基本不等式的几种应用技巧PPT课件
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不等式基本不等式实际应用ppt
柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
基本不等式及应用PPT课件
5
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
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2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式ppt课件
资源分配问题
总结词
基本不等式可以帮助我们找到在资源分配中达到最大效益的方法。
详细描述
在现实生活中，我们经常需要分配有限的资源以达到最大的效益。基本不等式可以为我们提供一种在资源分配中 达到最大效益的方法。例如，假设我们有一定数量的资金和时间，我们需要分配这些资源来最大化效益。通过使 用基本不等式，我们可以找到最佳的资源分配方式。
基本不等式ppt课件
目录
• 基本不等式概述 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的扩展 • 基本不等式的实际应用 • 基本不等式的进一步学习建议
01
基本不等式概述
基本不等式的定义
基本不等式定义
对于任意实数a和b，总有$(ab)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
微积分应用
不定积分
利用基本不等式可以求解不定积分，以及求解原函数等微积 分问题。
定积分
基本不等式可以用于求解定积分，以及求解曲线下面积等微 积分问题。
03
基本不等式的扩展
柯西不等式
柯西不等式的表述
如果$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$是实数，那么有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
柯西不等式的证明
根据平方和的性质，我们有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \leq [a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2][b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2]$，这就得到了柯西不等式。
基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
基本不等式的应用(58张PPT)
理方法是利用函数单调性求最值．
人教A版· 数学· 必修5
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第三章 3.4 第2课时
系列丛书
x2＋4 x2＋3＋1 [解] f(x)＝ ＋1＝ ＋1＝ x2＋3 x2＋3 1 ＋1. x2＋3 令t＝ x2＋3(t≥ 3)，
x2＋3 ＋
1 则原函数变为y＝t＋ ＋1，在区间[ 3 ，＋∞)上是增 t 1 4 3 函数，所以当t＝ 3时，y＝t＋ t ＋1取得最小值 3 ＋1.
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第三章 3.4 第2课时
系列丛书
2．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
1 提示：不一定．如 x ＋2 ＋ 2 中，虽然 x2＋2 与 x ＋2
2
1 的积为定值1.但当 x2＋2 立．
1 x ＋2 ＝ 2 时有x2＝－1不成 x ＋2
2
1 ∴ x ＋2＋ 2 ≥2中等号不成立． x ＋2
人教A版· 数学· 必修5
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第三章 3.4 第2课时
系列丛书
4 当且仅当a－1＝ (a>1)，即a＝3时，等号成立，此 a－1 时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．
人教A版· 数学· 必修5
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第三章 3.4 第2课时
系列丛书
[点评]
本例的求解建立在函数思想上，通过已知的
等式，将两个变元转化为一个变元．利用均值不等式，求 函数的值域，是解决这类问题常用的方法．
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第三章 3.4 第2课时
系列丛书
新知初探
1．运用不等式求一些最值问题． a＋b 2 a2＋b2 用a＋b≥2 ab 求最小值；用ab≤( 2 ) ≤ 2 求最 大值．
人教A版· 数学· 必修5
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
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基本不等式的几种应用技巧
蒙城六中 陈涛
.
基本不等式的几种应用技巧
最值问题始终是高考数学的热点题 型之一，而利用基本不等式求函数的 最值是应用比较广泛且方便的解题方 法。本节课我们将对基本不等式应用 过程中的注意事项及常用的变形技巧 做简单的梳理。
.
基本不等式的几种应用技巧
基本不等式
ab ab(a0,b0) 2
.
小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等
式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “１”的代换等方法. （３）取不到等号时，用函数单调性求最值.
即 一 不 正 ,a 0 ,b 0 常 用 a b 2a b
二不定,需变形 三 不 等 当 １３ x261时，等号成
即ymin６２３
三相等
.
基本不等式的几种应用技巧
题型三：凑系数
例3.已知 0x4，求 yx82x的最大值。
方法提示
对于求积的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造 含变量的表达式的和为定值的结构，
我们常通过凑相应的变量系数来解决。
方法分析 对于常见的分子为二次式，分 母为一次式的分式函数求最值，我 们常将分子中的变量凑成分母的形 式，然后分离分式，再用基本不等 式解决。
.
基本不等式的几种应用技巧
解： x 1 ， x 1 0 ，
y
x2
3x1
x12５ x１ ５
x1
x1
x1 5 52 x1• 5 ５
x1
x1
2 55
当且仅 x当 12 5,即x 51时等号
.
基本不等式的几种应用技巧
解： ０ x 4 , 8 2 x 0 一正
yx82x12x•82x
2
12x82x2 8
二定
2 2
当且2仅 x8当 2x,即 x2时等号成
从而y有最大值８.
三相等
.
基本不等式的几种应用技巧
题型三：拆项
例３.当 x1 时，求函数 y x2 3x1 的值域. x1
y ＝１ ４
，则
分析：因为x ,y都大于０，因此对所给条件直接运用基 本不等式即可得到x.y相应的不等式
.
基本不等式的几种应用技巧
解： x0 ,y0 ,
一正
１３ ＝ x４ y２３ x•4y
xy 3
当且仅 xy当 ，x即 6,y8时取等号， 34
于是 xy １，xy 3， 3
故xy的最大值为３.
.
基本不等式的几种应用技巧
练一练
1.已x知 2,求函 y数 x 4 的最.大值 x2
２ .若 0x2,则函 yx数 82x 2有最
值 ，此时x=
４ ３ ..已 求函 x知 y0 数 ,求 x2函 5y 的x 数 2最 3 xx小 .4的 值 最. 大 x2 4
.
基本不等式的几种应用技巧
成立，故原函为 数 ２５ 的５ 值， 域
.
基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
例 .已 ４x知 y, R ,若 2xy1求 ,1１的最 值小
解 x0，y0
xy
错因：解答中两次
：
12xy2 2xy
运用基本不等式取“=”
xy 1 即 1 2 2 2 xy
2
号过渡，而这两次取
112 122 24 2 “=”号的条件是不同
.
基本不等式的几种应用技巧
又 0si n1, 原数 函不能取 22最 . 小
令 y你的还单ts 记调 得性2it函么在 n则 ,数 ？0α y, 1上 xy t 单a 2 xt调 ,,ta 递 0 0减 ,1， t 当t1时， 即 si n1 , 时 ,
y y有最小 . 值 min 3 2
当且仅当a b时等号成立
常用不等式串
2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
当且仅当 a b 时等号成立
.
基本不等式的几种应用技巧
最值定理
已知x,y都是正数：
（１）如果积 x y是定值p，那么当且仅当 xy 时，和x y 有
最小值 ２ p
（２）如果和x y是定值s，那么当且仅当 xy时，积 x y有最
大值 1 S 2 4
定积求和，和最小；定和求积，积最大
.
基本不等式的几种应用技巧
应用基本不等式应注意的事项 （１）各项必须为正值 （２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
.
基本不等式的几种应用技巧
题型一：基本不等式的直接应用
例xy１的已最知大值x,为yR__，_且__满__足_。３x
.
基本不等式的几种应用技巧
题型二：添项
例２Ａ函数.３y２3x2３x261的最小Ｂ值.是３ （ ）
Ｃ.６ ２
Ｄ６. ２３
方法提示 对于求和的表达式的最值计算，若
要用基本不等式解决，就要努力构造含 变量的表达式乘积为定值的结构，我们 常通过添项来解决。
.
基本不等式的几种应用技巧
解:y3x2x261＝３ x2１ 二定x261３
x y xy
的，故结果错.
即11的最小值为4 2.
xy
.
例 .已 ４x知 y , R ,若 2xy1求 ,1 １的最 值小 xy
正解：
1 x
1 y
１x １y2x y
3 y 2x 32 2
xy
“1”代换 法
当 且 仅 当 y2 x即 y2 x时 ， 等 号 成 立 . xy
而 y 2x
2x y 1
.
x y
2 2
1
2
2 2
ymin 32 2
基本不等式的几种应用技巧
题型五：等号不成立，改用单调性
例５.已知 的最小值.
0，
2
，求函数
ysin 2 sin
解 ：
0， 2， 0sin1，
ysin 2 sin
2
sin• 2 sin
2
2
当且s仅 i n当 s2 i n时， si即 n 2时，
等号.成立
蒙城六中 陈涛
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基本不等式的几种应用技巧
最值问题始终是高考数学的热点题 型之一，而利用基本不等式求函数的 最值是应用比较广泛且方便的解题方 法。本节课我们将对基本不等式应用 过程中的注意事项及常用的变形技巧 做简单的梳理。
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基本不等式的几种应用技巧
基本不等式
ab ab(a0,b0) 2
.
小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等
式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “１”的代换等方法. （３）取不到等号时，用函数单调性求最值.
即 一 不 正 ,a 0 ,b 0 常 用 a b 2a b
二不定,需变形 三 不 等 当 １３ x261时，等号成
即ymin６２３
三相等
.
基本不等式的几种应用技巧
题型三：凑系数
例3.已知 0x4，求 yx82x的最大值。
方法提示
对于求积的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造 含变量的表达式的和为定值的结构，
我们常通过凑相应的变量系数来解决。
方法分析 对于常见的分子为二次式，分 母为一次式的分式函数求最值，我 们常将分子中的变量凑成分母的形 式，然后分离分式，再用基本不等 式解决。
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基本不等式的几种应用技巧
解： x 1 ， x 1 0 ，
y
x2
3x1
x12５ x１ ５
x1
x1
x1 5 52 x1• 5 ５
x1
x1
2 55
当且仅 x当 12 5,即x 51时等号
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基本不等式的几种应用技巧
解： ０ x 4 , 8 2 x 0 一正
yx82x12x•82x
2
12x82x2 8
二定
2 2
当且2仅 x8当 2x,即 x2时等号成
从而y有最大值８.
三相等
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基本不等式的几种应用技巧
题型三：拆项
例３.当 x1 时，求函数 y x2 3x1 的值域. x1
y ＝１ ４
，则
分析：因为x ,y都大于０，因此对所给条件直接运用基 本不等式即可得到x.y相应的不等式
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基本不等式的几种应用技巧
解： x0 ,y0 ,
一正
１３ ＝ x４ y２３ x•4y
xy 3
当且仅 xy当 ，x即 6,y8时取等号， 34
于是 xy １，xy 3， 3
故xy的最大值为３.
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基本不等式的几种应用技巧
练一练
1.已x知 2,求函 y数 x 4 的最.大值 x2
２ .若 0x2,则函 yx数 82x 2有最
值 ，此时x=
４ ３ ..已 求函 x知 y0 数 ,求 x2函 5y 的x 数 2最 3 xx小 .4的 值 最. 大 x2 4
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基本不等式的几种应用技巧
成立，故原函为 数 ２５ 的５ 值， 域
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
例 .已 ４x知 y, R ,若 2xy1求 ,1１的最 值小
解 x0，y0
xy
错因：解答中两次
：
12xy2 2xy
运用基本不等式取“=”
xy 1 即 1 2 2 2 xy
2
号过渡，而这两次取
112 122 24 2 “=”号的条件是不同
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基本不等式的几种应用技巧
又 0si n1, 原数 函不能取 22最 . 小
令 y你的还单ts 记调 得性2it函么在 n则 ,数 ？0α y, 1上 xy t 单a 2 xt调 ,,ta 递 0 0减 ,1， t 当t1时， 即 si n1 , 时 ,
y y有最小 . 值 min 3 2
当且仅当a b时等号成立
常用不等式串
2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
当且仅当 a b 时等号成立
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基本不等式的几种应用技巧
最值定理
已知x,y都是正数：
（１）如果积 x y是定值p，那么当且仅当 xy 时，和x y 有
最小值 ２ p
（２）如果和x y是定值s，那么当且仅当 xy时，积 x y有最
大值 1 S 2 4
定积求和，和最小；定和求积，积最大
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基本不等式的几种应用技巧
应用基本不等式应注意的事项 （１）各项必须为正值 （２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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基本不等式的几种应用技巧
题型一：基本不等式的直接应用
例xy１的已最知大值x,为yR__，_且__满__足_。３x
.
基本不等式的几种应用技巧
题型二：添项
例２Ａ函数.３y２3x2３x261的最小Ｂ值.是３ （ ）
Ｃ.６ ２
Ｄ６. ２３
方法提示 对于求和的表达式的最值计算，若
要用基本不等式解决，就要努力构造含 变量的表达式乘积为定值的结构，我们 常通过添项来解决。
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基本不等式的几种应用技巧
解:y3x2x261＝３ x2１ 二定x261３
x y xy
的，故结果错.
即11的最小值为4 2.
xy
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例 .已 ４x知 y , R ,若 2xy1求 ,1 １的最 值小 xy
正解：
1 x
1 y
１x １y2x y
3 y 2x 32 2
xy
“1”代换 法
当 且 仅 当 y2 x即 y2 x时 ， 等 号 成 立 . xy
而 y 2x
2x y 1
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x y
2 2
1
2
2 2
ymin 32 2
基本不等式的几种应用技巧
题型五：等号不成立，改用单调性
例５.已知 的最小值.
0，
2
，求函数
ysin 2 sin
解 ：
0， 2， 0sin1，
ysin 2 sin
2
sin• 2 sin
2
2
当且s仅 i n当 s2 i n时， si即 n 2时，
等号.成立