三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页)
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统计量与抽样分布-PPT课件
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x
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第6章 统计量与抽样分布
主要内容
• 总体和样本的统计分布 • 统计量 • 抽样分布
第一节 总体和样本的统计分布
• 一、统计推断中的总体及总体分布 • 总体的概念 总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物 的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质 的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。 由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的 数值 编制变量的分布数列 实物总体 数值总体 分布总体
引例
• 1899年，戈塞特进入都柏林A.吉尼斯父子酿酒公司担任酿 酒化学技师，从事统计和试验工作。他发现，供酿酒的每 批麦子质量相差很大，而同一批麦子仲能抽样供试验的麦 子又很少，每批样本在不同的温度下做式样其结果相差很 大，这决定了不同批次和温度的麦子样本是不同的，不能 进行样本合并，这样一来实际上取得的麦子样本不可能是 大样本，只能是小样本。小样本得出的结果和正态分布有 较大差异，特别是尾部比正态分布高…… • 大样本和小样本有什么差异？如何用样本推断总体？
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机 变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信 息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。
参数估计 统计推断
假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
1 f( x , ,x ) n 1 i 1 2
n
2 x ( ) i 2 e 2
( 2 2 i1
常用的三种抽样分布
为
1
和分母SS自1222 由度为
2
的
F
2 ( 2 )
分布，记为
2
F～
F
(
1,
2
)
。
对于样本方差
s12
和
s
2 2
，自由度分别为
1
和
2
的
正态总体，因为有 1s12 s2
～
2
( 1 )
,
2s22 s2
～ 2 ( 2 ) ,
所以有 F
= s12 s22
～ F (1, 2 )
F分布的概率密度函数
F 分佈是為了紀念著名的統計學家R.A. Fisher（1890-1962)而得名。
3 3.84 6 7.81 9
1122.59 15
18
卡方值
5.99
附表 3 中列出了各种自由度的上α分位点
对应的概率，如
2 0.05
(2)
5.99
。
对于正态总体，若总体均数μ未知，则由
数理统计知识可知： (n 1)S 2
s2即 s2 s2服从χ2 Nhomakorabea( ) ，
由此可对方差的抽样误差进行假设检验。
χ2分布
由度的大小有关。
自由度越小，则t值越分散，曲线越低平； 自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近Z分 布(标准正态分布)；当趋于∞时，t分布即 为Z分布。
t 界值表
（P279，附表2）
问单侧t0.025,10 ?
f (t) ν=10的t分布图
✓ 举例：
t
1.812 -2.228
2.228
① 10，单 =0.05，t , t0.05,10 1.812 ，则有
§5.4三大抽样分布
所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0
1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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下页
结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
统计量及其分布ppt课件
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图q
表5.1.1 各等级彩电的比例(%)
等级
I
|X-m|<5/3
II
III
5/3<|X-m|<10/3 10/3 <|X-m|<5
IV
|X-m|>5
美产 33.3 33.3 33.3
0
日产 68.3 27.1 4.3
0.3
抽样 ：
5.1.2 样本
要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往 是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽 样。样本
x 344 344 x 347 347 x 351 351 x 355
x 355
由伯努里大数定律：
第25页
两点分布，只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
更深刻的结论：格里纹科定理
定理5.2.1 设 x1,x2,L,xn 是取自总体分布函数为F(x) 的样本F，n ( x ) 为其经验分布函数，当n 时，有
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率）， 则该总体可由一个二点分布表示：
X01 P 1p p
比如：两个生产同类产品的工厂的产品 的总体分布：
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买
日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
原因在于总体的差异上！
➢ 1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184]
【优秀文档】统计量及其抽样分布 PPT
2分布
(图示)
n=1 n=4
n=10
n=20
2
当n→∞，2分布的极限分布是正态分布
t分布 （Students 分布）
设随机变量X服从标准正态分布，随机 变量Y服从自由度为n的 χ 2分布，且X与Y 相互独立，则称随机变量：
T X Y /n
服从自由度为n的t分布，
记为T～t（n）
(学生) t 分布 Student’s t Distribution
例：某厂商声称其生产的电瓶具有均值为 质的检抽部 样门分为布检服验从该自厂由的度说为法(n是-1否) 正2确分，布随，机即抽取50个该厂生产的电瓶进行寿命实验。
中心极限定理：设从均值为 ，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值 为(cμe、nt方ral差lim为it theorem的)正态分布。
（称2F为）服：从假自定由该度厂n商和声m称的是F分正布确，的记，为50个样本的平均寿命不超过57个月的概率是多少？ 当2样分本布容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布
(在性简质单和随特机点抽) 样中，样本具有随机性，样本的参数 , s2等也会随着样本不同而不同，故它们是样本的函数，记为T（x1, x2,……, xn）
60个月、标准差为6个月的寿命分布。质检 两t (个df样=本13均) 值之差
的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
设当随x服机从变t（量nX）服分从布标，准x正2服态从分F布（，1，随n机）变分量布Y服从自由度为n的 分布，且X与Y相互独立，则称随机变量：
称设F随为机服变从量自X由服度从n标和准m正的态F分分布布，，记随为机变量Y服从自由度为n的 分布，且X与Y相互独立，则称随机变量：
常用的三种抽样分布
的
F
2 ( 2 )
分布，记为
2
F～
F
(
1,
2
)
。
对于样本方差
s12
和
s
2 2
，自由度分别为
1
和
2
的
正态总体，因为有 1s12 2
～
2
( 1 )
,
2s22 2
～ 2 ( 2 ) ,
所以有 F
= s12 s22
～ F (1, 2 )
F分布的概率密度函数
f (F)
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t 2, t0.05/ 2,10 2.228 ，则有
P(t 2.228) P(t 2.228) 0.05 t t 0.10/2,30 0.05,30
t分布曲线下面积（附表2）
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
F 分佈是為了紀念著名的統計學家R.A. Fisher（1890-1962)而得名。
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线 11,2 5
15,2 5
110,210
2F
3
4
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
服从χ2 ( ) ，
由此可对方差的抽样误差进行假设检验。
χ2分布
f(χ2)
χ2
χ2分布曲线下的面积与概率
二、 t 分布(t-distribution)
随机变量X N（，2）
F
2 ( 2 )
分布，记为
2
F～
F
(
1,
2
)
。
对于样本方差
s12
和
s
2 2
，自由度分别为
1
和
2
的
正态总体，因为有 1s12 2
～
2
( 1 )
,
2s22 2
～ 2 ( 2 ) ,
所以有 F
= s12 s22
～ F (1, 2 )
F分布的概率密度函数
f (F)
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
② 10，双 =0.05，t 2, t0.05/ 2,10 2.228 ，则有
P(t 2.228) P(t 2.228) 0.05 t t 0.10/2,30 0.05,30
t分布曲线下面积（附表2）
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9
F 分佈是為了紀念著名的統計學家R.A. Fisher（1890-1962)而得名。
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线 11,2 5
15,2 5
110,210
2F
3
4
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
服从χ2 ( ) ，
由此可对方差的抽样误差进行假设检验。
χ2分布
f(χ2)
χ2
χ2分布曲线下的面积与概率
二、 t 分布(t-distribution)
随机变量X N（，2）
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定理5 设(X1，X2，…，Xn1) 和 (Y1，Y2，…，Yn2)
分别是来自正态总体N(1 ，2) 和 N(2 ，2)的样本，
且它们相互独立，则统计量
T
X
Y Sn
(1 2)
1 n1
1 n2
~
t(n1
n2
2)ห้องสมุดไป่ตู้
其中Sn
(n1
1)S12 n1
(n2
n2 2
1)S22
,
S12、S
2 2
分别为两总体的样本方差。
的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1
项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.
定理3： 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1)
样本均值 X与样本方差S 2相互独立； n
(2)
(n 1)S2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
图5-4
其图形随自由度 n 的不同而有所改变.
性质1： 2分布的数学期望与方差
设 X～2 n ，则E( X ) = n，D( X) = 2n.
性质2： 2分布的可加性
设 X1 ~ 2(n1), X 2 ~ 2(n2), 且 X1 , X 2 相互独立， 则 X1 X 2 ~ 2(n1 n2)
证明： 由已知，有
Xi ～ N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，
则
Xi
~
N(0,
1) ，且各 Xi 相互独立，
由定义1 :得
n
2
n i1
Xi
2
(Xi
i 1
2
)2
~
2(n).
定理3 : 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 X与样本方差S 2相互独立；
(5.10)
三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页 )培训 课件培 训讲义 培训ppt教程管 理课件 教程ppt
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证明：由例知 X Y (1 2 ) ～N (0,1)
2 2
n1 n2
三大抽样分布是后面各章的基础。
三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页 )
2(卡方) — 分布
定义1: 设总体 X ~ N 0, 1 , X1, X2, ... , Xn 是 X 的
一个样本，则统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
的概率密度函数为
f
(
x)
2
n 2
1 (
n
)
x
n 2
1
e
x 2
的点2 (n)为 2 (n)分布的上侧 分位点。
其几何意义见图5-5所示. f(x)
其中f(x)是 2分布的概率密度。
显然，在自由度n取定以后， O
2(n)的值只与 有关。
2(n) x
图5-5
例如：当 n = 21， = 0.05 时，由附表3可查得，
02.05(21) 32.67，即 P 2(21) 32.67 0.05.
性质3：设 X～ 2 n, 则对任意实数 x 有
lim
P
X
n
x
1
x t2
e 2 dt
n 2n
2
这个性质说明当n 很大时，自由度为n 的 2分布趋
于正态分布N（n, 2n）.
定理1 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
n
(Xi )2
的样本，则 i1
2
~ 2(n)
三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页 )
第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
2分布
t 分布 F分布
数理统计的三大分布(都是连续型). 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2 分布、
t 分布、F 分布的一些结论的熟练运用。
与以下补充性质的结论比较：
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
n
(Xi )2
X～N( ， 2)的样本，则 i1 2
~ 2(n)
2分布的上侧分位点
定义2：设 X～ 2 (n), 对于给定的正数（0 1 ）, 称
满足条件
P
X 2 (n)
f (x)dx
2 (n)
的概率密度函数的图象。
当 n 较大时， t 分布近似于标准正态分布。
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定理4
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则统计量
T X ～t(n 1)
S/ n
证： 由于 X 与S 2相互独立，且
n
(2)
(n 1)S2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
(4.1)式的自n 由度为什么是n-1？
从表面上看， (Xi X)2是n个正态随机变量 X i X 的平方和，
但实际上它们不i是1 独立的，它们之间有一种线性约束关系：
n
n
(Xi X) Xi nX =0
这表明，当这i1个n个正态随机i变1 量中有n-1个取值给定时，剩下
x
0
2
0 x 0
其中(t) xt1exdx(t 0)为函数。 0
称统计量
2
X12
X
2 2
X
2 n
服从自由度为
n
的 2分
布，记作 2 ~ 2 (n).
注：自由度是指独立随机变量的个数，df n
2 n分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4
n=1
0.3 0.2
n=4
二、t 分布
定义3: 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，且
X与Y相互独立，则称统计量 T
X Y
n
服从自由度为 n 的 t 分布，记作T～t(n).
t分布的概率密度函数为
f(t)
(n
2
1)
n (n2)
(1
t2 n
)
n1
2,
( t )
其图象如图 5-6 所示，其形状类似于标准正态分布
(n1
1) S12
2
～
2 (n1
1),
(n2
1) S 22
2
～
2 (n2
1)
且S12与S22相互独立，由 2分布的性质知
(n1 1)S12
2
(n2
U
X
n
~
N(0,1),
(n 1)S2
2
~
2(n 1)
由定义3得
X
n
(n 1)S 2
2
(n 1)
X S
n
T
~
t(n 1)
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分别是来自正态总体N(1 ，2) 和 N(2 ，2)的样本，
且它们相互独立，则统计量
T
X
Y Sn
(1 2)
1 n1
1 n2
~
t(n1
n2
2)ห้องสมุดไป่ตู้
其中Sn
(n1
1)S12 n1
(n2
n2 2
1)S22
,
S12、S
2 2
分别为两总体的样本方差。
的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1
项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.
定理3： 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1)
样本均值 X与样本方差S 2相互独立； n
(2)
(n 1)S2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
图5-4
其图形随自由度 n 的不同而有所改变.
性质1： 2分布的数学期望与方差
设 X～2 n ，则E( X ) = n，D( X) = 2n.
性质2： 2分布的可加性
设 X1 ~ 2(n1), X 2 ~ 2(n2), 且 X1 , X 2 相互独立， 则 X1 X 2 ~ 2(n1 n2)
证明： 由已知，有
Xi ～ N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，
则
Xi
~
N(0,
1) ，且各 Xi 相互独立，
由定义1 :得
n
2
n i1
Xi
2
(Xi
i 1
2
)2
~
2(n).
定理3 : 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 X与样本方差S 2相互独立；
(5.10)
三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页 )培训 课件培 训讲义 培训ppt教程管 理课件 教程ppt
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证明：由例知 X Y (1 2 ) ～N (0,1)
2 2
n1 n2
三大抽样分布是后面各章的基础。
三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页 )
2(卡方) — 分布
定义1: 设总体 X ~ N 0, 1 , X1, X2, ... , Xn 是 X 的
一个样本，则统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
的概率密度函数为
f
(
x)
2
n 2
1 (
n
)
x
n 2
1
e
x 2
的点2 (n)为 2 (n)分布的上侧 分位点。
其几何意义见图5-5所示. f(x)
其中f(x)是 2分布的概率密度。
显然，在自由度n取定以后， O
2(n)的值只与 有关。
2(n) x
图5-5
例如：当 n = 21， = 0.05 时，由附表3可查得，
02.05(21) 32.67，即 P 2(21) 32.67 0.05.
性质3：设 X～ 2 n, 则对任意实数 x 有
lim
P
X
n
x
1
x t2
e 2 dt
n 2n
2
这个性质说明当n 很大时，自由度为n 的 2分布趋
于正态分布N（n, 2n）.
定理1 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
n
(Xi )2
的样本，则 i1
2
~ 2(n)
三大抽样分布及常用统计量的分布(PPT31页 )
第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
2分布
t 分布 F分布
数理统计的三大分布(都是连续型). 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2 分布、
t 分布、F 分布的一些结论的熟练运用。
与以下补充性质的结论比较：
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
n
(Xi )2
X～N( ， 2)的样本，则 i1 2
~ 2(n)
2分布的上侧分位点
定义2：设 X～ 2 (n), 对于给定的正数（0 1 ）, 称
满足条件
P
X 2 (n)
f (x)dx
2 (n)
的概率密度函数的图象。
当 n 较大时， t 分布近似于标准正态分布。
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定理4
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则统计量
T X ～t(n 1)
S/ n
证： 由于 X 与S 2相互独立，且
n
(2)
(n 1)S2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
(4.1)式的自n 由度为什么是n-1？
从表面上看， (Xi X)2是n个正态随机变量 X i X 的平方和，
但实际上它们不i是1 独立的，它们之间有一种线性约束关系：
n
n
(Xi X) Xi nX =0
这表明，当这i1个n个正态随机i变1 量中有n-1个取值给定时，剩下
x
0
2
0 x 0
其中(t) xt1exdx(t 0)为函数。 0
称统计量
2
X12
X
2 2
X
2 n
服从自由度为
n
的 2分
布，记作 2 ~ 2 (n).
注：自由度是指独立随机变量的个数，df n
2 n分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4
n=1
0.3 0.2
n=4
二、t 分布
定义3: 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，且
X与Y相互独立，则称统计量 T
X Y
n
服从自由度为 n 的 t 分布，记作T～t(n).
t分布的概率密度函数为
f(t)
(n
2
1)
n (n2)
(1
t2 n
)
n1
2,
( t )
其图象如图 5-6 所示，其形状类似于标准正态分布
(n1
1) S12
2
～
2 (n1
1),
(n2
1) S 22
2
～
2 (n2
1)
且S12与S22相互独立，由 2分布的性质知
(n1 1)S12
2
(n2
U
X
n
~
N(0,1),
(n 1)S2
2
~
2(n 1)
由定义3得
X
n
(n 1)S 2
2
(n 1)
X S
n
T
~
t(n 1)
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