高斯扩散模型几何意义的研究

y
y
u= 0
O u=1
x
O
x
图 1 当μ=0，σ分别为 0.5、1、2 时的正态函数图
图 2 当μ=1，σ分别为 0.5、1、2 时的正态函数图
3．烟羽扩散过程的分解与高斯模型的拆分 由几何知识可知，点动成线，线动成面，面动成体。经高架源排放的烟羽扩散时 的运移过程的特点，可以将其扩散过程分解为点、线、面、体四个过程。 ①点：烟气从烟囱排出后由于其具有一定的速度，需垂直上升一段距离（抬升距 离），当其垂直上升速度达到零时，开始扩散。将烟气出口到其垂直上升运动速度为零 时的过程称为扩散过程的“点”，在这个过程中假设烟气没有与周围环境发生物质交换， 与高斯函数中对应的量为 Q 和 He（其中 Q 表示烟气中污染物的排放量（mg/s）；He 表 示当烟气的铅直运动速度为零时烟气（污染物）所到达的高度）。此时可认为烟气中的 各类污染物均聚集在一点内，其中所包含的污染物量为 Q。见图 1。 ②线：当烟气上升至最高点（He）时，此时的烟气在垂直方向的运动速度为零， 与此同时，烟气开始与周围环境发生联系。但可以假设，烟气此时的扩散原因仅由风 引起，即烟气到达最高抬升点时，由风将“点”均匀的拉开成为一条线（设烟气所在 的 He 高度处的风速为 u），则此时，线上各点的污染物量为 C（x）=Q/u。见图 2 ③面：风将废气拉成一条线后，烟气再与周围的环境发生联系，假设此时“线” 上的污染物逐步进行水平扩散，根据高斯扩散模型的假设条件，烟气的扩散遵循正态 分布，即越靠近“线”中心处的污染物浓度越高，离中心线越远的地方，污染物浓度 越低。 取“线”上的一点作为研究对象：
C（x、y、z）= C′（x、y、z）+ C″（x、y、z）=
Q
1 {exp[ − (
y2
+ (z + H e )2 )] + exp[ − 1 (
y2
+ (z − H e ) 2 ]}
u2πσ yσ z
2 σ y2
σ z2
2 σ y2
σ z2
最终得出高斯大气扩散模型如下：
C ( x,
y, z)
=
1.高斯扩散模型简介
C（x、y、z）=
Q u2πσ yσ z
{exp[−
1 y2 2 (σ y2
+
(z
−H σz2
e
)2
)]
+
exp[
−
1 2
(
y2
σ
2 y
+
(z
− σ
H
2 z
e
)2
]}
式中： C(x,y,z)—表示坐标为 x，y，z 处污染物浓度； He—烟囱的有效高度，m； Q—烟囱排放源强（污染物单位时间排放量，mg/s）； σy—垂直于主导风向的横向扩散参数，m； σz—铅直扩散参数，m； u—排气筒高度处的风速，m/s。 高斯模式的四点假设为： （1）假定大气流动是稳定的、有主导方向的； （2）假定污染物在大气中只有物理运动、没有化学和生物变化； （3）假定在所要预测的范围内没有其他同类污染源和汇，也就是说源强是连续均 匀的； （4）在有主导风的情况下，主导风对污染物的输送应远远大于湍流运动引起的污 染物在主导风向上的扩散，即在 x 方向只考虑迁移，不考虑扩散。 2.正态函数的特点及几何意义简介 ①正态分布密度函数：
高斯扩散模型几何意义的研究
邓永怀 1 张新瑞 2 张军英 1 1 西北矿冶研究院环境资源研究所，甘肃白银，730900；
2 白银市城市建设设计院，甘肃白银，730900
摘要： 高斯模型是大气预测的基本模型，我们平时用的 EIAproA2008 也是基于高斯模型 的，只不过是同时加入了一些地形、气象的修正。本发明通过分析高斯扩散模型的几 何意义，了解高架点源排放烟气的扩散特点，根据研究结果观察不同烟羽形状对应的 大气稳定度，并结合观察所得的大气稳定度，预测分析污染物经高架点源排放后在评 价范围内的浓度。 关键词： 高斯模型 正态分布 影响预测 几何意义
Q u2πσyσ z
{exp[
1 y2 − 2(σy2
+
(z
+ He)2 σ z2
)]
+
exp[
1 y2 − 2(σy2
+
(z
− σ
H
2 z
e
)
2
]}
Q
Q/u
图 1 烟羽扩散的点状图
图 2 烟羽扩散的线状图
图 3 烟羽扩散的水平面正态分布图 图 4 烟羽扩散的水平面及垂直面正态分布图
图 5 地上源及虚拟地下源的烟羽扩散图形 参考文献：[1]《大气污染控制工程（第二版）》郝吉明 马广大主编，高等教育出 版社。
在水平扩散前，“线”上任意一点的污染物量为 Q/u，此点沿垂直于下风向的方向
（即 x 轴）扩散（分别沿 y 轴的正、负方向），在发生水平扩散后，形成一条线（此线 与风向垂直），由于线上各点的污染物浓度分布符合正态分布，其扩散线长度范围内各 点浓度之和等于 Q/u，则线上各点处的污染物浓度为：
C(x, y) = C(x) •
取“面”上任意一点为研究对象，假设此时此点上的污染物再沿着铅直方向（z 轴） 扩散，扩散后形成一条线（此条线垂直于 xoy 面），线上各点的污染物浓度也符合正态 分布，则其扩散线长度范围内各点浓度之和等于 C（x、y）。则线上各点的浓度分布符 合正态分布。见图 4。
但是由于地面反射的作用，高斯模型对于地面反射的叠加效果的处理是采用镜面 法，即假设地面下同样距离处也存在一个污染源，其与地上源的于烟羽落地处相交， 此后地上烟羽各点浓度等于地上源烟羽与地下源烟羽浓度之和。见图 5。
高斯扩散模型几何意义的研究
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
邓永怀， 张新瑞， 张军英 邓永怀(西北矿冶研究院环境资源研究所)， 张新瑞,张军英(白银市城市建设设计院)
城市建设理论研究（电子版） ChengShi Jianshe LiLun Yan Jiu 2011(29)
本文链接：/Periodical_csjsllyj201129023.aspx
−
2σ
2 y
−
(
z−He )2
2σ
2 z
2π σ z
u 2πσ yσ z
=
Q
1 y2 exp[− (
+ (z − H e )2 )]
u2πσ yσ z
2 σ y2
σ z2
同理对于虚拟地下源，烟气开始扩散的高度为-He，因此在地下部分铅直面上扩散的
正态函数中μ=-He，可知虚拟地下源在 zox 面（或平行于 zox 面）上各点的污染物浓
y2
1
−
e = 2σ y 2
2π σ y
u
y2
Q
−
= (e ) 2σ y 2
2π σ y
u
Q
1 y2
exp[− ( )]
2π σ y
2 σy2
扩散所形成的平面上各点浓度之和等于污染源强 Q，即：
Q = ∫ C(x)dx = ∫ ∫C(x, y)dxdy
具体见图 3。 ④体：废气在水平方向上扩散后，污染物在水平方向形成一个平面（xoy 面），在此 平面上污染物以排气筒下风向轴线为中心，轴线上的污染物浓度最高，轴线两侧污染 物浓度逐渐降低。
对于地上源，应其原点为烟囱底座高度，而烟气开始扩散高度的高度为 He，因此 在地上部分铅直面上扩散的正态函数中μ=He，则地上源各点在 zox 面（或平行于 zox 面）上各点的污染物浓度为：
C′(x, y, z) = C(x, y) •
1
ห้องสมุดไป่ตู้e = −
(
z− He
2σ
2 z
)
2
Q
(e )(e ) y2
度为：
C′′(x, y, z) = C(x, y) •
1
− ( z+He)2
e = 2σ
2 z
Q
(e )(e ) y2
−
2σ
2 y
−
(
z+ He
2σ
2 z
)
2
2π σ z
u2πσyσ z
=
Q u 2πσ yσ z
exp[ −
1 2
y2 (σ y 2
+
(z
+ σ
H
2 z
e
)
2
)]
则扩散所形成的“体”上各点的浓度为
f (x) =
1
(x− µ)2
−
e
2σ 2
，（σ＞0，-∞＜x＜∞）
2πσ
其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值； σ是正态分布的标准差。正态分布一般记为 N (µ,σ 2 ) 。
②正态分布 N (µ ,σ 2 ) 的图像是由μ和σ决定。 当μ=0，σ分别为 0.5、1、2 时的正态函数图像见图 1； 当μ=1，σ分别为 0.5、1、2 时的正态函数图像见图 2； 由图 1 及图 2 可见，正态函数的图像依赖于两个变量: σ和μ,其中σ确定了函数 图像的扁平情况；μ确定了函数图像偏离 y 轴的距离，当μ=0 时函数 f（x）关于 y 轴 对称。