C
23、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外语书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有？种
24、5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有？种排法
25、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
26、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植甲、乙两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求甲、乙两种作物间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有？种。
排列组合练习题
1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（C）
（A） （B） （C） （D）
2．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（A）
． ． ； ． ； ． ．
3．小王同学有 本不同的数学书， 本不同的物理书和 本不同的化学书，从中任取 本，则这 本书属于不同学科的概率为_____11/15______（结果用分数表示）．
8．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是2/5．
9．下列排列数中，等于 的是（C）
． ； ． ； ． ； ． ．
10．将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为 和 ，则函数 图像与 轴无公共点的概率是7/36．
11．甲、乙、丙 人安排在周一至周五的 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有20种．
从n个不同的元素中取出 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列
从n个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示
排列数公式
全排列
排列数ຫໍສະໝຸດ Baidu式
从n个不同的元素中取出 个元素组成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合
12
27、8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数。
28、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（D）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
29、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（B）种
分析：3个女同学可以看成一个整体，再与4个男同学排队。
解：先把3个女同学排好，有 ，然后把女同学看成一个元素和男同学排队，有 。由分步计数原理，有 不同排法。
三、不相邻问题插空策略
【例3】4个男同学、3个女同学站成一排，任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
分析：女同学不相邻，可以插到男同学中间。
4．把一颗骰子 投掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，方程组 ，只有一组解的概率是17/18．（用最简分数表示）
5．从集合 中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为2/5.
6． 共有 种排列 （ ），其中满足“对所有 都有 ”的不同排列有 种．
7．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位 服务的概率是______1/40______．
从n个不同的元素中取出 个元素的所有组合的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示
组合数公式
一、特殊元素和特殊位置优先策略
【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
分析：显然有2个小球装入了同一个盒内，所以需要选出2个小球看做一组。
解：第一步，从5个小球中选出2个组成一组，第二步，把这2个和另外3个看成4组放入盒内，所以共有 种装法。
六、相同元素隔板策略
【例6】现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
分析：因为名额没有差别，所以只要看这个学校分到几个名额即可。
如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记录下来；如果出现一奇一偶，则记下它们的差的绝对值，则出现记录结果不大于3的概率为2/3.
15、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种?C
A.6B.12C.9D.24
16、马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?B
12、( 奉贤二模 )已知函数 的值域为集合 ，函数 ， 的值域为集合 ，任意 ，则 的概率是1/3．
13、1袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为1/7．
14、( 浦东二模文12)某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，并按如下约定记录抽取结果：
A.60B.20C.36 D.45
17、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数?A
A .300 B.360 C.120 D.240
18、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?B
A.45B.36C.9 D.30
19、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数?D
解：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有 种不同方法。
七、正难则反策略
【例7】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法有多少种？
分析：甲、乙分到同一个班的情况只有一种，可用间接法，总体淘汰。
解：四名学生中任两名学生分在一个班的种数是 种，三组分到三个不同的班种数有 种，而甲、乙被分在同一个班的有 种，所以共有30种。
A、280 B、240 C、180 D、96
30、10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？
31、9人排成两排，第一排4人，第二排5人，规定甲不能排在第一排，乙不能排在第二排，共有几种不同的排法？
32、将组成篮球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种
分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。
解：分两类计算：若甲排在第一位，若甲排在第二位，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （种），故选B。
二、相邻元素捆绑策略
【例2】4个男同学、3个女同学站成一排，3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
解：先将男生排好，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生。由分步计数原理，有 种不同排法。
四、定序问题缩倍、空位等策略
【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？
分析：缩倍法：可以先将所有的元素排好，再除以这几个元素的全排列。空位法：设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐。
安徽省马鞍山二中 刘向兵
加法原理：如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，......，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。
乘法原理：如果完成一件事情需要n个步骤，第一步有 种不同的方法，第二步有 种不同的方法，......，第n步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。
33、10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？
34、已知直线 ，在 上取3个点，在 上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在 、 之间的交点（不包括 、 上的点）最多有几个？A
A、18B、20C、24D、36
35、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？A
A.30B.120C.2520D.30240
39、三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是：C
A.6B.8C.10D.16
40、三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
解法一：（缩倍法）先将这7个人全排列，然后再除以甲、乙、丙3人的全排列。所以共有 种不同排法。
解法二：（空位法）设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐余下的3个位置，有1种方法，所以共有 种不同排法。
五、先选后排策略
【例5】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
A.120 B.64C.124D.504
20.以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（D）
． ； ． ． -6． ． ．
21、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（B）
A.8种B.12种C.16种D.20种
22、计划在某画廊展开10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有？种
A.20B.12C.6D.4
36、某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同的排列方法有多少种？D
A．720 B．60 C．480 D．120
37、5个小朋友站成一圈，一共有多少种不同的站法？D
A. 120B. 60C. 30D. 24
38、某展览馆计划4月上旬10天接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共( )种。C
23、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外语书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有？种
24、5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有？种排法
25、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
26、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植甲、乙两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求甲、乙两种作物间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有？种。
排列组合练习题
1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（C）
（A） （B） （C） （D）
2．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（A）
． ． ； ． ； ． ．
3．小王同学有 本不同的数学书， 本不同的物理书和 本不同的化学书，从中任取 本，则这 本书属于不同学科的概率为_____11/15______（结果用分数表示）．
8．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是2/5．
9．下列排列数中，等于 的是（C）
． ； ． ； ． ； ． ．
10．将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为 和 ，则函数 图像与 轴无公共点的概率是7/36．
11．甲、乙、丙 人安排在周一至周五的 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有20种．
从n个不同的元素中取出 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列
从n个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示
排列数公式
全排列
排列数ຫໍສະໝຸດ Baidu式
从n个不同的元素中取出 个元素组成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合
12
27、8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数。
28、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（D）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
29、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（B）种
分析：3个女同学可以看成一个整体，再与4个男同学排队。
解：先把3个女同学排好，有 ，然后把女同学看成一个元素和男同学排队，有 。由分步计数原理，有 不同排法。
三、不相邻问题插空策略
【例3】4个男同学、3个女同学站成一排，任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
分析：女同学不相邻，可以插到男同学中间。
4．把一颗骰子 投掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，方程组 ，只有一组解的概率是17/18．（用最简分数表示）
5．从集合 中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为2/5.
6． 共有 种排列 （ ），其中满足“对所有 都有 ”的不同排列有 种．
7．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位 服务的概率是______1/40______．
从n个不同的元素中取出 个元素的所有组合的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示
组合数公式
一、特殊元素和特殊位置优先策略
【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
分析：显然有2个小球装入了同一个盒内，所以需要选出2个小球看做一组。
解：第一步，从5个小球中选出2个组成一组，第二步，把这2个和另外3个看成4组放入盒内，所以共有 种装法。
六、相同元素隔板策略
【例6】现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
分析：因为名额没有差别，所以只要看这个学校分到几个名额即可。
如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记录下来；如果出现一奇一偶，则记下它们的差的绝对值，则出现记录结果不大于3的概率为2/3.
15、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种?C
A.6B.12C.9D.24
16、马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?B
12、( 奉贤二模 )已知函数 的值域为集合 ，函数 ， 的值域为集合 ，任意 ，则 的概率是1/3．
13、1袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为1/7．
14、( 浦东二模文12)某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，并按如下约定记录抽取结果：
A.60B.20C.36 D.45
17、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数?A
A .300 B.360 C.120 D.240
18、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?B
A.45B.36C.9 D.30
19、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数?D
解：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有 种不同方法。
七、正难则反策略
【例7】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法有多少种？
分析：甲、乙分到同一个班的情况只有一种，可用间接法，总体淘汰。
解：四名学生中任两名学生分在一个班的种数是 种，三组分到三个不同的班种数有 种，而甲、乙被分在同一个班的有 种，所以共有30种。
A、280 B、240 C、180 D、96
30、10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？
31、9人排成两排，第一排4人，第二排5人，规定甲不能排在第一排，乙不能排在第二排，共有几种不同的排法？
32、将组成篮球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种
分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。
解：分两类计算：若甲排在第一位，若甲排在第二位，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （种），故选B。
二、相邻元素捆绑策略
【例2】4个男同学、3个女同学站成一排，3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
解：先将男生排好，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生。由分步计数原理，有 种不同排法。
四、定序问题缩倍、空位等策略
【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？
分析：缩倍法：可以先将所有的元素排好，再除以这几个元素的全排列。空位法：设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐。