直线方程的概念与直线的斜率.ppt

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直线方程概念与直线斜率课件

∴点(32，1)不在直线 l 上． (4)虽然以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的解为坐标的点都在 l 上，但是 l 上点的坐标不都是该方程的解，
比如点 C(－32，－1)∈l，
但x＝－32 不是该方程的解， y＝－1
所以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线 l 的方程，直线 l 也不是方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线．
学习目标 1. 了解直线的方程与方程的直线的概念和关系． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2.2.1
课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．一次函数的图象是一条直线，直线上点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在直线上． 2．常见的直线函数图象有常数函数，正比例函数等．
(2)斜率与倾斜角的关系由斜率k的定义可知：k＝0时，直线平行于x轴或与 x轴重合． k＞0时，直线的倾斜角为__锐__角____；k值增大，直线的倾斜角也随着___增__大___． k＜0时，直线的倾斜角为___钝__角____；k值增大，直线的倾斜角也随着__增__大____．垂直于x轴的直线的倾斜角等于___9_0_°___.
思考感悟过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1＝x2的直线的倾斜角和斜率怎样？提示：此时，倾斜角为90°，斜率不存在．
课堂互动讲练
考点突破考点一直线方程的概念
两点确定一条直线，直线上的点和方程的解是一一对应关系．
例1 已知方程 2x＋3y＋6＝0. (1)求方程所对应直线的斜率； (2)画出这个方程所对应的直线 l； (3)点(32，1)是否在直线 l 上？ (4)方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线 l 的方程？直线 l 是不是该方程的直线？

直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt

通过斜率可以判断直线的倾斜方向，进而确定直线的位置和走势。
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的方程，特别是当已知直线上的一点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式，它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时，直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时，另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。

高B数学必修二课件直线方程的概念与直线的斜率

面积问题
利用直线方程表示图形的边界，通过计算图形面积解决与面积相关的问题。
其他问题
直线方程还可以应用于解决其他实际问题，如物理中的运动问题、化学中的反应速率问题
等。
05
斜率在实际问题中应用
斜率与速度关系
斜率表示速度
在直线运动中，斜率可以表示物体的速度。当直线方程为y=mx+b时，斜率m即为速度。
方法二
斜截式方程。先根据两点坐标求出直线的斜率，再利用斜率和其中一点的坐标求出直线方程。
已知斜率和一点求直线方程
方法一
点斜式方程。根据已知的斜率和一点坐标，利用点斜式公式直接求解直线方程。
方法二
斜截式方程。将已知的斜率转换为斜截式形式，再利用已知点的坐标求出直线方程。
平行和垂直直线方程求解
斜率不存在情况
垂直情况
当直线与$x$轴垂直时，即直线的倾斜角为$90^circ$时，斜率不存在。
无穷大情况
当直线方程为形如$x=c$（$c$为常数）的形式时，斜率也不存在，此时可以理解为斜率为无穷大。
03
直线方程求解方法
已知两点求直线方程
方法一
两点式方程。通过已知的两点坐标，利用两点式公式直接求解直线方程。
公式法
利用点到直线距离公式，将点的坐标和直线方程代入公式进行计
算。
向量法
通过向量的数量积和模长计算点到直线的距离。
垂线法
过点作直线的垂线，利用垂足坐标和点到垂足的距离计算点到直线的距离。
两平行线间距离计算
01
02
03
公式法
利用两平行线间距离的公式，将两直线方程代入公式进行计算。
平行移动法

直线的倾斜角与斜率、直线方程_图文

直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
(1)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m＝ ________.
(2)直线x＋y＝1的倾斜角为________．
2．
填一填：(1)1 (2)135° 2．填一填：(1)3x＋4y－14＝0 (2)x＋y－3＝0 (3)x－y －7＝0或4x＋3y＝0
直线l2的方程为( )
A. x＋3y－5＝0
B. x＋3y－15＝0
C. x－3y＋5＝0
D. x－3y＋15＝0
B
[] 已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是________．
2 [2013·](1)过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0
的直线方程为( )
A. x－2y＋7＝0
B. 2x＋y－1＝0
C. x－2y－5＝0
D. 2x＋y－5＝0

1. (1)直线的倾斜角 ①定义：x轴________与直线________的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角的范围为__________．
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是 90°的直线没有斜率． ②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.
备考· No.1 角度关键词：易错分析解题过程中容易犯有两处错误：一是未考查点P与圆的位置关系；二是运用直线方程的点斜式时，忽视了点斜式方程中隐含的条件：此方程只能表示斜率存在的直线．

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

张喜林制2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教材知识检索考点知识清单1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在且这条直线上点的坐标都是，那么这个方程叫做这条直线叫做．由于方程b kx y +=的图象是因此我们常说直线 2．直线的倾斜角当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线所成的角叫做这条直线的，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率直线b kx y +=中的系数k 叫做，垂直于x 轴的直线直线上的两点),,(),(2211y x B y x A 、那么直线的斜率=k ).(21x x =/当0=k 时，直线或当0>k 时，直线的倾斜角为．k 值增大，直线的倾斜角也随着当0<k 时，直线的倾斜角为____，k 值增大，直线的倾斜角也随着____；垂直于x 轴的直线要点核心解读1．对直线方程概念的理解把—次函数b kx y +=的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线.b kx y +=另一表达形式0=--b kx y 是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率(1)斜率公式的推导．直线b kx y +=被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意两点、),(11y x A ),(22y x B 的坐标可以计算出k 的值．由于11,y x 和22,y x 是直线方程b kx y +=的两组解，所以,,2211b kx y b kx y +=+=两式相减，得),(1212x x k y y -=-故=k ),(121212x x x x y y =/--那么)(121212x x x x y y k =/--=称为直线的斜率公式．由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺序无关．(2)斜率的定义通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在．除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程b kx y +=的图象是过点(O ，b)且斜率为k 的直线．(3)求斜率的步骤，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：?,,?,?,2121=⋅===y y x x ②计算;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③如果,0=∆x 则判定“斜率k 不存在”； ④如果,0=/∆x 计算;xyk ∆∆=⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角(1)定义．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)斜率与倾斜角的关系．由斜率k 的定义可知：0=k 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；0>k 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 0<k 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于.90典例分类剖析考点1 直线与二元一次方程的对应关系命题规律(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线321l l l 、、都经过点P(3，2)，又321l l l 、、分别经过点、)1,2(1--Q、)2,4(2-Q ),2,3(3-Q 试计算直线321l l l 、、的斜率．[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．[答案] 设321k k k 、、分别表示直线321l l l 、、的斜率，由于321Q Q Q P 、、、⋅的横坐标均不相等．,43422,53322121-=---==----=∴k k .033223=---=k母题迁移 1．已知,1)7,()5,3()1,1(-（、、、D a C B A )b 四点共线，求直线方程.b ax y +=[例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：);7,2(),3,1)(1().5,3(),1,4)(2(- [解析] 利用直线的斜率公式1212x x yy k --=求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．[答案] ,041237)1(>=--=k 所以倾斜角是锐角； ,064315)2(<-=-+=k 所以倾斜角是钝角． [点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直线的斜率等于O ，则其倾斜角为,0若直线的斜率不存在，则其倾斜角为.90o[例3] 已知直线321l l l 、、的斜率分别为,321k k k 、、如图2-2 -1-3所示，则( )．321.k k k A << 213.k k k B << 123.k k k C << 231.k k k D <<[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由图可知直线1l 的倾斜角为钝角，所以;01<k 直线2l 与直线3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，所以,032>>k k 所以⋅>>132k k k[答案] D母题迁移 2．求经过点,0)(,().,(=/ab b a B mb ma A )1=/m 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，考点2 求斜率或倾斜角的取值范围命题规律已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．[例4] 已知、)3,3(--A ),1,2()2,2(--P B 、如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．[答案] ,4)3(2)3(1=⋅-----=PA k,4322)2(1-=----=PB k∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是43-≤k 或.4≥k母题迁移 3．已知实数x 、y 满足,82=+y x 当32≤≤x 时，求xy的最大值和最小值，考点3 利用斜率证明三点共线命题规律已知平面上三点，证明三点共线．[例5] 已知三点),5,4()3,3()1,1(C B A 、、-求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．,53||,5||,52||===AC BC AB |,|53552||||AC BC AB ==+=+∴即A 、B 、C 三点共线．证法二：用斜率公式证明，,23435,21313=--==-+=BC AB k k ⋅=∴BC AB k k 又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．∴ A 、B 、C 三点共线．[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标．优化分层测讯学业水平测试1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b 的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l 个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程=+=B b kx y },{一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．B A A =. B A B ⊇. A BC ⊇.D ．以上说法都不对3．直线L 过点),2(m p -⋅和)4,(m Q 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．1.A 4.B 31.或C 41.或D4．过点)3,2()2,3(--N M 与的直线的斜率=k ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若,2=AB k 则B 点的坐标为 6．已知方程.0632=++y x(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点)1,23(是否在直线L 上．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分）一、选择题（5分x8 =40分）1．点)4,3()1,0(B A 、在直线1l 上，若直线,12l l ⊥则直线2l 的倾斜角为( )．30.-A 30.B o C 120. 150.D2．直线L 的倾斜角为ααsin ,是方程033442=+-x x 的根，则a 的值是( )．60.A 120.B 150O 30.或o C 12060.或D3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线3=y 对称的直线的倾斜角是( )．θ.A θ- 90.B θ-o C 180. θ- 90.D4．若)0,()4,9()2,3(x C B A 、、--三点共线，则x 的值为( )．1.A 1.-B 0.C 7.D5．若直线L 经过点)1,2(--a 和),1,2(--a 且与经过点、)1,2(-斜率为32-的直线垂直，则实数a 的值是( )．32.-A 23.-B 32.C 23.D 6．设点),2,3()3,2(---B A 、直线L 过点P(l ，1)且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．443.-≤≥k k A 或 4143.-≤≥k k B 或 434.≤≤-k C 443.≤≤-k D 7．直线L 过点A(l ，2)，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．]2,0.[A ]1,0.[B ]21,0.[C )21,0[⋅D8．已知),1,3()2,(+b B a A 、且直线AB 的倾斜角为,90则a 、b 的值为( )．1,3.==b a A 2,2.==b a B 3,2.==b a C 1,3.=/∈=b R b a D 且二、填空题（5分x4 =20分）9．给出以下命题：①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是;30- ③倾斜角为00的直线只有一条，即x 轴；④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合<≤αα0|{}180与直线的集合建立了一一对应的关系．其中正确命题的序号是10．三点（2，-3）、(4，3)及)2,5(k 在同一条直线上，则k 的值等于11．已知过)2,3()1,1(a Q a a P 和+-的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12.直线)(013cos R y x ∈=++⋅θθ的倾斜角的取值范围是三、解答题（10分x4 =40分）13.斜率为2的直线经过),1()7,()5,3(b C a B A -、、三点，求a 、b 的值．14．(1)已知矩形ABCD 中，、、)1,2()2,1(B A 中心),3,3(E 点),(y x P 在矩形的边界及内部运动，求xy的取值范围；(2)若实数x 、y 满足：,3,212-≥≤+=y x x y 且求xy的取值范围．15.求经过两点))(3,()2,1(R m m N M ∈-、的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？16.求函数2sin 1sin 3++=x x y 的值域.。

直线方程的概念与直线的斜率 PPT课件人教课标版

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.
由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因而我们以后就说直线y=kx+b
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
67、心中有理想再累也快乐
•
68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
•
69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
•
70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
•
71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
•
72、只要路是对的，就不怕路远。
•
73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
2 3
，
y
所以可以得 x 的最大值为2，
最小值为 2 ．
A
3
B
练习题：
1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ C ）

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率

y

o
x
y
y
o
x o

y

x
o
x
（1）
（2）
思考？
（3）
（4）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
角度升切值，数形达一致。

坡度（比）
升高量前进量

y x
tan
知识探究2：直线的斜率
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用
知识探究3：两点确定直线的斜率
y
k tan
以往我们一般
y2
y1
P2 (x2, y2 )
△y
△x Q(x2, y1) P1(x1, y1)
在中怎求样一的个图角P形的2 P1Q,
正且切x值1 呢 ?x2, y1 y2

o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k

tan

tan P2P1Q
y
l1
l２
l３
O
X
k1 k3 k2
当在 [0 ,180 )变化时，斜率k如何变化？
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
0°＜＜ 90°
= 90° 90°＜＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
动态演示
注意： 1、所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2、倾斜角是从几何角度刻画直线的倾斜程度；而斜率是从代数角度刻画直线的倾斜程度，

直线方程的概念与直线的斜率--原创

4、斜率k与倾斜角之间的关系： 1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan (a 90 )
0 k tan 0 0 0 90 k tan 0 a 90 tan (不存在) k不存在 90 180 k tan 0
（3，2），（-4，1），C（0， 1 ， B ）例3：已知点 A
(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. (2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点，求 l 的斜率k的取值范围.
y
1 2 1 解：（）k AB 1 锐角 4 3 7 1 1 1 k BC 钝角 0 (4) 2 1 2 kCA 1 锐角 03 x
令x x 2 x1 y y 2 y1
y k ( x 0 ) x
t an
y
P2 P1
P
y y x x
2 2
1
0
x
1
直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率。
三直线的倾斜角
X轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．
y A
例1、求经过A(-2,0), B(1,3)两点的直线的斜率和倾斜角. 变式1、求经过A(-2,0), B(-2,3)两点的直线的斜率和倾斜角. 变式2、求经过A(-2,3), B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角. 变式3、已知A(-2,0), B(1,3) C（m，4）三点共线，求m的值。例2、已知三点A(2,3),B(m, 4),C(8, m)三点共线, 求m的值.
y1 kx1 b1 y2 kx2 b 2

直线的点斜式方程ppt(共34张PPT)

（4）经过点D(-4，-2），倾斜角是120°
(1)y 1 2 (x 3) (2)y 2 3 (x 2 )
3 (3)y 3 (4)y 2 3 (x 4)
(5)斜率为
3 2
，在y轴上的截距是-2。
(6)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3。
(7)斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1。
l
O
x
此时，tan 0°=0 即k=0，这时直线与 x轴平行或重合，直线的方程就是y-y0=0或y=y0。
倾斜角为90°的直线的方程是什么？ y l
P0
O
x
此时，直线没有斜率，直线与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。直线的方程为yy0=0或y=y0。
例一
直线l经过点P(1,2)，且倾斜角α=135°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l。
（1）若x1=x0，则y1=y0，说明点P1与点P0重合，可得点P1在直线l上.
➢ 直线的点斜式方程和斜截式方程。（1）若x1=x0，则y1=y0，说明点P1与点P0重合，可得点P1在直线l上.
解：设直线的方程为y-4=k(x-1)。
变形得到y+1=5(x+1)——点斜式
理解直线方程的点斜式,斜截式的形式特点和适用范围。
(8)过点（3，1），①垂直于x轴;②垂直于y轴。
(5 )y
3 2
x
2
(6 )y x 3
(7 )y = 3 x - 1
(8 )x - 3 = 0
y -1 = 0
4.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程。
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
55
kL 23 2 将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得

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段AB上任一点P为 x, y,
P
则kOP
y0 x0
y x , kOA
2,kOB
2 3
o
由
图
知 , y的 x
最
大
值k为 OA
2,最
小
值k为OB
2 3
B
x
数学使用
例3：已知三点A(-3,-3),B(-1,1),
C(2,7),求KAB，KBC KAB=2 KBC=2
假如KAB=KBC,那么A、B、C三点的方位联系怎样？ A、B、C三点共线
的倾斜角分别为？哪个角
y
A
0B
Cx
问题情境
楼梯的倾斜程度用坡度来刻画
2m
1.2m
3m
3m
高度坡度= 宽度
坡度越大，楼梯越陡．
建构数学直线倾斜程度的刻画
级宽级高
类比思想
直线
yP
Q
高度
宽度M
o
x
ＭＰ直线的倾斜程度= ＱＭ
建构数学三、直线的斜率
已知两点 P(x1，y1)，
y
Q(x2，y2)，
1k4-130，倾斜角是锐角
2-1
2k02---5310，倾斜角是钝
数学使用斜率几何意义的应用
例2：已知x实 ,y满数2足 x+y8,当 2x3时 ,
求: y的最大值.和最小值 x
解:如图,方程2x+ y 82 x3的图
像为线A段B,其中A2,4,B3,2,设线y A
如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a) 在一条直线上,
求a的值 a=-3
已知直线l经过点P(2,3)与Q(-3,2)
1
则直线的斜率为____5____
已知点P(2,3),点Q在y轴上,若直线PQ的斜率为1 ,则点Q的坐标为 ___(_0_,_1_)___。
斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),
线的倾斜角,k越大 ;
巩固练习3：
如,图设直 l1,l线 2,l3的斜率k分 1,k2,别 k3, 为
则 k1,k2,k3的大小关 k3 系 k1为 k2yΒιβλιοθήκη l3l2l1
o
x
巩固练习4：
求通过下列两点直线的斜率，并判别其倾斜角是锐角仍是钝角。
11， 1， 2， 4 23 ， 5， 0 ， 2
P(x1, y1)
Q(x2, y2)
x2 x1 x
如果 x1≠x2，则直线 PQ的
斜率
y2 y1 y
为k：
y2 x2
y1 x1
x1x2
y
纵坐标的差
o
x
x
横坐
可写成 k
y1 y2 x1 x2
x1x2
吗？
标的差
与两点的顺序无关
建构数学直线斜率的概念剖析
y
问题1：如果 x1=x2，则直线 PQ的斜率怎样?
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
想一想：
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，直线上的每一点的坐标都是方程的解，反过来，方程的每一个解表明的点都必在直线上。
例：y=2x+1的图象是一条直线，直线上的点的坐标都是2x-y+1=0的解。
蓝点（1，3）为直线上的点,它是 Y
方程的解。
●
x=-2，y=-3为方程的解，它表示的点（-2，-3）(绿点) 必在直线上。
当 m<2时，k<0
建构数学倾斜角与斜率之间的关系
直线平 x轴行或于 x轴与重 ,倾合斜角为
00时,k0;
垂直x于轴的直线的倾斜90角 0,此等时于 k不存;在
直线的倾斜角为,k锐 0,角此时时 ,直
线的倾斜角,k越大 ; 直线的倾斜角为,k钝 0,角此时时 ,直
l1，l2，l3，l4别离通过点Q 1 2 ， 1 ， Q 2 4 ， 1 ， Q 3 5 ， 3 ， Q 4 2 ， 5 ，评论
l1，l2，l3，l4的斜率是否存在，若存在，求出直线的
斜率. yQ4
P
Q3
l3
解:
直线l1的斜率
k1=
13 22
1
K3=0 Q2
o x l1 Q1
直线
2
y l
2
ox
ym
2方y程 21是直 m 如线的图方 1 程
x1
1 o x
1.以一个方程的解为坐标的点是否都在直线上； 2.直线上点的坐标是否都是这个方程的解。
两个条件缺一不可
二、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的界说：
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做
这条直线的倾斜角。
y l 注意： (1) x轴的正向；
3(m+2)2
1
20
2
2
3(m+2)2 1 1 k的取值范k围为 1
2
22
2
小结：
1、直线的方程与方程的直线概念 2、直线倾斜角的界说及其规模 3、直线斜率的定义、斜率公式、求法、斜率与倾斜角的关系
K1=1
l4
斜率不存在
l2 K2=-1
直线l2的斜率 k2=
13 1 42
直线l3的斜率 k3=
33 0 52
直线 l4 的斜率不存在
数学使用直线斜率的核算
仿按例1，自编两题，使直
线斜率别离为正数和负数
想一
已知A(2,3),B( m,4),当m
想为何值时,k>0、k<0?
当 m>2时，k>0
O
X
●
一、直线方程的概念
假如以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
例如直线:y=2x+1
y=kx+b的图像是一条直线，以后常说直线 y=kx+b
Y ●
O
X
●
判别正误：
1直线l 如图是方程x y + 2 0的
(-1，b)三点，则a,b的值为( C )
A、a=4,b=0 B、a=-4,b=-3 C、a=4,b=-3 D、a=-4,b=3
求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)
的直线l的斜率k的取值范围。
解: 由斜率公式得直l 的斜率
(3m2+1m 2+1)32 k
3m2
+1
2m+11
(2)直线向上的方向。
o
x
2、直线倾斜角的范围：
我们规定，与x轴平行或重合的直线
的倾斜角为零度角
直线的倾斜角的取值范围为：00,180 0
稳固操练1：
下列四图中，表明直线的倾斜角的是( A )
y
y
x x
a
o
oa
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
巩固练习2：
如图 ,AB的 C 边 AB,BC,AC所在直线
斜率不存在,这时直线PQ⊥x轴
Q(x1,y2) 问题2：对于一条与x轴不垂直的定直线
而言,直线的斜率是定值吗?
P(x1, y1)
是定值,定直线上任意两点确
定的斜率总相等
o
x
问题3：求一条直线的斜率需要什么条
件?
只需知道直线上任意两点的坐标
数学应用直线斜率的计算
例1：如图，直线 l1，l2，l3，l4都通过点P2， 3 ，又